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四川省雅安市天全中学2015-2016学年高一数学5月月考试题 理


天全中学 2015 级高一(下)5 月月考数学试题 (理科)
时间:120 分钟 满分:150 份 一、选择题: (每题 5 分,共 60 分) 1.已知集合 A={x|x2 ?16 ? 0}, B ? {x | x2 ? 4x ? 3 ? 0} ,则 A U B ? ( A. ? B. R C. (?4,1) U (3, 4) D. (1,3) ). D. (7, ?

1) ) D. ?2 ) D. x ? ) )

2. 已知 a ? ? 3, ?1? , b ? ? ?1, 2 ?, ,则 ?3a ? 2b 等于( A. (7,1) B. (?7,1) C. (?7, ?1)

r

r

r

r

3.已知 a ? (2,1), b ? (m, ?1) , a / / b ,则 m ? ( A.

r

r

r

r

1 2

B. ?

1 2

C.2

4.若 x ?

y ? 0 , m ? n ,则下列不等式正确的是(
B. x ? m ? y ? n C.

A. mx ? my

x y ? n m

xy

5.在 ?ABC 中, a ? 2, b ? 2 2, B ? 450 , 则 A 等于( A.30° C. 60 或120
0 0

B.60° D. 30 或150
0 0

6.某几何体的三视图如图(单位: cm ) ,则该几何体的体积 是( )
3

A. 8cm C.

B. 12cm D.

3

32 3 cm 3

40 3 cm 3

?2 x ? y ? 10 ? 7. 设实数 x , y 满足 ? x ? 2 y ? 14 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为 ?x ? y ? 6 ?
( ) A. ?12 B. ?2 C. 6 D. 14 )

8.已知 {an } 是公差为 1 的等差数列, S n 为 {an } 的前 n 项和,若 S8 ? 4 S 4 ,则 a10 ? (

1

17 19 B. C. 10 D. 12 2 2 r r r r r r r 9.已知 | a |? 1 , |b |? 2 且 a ? (a ? b) ,则向量 a 与向量 b 的夹角为(
A. A.

)

? 6
a

B.
b

? 4

C.

? 3

D.

2? 3


10.已知 3 是 3 和 3 的等比中项,则 A.

1 9 ? 取最小值时 a 的值为( a b
D.8

1 2

B. 2

C. 4

11. 向 量 a, b, c 在 正 方 形 网 格 中 的 位 置 如 图 所 示 , 若

r r r

r r r ? c ? ? a ? ?b,(?, ? ? R) ,则 = ( ?
A.4 B.2 C.



b c a
第 11 题

1 2

D. ?

1 2

12.设 ? 是 ???C 的外心, a, b, c 分别为角 A, B, C 对应的 边,已知 b 围是(
2

? 2b ? c2 ? 0 ,则 BCgAO 的范
1 4 1 4 1 4

uu u r uuu r

) B. [? , 2) C. ( ?2, ] D. [ ?2, )

A. (? , 2]

1 4

二、填空题: (每题 5 分,共 20 分) 13.若 A(1,0), B(0, ?1) ,则 | AB | = 14.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 a ? c ? b ? 3ac ,则角 B =
2 2 2

uu u r

15.若不等式 ax ? 5 x ? b ? 0 解集为 {x | ?3 ? x ? ?2},则 a ? b ?
2

16、数列 ?an ? 中, a1 ?

1 1 , an ?1 ? an ? 2 (n ? N ? ) ,则数列 ?an ? 的通项为 2 n ? 3n ? 2

三、解答题: (17 题:10 分,18—22 题,每题 12 分) 17.(10 分)求解下列各题:

3 9 , S3 ? ,求 a1 与 q 2 2 (2)等差数列 {an } 的前三项为 a ? 1, 4, 2a ,若前 n 项和为 Sn =30 .求 a 和 n 的值;
(1)若等比数列 {an } 满足: a3 ?

2

18.(12 分)某企业生产甲、乙两种产品均需用 A, B 两种原料,已知生产 1 吨甲产品需 A 原料 3 吨,B 原料 1 吨,生产 1 吨乙产品,需 A 原料 2 吨,B 原料 2 吨,现有库存 A 原料 12 吨,B 原料 8 吨。如果生产 1 吨甲产品可获利 3 万元,生产 1 吨乙产品可获利 4 万元,则该 企业如何安排生产,可使企业获得最大利润?最大利润是多少?

19. (12 分) 已知不等式 mx ? 6mx ? m ? 8 ? 0 的解集为 A , 不等式 x ? 2 x ? 3 ? 0 为集合. (1)若 A ? ? ,求 m 的取值范围. (2 )若 m ? 0 且 B ? A ,求 m 的取值范围
2 2

20.(12 分)在锐角 ?ABC 中, a, b, c 分别为角 A, B, C 所对的边,且 (1)求角 C 的大小; (2)若 c ?

