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【数学】2014版《6年高考4年模拟》:第5章 平面向量、解三角形 第2节 解三角形


掌门 1 对 1 教育 高中数学 【数学】2014 版《6 年高考 4 年模拟》 第五章 平面向量、解三角形 解三角形 六年高考荟萃

第二节 第一部分

2013 年高考题
1 .(2013 年高考陕西卷(理)) 设△ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若 b cos C ? c cos B ? a

sin A , 则△ABC 的形状为

(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定 答案:B 因为 b cos C ? c cos B ? a sin A ,所以 sin B cos C ? sin C cos B ? sin A sin A 又 sin B cosC ? sin C cos B ? sin(B ? C ) ? sin A 。联立两式得 sin A ? sin A sin A 。 所以 sin A ? 1, A ?

?
2

。选 B

2 . ( 2013 年普通高等学校招生统一考试天津数学(理)试题(含答案)) 在△ABC 中 ,

?ABC ?

?
4

, AB ? 2, BC ? 3, 则 sin?BAC =

(A)

10 10

(B)

10 5

(C)

3 10 10

(D)

5 5

答案:C

3 . (2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学 (理) 试题 (WORD 版) ) 在 ?ABC ,内角 A, B, C

所对的边长分别为 a, b, c. a sin B cos C ? c sin B cos A ? A.

? 6

B.

? 3

C.

2? 3

1 b, 且 a ? b ,则 ?B ? 2 5? D. 6

答案:A 根据正弦定理得, sin A sin B cos C ? sin C sin B cos A ?

1 sin B ,即 2 1 1 1 sin A cos C ? sin C cos A ? ,所以 sin( A ? C ) ? ,即 sin B ? ,因为 a ? b ,所以 2 2 2 ? B ? 。选 A. 6

4 . ( 2013 年 高考湖南卷(理)) 在锐角中 ?ABC , 角 A, B 所对的边长分别为 a , b . 若

2a sin B ? 3b, 则角A等于
A.

? 12

B.

? 6

C.

? 4

D.

? 3
3 ,以为 2

答案:D 本题考查正弦定理的应用。由正弦定理得得 2sin A sin B ? 3 sin B ,即 sin A ? 三角形为锐角 ?ABC ,所以 A ?

?
3

,选 D.

5 . ( 2013 年 普通 高等 学校 招 生统 一考 试浙 江 数学( 理 )试 题( 纯 WORD 版) ) ?ABC
0 中, ?C ? 90 , M 是 BC 的中点,若 sin ?BAM ?

1 ,则 sin ?BAC ? ________. 3

答案:

6 3
b , 4a2+b2 BM AM a = ,即 = 1 sin?BAM sin?ABM 3 a2+b2 ,解得 2a2=b2,于是 b 4a2+b2

AC 设 BC=2a,AC=b,则 AM= a2+b2,AB= 4a2+b2,sin?ABM= sin?ABC= = AB 在△ABM 中,由正弦定理 BC sin?BAC= = AB

2a 6 2 2= 3 . 4a + b

6.(2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学(理)试题(纯 WORD 版))如图 ?ABC 中,

已 知 点 D 在 BC 边 上 ,AD ? AC, sin ?BAC ? _______________

2 2 , AB ? 3 2, AD ? 3 则 BD 的 长 为 3

答案: 3

? 2 2 ? sin ?BAC ? sin(?BAD ? ) ? cos ?BAD ? 2 3
AB 2 ? AD 2 ? BD 2 ? 根据余弦定理可得 cos ?BAD ? 2 AB ? AD

?

2 2 (3 2)2 ? 32 ? BD2 ? ? BD ? 3 3 2?3 2 ?3

7.(2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理)试题(纯 WORD 版))设 ?ABC 的内角

A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c .若 b ? c ? 2a ,则 3sin A ? 5sin B, 则角 C ? _____.
答案:

2 ? 3

3sin A ? 5sin B,

? 3a ? 5b, b ? c ? 2a ? cosC ?
所以

a2 ? b2 ? c2 1 2 ?? ?C ? ? 2ab 2 3

2 ? 3

8.(2013 年高考北京卷(理))在△ABC 中,a=3,b=2

6 ,∠B=2∠A.

(I)求 cosA 的值;

(II)求 c 的值.

解:(I)因为 a=3,b=2 6 ,∠B=2∠A. 所以在△ABC 中,由正弦定理得

3 2 6 ? .所以 sin A sin 2 A

2sin A cos A 2 6 6 ? .故 cos A ? . sin A 3 3
(II) 由 (I) 知 cos A ?

6 A? ,所以 sin 3

? 1

c2o As ?

3 . 又 因 为 ∠B=2∠A, 所 以 3

1 2 2 cos B ? 2 c2oAs? ? 1.所以 sin B ? 1 ? cos 2 B ? . 3 3
在△ABC 中, sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ?

5 3 . 9

所以 c ?

a sin C ?5. sin A

9. (2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学 (理) 试题 (含答案) ) 在 ? ABC 中,内角 A, B, C

的对边分别是 a, b, c ,且 a ? b ? 2ab ? c .
2 2 2

(1)求 C ;

(2)设 cos A cos B ?

3 2 cos ?? ? A? cos ?? ? B ? 2 ,求 tan ? 的值. , ? 2 5 cos ? 5

由题意得

10. (2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学 (理) WORD 版含答案 (已校对) ) 设 ?ABC

的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? ac . (I)求 B

(II)若 sin A sin C ?

3 ?1 ,求 C . 4

11 . ( 2013 年 高 考 四 川 卷 ( 理 ) ) 在 ?ABC 中 , 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , 且

A? B 3 cos B ? sin( A ? B) sin B ? cos( A ? C ) ? ? . 2 5 (Ⅰ)求 cos A 的值; ? ??? ? ??? (Ⅱ)若 a ? 4 2 , b ? 5 ,求向量 BA 在 BC 方向上的投影. 3 2 A? B cos B ? sin ? A ? B ? sin B ? cos ? A ? C ? ? ? ,得 解: ? ? ? 由 2cos 2 5 3 ? ?cos ? A ? B ? ? 1? ? cos B ? sin ? A ? B ? sin B ? cos B ? ? 5 , 3 即 cos ? A ? B ? cos B ? sin ? A ? B ? sin B ? ? , 5 3 3 则 cos ? A ? B ? B ? ? ? ,即 cos A ? ? 5 5 3 4 ? ?? ? 由 cos A ? ? 5 ,0 ? A ? ? ,得 sin A ? 5 , 2 cos 2
由正弦定理,有

a b b sin A 2 ? ? ,所以, sin B ? . sin A sin B a 2

由题知 a ? b ,则 A ? B ,故 B ? 根据余弦定理,有 4 2

?
4

.

?

?

2

? 3? ? 52 ? c 2 ? 2 ? 5c ? ? ? ? , ? 5?

解得 c ? 1 或 c ? ?7 (舍去). 故向量 BA 在 BC 方向上的投影为 BA cos B ?

??? ?

??? ?

??? ?

2 2

12. (2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学 (理) 试题 (含答案) ) 设△ ABC 的内角 A, B, C

所对的边分别为 a, b, c ,且 a ? c ? 6 , b ? 2 , cos B ? (Ⅰ)求 a , c 的值; (Ⅱ)求 sin( A ? B) 的值.

7 . 9

2 2 2 b 2 ? ? a ? c ? ? 2ac (1 ? cos B ) 解:(Ⅰ)由余弦定理 b ? a ? c ? 2ac cos B ,得 ,
2

又 a ? c ? 6,b ? 2 ,

cos B ?

7 9 ,所以 ac ? 9 ,解得 a ? 3 , c ? 3 .

(Ⅱ)在△ ABC 中,

sin B ? 1 ? cos2 B ? a sin B 2 2 ? b 3 ,

4 2 9 ,

sin A ?
由正弦定理得

因为 a ? c ,所以 A 为锐角,所以

cos A ? 1 ? sin 2 A ?

1 3

sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ?
因此

10 2 27 .

13. (2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷 (数学) (已校对纯 WORD 版含附加题) )

本小题满分 16 分.如图,游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径.一种是从 A 沿直线步行到 C ,另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B ,然后从 B 沿直线步行到 C .现有甲. 乙两位游客从 A 处下山,甲沿 AC 匀速步行,速度为 50 m / min .在甲出发 2 min 后,乙从 A 乘缆车到 B , 在 B 处停留 1 min 后 , 再从匀速步行到 C . 假设缆车匀速直线运动的速度为

130 m / min ,山路 AC 长为 1260 m ,经测量, cos A ?

12 3 , cos C ? . 13 5

(1)求索道 AB 的长; (2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短? (3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内? A B

C

12 3 , cos C ? 13 5 ? 5 4 (0, ) ∴ A、C ? ∴ sinA ? , sinC ? 2 13 5
解:(1)∵ cos A ?

? ? sin(A ? C) (A ? C) ? sinAcos C ? cos AsinC ? ∴ sinB ? sin ?? ?
根据 (2)

63 65

AB AC AC ? sinC ? 1040 m 得 AB ? sinC sinB sinB
设 乙 出 发 t 分 钟 后 , 甲 . 乙 距 离 为 d, 则

12 d 2 ? (130 t ) 2 ? (100 ? 50t ) 2 ? 2 ? 130t ? (100 ? 50t ) ? 13
∴ d 2 ? 200(37t 2 ? 70t ? 50)

1040 即0 ? t ? 8 130 35 35 ∴t ? 时,即乙出发 分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短. 37 37
∵0 ? t ? (3)由正弦定理

AC 1260 5 BC AC sin A ? ? 500 (m) ? 得 BC ? 63 13 sinB sinA sinB 65

乙从 B 出发时,甲已经走了 50(2+8+1)=550(m),还需走 710 m 才能到达 C 设乙的步行速度为 V m / min ,则 ∴?3?

500 710 ? ?3 v 50

500 710 1250 625 ? ? 3∴ ?v? v 50 43 14 ∴为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟,乙步行的速度应控制在

?1250 625? 范围内 , ? ? 43 14 ? ?
法二:解:(1)如图作 BD⊥CA 于点 D, 设 BD=20k,则 DC=25k,AD=48k, AB=52k,由 AC=63k=1260m, 知:AB=52k=1040m. (2)设乙出发 x 分钟后到达点 M, 此时甲到达 N 点,如图所示. 则:AM=130x,AN=50(x+2), 2 2 2 2 由余弦定理得:MN =AM +AN -2 AM·ANcosA=7400 x -14000 x+10000, 35 其中 0≤x≤8,当 x= (min)时,MN 最小,此时乙在缆车上与甲的距离最短. 37 1260 126 (3)由(1)知:BC=500m,甲到 C 用时: = (min). 50 5

126 141 86 若甲等乙 3 分钟,则乙到 C 用时: +3= (min),在 BC 上用时: (min) . 5 5 5 86 1250 此时乙的速度最小,且为:500÷ = m/min. 5 43 126 111 56 若乙等甲 3 分钟,则乙到 C 用时: -3= (min),在 BC 上用时: (min) . 5 5 5 56 625 此时乙的速度最大,且为:500÷ = m/min. 5 14 1250 625 故乙步行的速度应控制在[ , ]范围内. 43 14 M B D C
14.(2013 年高考湖北卷(理))在 ?ABC 中,角 A , B , C 对应的边分别是 a , b , c .已知

A N

cos 2 A ? 3cos ? B ? C ? ? 1 .
(I)求角 A 的大小; (II)若 ?ABC 的面积 S ? 5 3 , b ? 5 ,求 sin B sin C 的值. 解:(I)由已知条件得: cos 2 A ? 3cos A ? 1

? 2 cos2 A ? 3cos A ? 2 ? 0 ,解得 cos A ?
(II) S ?

1 ,角 A ? 60? 2

a2 1 2 ? 28 bc sin A ? 5 3 ? c ? 4 ,由余弦定理得: a 2 ? 21 , ? 2 R ? ? 2 sin 2 A
bc 5 ? 2 4R 7

? sin B sin C ?

15. (2013 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学(理) (纯 WORD 版含答案))△ ABC

在内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 a ? b cos C ? c sin B . (Ⅰ)求 B ; (Ⅱ)若 b ? 2 ,求△ ABC 面积的最大值.

16.(2013年高考新课标1(理))如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB= 3 ,BC=1,P为△ABC内

一点,∠BPC=90° 1 (1)若 PB= ,求 PA;(2)若∠APB=150°,求 tan∠PBA 2

(Ⅰ) 由 已 知 得 ,∠PBC= 60

o

,∴∠PBA=30 , 在 △PBA

o

中 , 由 余 弦 定 理 得

1 1 7 7 ; PA2 = 3 ? ? 2 ? 3 ? cos 30o = ,∴PA= 4 2 4 2
(Ⅱ) 设 ∠PBA= 得,

? , 由 已 知 得 ,PB= sin ? , 在 △PBA 中 , 由 正 弦 定 理

3 sin ? ? ,化简得, 3 cos ? ? 4sin ? , o sin150 sin(30o ? ? )
3 3 ,∴ tan ?PBA = . 4 4

∴ tan ? =

17. (2013 年高考江西卷 (理) ) 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 cosC+(conA-

错误!未找到引用源。sinA)cosB=0. (1) 求角 B 的大小;若 a+c=1,求 b 的取值范围

解:(1)由已知得 ? cos( A ? B) ? cos A cos B ? 3sin A cos B ? 0 即有 sin A sin B ? 3 sin A cos B ? 0 因为 sin A ? 0 ,所以 sin B ? 3 cos B ? 0 ,又 cos B ? 0 ,所以 tan B ? 3 , 又 0 ? B ? ? ,所以 B ?
2

? . 3
2 2

(2)由余弦定理,有 b ? a ? c ? 2ac cos B .

1 1 2 1 2 ,有 b ? 3(a ? ) ? . 2 2 4 1 1 2 又 0 ? a ? 1 ,于是有 ? b ? 1 ,即有 ? b ? 1 . 2 4
因为 a ? c ? 1, cos B ?

