2009年全国高中数学联赛加试-试题参考答案及评分标准(A卷)

2009 年全国高中数学联合竞赛加试 试题参考答案及评分标准(A 卷)

P N I T A Q C M

B

【解析】⑴连 NI , MI .由于 PC ‖ MN , P ,C , M , N 共圆,故 PCMN 是等腰梯形.因 解析】 此 NP = MC , PM = NC .
P N I T A C M

B

6

1 PM MT sin ∠PMT 2 1 = S△ PNT = PN NT sin ∠PNT 2 1 = PN NT sin ∠PMT 2 于是 PM MT = PN NT . ⑵因为 ∠NCI1 = ∠NCA + ∠ACI1 = ∠NQC + ∠QCI1 = ∠CI1 N , S△ PMT =
P N I I2 I1 A T Q C M

B

∠I1QI 2 = ∠NQM = ∠NTM = ∠I1TI 2 .

NT MT = . MP NP

6

1 1 1 < ln 1 + < . n +1 n n k 1 ln n ,则 x1 = , 2 k =1 k + 1
2
2

n

n 1 ln 1 + n +1 n 1 1 n < 2 n +1 n 1 = 2 <0 (n + 1)n 1 因此 xn < xn 1 < < x1 = . 2 又因为 xn xn 1 =
n 1 1 ln n = (ln n ln(n 1)) + (ln(n 1) ln( n 2)) + + (ln 2 ln1) + ln1 = ∑ ln 1 + . k k =1

xn = ∑
n 1 k 1 ∑ ln 1 + k + 1 k =1 k k =1 n

2

3. .

l 【解析】证法一:对任意正整数 t ,令 m = k + t l ( k !) .我们证明 ( Ck , ) = 1 . 解析】 m

n 1 n 1 1 k n k 1 > ∑ 2 = ∑ 2 ln 1 + + 2 k +1 k n + 1 k =1 k + 1 k k =1 n 1 n 1 1 1 = ∑ 2 ≥ ∑ (k + 1) k (k + 1)k k =1 k =1 1 = 1 + > 1 . n 是给定的两个正整数.证明: 互素. 设 k ,l 是给定的两个正整数.证明:有无穷多个正整数 m ≥ k ,使得 Ck 与 l 互素. m

k !Ck = ∏ (m k + i) m
i =1 k k

≡ ∏ [(i + tl (k !)]
i =1 k

≡ ∏i ≡ k !( mod pα +1 ) .
i =1

k !Ck = ∏ (m k + i) m
i =1 k k

≡ ∏ [(i + tl (k !) 2 ]
i =1

6

≡ ∏i

k

≡ k !( mod p ) .

i =1

k !C k = ∏ (m k + i ) m
i =1 k k 1

≡ ∏ [(i + tl (k !) 2 ]
i =1 k

≡ ∏i
≡ k !( mod pα +1 )
i =1

4. .

x11 x12 x13 S = x21 x22 x23 x x x 31 32 33

x1k 满足下面的性质 (O) :对于数表 P 中的任意一列 x2 k ( k = 1 ,2,…,9)均存 , x 3k 在某个 i ∈ {1 ,2 ,3}

x1k * (ⅱ)存在数表 P 中唯一的一列 x2 k* , k * ≠ 1 ,2,3 使得 3 × 3 数表 x 3k* x11 x12 x1k * S ′ = x21 x22 x2 k* x31 x32 x 3k* 仍然具有性质 (O) .

6

min { x11 ,x12 } , min { x21 ,x22 } , min { x31 ,x32 }

S 中的对角线上数字. x11 x12 x13 S = x21 x22 x23 x x x 31 32 33 记 M = {1,2 , , } ,令集合 9

x1k * > min { x11 ,x12 } ≥ u1 , x3 k* > min { x31 ,x32 } ≥ u3 .

I = {k ∈ M | xik > min { xi1 ,xi 2 } ,i = 1 ,3} .

{

}

′ u2 = min x21 ,x22 ,x2 k* = x2 k* .下证对任意的 k ∈ M ,存在某个 i = 1 ,2,3 使

u3 = min { x31 ,x32 ,x33 } = x33 x32 < x31 .

21 22 2k 22

{

}

u1 = min { x11 ,x12 ,x13 } = x11

u 3 = min { x31 ,x32 ,x3 k } = x3k .
6

′ x2 k* ≤ u 2 = x2 k .类似地,由 S ′ 满足性质 (O) 及 k ∈ M 可推得 x2 k ≤ u2 = x2 k* .从

6

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