3a ? 2c sin A ,

7 ,且 ?ABC 的面积为

3 3 ,求 a ? b 的值. 2

21.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(?1, ?2), B(2,3), C (?2, ?1). (1) 求以线段 AB, AC 为邻边的 Y ACDB 的对角线 AD 的长和向量 AD 与 BC 夹角的余 弦值; (2)设正实 数 ?,? 满足 (? AB ? ?OC)g OB ? 14, 求 ? g? 的最大值.

uuu r

uuu r

uu u r

uuu r uu u r

22(12 分).已知数列 {an },{bn } 满足: an ? bn ? 1, bn ?1 ?

bn ,且 a1 , b1 是函数 (1 ? an )(1 ? an )

3

f ( x) ? 16 x2 ?16 x ? 3 的零点 (a1 ? b1 ) .
(1)求 a1 , b1 , b2 ; (2)设 cn ?

1 ,求证:数列 {cn } 是等差数列,并求 bn 的通项公式; bn ? 1
n 1?

(3)设 Sn ? aa a3 ? a3 a 4 ? L? a an 1 2 ?a 2 范围.

,不等式 4aSn ? bn 恒成立时,求实数 a 的取值

4

天全中学 20 15 级高一(下)5 月月考数学 试题 (理科参考答案) 一、选择题 题号 答案 二、填空题 13. 2 , 14. 30 , 三、解答题
0

1 B

2 C

3 D

4 D

5 A

6 C

7 C

8 B

9 B

10 A

11 A

12 B

15. ?7 , 16.

n (n ? N ?) n ?1

3 ? a3 ? a1q 2 ? ? ? 2 . ………………2 分 17.解: (1)由题意得: ? ?S ? a ? a q ? 3 ? 9 3 1 1 ? ? 2 2
3 ? a1 ? 6 ? ? a1 ? ? 解得 : ? 2或 ? 1 ……………………5 分 q?? ? ? ? q ?1 ? 2
(2)解:因 {an } 等 差数列,则 2 ? 4=a ? 1 ? 2a, 解得: a ? 3 ………7 分 又 a1 ? a ?1 ? 2,? d ? a2 ? a1 ? 2

n(n ? 1) ? 2 ? n 2 ? n =30 ,解得: n ? 5 …………10 分 2 18.解:设安排生产甲产品 x 吨,生产乙产品 y 吨, ? Sn ? n ? 2 ?

?3 x ? 2 y ? 12 ? 则 x , y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 8 ,……3 分 ? x ? 0, y ? 0 ?
目标函数 z ? 3x ? 4 y ………………5 分 作 出 可 行 域 如 图 : 平 移 直 线 3x ? 4y ? 0得 点 A 为 最 优 解………… 8 分 由?

?3x ? 2 y ? 12 ?x ? 2 解得 ? ,即 A(2,3) ………………10 分 ? x ? 2y ? 8 ?y ? 3

故 zmax ? 3 ? 2 ? 4 ? 3 ? 18

5

答 : 安 排 生 产 甲 产 品 2 吨 , 乙 产 品 3 吨 , 企 业 可 获 得 最 大 利 润 18 万 元……………………………12 分 19.解: (1) A=?, 则 mx ? 6mx ? m ? 8 ? 0 恒成立………………1 分
2

①当 m ? 0 时, 8 ? 0 恒成立……………2 分 ②当 m ? 0 时,mx ? 6mx ? m ? 8 ? 0 时,函数 y ? mx2 ? 6mx ? m ? 8 图像在 x 轴的
2

上方. 所以 ?

? m?0 ,即: 0 ? m ? 1 …………………5 分 2 ?? ? (?6m) ? 4m( m ? 8) ? 0

综上所述: 0 ? m ? 1 时, A ? ?. …………………6 分 (2) B={x | ?1 ? x ? 3}…………………7 分

y

m ? 0 时, y ? mx2 ? 6mx ? m ? 8 开口向下,又 B ? A ,
由函数图像可知应满足如下条件:………8 分

? f (?1) ? 8m ? 8 ? 0 ,解得: ?1 ? m ? 1 ……10 分 ? ? f (3) ? ?8m ? 8 ? 0
又 m ? 0 ,所以 ?1 ? m ? 0 ,即: m ? [?1, 0) ………12 分 20.解: (1) Q 3a ? 2c sin A, 由正弦定理可得:

x
?1

O 3

3 sin A=2sin CsinA …………3 分
? sin C ?

? 3 ,故 C= ……………5 分 3 2
1 3 3 ab sin C ? ,则 ab ? 6 ①………………7 分 2 2
2 2 2

(2) SVABC ?
2 2

由余弦定理 c ? a ? b ? 2ab cos C 得: 7 ? a ? b ? ab ②…………9 分 ① ②联立方程得: ?