2012 年高考题
一、选择题 1 .(2012 年高考(上海文))在 ?ABC 中,若 sin A ? sin B ? sin C ,则 ?ABC 的形状
2 2 2

是 A.钝角三角形.

( B.直角三角形.
2 2 2



C.锐角三角形.

D.不能确定.
a 2 ?b 2 ?c 2 2 ab

[解析] 由条件结合正弦定理,得 a ? b ? c ,再由余弦定理,得 cosC ? 所以 C 是钝角,选 A.

? 0,

2.(2012 年高考(湖南文))在△ABC 中,AC= 7 ,BC=2,B =60°,则 BC 边上的高等于 ( A. )

3 2

B.

3 3 2

C.

3? 6 2

D.

3 ? 39 4

【答案】B
2 2 2 【解析】设 AB ? c ,在△ABC 中,由余弦定理知 AC ? AB ? BC ? 2 AB ? BC ? cos B ,

2 即 7 ? c ? 4 ? 2 ? 2 ? c ? cos 60 , c ? 2c ? 3 ? 0,即(c -3)(c ? 1)=0.又 c ? 0,? c ? 3.
2 ?

设 BC 边上的高等于 h ,由三角形面积公式 S? ABC ?

1 1 AB?BC ? sin B ? BC ?h ,知 2 2

1 1 3 3 ? 3 ? 2 ? sin 60? ? ? 2 ? h ,解得 h ? . 2 2 2
【点评】本题考查余弦定理、三角形面积公式,考查方程思想、运算能力,是历年常考内 容.

3.(2012 年高考(湖北文))设 ?ABC 的内角 A, B, C, 所对的边分别为 a, b, c ,若三边的 长 为 连 续 的 三 个 正 整 数 , 且 A ? B ? C , 3b ? 20a cos A , 则 sin A : sin B : sin C 为 ( ) A.4∶3∶2 B.5∶6∶7 C.5∶4∶3 D.6∶5∶4 D 【 解 析 】 因 为 a, b, c 为 连 续 的 三 个 正 整 数 , 且 A ? B ? C , 可 得 a ? b ? c , 所 以

a ? c ?2 , b ? c ?1 ①;又因为已知 3b ? 20a cos A ,所以 cos A ?

3b ②.由余弦定理可 20a

2 2 2 b2 ? c2 ? a 2 3b b ? c ? a ? 得 cos A ? ③, 则 由 ②③ 可 得 ④, 联 立 ①④, 得 2bc 20 a 2 bc

15 ( 舍去 ), 则 a ? 6 , b ? 5 . 故由正弦定理可 7 得, sin A : sin B : sin C ? a : b : c ? 6 : 5 : 4 .故应选 D.

7c 2 ? 13c ? 60 ? 0 , 解得 c ? 4 或 c ? ?

【点评】本题考查正、余弦定理以及三角形中大角对大边的应用.本题最终需求解三个 角的正弦的比值,明显是要利用正弦定理转化为边长的比值,因此必须求出三边长.来年 需注意正余弦定理与和差角公式的结合应用. 4.(2012 年高考(广东文))(解三角形)在 ?ABC 中,若 ?A ? 60? , ?B ? 45? , BC ? 3 2 , 则 AC ? A. 4 3 B. 2 3 C. 3 D. ( )

3 2

解析:B.由正弦定理,可得

3 2 2 AC BC ? ?2 3. ,所以 AC ? ? 2 sin 45? sin 60? 3 2

5 .(2012 年高考(天津理))在 ?ABC 中,内角 A , B , C 所对的边分别是 a,b,c ,已知

8b =5c , C =2 B ,则 cos C ? 7 7 A. B. ? 25 25





7 C. ? 25

24 D. 25

【答案】A 【命题意图】本试题主要考查了正弦定理、三角函数中的二倍角公式. 考查学生分析、 转化与计算等能力. 【解析】∵ 8b =5c ,由正弦定理得 8sin B =5sin C , 又∵ C =2 B ,∴ 8sin B =5sin 2 B , 8 B s iB B 易 = 所 以 ,n 知1

0

s

4 7 B ? ,∴ i cos B = n, cos C = cos 2B 0=2cos2 B ? 1 = . 5 25
2 2 2

6 .(2012 年高考(上海理))在 ?ABC 中,若 sin A ? sin B ? sin C ,则 ?ABC 的形状 是 A.锐角三角形. ( B.直角三角形. C.钝角三角形. D.不能确定. )

[解析] 由条件结合正弦定理,得 a ? b ? c ,再由余弦定理,得 cosC ?
2 2 2

a 2 ?b 2 ?c 2 2 ab

? 0,

所以 C 是钝角,选 C. 7 . (2012 年高考 (陕西理) ) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对边长分别为 a , b, c ,若 a ? b ? 2c ,
2 2 2

则 cos C 的最小值为 A.

( B.



3 2

2 2

C.

1 2

D. ?

1 2

a 2 ? b2 ? c 2 a 2 ? b2 1 ? ? 当且仅当 a = b 时取“=”,选 C. 解析:由余弦定理得, cos C ? 2ab 4ab 2
二、填空题 1 .( 2012 年高考(重庆文))设△ ABC 的内角 A、B、 C 的对边分别为 a、 b、 c , 且

a =1,b=2, cos C ?
【答案】:

1 ,则 sin B ? ____ 4

15 4
解 析 】



a ? 1, b ? 2, cos C ?

1 4

, , 则





弦 , 即





得 , 故

1 c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C ? 1 ? 4 ? 2 ?1? 2 ? ? 4 4

c?2

B?C

1 15 . sin B ? 1 ? ( )2 ? 4 4
【考点定位】利用同角三角函数间的基本关系式求出 sin B 的值是本题的突破点,然后 利用正弦定理建立已知和未知之间的关系,同时要求学生牢记特殊角的三角函数值. 2.(2012 年高考(陕西文))在三角形 ABC 中,角 A,B,C 所对应的长分别为 a,b,c,若 a=2 ,B=

? ,c=2 3 ,则 b=______ 6

2 2 2 解析:由余弦定理得, b = a + c - 2ac cos B = 4 ,所以 b = 2 .

3.(2012 年高考(福建文))在 ?ABC 中,已知 ?BAC ? 60?, ?ABC ? 45?, BC ? 3 , 则 AC ? _______. 【答案】 2 【解析】由正弦定理得

AC 3 ? ? AC ? 2 sin 45? sin 60?

【考点定位】本题考查三角形中的三角函数,正弦定理,考醒求解计算能力. 4.(2012 年高考(北京文))在△ABC 中,若 a ? 3 , b ? 3 , ?A ? ___________.

?
3

,则 ?C 的大小为

【答案】

? 2
c a ? b2 ? c 2 ? a 2 ? ? c ? 2 3 ,而 ,故 sin C ? 1 ? C ? . sin C sin A 2 2bc

【解析】 cos A ?

【考点定位】 本小题主要考查的是解三角形,所用方法并不唯一,对于正弦定理和余弦定 理此二者会其一都可以得到最后的答案. 5 . ( 2012 年 高 考 ( 重 庆 理 ) ) 设 ?ABC 的 内 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a , b, c , 且

3 5 cos A ? , cos B ? , b ? 3, 则 c ? ______ 5 13 14 【答案】 c ? 5 3 5 4 12 a b ? sin A ? ,sin B ? ,由正弦定理 ? 【解析】由 cos A ? , cos B ? 5 13 5 13 sin A sin B 4 3? b sin A 5 ? 13 得 , 由 余 弦 定 理 a? ? 12 sin B 5 13 14 a 2 ? c 2 ? b2 ? 2bc cos A ? 25c 2 ? 90c ? 56 ? 0 ? c ? 5 【考点定位】利用同角三角函数间的基本关系求出 sin B 的值是本题的突破点,然后利
用正弦定理建立已知和未知之间的关系,同时要求学生牢记特殊角的三角函数值. 6 .( 2012 年高考(湖北理))设△ ABC 的内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c . 若 (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? ab ,则角 C ? _________. 考点分析:考察余弦定理的运用. 解析:由 (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? ab ? a ? b ? c ? ?ab
2 2 2

a 2 ? b2 ? c 2 1 2? ?? ?C ? 根据余弦定理可得 cos C ? 2ab 2 3
7.(2012 年高考(福建理))已知 ?ABC 得三边长成公比为 2 的等比数列,则其最大角 的余弦值为_________. 【答案】 ?

2 4

【解析】设最小边为 a ,则其他两边分别为 2a, 2a ,由余弦定理得,最大角的余弦值为

cos ? ?

a 2 ? ( 2a)2 ? (2a)2 2 ?? 4 2a ? ( 2a)

【考点定位】 此题主要考查三角形中的三角函数,等比数列的概念、 余弦定理,考查分析 推理能力、运算求解能力.

8 . ( 2012 年 高 考 ( 北 京 理 ) ) 在 △ABC 中 , 若 a ? 2 , b ? c ? 7 , cos B ? ?

1 ,则 4

b ? ___________. 【答案】 4
【 解 析 】 在

?ABC



,





余 ,

弦 化

定 简

理 得

cos B ?

a 2 ? c 2 ? b2 1 4 ? (c ? b)(c ? b) 4 ? 7(c ? b) ?? ? ? 2ac 4 4c 4c

8c ? 7b ? 4 ? 0 ,与题目条件 b ? c ? 7 联立,可解得 a ? 2, b ? 4, c ? 3 ,答案为 4 .
【考点定位】 本题考查的是解三角形,考查余弦定理的应用.利用题目所给的条件列出 方程组求解. 9.(2012 年高考(安徽理))设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边为 a, b, c ;则下列命题正确 的是 _____
2 ①若 ab ? c ;则 C ?

?
3

②若 a ? b ? 2c ;则 C ?

?
3

3 3 3 ③若 a ? b ? c ;则 C ?

?
2

④若 (a ? b)c ? 2ab ;则 C ?

?
2

2 2 2 2 2 ⑤若 (a ? b )c ? 2a b ;则 C ?

?
3

【解析】正确的是①②③ ① ab ? c ? cos C ?
2

a 2 ? b2 ? c 2 2ab ? ab 1 ? ? ? ?C ? 2ab 2ab 2 3 a 2 ? b2 ? c 2 4(a 2 ? b2 ) ? (a ? b)2 1 ? ? ? ?C ? 2ab 8ab 2 3
2 3 2 2 3 3 3 3 3

② a ? b ? 2c ? cos C ? ③当 C ?

?
2

时, c ? a ? b ? c ? a c ? b c ? a ? b 与 a ? b ? c 矛盾
2 2

④取 a ? b ? 2, c ? 1满足 (a ? b)c ? 2ab 得: C ?

?
2

2 2 2 2 2 ⑤取 a ? b ? 2, c ? 1满足 (a ? b )c ? 2a b 得: C ?

?
3

三、解答题 1. (2012 年高考 (浙江文) ) 在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 bsinA= 3 acosB. (1)求角 B 的大小; (2)若 b=3,sinC=2sinA,求 a,c 的值. 【命题意图】本题主要考查了正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理,考查考生对基础知 识、基本技能的掌握情况. 【解析】 (1) ? bsinA= 3 acosB, 由正弦定理可得 sin B sin A ? 3 sin A cos B , 即得

tan B ? 3 ,? B ?

?
3

.

(2)? sinC=2sinA,由正弦定理得 c ? 2a ,
2 2 2 由 余 弦 定 理 b ? a ? c ? 2ac cos B , 9 ? a ? 4a ? 2a ? 2a cos
2 2

?
3

, 解 得

a ? 3 ,?c ? 2a ? 2 3 .
2 .( 2012 年 高考( 天津 文)) 在 ?ABC 中 , 内 角 A, B, C 所对的 分别是 a, b, c . 已 知

a ? 2, c ? 2 , cosA ? ?
(I)求 sin C 和 b 的值;

2 . 4
(II)求 cos(2 A ?

?
3

) 的值.
c 及 sC in

解 :(1) 在 ?ABC 中 , 由 cos A ? ?

a 2 14 ? , 可 得 sin A ? ,又由 sin A 4 4

a ? 2 , c ? 2 ,可得 sin C ?
2 2 2

7 4
2

由 a ? b ? c ? 2bc cos A ? b ? b ? 2 ? 0 ,因为 b ? 0 ,故解得 b ? 1 . 所以 sin C ?

7 ,b ?1 4 cos A ? ? 2 4
,

(2)



sin A ?

14 4

,



3 7 cos 2 A ? 2 cos 2 A ? 1 ? ? , sin A ? 2sin A cos A ? ? 4 4
所以 cos(2 A ?

?
3

) ? cos 2 A cos

?
3

? sin 2 A sin

?
3

?

?3 ? 21 8

3.(2012 年高考(山东文))(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ,已知 sin B(tan A ? tan C) ? tan Atan C . (Ⅰ)求证: a , b, c 成等比数列; (Ⅱ)若 a ? 1, c ? 2 ,求△ ABC 的面积 S. 解:(I)由已知得: sin B(sin A cos C ? cos A sin C ) ? sin A sin C ,
sin B sin( A ? C ) ? sin A sin C ,则 sin 2 B ? sin A sin C ,

再由正弦定理可得: b 2 ? ac ,所以 a , b, c 成等比数列. (II)若 a ? 1, c ? 2 ,则 b2 ? ac ? 2 ,∴ cos B ?
sin C ? 1 ? cos 2 C ? 7 , 4 1 1 7 7 ac sin B ? ? 1 ? 2 ? ? . 2 2 4 4

a 2 ? c 2 ? b2 3 ? , 2ac 4

∴△ ABC 的面积 S ?