? ab ? 6 ? a ? 3 ?a ? 2 ,解得: ? 或? ………11 分 2 2 ?a ? b ? ab ? 7 ?b ? 2 ? b ? 3

所以: a ? b ? 5 ………………12 分 21.解: (1)设点 D( x, y ) ,则 AB ? (3,5), BC ? (?4, ?4) , CD ? ( x ? 2, y ?1)

uu u r

uuu r

uuu r

6

由 Y ACDB 可得: AB ? CD ,即: (3,5) ? ( x ? 2, y ? 1) 解得: x ? 1, y ? 4; 即:点 D 坐标为 ……………2 分 (1, 4) 则 AD ? (2,6) ,所以 | AD |? 22 ? 62 ? 2 10 ……………4 分

uuu r

uuu r

uuu r

uuu r

uuu r uuu r uuu r uuu r ADgBC (2, 6)(?4, ?4) 2 5 r uuu r ? ?? 又 cos ? AD, BC ?? uuu ……………6 分 5 2 10 g4 2 | AD |g | BC |
(2) Q (? AB ? ?OC)g OB ? 14,?[?(3,5) ? ?(?2, ?1)](2,3) ? 14 化简得: (3? ? 2? ,5? ? ? )(2,3) ? 14 ,即: 3? +? =2 ……………8 分 又 ? ? 0, ? ? 0 ,则 3? g? ? ( 所以: ? ? 故: ?

uu u r

uuu r uu u r

3? ? ? 2 ) ?1 2

1 ,当且仅当 3? =? 时取等号……………………10 分 3

?3? =? 1 1 1 解得: ? = ,? =1 ,即:当 ? = ,? =1 时, (?? ) max ? 3 3 3 ?3? +? =2
…………………………12 分

2 22.解:由 16 x ? 16 x ? 3 ? 0 解得 x1 ?

1 3 1 3 , x2 ? ,即: a1 ? , b1 ? ……1 分 4 4 4 4

由 an ? bn ? 1, bn ?1 ? 将 b1 ?

bn bn 1 得 bn ?1 ? …………2 分 ? (1 ? an )(1 ? an ) bn (2 ? bn ) 2 ? bn

3 4 代入得 b2 ? ……………………………3 分 4 5

(2)因为 bn ?1 ? 1 ? 即 cn?1 ? cn ?1 又 c1 ?

2 ? bn 1 1 1 ? 1,所以 ? ? ? 1 …………4 分 2 ? bn bn?1 ? 1 bn ? 1 bn ? 1

1 1 ? ? ?4 b1 ? 1 3 ? 1 4

故:数列 {cn } 是以-4 为首项,-1 为公差的等差数列. ………5 分 于是 cn ? ?4 ? (n ? 1) ? (?1) ? ?n ? 3 由 cn ? ……………………………6 分

1 1 1 n?2 ?1 ? 1? ? 得 bn ? bn ? 1 cn n?3 n?3

…………………7 分

7

(3)由题意及(2)知 : an ? 1 ? bn ?

1 ………………………8 分 n?3

? Sn ? a1a2 ? a2 a3 ? a3a4 ? L ? an an ?1 1 1 1 ? ?L ? 4? 5 5? 6 (n ? 3)(n ? 4) 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ?L ? ( ? ) 4 5 5 6 6 7 n?3 n?4 1 1 n ? ? ? 4 n ? 4 4(n ? 4) ?
………………………………9 分 由 4aSn ? bn ?

an n ? 2 (a ? 1)n2 ? (3a ? 6)n ? 8 ? ? ? 0 恒成立 n?4 n?3 (n ? 3)(n ? 4)

即 (a ? 1)n2 ? (3a ? 6)n ? 8 ? 0 恒成立即可,…………………10 分 设 f (n) ? (a ?1)n2 ? (3a ? 6)n ? 8 ①当 a ? 1 时, f (n) ? ?3n ? 8 ? 0 恒成立 ②当 a ? 1 时,由二次函数的性质 f (n) ? (a ?1)n2 ? (3a ? 6)n ? 8 ? 0 不可能恒成立 ③当 a ? 1 时,由于 ?

3a ? 6 3 1 ? ? (1 ? )?0 2(a ? 1) 2 a ?1

所以 f (n) ? (a ?1)n2 ? (3a ? 6)n ? 8 在 ?1, ?? ? 上单调递减 由 f (1) ? (a ?1)n ? (3a ? 6)n ? 8 ? 4a ?15 ? 0 得 a ?
2

15 4

? a ? 1 , 4aSn ? bn 恒成立
综上所述:所求 a 的取值范围 (??,1] .……………………12 分

8


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