4.(2012 年高考(辽宁文))在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c.角 A,B,C 成等 差数列. (Ⅰ)求 cos B 的值; (Ⅱ)边 a,b,c 成等比数列,求 sin A sin C 的值. 【答案与解析】 (1)由已知 2 B =A+C ,A+B +C =? , ? B =

?
3

, cos B =

1 2
2

2 (2)解法一: b =ac ,由正弦定理得 sin A sin C = sin B =

3 4

1 a 2 +c 2 -b2 a 2 +c 2 -ac = 解法二: b =ac , = cos B = ,由此得 a 2 +c 2 -ac=ac, 得 a=c 2 2ac 2ac
2

所以 A=B =C =

?
3

, sin A sin C =

3 4

【点评】本题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及等差、等比 数列的定义,考查转化思想和运算求解能力,属于容易题.第二小题既可以利用正弦定理 把边的关系转化为角的关系,也可以利用余弦定理得到边之间的关系 ,再来求最后的结 果. 5 .( 2012 年高考(课标文))已知 a , b , c 分别为 ?ABC 三个内角 A , B , C 的对 边, c ? 3a sin C ? c sin A .(Ⅰ)求 A ;(Ⅱ)若 a =2, ?ABC 的面积为 3 ,求 b , c . 【命题意图】本题主要考查正余弦定理应用,是简单题. 【解析】(Ⅰ)由 c ? 3a sin C ? c sin A 及正弦定理得

3 sin A sin C ? sin A sin C ? sin C
由于 sin C ? 0 ,所以 sin( A ? 又 0 ? A ? ? ,故 A ?

?
6

)?

?
3

1 , 2

.

(Ⅱ) ?ABC 的面积 S =
2 2 2

1 bc sin A = 3 ,故 bc =4, 2
2 2

而 a ? b ? c ? 2bc cos A 故 c ? b =8,解得 b ? c =2.

法二:解: 已知: c ? 3a ? sin C ? c ? cos A ,由正弦定理得:

sin C ? 3 sin A ? sin C ? sin C ? cos A
因 sin C ? 0 ,所以: 1 ?

3 sin A ? cos A ,
a 2 ? b 2 sin ?x ? ? ? b ?? ? ? a ? 0 , tan? ? , ? ? ? 得: a 2? ?

由公式: a sin x ? b cos x ?

? ? ? ?? 1 ? ,所以: A ? sin? A ? ? ? ,? A 是 ? 的内角,所以 A ? ? 3 6 6 6? 2 ?
(2) S ?

1 bc sin A ? 3 ? bc ? 4 2

a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ? b ? c ? 4
解得: b ? c ? 2 6 . ( 2012 年 高 考 ( 江 西 文 ) ) △ABC 中 , 角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 a,b,c. 已 知 3cos(B-C)-1=6cosBcosC. (1)求 cosA; (2)若 a=3,△ABC 的面积为 2 2 ,求 b,c. 【解析】(1)

3(cos B cos C ? sin B sin C ) ? 1 ? 6 cos B cos C 3cos B cos C ? 3sin B sin C ? ?1 3cos( B ? C ) ? ?1 cos(? ? A) ? ?
则 cos A ?

1 3

1 . 3

(2) 由(1)得 sin A ?

2 2 ,由面积可得 bc=6①,则根据余弦定理 3

? b2 ? c 2 ? a 2 b2 ? c 2 ? 9 1 ?b ? 3 cos A ? ? ? 则 b2 ? c 2 ? 13 ②,①②两式联立可得 ? 或 2bc 12 3 ? ?a ? 2 ? ?a ? 3 . ? b ? 2 ? ?
?ABC 中,内角 A.B.C 成等差数列,其对边 a, b, c 满足 2b ? 3ac , 7. (2012 年高考 (大纲文) )
2

求A. 【命题意图】 : 本试题主要考查了解三角形的运用.该试题从整体看保持了往年的解题风格,

依然是通过边角的转换,结合了三角形的内角和定理的知识,以及正弦定理求解三角形 中的角的问题.试题整体上比较稳定,思路比较容易想,先利用等差数列得到角 B ,然后 利用正弦定理与三角求解运算得到答案. 【解析】 由 A.B.C 成等差数列可得 2 B ? A ? C ,而 A ? B ? C ? ? ,故 3B ? ? ? B ? 且C ? 而

?
3

2? ?A 3


2b2 ? 3ac















2sin 2 B ? 3sin A sin C ? 2 ? sin 2
所 以

?
3

? 3sin(

2? ? A) sin A 3
可 得

3 2? ? 4

?

A?

?

3

2 3

?

(A ?
,

2

? ?

2 3


s

A

3 1 ? cos 2 A ? 1 sin 2 A ? ? 1 ? sin(2 A ? ) ? 2 2 6 2
0? A? 2? ? ? 7? ? ? ? 2A ? ? ,故 3 6 6 6 ? ? ? ? ? 5? 2A ? ? 或 2A ? ? ,于是可得到 A ? 或 A ? . 6 2 6 6 6 6

8 . ( 2012 年 高 考 ( 安 徽 文 ) ) 设 ?ABC 的 内 角 A, B, C 所 对 的 边 为 a, b, c , 且 有

2 sin B c oA s ? s iA n cC o? s cA os C sin (Ⅰ)求角 A 的大小;[ (II) 若 b ? 2 , c ? 1 , D 为 BC 的中点,求 AD 的长.
【解析】(Ⅰ) A ? C ? ? ? B, A, B ? (0, ? ) ? sin( A ? C ) ? sin B ? 0

2sin B cos A ? sin A cos C ? cos A sin C ? sin( A ? C) ? sin B
? cos A ?
2

1 ? ? A? 2 3
2 2 2 2 2

(II) a ? b ? c ? 2bc cos A ? a ? 3 ? b ? a ? c ? B ?

?
2

在 Rt ?ABD 中, AD ?

AB2 ? BD2 ? 12 ? (

3 2 7 ) ? 2 2

9 . ( 2012 年 高 考( 浙江 理 ) ) 在 ? ABC 中 , 内 角 A,B,C 的 对 边 分 别为 a,b,c. 已 知
2 cosA= ,sinB= 5 cosC. 3

(Ⅰ)求 tanC 的值; (Ⅱ)若 a= 2 ,求 ? ABC 的面积. 【解析】本题主要考察三角恒等变换,正弦定理,余弦定理及三角形面积求法等知识点.

2 5 (Ⅰ) ∵cosA= >0,∴sinA= 1 ? cos2 A ? , 3 3 又 5 cosC=sinB=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA

=

2 5 cosC+ sinC. 3 3
5 . 6

整理得:tanC= 5 . (Ⅱ)由图辅助三角形知:sinC= 又由正弦定理知: 故 c ? 3 . (1) 对角 A 运用余弦定理:cosA= 解(1) (2)得: b ? 3 or ∴ ? ABC 的面积为:S= 【答案】(Ⅰ)
5 . 2 5 . 2
b2 ? c 2 ? a 2 2 ? . (2) 2bc 3
a c , ? sin A sin C

b=

3 (舍去). 3

5 ;(Ⅱ)

10.(2012 年高考(辽宁理))在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c.角 A,B,C 成 等差数列. (Ⅰ)求 cos B 的值; (Ⅱ)边 a,b,c 成等比数列,求 sin A sin C 的值. 【答案及解析】 (1)由已知 2 B =A+C ,A+B +C =? , ? B =

?
3

, cos B =

1 2
2

2 (2)解法一: b =ac ,由正弦定理得 sin A sin C = sin B =

3 4

解法二: b =ac , 所以 A=B =C =

2

1 a 2 +c 2 -b2 a 2 +c 2 -ac = cos B= = ,由此得 a 2 +c 2 -ac=ac, 得 a=c 2 2ac 2ac
, sin A sin C =

?
3

3 4

【点评】本题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及等差、等比 数列的定义,考查转化思想和运算求解能力,属于容易题.第二小题既可以利用正弦定理 把边的关系转化为角的关系,也可以利用余弦定理得到边之间的关系 ,再来求最后的结 果. 11 . ( 2012 年 高 考 ( 江 西 理 ) ) 在 △ABC 中 , 角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 a,b,c. 已 知, A ?

?

, b sin( ? C ) ? c sin( ? B) ? a .(1)求证: B ? C ? 4 4 4 2

?

?

?

(2)若 a= 2 ,求△ABC 的面积.

解:(1)证明:由 b sin(

?

sin B sin( ? C ) ? sin C sin( ? B) ? sin A , 4 4
即 sin B(

?

? C ) ? c sin( ? B) ? a 及正弦定理得: 4 4

?

?

2 2 2 2 2 sin C ? sin C ) ? sin C ( sin B ? sin B) ? 2 2 2 2 2
3? 4

整理得: sin B cos C ? cos B sin C ? 1 ,所以 sin( B ? C ) ? 1 ,又 0 ? B, C ? 所以 B ? C ?

?
2

3? 5? ? ? , C ? ,又 A ? , a ? 2 可得 B ? 4 8 8 4 a sin B 5? a sin C ? ? 2sin ,c ? ? 2sin , 所以 b ? sin A 8 sin A 8
(2) 由(1)及 B ? C ? 所 以 三 角 形 ABC 的 面 积

1 5? ? ? ? 2 ? 1 ? bc sin A ? 2 sin sin ? 2 sin cos ? sin ? 2 8 8 8 8 2 4 2
【点评】 本题考查解三角形,三角形的面积,三角恒等变换、 三角和差公式以及正弦定理 的应用.高考中,三角解答题一般有两种题型:一、 解三角形:主要是运用正余弦定理来求 解边长,角度,周长,面积等;二、 三角函数的图像与性质:主要是运用和角公式,倍角公式, 辅助角公式进行三角恒等变换,求解三角函数的最小正周期,单调区间,最值(值域)等. 来年需要注意第二种题型的考查. ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 12.(2012 年高考(江苏))在 ?ABC 中,已知 AB ? AC ? 3BA? BC . (1)求证: tan B ? 3tan A ;

5 ,求 A 的值. 5 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 【 答 案 】 解 :(1)∵ AB ? AC ? 3BA? BC ,∴ AB ?AC ?cos A=3BA?BC ?cos B , 即
(2)若 cos C ?
AC ?cos A=3BC ?cos B .

AC BC ,∴ sin B?cos A=3sin A?cos B . = sin B sin A sin B sin A 又∵ 0 < A ? B < ? ,∴ cos A > 0,cos B > 0 .∴ 即 tan B ? 3tan A . =3? cos B cos A
由正弦定理,得

? 5? 5 2 5 tan C ? 2 . , 0 <C < ? ,∴ sin C ? 1 ? ? (2)∵ cos C ? ? 5 ? ? = 5 .∴ 5 ? ?

2

tan A ? tan B ? ?2 . 1 ? tan A?tan B 4tan A 1 由 (1) ,得 ? ?2 ,解得 tan A=1, tan A= ? . 2 1 ? 3tan A 3
∴ tan ? ?? ? ? A ? B ?? ? ? 2 ,即 tan ? A ? B ? ? ?2 .∴

∵ cos A > 0 ,∴ tan A=1 .∴ A=

?
4

.

【考点】平面微量的数量积,三角函数的基本关系式,两角和的正切公式,解三角形. 【解析】 (1)先将 AB ? AC ? 3BA? BC 表示成数量积,再根据正弦定理和同角三角函数关 系式证明.

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

5 ,可求 tan C ,由三角形三角关系,得到 tan ? ?? ? ? A ? B?? ? ,从而根据两 5 角和的正切公式和(1)的结论即可求得 A 的值.
(2)由 cos C ? 13.(2012 年高考(大纲理))(注意 : 在试卷上作答无效 ) .. . ........

?ABC 的内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ,已知 cos( A ? C ) ? cos B ? 1, a ? 2c ,
求C . 【命题意图】本试题主要考查了解三角形的运用,给出两个公式,一个是边的关系,一个角的 关系,而求解的为角,因此要找到角的关系式为好. 【解析】由 A ? B ? C ? ? ? B ? ? ? ( A ? C ) , 由正弦定理及 a ? 2c 可得 sin A ? 2sin C 所以 cos( A ? C ) ? cos B ? cos( A ? C ) ? cos(? ? ( A ? C )) ? cos( A ? C ) ? cos( A ? C )

? cos A cos C ? sin A sin C ? cos A cos C ? sin A sin C ? 2sin A sin C
故由 cos( A ? C ) ? cos B ? 1 与 sin A ? 2sin C 可得 2sin A sin C ? 1 ? 4sin C ? 1
2

而 C 为三角形的内角且 a ? 2c ? c ,故 0 ? C ?

?
2

,所以 sin C ?

? 1 ,故 C ? . 6 2

【点评】 该试题从整体来看保持了往年的解题风格,依然是通过边角的转换,结合了三角 形的内角和定理的知识,以及正弦定理和余弦定理,求解三角形中的角的问题.试题整体 上比较稳定,思路也比较容易想,先将三角函数关系式化简后,得到 A, C 角关系,然后结 合 a ? 2c ,得到两角的二元一次方程组,自然很容易得到角 C 的值.

2011 年高考题
一、选择题
2 (a ? b) ? c2 ? 4 , 1. (重庆理 6) 若△ABC 的内角 A、 B、 C 所对的边 a、 b、 c 满足 且 C=60°,

则 ab 的值为

4 A. 3
【答案】A

B. 8 ? 4 3

C. 1

2 D. 3

0<?<
2. (浙江理 6 )若

?

? ? 1 ? ? 3 - <?<0 cos( ? ? ) ? cos( ? ) ? 2, 2 4 3, 4 2 3 ,则 ,

cos(? ?

?
2

)?

3 A. 3
【答案】C

?
B.

3 3

5 3 C. 9

?
D.

6 9

3.(天津理 6)如图,在△ ABC 中, D 是边 AC 上的点,且

AB ? CD, 2 AB ? 3BD, BC ? 2BD ,则 sin C 的值为
3 A. 3
6 C. 3
【答案】D 4.(四川理 6)在 ? ABC 中. sin A ? sin B ? sin C ? sin Bsin C .则 A 的取值范围是
2 2 2

3 B. 6
6 D. 6

?
A.(0, 6 ] 【答案】C 【解析】由题意正弦定理

?
B.[ 6 , ? )

?
C.(0, 3 ]

?
D.[ 3 , ? )

a 2 ? b2 ? c 2 ? bc ? b2 ? c 2 ? a 2 ? bc ?

b2 ? c 2 ? a 2 1 ? ? 1 ? cos A ? ? 0 ? A ? bc 2 3

5. (辽宁理 4) △ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, asinAsinB+bcos2A= 2a ,

b ? 则a
(A) 2 3 【答案】D 二、填空题 6.(上海理 6)在相距 2 千米的 A . B 两点处测量目标 C ,若 ?CAB ? 75 , ?CBA ? 60 ,
0 0

(B) 2 2

(C) 3

(D) 2

则 A . C 两点之间的距离是 【答案】 6

千米。

7.(全国新课标理 16)?ABC 中, B ? 60?, AC ? 3, ,则 AB+2BC 的最大值为_________.

【答案】 2 7 8.(福建理 14)如图,△ABC 中,AB=AC=2,BC= 2 3 ,点 D 在 BC 边上,∠ADC=45°, 则 AD 的长度等于______。 2

【答案】 9. ( 北 京 理 9 ) 在 ?ABC 中 。 若 b=5 , a=_______________。

?B ?

?
4 , tanA=2 , 则 sinA=____________ ;

2 5 【答案】 5

2 10

10.(安徽理 14)已知 ?ABC 的一个内角为 120o,并且三边长构成公差为 4 的 等差数列,则 ?ABC 的面积为_______________. 【答案】 15 3 三、解答题 11.(江苏 15)在△ABC 中,角 A、B、C 所对应的边为 a, b, c

sin( A ?
(1)若

?
6

) ? 2 cos A,
求 A 的值;

1 cos A ? , b ? 3c 3 (2)若 ,求 sin C 的值.
本题主要考查三角函数的基本关系式、两角和的正弦公式、解三角形,考查运算求解能力。 解:(1)由题设知

sin A cos

?
6

? cos A sin

?
6

? 2 cos A, 从而 sin A ? 3 cos A, 所以 cos A ? 0


tan A ? 3 ,因为0 ? a ? ? , 所以 A ?

?
3

.

1 cos A ? , b ? 3c及a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A, 得a 2 ? b 2 ? c 2 . 3 (2)由 B?
故△ABC 是直角三角形,且

?
2

, 所以 sin C ? cos A ?

1 3.

12.(安徽理 18) 在数 1 和 100 之间插入 n 个实数,使得这 n ? 2 个数构成递增的等比数列,将这 n ? 2 个数 的乘积记作

Tn ,再令 an ? lg Tn, n≥1 . {an } 的通项公式;

(Ⅰ)求数列 (Ⅱ)设

bn ? tan an ?tan an?1 , 求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn .

本题考查等比和等差数列,指数和对数的运算,两角差的正切公式等基本知识,考查灵活运 用知识解决问题的能力,综合运算能力和创新思维能力. 解:(I)设

l1 , l 2 ,?, l n?2 构成等比数列,其中 t1 ? 1, t n?2 ? 100, 则
① ②

Tn ? t1 ? t 2 ??? t n?1 ? t n?2 , Tn ? t n?1 ? t n?2 ??? t 2 ? t1 ,
①× ②并利用

t1t n?3?i ? t1t n?2 ? 102 (1 ? i ? n ? 2),得

Tn2 ? (t1t n?2 ) ? (t 2t n?1 ) ??? (t n?1t 2 ) ? (t n?2t1 ) ? 102( n?2) ,? an ? lg Tn ? n ? 2, n ? 1.
(II)由题意和(I)中计算结果,知

bn ? tan(n ? 2) ? tan(n ? 3), n ? 1.
tan(k ? 1) ? tan k , 1 ? tan(k ? 1) ? tan k

tan1 ? tan(( k ? 1) ? k ) ?
另一方面,利用

tan( k ? 1) ? tan k ?

n n?2 k ?3

tan( k ? 1) ? tan k ? 1. tan 1

所以

S n ? ? bk ?? tan(k ? 1) ? tan k
k ?1

tan(k ? 1) ? tan k ? 1) tan1 k ?3 tan(n ? 3) ? tan3 ? ? n. tan1 ? ?(
n?2

13.(湖北理 16)

1 a ? 1.b ? 2.cos C ? . 4 设 ?ABC 的内角 A、B、C、所对的边分别为 a、b、c,已知
(Ⅰ)求 ?ABC 的周长

(Ⅱ)求

cos ? A ? C ?

的值

本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识, 同时考查基本运算能力。 (满 分 10 分)

? c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C ? 1 ? 4 ? 4 ?
解:(Ⅰ)

1 ?4 4

? c ? 2. ? ?ABC 的周长为 a ? b ? c ? 1 ? 2 ? 2 ? 5.

1 1 15 ? cos C ? ,? sin C ? 1 ? cos 2 C ? 1 ? ( ) 2 ? . 4 4 4 (Ⅱ)
15 a sin C 15 ? sin A ? ? 4 ? c 2 8
? a ? c,? A ? C ,故 A 为锐角,

? cos A ? 1 ? sin 2 A ? 1 ? (

15 2 7 ) ? . 8 8
7 1 15 15 11 ? ? ? ? . 8 4 8 8 16

? cos( A ? C ) ? cos A cos C ? sin A sin C ?

14.(湖南理 17) 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 csinA=acosC. (Ⅰ)求角 C 的大小;

? (Ⅱ)求 3 sinA-cos(B+ 4 )的最大值,并求取得最大值时角 A、B 的大小。
解析:(I)由正弦定理得 sin C sin A ? sin A cos C. 因为 0 ? A ? ? , 所以

sin A ? 0.从而 sin C ? cos C.又 cos C ? 0, 所以 tan C ? 1, 则C ? B?
(II)由(I)知

?
4

3? ? A. 4 于是

3 sin A ? cos( B ? ) ? 3 sin A ? cos(? ? A) 4 ? 3 sin A ? cos A ? 2sin( A ? ). 6 3? ? ? 11? ? ? ? ?0 ? A ? ,? ? A ? ? , 从而当A ? ? , 即A ? 时, 4 6 6 12 6 2 3
2 sin( A ?

?

?

?

) 6 取最大值 2.

? ? 5? 3 sin A ? cos( B ? ) A? ,B ? . 4 的最大值为 2,此时 3 12 综上所述,
15.(全国大纲理 17) △ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.己知 A—C=90° ,a+c= 2 b,求 C. 解:由 a ? c ? 2b 及正弦定理可得

sin A ? s iC n?

2 sB i n . ????3 分

又由于 A ? C ? 90?, B ? 180? ? ( A ? C ), 故

cos C ? s iC n?

2 sA in ?(C

)

? 2 sin(9 ?0 ?C 2 )

? 2 c o sC 2 .

????7 分

2 2 cos C ? sin C ? cos 2C , 2 2
cos(4 ?? 5C ? ) cC os 2 .

因为 0? ? C ? 90? , 所以 2C ? 45? ? C,

C ? 15?
16.(山东理 17)

cos A-2 cos C 2c-a = cos B b . 在 ? ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 sin C (I)求 sin A 的值;

1 (II)若 cosB= 4 ,b=2, ?ABC 的面积 S。
解:

a b c ? ? ? k, (I)由正弦定理,设 sin A sin B sin C

2c ? a 2k sin C ? k sin A 2sin C ? sin A ? ? , k sin B sin B 则 b cos A ? 2 cos C 2sin C ? sin A ? . cos B sin B 所以
即 (cos A ? 2cos C )sin B ? (2sin C ? sin A) cos B , 化简可得 sin( A ? B) ? 2sin( B ? C ). 又 A? B ?C ?? , 所以 sin C ? 2sin A

sin C ? 2. 因此 sin A sin C ?2 (II)由 sin A 得 c ? 2 a.
由余弦定理

1 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B及 cos B ? , b ? 2, 4 1 得4=a 2 ? 4a 2 ? 4a 2 ? . 4
解得 a=1。 因此 c=2

1 cos B ? , 且G ? B ? ? . 4 又因为

sin B ?
所以

15 . 4

S?
因此

1 1 15 15 ac sin B ? ?1? 2 ? ? . 2 2 4 4

17.(陕西理 18) 叙述并证明余弦定理。 解 余弦定理: 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦 之积的两倍。或:在 ? ABC 中,a,b,c 为 A,B,C 的对边,有

a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A

b2 ? a 2 ? c2 ? 2ac cos B
c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C
证法一 如图

??? ? ??? ? a 2 ? BC ? BC
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? ( AC ? AB) ? ( AC ? AB) ??? ? 2 ??? ? ??? ? ??? ?2 ? AC ? 2 AC ? AB ? AB ???? 2 ???? ??? ? ??? ?2 ? AC ? 2 AC ? AB COSA ? AB
? b2 ? 2bc cos A ? c2
2 2 2 即 a ? b ? c ? 2bc cos A 2 2 2 同理可证 b ? a ? c ? 2ac cos B

c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C
证法二 已知 ? ABC 中 A,B,C 所对边分别为 a,b,c,以 A 为原点,AB 所在直线为 x 轴,建立 直角坐标系,则 C (b cos A, b sin A), B(c,0) ,

? a 2 ? BC 2 ? (b cos A ? c) 2 ? (b sin A) 2

? b2 cos2 A ? 2bc cos A ? c2 ? b2 sin 2 A b2 ? a 2 ? c2 ? 2ac cos B
同理可证

b2 ? c2 ? a 2 ? 2ca cos B, c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C.
18.(浙江理 18)在 ?ABC 中,角 A.B.C 所对的边分别为 a,b,c.

已知

sin A ? sin C ? p sin B ? p ? R? ,
p?

1 ac ? b 2 4 . 且

(Ⅰ)当

5 ,b ?1 4 时,求 a , c 的值;

(Ⅱ)若角 B 为锐角,求 p 的取值范围; 本题主要考查三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力。满分 14 分。

5 ? a?c ? , ? ? 4 ? ?ac ? 1 , ? 4 (I)解:由题设并利用正弦定理,得 ?

1 ?a ? 1, ? ? ?a ? , 4 ? 1 或? c ? , ? ? 4 ?c ? 1. 解得 ?
2 2 2 (II)解:由余弦定理, b ? a ? c ? 2ac cos B

? (a ? c) 2 ? 2ac ? 2ac cos B 1 1 ? p 2b 2 ? b 2 ? b 2 cos B, 2 2 3 1 即p 2 ? ? cos B, 2 2
3 0 ? cos B ? 1, 得p 2 ? ( , 2) 2 因为 ,

p ? 0, 所以
由题设知

6 ? p ? 2. 2

2010 年高考题
一、选择题 1. (2010 上海文) 18.若△ ABC 的三个内角满足 sin A : sin B : sin C ? 5 :11:13 , 则△ ABC (A)一定是锐角三角形. (C)一定是钝角三角形. 【答案】C 解析:由 sin A : sin B : sin C ? 5 :11:13 及正弦定理得 a:b:c=5:11:13 (B)一定是直角三角形. (D)可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形.

由余弦定理得 cosc ?

5 2 ? 112 ? 132 ? 0 ,所以角 C 为钝角 2 ? 5 ? 11

2.(2010 湖南文)7.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,若∠C=120°, c= 2 a,则 A.a>b C. a=b B.a<b D.a 与 b 的大小关系不能确定

【命题意图】本题考查余弦定理,特殊角的三角函数值,不等式的性质,比较法,属中档题。 3.(2010 江西理)7.E,F 是等腰直角△ABC 斜边 AB 上的三等分点,则 tan ?ECF ? ( )

16 A. 27
【答案】D

2 B. 3

C.

3 3

3 D. 4

【解析】考查三角函数的计算、解析化应用意识。 解法 1: 约定 AB=6,AC=BC= 3 2 ,由余弦定理 CE=CF= 10 ,再由余弦定理得 cos ?ECF ? 解得 tan ?ECF ?

4 , 5

3 4

解法 2: 坐标化。 约定 AB=6,AC=BC= 3 2 ,F(1,0),E(-1,0),C (0,3) 利用向量的夹角公式得

cos ?ECF ?

4 3 ,解得 tan ?ECF ? 。 5 4

4.(2010 北京文)(7)某班设计了一个八边形的班徽(如 图),它由腰长为 1,顶角为 ? 的四个等腰三角形,及其底 边构成的正方形所组成,该八边形的面积为

(A) 2sin ? ? 2 cos ? ? 2 ; (B) sin ? ? 3 cos ? ? 3 (C) 3sin ? ? 3 cos ? ? 1 ; (D) 2sin ? ? cos ? ? 1 【答案】A 5.(2010 天津理)(7)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a ? b ? 3bc ,
2 2

sin C ? 2 3 sin B ,则 A=
(A) 30
0

(B) 60

0

(C) 120

0

(D) 150

0

【答案】A 【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用,属于中等题。 由由正弦定理得

c 2 3b ? ? c ? 2 3b , 2R 2R b2 +c2 -a 2 ? 3bc ? c 2 ? 3bc ? 2 3bc 3 0 所以 cosA= = ,所以 A=30 ? ? 2bc 2bc 2bc 2
【温馨提示】解三角形的基本思路是利用正弦、余弦定理将边化为角运算或将角化为边 运算。

c? 6. (2010 湖南理) 6、 在△ABC 中, 角 A, B, C 所对的边长分别为 a,b,c, 若∠C=120°,
则 A、a>b B、a<b C、a=b D、a 与 b 的大小关系不能确定

2a ,

7.(2010 湖北理)3.在 ?ABC 中,a=15,b=10,A=60°,则 cos B =

A -

2 2 3

B

2 2 6 C - D 3 3

6 3

【答案】D 【解析】根据正弦定理
3 a b 15 10 可得 解得 sin B ? ,又因为 b ? a ,则 ? ? ? 3 sin A sin B sin 60 sinB 6 ,故 D 正确. B ? A ,故 B 为锐角,所以 cos B ? 1 ? sin 2 B ? 3

二、填空题 1.(2010 重庆文)(15)如题(15)图,图中的实线是由三段圆弧连 接而成的一条封闭曲线 C , 各段弧所在的圆经过同一点 P (点 P 不在

C 上)且半径相等 . 设第 i 段弧所对的圆心角为 ?i (i ? 1, 2,3) ,则

cos

?1
3

cos

? 2 ? ?3

解析: cos

?1
3

3 cos

? sin 3

?1
3

sin

? 2 ? ?3

? 2 ? ?3

? sin

?1
3

3 sin

? ____________ . 3 ? cos

? 2 ? ?3

?1 ? ? 2 ? ? 3
3

又 ?1 ? ? 2 ? ?3 ? 2? ,所以 cos

?1 ? ? 2 ? ? 3
3

1 ?? 2

2.(2010 山东文)(15) 在 ? ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a ? 2 ,
b ? 2 , sin B ? cos B ? 2 ,则角 A 的大小为

.

答案: 3.(2010 北京文)(10)在 ?ABC 中。若 b ? 1 , c ? 3 , ?c ? 答案:1

2? ,则 a= 3



4.(2010 北京理)(10)在△ABC 中,若 b = 1,c = 3 , ?C ? 答案 1

2? ,则 a = 3



5.(2010 广东理)11.已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边,若 a=1,b= 3 , A+C=2B,则 sinC= 答案 1. 解析:由 A+C=2B 及 A+ B+ C=180°知,B =60°.由正弦定理知, .

1 3 ? ,即 sin A sin 60?

sin A ?

1 ? ? .由 a ? b 知, A ? B ? 60 ,则 A ? 30 , 2

C ? 180? ? A ? B ? 180? ? 30? ? 60? ? 90? , sin C ? sin 90? ? 1
6.(2010 江苏卷)13、在锐角三角形 ABC,A、B、C 的对边分别为 a、b、c, ? 则

b a

a ? 6 cos C , b

tan C tan C ? =_________。 tan A tan B

[解析] 考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用,等价转化思想。一题多解。 (方法一)考虑已知条件和所求结论对于角 A、B 和边 a、b 具有轮换性。 当 A=B 或 a=b 时满足题意,此时有: cos C ?

1 1 ? cos C 1 C 2 2 C ? ? , tan ? , tan , 3 2 1 ? cos C 2 2 2

tan A ? tan B ?

1 tan C 2

? 2,

tan C tan C ? = 4。 tan A tan B

(方法二) ?

b a

a a 2 ? b2 ? c 2 3c 2 ? 6 cos C ? 6ab cos C ? a 2 ? b 2 , 6ab ? ? a 2 ? b2 , a 2 ? b2 ? b 2ab 2

tan C tan C sin C cos B sin A ? sin B cos A sin C sin( A ? B) 1 sin 2 C ? ? ? ? ? ? ? tan A tan B cos C sin A sin B cos C sin A sin B cos C sin A sin B
三、解答题 1.(2010 陕西文)17.(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,已知 B=45°,D 是 BC 边上的一点, AD=10,AC=14,DC=6,求 AB 的长. 解 在△ADC 中,AD=10,AC=14,DC=6, 由余弦定理得 cos ?

1 AD 2 ? DC 2 ? AC 2 100 ? 36 ? 196 ?? , = 2 ?10 ? 6 2 2 AD?DC

? ? ADC=120°, ? ADB=60°
在△ABD 中,AD=10, ? B=45°, ? ADB=60°, 由正弦定理得

AB AD ? , sin ?ADB sin B

AD? sin ?ADB 10sin 60? ? ? ? AB= sin B sin 45?

10 ? 2 2

3 2 ?5 6 .

2.(2010 辽宁文)(17)(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, a、b、c 分别为内角 A、B、C 的对边, 且 2a sin A ? (2b ? c)sin B ? (2c ? b)sin C (Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)若 sin B ? sin C ? 1 ,试判断 ?ABC 的形状. 解:(Ⅰ)由已知,根据正弦定理得 2a 2 ? (2b ? c)b ? (2c ? b)c 即 a ? b ? c ? bc
2 2 2

由余弦定理得 a ? b ? c ? 2bc cos A
2 2 2

故 cos A ? ?

1 , A ? 120 ? 2
2 2 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 sin A ? sin B ? sin C ? sin B sin C. 又 sin B ? sin C ? 1 ,得 sin B ? sin C ? 因为 0? ? B ? 90?,0? ? C ? 90? , 故B?C 所以 ?ABC 是等腰的钝角三角形。 3.(2010 辽宁理)(17)(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边,且

1 2

2asin A ? (2a ? c)sin B ? (2c ? b)sin C.
(Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)求 sin B ? sin C 的最大值. 解: (Ⅰ)由已知,根据正弦定理得 2a ? (2b ? c)b ? (2c ? b)c
2



a2 ? b2 ? c2 ? bc
由余弦定理得

a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A
??6 分



1 cos A ? ? ,A=120° 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)得:

sin B ? sin C ? sin B ? sin(60? ? B)

3 1 cos B ? sin B 2 2 ? sin(60? ? B) ?
故当 B=30°时,sinB+sinC 取得最大值 1。 4.(2010 安徽文)16、(本小题满分 12 分) ??12 分

?ABC 的面积是 30,内角 A, B, C 所对边长分别为 a, b, c , cos A ?
(Ⅰ)求 AB?AC ; (Ⅱ)若 c ? b ? 1 ,求 a 的值。

12 。 13

??? ? ??? ?

【命题意图】本题考查同角三角函数的基本关系,三角形面积公式,向量的数量积,利用余 弦定理解三角形以及运算求解能力. 【解题指导】(1)根据同角三角函数关系,由 cos A ?

12 得 sin A 的值,再根据 ?ABC 面 13
2 2 2

积公式得 bc ? 156 ;直接求数量积 AB?AC .由余弦定理 a ? b ? c ? 2bc cos A ,代入已 知条件 c ? b ? 1 ,及 bc ? 156 求 a 的值. 解:由 cos A ?

??? ? ??? ?

12 12 2 5 ,得 sin A ? 1 ? ( ) ? . 13 13 13

1 bc sin A ? 30 ,∴ bc ? 156 . 2 ??? ? ???? 12 ? 144 . (Ⅰ) AB ? AC ? bc cos A ? 156 ? 13

2 2 2 (Ⅱ) a ? b ? c ? 2bc cos A ? (c ? b) ? 2bc(1 ? cos A) ? 1 ? 2 ?156 ? (1 ?
2

12 ) ? 25 , 13

∴a ? 5. 【规律总结】根据本题所给的条件及所要求的结论可知,需求 bc 的值,考虑已知 ?ABC 的 面积是 30,cos A ?

12 ,所以先求 sin A 的值,然后根据三角形面积公式得 bc 的值.第二问 13

中求 a 的值,根据第一问中的结论可知,直接利用余弦定理即可. (2010 重庆文数)(18).(本小题满分 13 分), (Ⅰ)小问 5 分,(Ⅱ)小问 8 分.) 设 ?ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c,且 3 b +3 c -3 a =4 2 bc .
2 2 2

(Ⅰ) 求 sinA 的值;

2sin( A ? )sin( B ? C ? ) 4 4 的值. (Ⅱ)求 1 ? cos 2 A

?

?

5.(2010 天津理)(17)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 3sin x cos x ? 2cos2 x ?1( x ? R) (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期及在区间 ? 0,

? ?? 上的最大值和最小值; ? 2? ?

(Ⅱ)若 f ( x0 ) ?

6 ?? ? ? , x0 ? ? , ? ,求 cos 2 x0 的值。 5 ?4 2?

【解析】本小题主要考查二倍角的正弦与余弦、两角和的正弦、函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的 性质、同角三角函数的基本关系、两角差的余弦等基础知识,考查基本运算能力,满分 12 分。 (1)解:由 f ( x) ? 2 3sin x cos x ? 2cos2 x ?1 ,得

f ( x) ? 3(2sin x cos x) ? (2 cos 2 x ? 1) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) 6
所以函数 f ( x ) 的最小正周期为 ? 因为 f ( x) ? 2sin ? 2 x ?

?

? ?

??

? ?? ?? ? ? ? 在区间 ?0, ? 上为增函数,在区间 ? , ? 上为减函数,又 6? ? 6? ?6 2?

?? ? f (0) ? 1, f ? ? ? 2, ?6?
为-1

?? ? ? ?? f ? ? ? ?1 ,所以函数 f ( x) 在区间 ?0, ? 上的最大值为 2,最小值 ?2? ? 2?

(Ⅱ)解:由(1)可知 f ( x0 ) ? 2sin ? 2 x0 ?

? ?

??
? 6?

又因为 f ( x0 ) ?

6 ?? 3 ? ,所以 sin ? 2 x0 ? ? ? 5 6? 5 ?

由 x0 ? ?

? ? 2? 7? ? ?? ? ? , ? ,得 2 x0 ? ? ? , ? 6 ? 3 6 ? ?4 2?
? ?

从而 cos ? 2 x0 ? 所以

??

?? 4 2? ? ? ? 1 ? sin ? 2 x0 ? ? ? ? 6? 6? 5 ?

?? ?? ?? ?? ? ? ? ? 3? 4 3 ? ? cos 2 x0 ? cos ?? 2 x0 ? ? ? ? ? cos ? 2 x0 ? ? cos ? sin ? 2 x0 ? ? sin ? 6 ? 6? 6? 6 6? 6 10 ? ? ??
6.(2010 全国卷 1 理)(17)(本小题满分 10 分) 已知 VABC 的内角 A , B 及其对边 a ,b 满足 a ? b ? a cot A ? b cot B ,求内角 C .

7.(2010 福建理)19.(本小题满分 13 分)

某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上。 在小艇出发时 ,
轮船位于港口 O 北偏西 30 且与该港口相距 20 海里的 A 处,并以 30 海里/小时的航行速度 沿正东方向匀速行驶。假设该小船沿直线方向以 v 海里/小时的航行速度匀速行驶,经过 t 小时与轮船相遇。 (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少? (2)假设小艇的最高航行速度只能达到 30 海里/小时,试设计航行方案(即确定航行方向 与航行速度的大小),使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由。 【解析】如图,由(1)得
?

而小艇的最 OC ? 10 3,AC=10,故OC>AC,且对于线段AC上任意点P,有OP ? OC>AC, 高航行速度只能达到 30 海里/小时, 故轮船与小艇不可能在 A、 C (包含 C) 的任意位置相遇, 设 ?COD=? (0? <? <90? ),则在Rt?COD中,CD ? 10 3 tan ? ,OD=

10 3 , cos ?

由于从出发到相遇,轮船与小艇所需要的时间分别为 t ?

10 ? 10 3 tan ? 10 3 和t ? , 30 v cos ?

所以

10 ? 10 3 tan ? 10 3 15 3 3 ,解得 v ? , ? ,又v ? 30,故 sin (? +30? ) ? ? 30 v cos ? sin (? +30 ) 2 3 ,于是 3

从而 30? ? ? <90? ,由于? ? 30?时, tan ? 取得最小 值,且最小值为

当 ? ? 30 时, t?
?

2 10 ? 10 3 tan ? 取得最小值,且最小值为 。 3 30

此时,在 ?OAB 中, OA ? OB ? AB ? 20 ,故可设计航行方案如下: 航行方向为北偏东 30 ,航行速度为 30 海里/小时,小艇能以最短时间与轮船相遇。 (2010 安徽理数)16、(本小题满分 12 分) 设 ?ABC 是锐角三角形, a, b, c 分别是内角 A, B, C 所对边长,并且
?

sin 2 A ? sin( ? B) sin( ? B) ? sin 2 B 。 3 3
(Ⅰ)求角 A 的值; (Ⅱ)若 AB?AC ? 12, a ? 2 7 ,求 b, c (其中 b ? c )。

?

?

??? ? ??? ?

8.(2010 江苏卷)17、(本小题满分 14 分) 某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H(单位: m) , 如示意图, 垂直放置的标杆 BC 的高度 h=4m, 仰角∠ABE= ? ,∠ADE= ? 。 (1)该小组已经测得一组 ? 、 ? 的值,tan ? =1.24,tan ? =1.20,请据此算出 H 的值; (2)该小组分析若干测得的数据后, 认为适当调整标杆到电视塔的距离 d (单位:m),使 ? 与 ? 之差较大,可以提高测量精确度。若电视塔的 实际高度为 125m,试问 d 为多少时, ? - ? 最大? [解析] 本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。 (1)

H H H h ? tan ? ? AD ? , 同理:AB ? ,BD ? 。 tan ? AD tan ? tan ?

AD—AB=DB,故得

H H h h tan ? 4 ?1.24 ? ? ? ? 124 。 ,解得: H ? tan ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? 1.24 ? 1.20

因此,算出的电视塔的高度 H 是 124m。 (2)由题设知 d ? AB ,得 tan ? ?

H H h H ?h , tan ? ? ? ? , d AD DB d

H H ?h ? tan ? ? tan ? hd h d tan(? ? ? ) ? ? d ? 2 ? 1 ? tan ? ? tan ? 1 ? H ? H ? h d ? H ( H ? h) d ? H ( H ? h) d d d H ( H ? h) d? ? 2 H ( H ? h) ,(当且仅当 d ? H (H ? h) ? 125?121 ? 55 5 时,取等 d
号) 故当 d ? 55 5 时, tan(? ? ? ) 最大。 因为 0 ? ? ? ? ?

?
2

,则 0 ? ? ? ? ?

?
2

,所以当 d ? 55 5 时, ? - ? 最大。

故所求的 d 是 55 5 m。 9.(2010 江苏卷)23.(本小题满分 10 分) 已知△ABC 的三边长都是有理数。 (1)求证 cosA 是有理数;(2)求证:对任意正整数 n,cosnA 是有理数。 [解析] 本题主要考查余弦定理、 数学归纳法等基础知识, 考查推理论证的能力与分析问题、 解决问题的能力。满分 10 分。 (方法一)(1)证明:设三边长分别为 a , b, c , cos A ?

b2 ? c2 ? a 2 ,∵ a , b, c 是有理数, 2bc

b 2 ? c 2 ? a 2 是有理数, 分母 2bc 为正有理数, 又有理数集对于除法的具有封闭性,


b2 ? c2 ? a 2 必为有理数,∴cosA 是有理数。 2bc

(2)①当 n ? 1 时,显然 cosA 是有理数; 当 n ? 2 时,∵ cos 2 A ? 2cos 2 A ? 1 ,因为 cosA 是有理数, ∴ cos 2 A 也是有理数; ②假设当 n ? k (k ? 2) 时,结论成立,即 coskA、 cos(k ? 1) A 均是有理数。 当 n ? k ? 1 时, cos(k ? 1) A ? cos kA cos A ? sin kA sin A ,

1 cos(k ? 1) A ? cos kAcos A ? [cos(kA ? A) ? cos(kA ? A)] , 2 1 1 cos(k ? 1) A ? cos kAcos A ? cos(k ?1) A ? cos(k ? 1) A , 2 2
解得: cos(k ? 1) A ? 2cos kA cos A ? cos(k ? 1) A ∵cosA, cos kA , cos(k ? 1) A 均是有理数,∴ 2cos kA cos A ? cos(k ? 1) A 是有理数, ∴ cos(k ? 1) A 是有理数。 即当 n ? k ? 1 时,结论成立。 综上所述,对于任意正整数 n,cosnA 是有理数。

(方法二)证明:(1)由 AB、BC、AC 为有理数及余弦定理知

cos A ?

AB 2 ? AC 2 ? BC 2 是有理数。 2 AB ? AC

(2)用数学归纳法证明 cosnA 和 sin A ? sin nA 都是有理数。 ①当 n ? 1 时,由(1)知 cos A 是有理数,从而有 sin A ? sin A ? 1 ? cos A 也是有理数。
2

②假设当 n ? k (k ? 1) 时, cos kA 和 sin A ? sin kA 都是有理数。 当 n ? k ? 1 时,由 cos(k ? 1) A ? cos A ? cos kA ? sin A ? sin kA ,

sin A ? sin(k ? 1) A ? sin A ? (sin A ? cos kA ? cos A ? sin kA) ? (sin A ? sin A) ? cos kA ? (sin A ? sin kA) ? cos A ,
及①和归纳假设,知 cos(k ? 1) A 和 sin A ? sin(k ? 1) A 都是有理数。 即当 n ? k ? 1 时,结论成立。 综合①、②可知,对任意正整数 n,cosnA 是有理数。

2009 年高考题
?A, ?B, ?C 的对边分别为 a, b, c 若 a ? c ? 6 ? 2 1.(2009 年广东卷文)已知 ?ABC 中,
o 且 ?A ? 75 ,则 b ?

( C.4— 2 3 D. 6 ? 2

)

A.2 答案 A 解析

B.4+ 2 3

sin A ? sin 750 ? sin(300 ? 450 ) ? sin 300 cos 450 ? sin 450 cos300 ?
0 0

2? 6 4

由 a ? c ? 6 ? 2 可知, ?C ? 75 ,所以 ?B ? 30 , sin B ? 由正弦定理得 b ?

1 2

a ? sin B ? sin A

2? 6 1 ? ? 2 ,故选 A 2? 6 2 4
12 ,则 cos A ? 5 5 12 C. ? D. ? 13 13
( )

2.(2009 全国卷Ⅱ文)已知△ABC 中, cot A ? ? A.

12 13

B.

5 13

答案 D

12 知 A 为钝角,cosA<0 排 5 cos A 12 12 ? ? , 和 sin 2 A ? cos 2 A ? 1求得 cos A ? ? . 除 A 和 B,再由 cot A ? sin A 5 13 12 3.(2009 全国卷Ⅱ理)已知 ?ABC 中, cot A ? ? , 则 cos A ? ( ) 5 12 5 5 12 A. B. C. ? D. ? 13 13 13 13
解析 本题考查同角三角函数关系应用能力,先由 cotA= ? 答案 解析 D 已知 ?ABC 中, cot A ? ?

? 12 ,? A ? ( , ? ) . 2 5
?? 12 13
故选 D.

cos A ? ?

1 1 ? tan A
2

??

1 5 1 ? (? ) 2 12

4.(2009 湖南卷文)在锐角 ?ABC 中, BC ? 1, B ? 2 A, 则

AC 的值等于 cos A



AC 的取值范围为
答案 解析 2 ( 2 , 3)

.

设 ?A ? ? , ? B ? 2? . 由正弦定理得

AC BC AC AC ? ,? ?1? ? 2. sin 2? sin ? 2 cos ? cos ?
由锐角 ?ABC 得 0 ? 2? ? 90 ? 0 ? ? ? 45 ,
? ? ? ?

? ? 又 0 ? 180 ? 3? ? 90 ? 30 ? ? ? 60 ,故 30 ? ? ? 45 ?
? ? ? ? ?

2 3 ? cos ? ? , 2 2

? AC ? 2cos? ? ( 2, 3).
b、 5. (2009 全国卷Ⅰ理) 在 ?ABC 中, 内角 A、 B、 C 的对边长分别为 a 、 已知 a ? c ? 2b , c,
2 2

且 sin A cos C ? 3cos A sin C, 求 b 分析:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1) a ? c ? 2b 左侧
2 2

是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2)

sin A cos C ? 3cos A sin C, 过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现
在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分. 解法一:在 ?ABC 中? sin A cos C ? 3cos A sin C, 则由正弦定理及余弦定理

有: a?

a 2 ? b2 ? c 2 b2 ? c2 ? a 2 ?3 ?c, 化简并整理得: 2(a 2 ? c 2 ) ? b2 .又由已知 2ab 2bc

a 2 ? c 2 ? 2b ? 4b ? b2 .解得 b ? 4或b ? 0(舍) .
解法二:由余弦定理得: a ? c ? b ? 2bc cos A .又 a ? c ? 2b , b ? 0 .
2 2 2 2 2

所以 b ? 2c cos A ? 2



又 sin A cos C ? 3cos A sin C ,? sin A cos C ? cos A sin C ? 4 cos A sin C

sin( A ? C ) ? 4cos A sin C ,即 sin B ? 4 cos A sin C
由正弦定理得 sin B ? 由①,②解得 b ? 4 . 评析:从 08 年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总 结、提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.另外提醒:两纲中明 确不再考的知识和方法了解就行,不必强化训练。 6.(2009 浙江理)(本题满分 14 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且 满足 cos

b sin C ,故 b ? 4c cos A c



? ??? ? A 2 5 ??? , AB ? AC ? 3 . ? 2 5
(II)若 b ? c ? 6 ,求 a 的值.

(I)求 ?ABC 的面积; 解 (1) 因为 cos

??? ? ??? ? A 3 4 A 2 5 ? cos A ? 2 cos 2 ? 1 ? ,sin A ? , ? , 又由 AB ? AC ? 3 2 5 5 2 5
1 bc sin A ? 2 2

得 bc cos A ? 3, ? bc ? 5 ,? S?ABC ?

(2)对于 bc ? 5 ,又 b ? c ? 6 ,? b ? 5, c ? 1 或 b ? 1, c ? 5 ,由余弦定理得

a 2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? 20 ,? a ? 2 5
7.(2009 浙江文)(本题满分 14 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且 满足 cos

? ??? ? A 2 5 ??? ? , AB ? AC ? 3 . 2 5
(II)若 c ? 1 ,求 a 的值.

(I)求 ?ABC 的面积; 解(Ⅰ) cos A ? 2 cos
2

A 2 5 2 3 ?1 ? 2 ? ( ) ?1 ? 2 5 5
2

又 A ? (0, ? ) , sin A ? 1 ? cos A ?

4 3 ,而 AB . AC ? AB . AC . cos A ? bc ? 3 ,所 5 5

以 bc ? 5 ,所以 ?ABC 的面积为:

1 1 4 bc sin A ? ? 5 ? ? 2 2 2 5

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 bc ? 5 ,而 c ? 1 ,所以 b ? 5 所以 a ? b 2 ? c 2 ? 2bccos A ?

25 ? 1 ? 2 ? 3 ? 2 5

8.(2009 北京理) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, B ?

?
3



4 cos A ? , b ? 3 。 5
(Ⅰ)求 sin C 的值; (Ⅱ)求 ?ABC 的面积. 【解析】 本题主要考查三角形中的三角函数变换及求值、诱导公式、三角形的面积公式 等基础知识,主要考查基本运算能力. 解(Ⅰ)∵A、B、C 为△ABC 的内角,且 B ? ∴C ?

?
3

, cos A ?

2? 3 ? A,sin A ? , 3 5

4 , 5

∴ sin C ? sin ?

3 1 3? 4 3 ? 2? ? . ? A? ? cos A ? sin A ? 2 10 ? 3 ? 2
3 3? 4 3 , ,sin C ? 5 10

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 sin A ? 又∵ B ?

, b ? 3 ,∴在△ABC 中,由正弦定理,得 3 b sin A 6 ? . ∴a ? sin B 5
∴△ABC 的面积 S ?

?

1 1 6 3 ? 4 3 36 ? 9 3 . ab sin C ? ? ? 3 ? ? 2 2 5 10 50

9.(2009 山东卷理)(本小题满分 12 分)设函数 f(x)=cos(2x+ (1) 求函数 f(x)的最大值和最小正周期. (2) 设 A,B,C 为 ? ABC 的三个内角,若 cosB= 解 (1) f(x)=cos(2x+

? 2 )+sin x. 3

1 c 1 , f ( ) ? ? ,且 C 为锐角,求 sinA. 3 2 4

? ? ? 1 ? cos 2 x 1 3 2 ? ? sin 2 x )+sin x.= cos 2 x cos ? sin 2 x sin ? 3 3 3 2 2 2

所以函数 f(x)的最大值为

1? 3 ,最小正周期 ? . 2
所以 sin C ?

(2) f ( ) =

c 2

1 1 3 ? sin C =- , 4 2 2

3 , 2

因为 C 为锐角,

所以

C?

?
3

, cosB=

又因为在 ? ABC 中,

1 , 3

所以

sin B ?

2 3, 3

所以

sin A ? sin( B ? C ) ? sin B cos C ? cos B sin C ?
10.(2009 山东卷文)(本小题满分 12 分)设函数 f(x)=2 sin x cos
2

2 1 1 3 2 2? 3 . 2? ? ? ? 3 2 3 2 6

?
2

? cos x sin ? ? sin x(0 ? ? ? ? ) 在 x ? ? 处取最小值.

(1)求 ? .的值; (2)在 ? ABC 中, a, b, c 分别是角 A,B,C 的对边,已知 a ? 1, b ? 求角 C. 解 (1) f ( x) ? 2sin x ?

2, f ( A) ?

3 , 2

1 ? cos ? ? cos x sin ? ? sin x 2

? sin x ? sin x cos ? ? cos x sin ? ? sin x ? sin x cos ? ? cos x sin ? ? sin( x ? ? )
因为函数 f(x)在 x ? ? 处取最小值, 所以 sin(? ? ? ) ? ?1 ,由诱导公式知 sin ? ? 1 ,因为

0 ? ? ? ? ,所以 ? ?
(2)因为 f ( A) ? 为 a ? 1, b ?

?
2

.所以 f ( x) ? sin( x ?

?
2

) ? cos x

? 3 3 ,所以 cos A ? ,因为角 A 为 ? ABC 的内角,所以 A ? .又因 6 2 2
a b ? ,也就是 sin A sin B

2, 所以由正弦定理,得

sin B ?

b sin A 1 2 ? 2? ? , a 2 2

3? . 4 4 ? 3? ? ? 7? ? 3? ? ? . 当 B ? 时, C ? ? ? ? ? ;当 B ? 时, C ? ? ? ? 4 4 6 4 12 6 4 12
因为 b ? a ,所以 B ?

?

或B ?

【命题立意】:本题主要考查了三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式和三角

函数的性质,并利用正弦定理解得三角形中的边角.注意本题中的两种情况都符合.

10.(2009 全国卷Ⅱ文)(本小题满分 12 分)设△ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、 b、c, cos( A ? C ) ? cos B ?

3 2 , b ? ac ,求 B. 2

解析:本题考查三角函数化简及解三角形的能力,关键是注意角的范围对角的三角函数 值的制约,并利用正弦定理得到 sinB= cos(A ? C)+cosB=

3 ? (负值舍掉),从而求出 B= 。 2 3

解:由

3 3 及 B=π ? (A+C)得 cos(A ? C) ? cos(A+C)= , 2 2 3 cosAcosC+sinAsinC ? (cosAcosC ? sinAsinC)= , 2 3 sinAsinC= . 4
2

又由 b =ac 及正弦定理得

sin 2 B ? sin A sin C,
故 sin B ?
2

3 , 4


sin B ?
于是 B= 又由

3 2

sin B ? ?

3 (舍去), 2

2 π π 或 B= . 3 3

b 2 ? ac 知 b ? a 或 b ? c

所以

B=

π 。 3
1 . 3

11.(2009 安徽卷理)在 ? ABC 中, sin(C ? A) ? 1 , sinB= (I)求 sinA 的值; (II)设 AC= 6 ,求 ? ABC 的面积. 解:(Ⅰ)由 C ? A ?

? ? B ,且 C ? A ? ? ? B ,∴ A ? ? ,∴ 2 4 2

? B 2 B B sin A ? sin( ? ) ? (cos ?sin ) , 4 2 2 2 2

2 ∴ sin A ?

1 1 3 (1 ? sin B) ? ,又 sin A ? 0 ,∴ sin A ? 2 3 3

C

(Ⅱ)如图,由正弦定理得

AC BC ? sin B sin A

A

B

AC sin A ∴ BC ? ? sin B

6? 1 3

3 3 ? 3 2 ,又

sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B

?

3 2 2 6 1 6 ? ? ? ? 3 3 3 3 3 1 1 6 AC ? BC ? sin C ? ? 6 ? 3 2 ? ?3 2 2 2 3

∴ S?ABC ?

12.(2009 安徽卷文)(本小题满分 12 分) 在 (I)求 sinA 的值;(II)设 AC= ,求

ABC 中,C-A= ABC 的面积。

, sinB=



【思路】 (1) 依据三角函数恒等变形可得关于 sin A 的式子, 这之中要运用到倍角公式; (2)应用正弦定理可得出边长,进而用面积公式可求出 S ? . 解(1)∵ c ? A ? ∴ sin A ? sin(

?
2

且c ? A ? ? ? B ∴ A ?

?
4

?

B 2

?
4

?

B 2 B B )? (cos ? sin ) 2 2 2 2

1 B B 1 1 ∴ sin2 A ? (cos ? sin )2 ? (1 ? sin B) ? 2 2 2 2 3

又 sin A ? 0 ∴ cos A ?

3 3

AC ? sin A AC BC ? (2)如图,由正弦定理得 BC ? ∴ BC ? ? sin B sin B sin A

6? 1 3

3 3 ?3 2

又sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A ? sin B ? 3 2 2 1 6 ? ?? ? 3 3 3 3
1 1 6 AC ? BC ? sin C ? ? 6 ? 3 2 ? ?3 2. 2 2 3

∴ S ? ABC ?

13.(2009 江西卷文)在△ ABC 中, A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , A ?

?
6



(1 ? 3)c ? 2b .
(1)求 C ; (2)若 CB ? CA ? 1 ? 3 ,求 a , b , c . 解:(1)由 (1 ? 3)c ? 2b

??? ? ??? ?



b 1 3 sin B ? ? ? c 2 2 sin C

sin(? ?
则有

?

6 sin C

? C)

?
4

sin

得 cot C ? 1 即 C ?

?

5? 5? cos C ? cos sin C 1 3 1 3 6 6 = cot C ? ? ? 2 2 2 2 sin C

. 推出 ab cos C ? 1 ? 3 ;而 C ?

(2) 由 CB ? CA ? 1 ? 3

??? ? ??? ?

?
4

,

即得

2 ab ? 1 ? 3 , 2
?a ? 2 ? ? 解得 ?b ? 1 ? 3 ?c ? 2 ? ?

? 2 ab ? 1 ? 3 ? ? 2 ? 则有 ?(1 ? 3)c ? 2b ? a c ? ? ? ? sin A sin C

14.(2009 江西卷理)△ ABC 中, A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,

tan C ?

sin A ? sin B , sin( B ? A) ? cos C . cos A ? cos B

(1)求 A, C ; (2)若 S?ABC ? 3 ? 3 ,求 a , c . 解:(1) 因为 tan C ?

sin A ? sin B sin C sin A ? sin B ? ,即 , cos A ? cos B cos C cos A ? cos B

所以 sin C cos A ? sin C cos B ? cos C sin A ? cos C sin B , 即 sin C cos A ? cos C sin A ? cos C sin B ? sin C cos B , 得 sin(C ? A) ? sin( B ? C ) . 立). 所以 C ? A ? B ? C ,或 C ? A ? ? ? ( B ? C ) (不成

即 2C ? A ? B , 得 C ?

?
3

,所以. B ? A ?

又因为 sin( B ? A) ? cos C ? 得A?

?
4

,B ?

5? 12

1 ? 5? ,则 B ? A ? ,或 B ? A ? (舍去) 2 6 6

2? 3

(2) S?ABC ?

1 6? 2 ac sin B ? ac ? 3 ? 3 , 2 8
a c ? , 2 3 2 2



a c ? , 即 sin A sin C

得 a ? 2 2, c ? 2 3. 15.(2009 天津卷文)在 ?ABC 中, BC ? 5, AC ? 3, sin C ? 2 sin A (Ⅰ)求 AB 的值。 (Ⅱ)求 sin( 2 A ?

?
4

) 的值。 AB BC ? ,于是 sin C sin A

(1)解:在 ?ABC 中,根据正弦定理,

AB ? sin C

BC ? 2 BC ? 2 5 sin A

(2)解:在 ?ABC 中,根据余弦定理,得 cos A ?

AB 2 ? AC 2 ? BC 2 2 AB ? AC

于是 sin A ? 1 ? cos2 A =

5 , 5
4 3 , cos 2 A ? cos 2 A ? sin 2 A ? 5 5

从而 sin 2 A ? 2 sin A cos A ?

? ? ? 2 sin(2 A ? ) ? sin 2 A cos ? cos 2 A sin ? 4 4 4 10
【考点定位】本题主要考查正弦定理,余弦定理同角的三角函数的关系式,二倍角的正 弦和余弦,两角差的正弦等基础知识,考查基本运算能力。 16.(2009 四川卷文)在 ?ABC 中, A、B 为锐角,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c , 且 sin A ?

5 10 ,sin B ? 5 10

(I)求 A ? B 的值;

(II)若 a ? b ?

2 ? 1 ,求 a、b、c 的值。
5 10 ,sin B ? 5 10

解(I)∵ A、B 为锐角, sin A ?

∴ cos A ? 1 ? sin A ?
2

2 5 3 10 , cos B ? 1 ? sin 2 B ? 5 10 2 5 3 10 5 10 2 ? ? ? ? . 5 10 5 10 2

cos( A ? B) ? cos A cos B ? sin A sin B ?
∵ 0 ? A? B ?? ∴ A? B ?

?
4
3? 2 ,∴ sin C ? 4 2

(II)由(I)知 C ? 由

a b c ? ? 得 sin A sin B sin C

5a ? 10b ? 2c ,即 a ? 2b, c ? 5b
又∵ ∴ ∴

a ? b ? 2 ?1 2b ? b ? 2 ?1


b ?1

a ? 2, c ? 5

17.(2009 全国卷Ⅱ理)设 ?ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边长分别为 a 、 b 、 c ,

3 2 , b ? ac ,求 B 2 3 分析:由 cos( A ? C ) ? cos B ? ,易想到先将 B ? ? ? ( A ? C ) 代入 2 cos( A ? C ) ? cos B ?
cos( A ? C ) ? cos B ? 3 3 得 cos( A ? C ) ? cos( A ? C ) ? 然后利用两角和与差的余弦 2 2。

公式展开得 sin A sin C ?

3 2 ;又由 b ? ac ,利用正弦定理进行边角互化,得 4

sin 2 B ? sin A sin C ,进而得 sin B ?
了检验,事实上,当 B ?

? 2? 3 .故 B ? 或 。大部分考生做到这里忽略 3 3 2

2? 1 时,由 cos B ? ? cos( A ? C ) ? ? ,进而得 3 2

3 ? 2 ? 1 ,矛盾,应舍去。 2 2? 2 也可利用若 b ? ac 则 b ? a或b ? c 从而舍去 B ? 。不过这种方法学生不易想到。 3 cos( A ? C ) ? cos( A ? C ) ?
评析:本小题考生得分易,但得满分难。 18.(2009 辽宁卷文)如图,A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平 面内,B,D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75 , 30 ,于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 60 ,AC=0.1km。试探究图中 B,D 间距离与另外 哪两点距离相等,然后求 B,D 的距离(计算结果精确到 0.01km,
0 0 0

2 ? 1.414, 6 ? 2.449)
解:在 ?ACD 中, ?DAC =30°, ?ADC =60°- ?DAC =30°, 所以 CD=AC=0.1 又 ?BCD =180°-60°-60°=60°, 故 CB 是 ?CAD 底边 AD 的中垂线,所以 BD=BA 在 ?ABC 中, 5分

AB AC ? , sin?BCA sin?ABC

即 AB=

AC sin 60? 3 2 ? 6 ? sin15? 20 3 2? 6 ? 0.33km 20
12 分

因此, BD ?

故 B、D 的距离约为 0.33km。

19.(2009 辽宁卷理)如图,A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D 为两岛上的 两座灯塔的塔顶。测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75 , 30 ,于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 60 ,AC=0.1km。试探究图中 B,D 间距离与另外哪两 点间距离相等, 然后求 B, D 的距离 (计算结果精确到 0.01km, 2 ? 1.414, 6 ? 2.449)
0 0 0

解:在△ABC 中,∠DAC=30°, ∠ADC=60°-∠DAC=30, 所以 CD=AC=0.1 又∠BCD=180°-60°-60°=60°,

故 CB 是△CAD 底边 AD 的中垂线,所以 BD=BA, 在△ABC 中, sin ?BCA ? sin ?ABC ,
ACsin60 ? ? 3 2? 6 , 20

AB

AC

即 AB= sin 15?

因此,BD=

3 2? 6 ? 0.33km 。 20

故 B,D 的距离约为 0.33km。 20.(2009 宁夏海南卷理)(本小题满分 12 分)为了测量两山顶 M,N 间的距离,飞机沿水 平方向在 A,B 两点进行测量,A,B,M,N 在同一个铅垂平面内(如示意图),飞机能 够测量的数据有俯角和 A,B 间的距离,请设计一个方案,包括:①指出需要测量的数 据(用字母表示,并在图中标出);②用文字和公式写出计算 M,N 间的距离的步骤。

?1 , ?1

解:方案一:①需要测量的数据有:A 点到 M,N 点的俯角;B 点到 M,

N 的俯角 ?2 , ?2 ;A,B 的距离 d (如图所示) . ②第一步:计算 AM . 由正弦定理 AM ?

d sin ? 2 sin(?1 ? ? 2 )




第二步:计算 AN . 由正弦定理 AN ?

d sin ? 2 sin( ? 2 ? ?1 )

第三步:计算 MN. 由余弦定理 MN ? 方案二:①需要测量的数据有:

AM 2 ? AN 2 ? 2 AM ? AN cos(?1 ? ?1 ) .

A 点到 M,N 点的俯角 ?1 , ?1 ;B 点到 M,N 点的府角 ? 2 , ? 2 ;A,B 的距离 d (如图

所示). ②第一步:计算 BM . 由正弦定理 BM ?

d sin ?1 sin(?1 ? ? 2 )




第二步:计算 BN . 由正弦定理 BN ?

d sin ?1 sin( ?2 ? ?1 )

第三步:计算 MN . 由余弦定理 MN ?

BM 2 ? BN 2 ? 2 BM ? BN cos( ? 2 ? ? 2 )

21.(2009 四川卷文)在 ?ABC 中, A、B 为锐角,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c , 且 sin A ?

5 10 ,sin B ? 5 10

(I)求 A ? B 的值; (II)若 a ? b ?

2 ? 1 ,求 a、b、c 的值。
5 10 ,sin B ? 5 10

解(I)∵ A、B 为锐角, sin A ?

∴ cos A ? 1 ? sin A ?
2

2 5 3 10 , cos B ? 1 ? sin 2 B ? 5 10 2 5 3 10 5 10 2 ? ? ? ? . 5 10 5 10 2

cos( A ? B) ? cos A cos B ? sin A sin B ?
∵ 0 ? A? B ?? ∴ A? B ?

?
4
3? 2 ,∴ sin C ? 4 2

(II)由(I)知 C ? 由

a b c ? ? 得 sin A sin B sin C

5a ? 10b ? 2c ,即 a ? 2b, c ? 5b
又∵ ∴ ∴

a ? b ? 2 ?1 2b ? b ? 2 ?1


b ?1

a ? 2, c ? 5

22. (2009 湖北卷文) 在锐角△ABC 中, a、 b、 c 分别为角 A、 B、 C 所对的边, 且 3a ? 2c sin A

(Ⅰ)确定角 C 的大小: (Ⅱ)若 c= 7 ,且△ABC 的面积为

3 3 2

,求 a+b 的值。

解(1)由 3a ? 2c sin A 及正弦定理得,

a 2sin A sin A ? ? c sin C 3

Q sin A ? 0,? sin C ?

3 2

Q ?ABC 是锐角三角形,? C ?
(2)解法 1: Q c ?

?
3

7, C ?

?
3

. 由面积公式得

1 ? 3 3 ab sin ? ,即ab ? 6        ① 2 3 2
由余弦定理得

a 2 ? b 2 ? 2ab cos

?
3

? 7, 即a 2 ? b 2 ? ab ? 7     ②

2 由②变形得 (a+b) ? 25, 故a ? b ? 5

解法 2:前同解法 1,联立①、②得

?a 2 ? b2 ? ab ? 7 ?a 2 ? b2=13   ?? ? ?ab ? 6 ?ab ? 6
消去 b 并整理得 a ? 13a ? 36 ? 0 解得 a ? 4或a ? 9
4 2 2 2

所以 ?

?a ? 2 ?a ? 3 故a?b ? 5 或? ?b ? 3 ?b ? 2
如图,为了解某海域海底构造,

23.(2009 宁夏海南卷文)

在海平面内一条直线上的 A,B, C 三点进行测量, 已知 AB ? 50m ,

BC ? 120m ,于 A 处测得水深 AD ? 80m ,于 B 处测得水深 BE ? 200m ,于 C 处测得水深 CF ? 110m ,求∠DEF 的余弦值。
解:作 DM // AC 交 BE 于 N,交 CF 于 M.

DF ? MF 2 ? DM 2 ? 302 ?1702 ? 10 198 , DE ? DN 2 ? EN 2 ? 502 ?1202 ? 130 ,

EF ? ( BE ? FC ) 2 ? BC 2 ? 902 ? 1202 ? 150 .
在 ?DEF 中,由余弦定理,

cos ?DEF ?
卷理).

DE 2 ? EF 2 ? DF 2 1302 ? 1502 ? 102 ? 298 16 ? ? . 2 DE ? EF 2 ?130 ?150 65

24.(2009 湖南

在 ?ABC ,已知

??? ? ???? ??? ? ???? 2 AB ? AC ? 3 AB ? AC ? 3BC 2 ,求角 A,B,C 的大小.
解 设 BC ? a, AC ? b, AB ? c

由 2 AB ? AC ? 3 AB ? AC 得 2bc cos A ? 3bc ,所以 cos A ? 又 A ? (0, ? ), 因此 A ?

??? ? ????

??? ? ????

3 2

?
6
2

2 2 由 3 AB ? AC ? 3BC 得 bc ? 3a ,于是 sin C ? sin B ? 3 sin A ?

??? ? ????

3 4

所以 sin C ? sin(

5? 3 1 3 3 , sin C ? ( cos C ? ,因此 ? C) ? sin C ) ? 6 4 2 2 4

? 2sin C ? cos C ? 2 3sin 2 C ? 3,sin 2C ? 3 cos 2C ? 0 ,既 sin(2C ? ) ? 0 3 ? ? 5? ? 4? 由 A= 知 0 ? C ? ,所以 ? , 2C ? ? ,从而 3 6 6 3 3 ? 2? ? ? ,故 2C ? ? 0, 或 2C ? ? ? , ,既 C ? , 或 C ? 6 3 3 3 ? 2? ? ? ? 2? A? ,B ? ,C ? , 或 A ? , B ? ,C ? 。 6 3 6 6 6 3
25..(2009 天津卷理)(在⊿ABC 中,BC= 5 ,AC=3,sinC=2sinA (I) 求 AB 的值: (II) 求 sin ? 2 A ?

? ?

??

? 的值 4?
AB BC ? sinC sin A

(Ⅰ)解:在△ABC 中,根据正弦定理, 于是 AB=
sinC BC ? 2BC ? 2 5 sin A

(Ⅱ)解:在△ABC 中,根据余弦定理,得 cosA=

AB2 ? AC2 ? BD2 2 5 ? 2 AB ? AC 5

于是 sinA= 1 ? cos2 A ? 从而 sin2A=2sinAcosA= 所以 sin(2A-

5 5

4 3 2 2 ,cos2A=cos A-sin A= 5 5

? ? ? 2 )=sin2Acos -cos2Asin = 4 4 4 10

26.(2009 四川卷理)在 ? ABC 中, A, B 为锐角,角 A, B, C 所对应的边分别为 a, b, c ,且

3 10 cos 2 A ? ,sin B ? 5 10
(I)求 A ? B 的值; (II)若 a ? b ?

2 ? 1 ,求 a, b, c 的值。
10 3 10 2 ,? cos B ? 1 ? sin b ? 10 10

解:(Ⅰ)? A 、 B 为锐角, sin B ? 又 cos 2 A ? 1 ? 2sin A ?
2

3 , 5

? sin A ?

5 2 5 2 , cos A ? 1 ? sin A ? , 5 5 2 5 3 10 5 10 2 ? ? ? ? 5 10 5 10 2

? cos( A ? B) ? cos A cos B ? sin A sin B ?
?0 ? A ? B ? ?

?A? B ?

?
4
3? 2 ,? sin C ? . 4 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 C ? 由正弦定理

a b c ? ? 得 sin A sin B sin C

5a ? 10b ? 2c ,即 a ? 2b , c ? 5b
Q a ? b ? 2 ? 1, ? 2b ? b ? 2 ?1 ,? b ? 1

?a ? 2,c ? 5
27.(2009 上海卷文) 已知Δ ABC 的角 A、 B、C 所对的边分别是 a、b、c, 设向量 m ? (a, b) ,

??

? n?( s i B n

? ? , , s A ip n ? () b ? 2, a ? 2) .

(1) 若 m // n ,求证:Δ ABC 为等腰三角形; (2) 若 m ⊥ p ,边长 c = 2,角 C = 证明:(1) Q m // n,? a sin A ? b sin B, 即a?

??
??

?

??

? ,求Δ ABC 的面积 . 3

u v v

a b ? b? ,其中 R 是三角形 ABC 外接圆半径, a ? b 2R 2R

? ?ABC 为等腰三角形
解 (2)由题意可知 m // p ? 0,即a(b ? 2) ? b(a ? 2) ? 0

u v u v

? a ? b ? ab
由余弦定理可知, 4 ? a2 ? b2 ? ab ? (a ? b)2 ? 3ab

即(ab)2 ? 3ab ? 4 ? 0
? ab ? 4(舍去ab ? ?1)
?S ? 1 1 ? ab sin C ? ? 4 ? sin ? 3 2 2 3

2008 年高考题
一、选择题 1.(2008 福建)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若(a +c -b )tanB= 3ac ,
2 2 2

则角 B 的值为 A.

( B.



? 6
D

? 3

C.

? 5? 或 6 6

D.

? 2? 或 3 3


答案

2.(2008 海南)如果等腰三角形的周长是底边长的 5 倍,那么它的顶角的余弦值为( A. 答案

5 18
D

B.

3 4

C.

3 2

D.

7 8

△ ABC 的内角 A、 3. (2008 陕西) B、 C 的对边分别为 a、 b、 c, 若 c ? 2, b? 6, B ?1 2 0
则 a 等于 (

?





A. 6 答案 D

B.2

C. 3

D. 2

? ? 4.(2007 重庆)在 △ ABC 中, AB ? 3 , A ? 45 , C ? 75 ,则 BC ?





A. 3 ? 3 答案 A

B. 2

C. 2

D. 3 ? 3

二、填空题 7. (2008 浙江) 在△ABC 中, 角 A、 B、 C 所对的边分别为 a 、 b、 c , 若 则 cos A ? _________. 答案

? 3b ? c?c o s

A ? ac o s C,

3 3

8.(2008 湖北)在△ ABC 中,三个角 A, B, C 的对边边长分别为 a ? 3, b ? 4, c ? 6 ,则

bc cos A ? ca cos B ? ab cos C 的值为
答案

.

61 2

三、解答题 12.(2008 湖南)在一个特定时段内,以点 E 为中心的 7 海里以内海域被设为警戒水域.点 E 正北 55 海里处有一个雷达观测站 A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 A 北偏 东 45 且与点 A 相距 40 2 海里的位置 B,经过 40 分钟又测得该船已行驶到点 A 北偏东
?

45? + ? (其中 sin ? =

26 ? ? , 0 ? ? ? 90 )且与点 A 相距 10 13 海里的位置 C. 26

(I)求该船的行驶速度(单位:海里/小时); (II)若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域,并说明理由. 解 (I)如图,AB=40 2 ,AC=10 13 , ?BAC ? ? ,sin ? ?

26 . 26

由于 0 ? ? ? 90 ,所以 cos ? = 1 ? (
? ?

26 2 5 26 ) ? . 26 26

由余弦定理得 BC=

AB2 ? AC2 ? 2 AB ? AC cos? ? 10 5.

所以船的行驶速度为

10 5 ? 15 5 (海里/小时). 2 3

(II)解法一 如图所示,以 A 为原点建立平面直角坐 标系, 设点 B、C 的坐标分别是 B(x1,y2), C(x1,y2), BC 与 x 轴的交点为 D. 由题设有,x1=y1=

2 AB=40, 2

x2=ACcos ?CAD ? 10 13cos(45? ? ? ) ? 30 , y2=ACsin ?CAD ? 10 13sin(45? ? ? ) ? 20. 所以过点 B、C 的直线 l 的斜率 k=

20 ? 2 ,直线 l 的方程为 y=2x-40. 10

又点 E(0,-55)到直线 l 的距离 d=

| 0 ? 55 ? 40 | ? 3 5 ? 7. 1? 4

所以船会进入警戒水域. 解法二 如图所示,设直线 AE 与 BC 的延长线相交于点 Q. 在△ABC 中,由余弦定理得,

cos ?ABC ?

AB 2 ? BC 2 ? AC 2 2 AB ? BC

=

402 ? 2 ? 102 ? 5 ? 102 ? 13 3 10 = . 10 2 ? 40 2 ? 10 5
2

从而 sin ?ABC ? 1 ? cos ?ABC ? 1 ? 在 ?ABQ 中,由正弦定理得,

9 10 ? . 10 10

10 AB sin ?ABC 10 ? 40. ? AQ= ? sin(45 ? ?ABC ) 2 2 10 ? 2 10 40 2 ?
由于 AE=55>40=AQ,所以点 Q 位于点 A 和点 E 之间,且 QE=AE-AQ=15. 过点 E 作 EP ? BC 于点 P,则 EP 为点 E 到直线 BC 的距离. 在 Rt ?QPE 中,PE=QE·sin ?PQE ? QE ? sin ?AQC ? QE ? sin(45 ? ?ABC)
?

= 15 ?

5 ? 3 5 ? 7. 5

所以船会进入警戒水域.

第二部分

四年联考题汇编

2013-2014 年联考题 一.基础题组
1. 【山西省太原市太远五中2014届高三12月月考】函数 y ? sin(?x ? ? ) (? ? 0) 的
部分图象如右图所示, 设 P 是图象的最高点,A, B 是图象与 x 轴的交点, 则 tan ?APB ? ( ) A. 10 B. 8 C.

8 7

D.

4 7

2. 【山西省太原市太远五中 2014 届高三 12 月月考】已知函数

f ( x) ? sin(x ? ? ) ? cos(x ? ? ) 为奇函数,则 ? 的一个取值为( )
A.0 B. ?

π 4

C.

π 2

D. π

3. 【山西省忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校 2014 届高三第二次联考】已知

1 tan ? ? ? , 则 sin 2? ? 2 cos 2 ? ? 1 ? ( 2 17 17 A. ? B. ? 5 4

) C. ?

16 5

D.-2

4. 【河北省衡水中学 2014 届高三上学期四调考试】已知 Δ ABC 中,∠A,∠B,∠C 的对边分 别为 a,b,c,若 a = 1, 2cosC + c = 2b,则 Δ ABC 的周长的取值范围是__________.

5.【唐山市 2013-2014 学年度高三年级第一学期期末考试】(本题满分 12 分)

在锐角 ?ABC 中, a, b, c 分别为角 A, B, C 的对边,且 4sin (1)求角 A 的大小; (2)若 BC 边上高为 1,求 ?ABC 面积的最小值? 【答案】(1) A ? 【解析】

2

B?C 7 ? cos 2 A ? . 2 2

?
3

;(2)

3 . 3

6. 【河北省衡水中学 2014 届高三上学期四调考试】在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边 为 a、b、c ,且满足 cos 2 A ? cos 2 B ? 2 cos? (Ⅰ)求角 B 的值;

?? ? ?? ? ? A ? cos? ? A ? ?6 ? ?6 ?

(Ⅱ)若 b ?

1 3 且 b ? a ,求 a ? c 的取值范围. 2

【答案】(1) B ? 【解析】

? 3 ? ? 2? 1 或 ;(2) a ? c ? ? , 3 ? ?. 3 3 2 ? 2 ?

7.【河北省唐山市一中 2014 届高三 12 月月考】 (本小题满分 12 分) 已知 a, b, c 分别是 ?ABC 的三个内角 A,B, C 的对边, (1)求 A 的大小;

2b ? c cos C ? a cos A

(2)当 a ?

3 时,求 b 2

? c 2 的取值范围.

考点:1.正弦定理;2.两角和与差的正弦公式;3.倍角公式;4.三角函数的值域.

二.能力题组
1. 【河北省衡水中学 2014 届高三上学期四调考试】在 ?ABC 中,若

sin( A ? B) ? 1 ? 2cos( B ? C )sin( A ? C ) ,则 ?ABC 的形状一定是(
A.等边三角形 B. 直角三角形



C.钝角三角形 D.不含 60 ? 角的等腰三角形

2. 【河北省唐山市一中 2014 届高三 12 月月考】已知向量

? 4? a ? (sin(? ? ),1), b ? (4, 4 cos ? ? 3) ,若 a ? b ,则 sin(? ? ) 等于( 6 3
A. ?

)

3 4

B. ?

1 4

C.

3 4

D.

1 4

3. 【河北省唐山市一中 2014 届高三 12 月月考】函数 y ? 3sin(2 x ? 结论中错误的是( )

?
3

) 的图像为 C ,如下

A.图像 C 关于直线 x ? B.图像 C 关于点 (

2? , 0) 对称 3 ? 7? C.函数 f ( x) 在区间 (? , ) 内是增函数 12 12 5? D.由 y ? 3 cos 2 x 得图像向右平移 个单位长度可以得到图像 C 12
【答案】C

11 ? 对称 12

4. 【河南省郑州市 2014 届高中毕业年级第一次质量预测试题】设函数

f ( x) ? 3sin(2x ? ? ) ? cos(2x ? ? ) (| ? |?
A. y ? f ( x) 的最小正周期为 ? ,且在 (0, B. y ? f ( x) 的最小正周期为 ? ,且在 (0, C. y ? f ( x) 的最小正周期为

?
2

) ,且其图像关于直线 x ? 0 对称,则(



? ?
2 2

) 上为增函数 ) 上为减函数

? ? ,且在 (0, ) 上为增函数 2 4 ? ? D. y ? f ( x) 的最小正周期为 ,且在 (0, ) 上为减函数 2 4

5. 【山西省忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校 2014 届高三第二次联考】已知 函数 f ( x) ? cos ( A. ?? ) B. ?? 1, ? 2
2

?
2

x ? 3 sin

?
2

x cos

?
2

x ? 2, 则函数 f ( x) 在[-1,1]上的单调增区间为

? 2 1? , ? 3 3? ?

? ?

1? ?

C. ? ,1? ?3 ?

?1 ?

D. ??

? 3 2? , ? 4 3? ?

6. 【山西省忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校 2014 届高三第二次联考】(本 小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, a, b, c 分别是内角 A, B, C 的对边,且 m ? (sin A ? sin B ? sin C ,sin C ),
? ?

n ? (sin B,sin B ? sin C ? sin A) ,若 m ∥ n

?

?

(1)求 A 的大小; (2)设 a ? 3,

S 为 ?ABC 的面积, 求 S ? 3 cos B cos C 的最大值及此时 B 的值.

试题解析: (1) 因为 m ∥ n , 所以 ?sin A ? sin B ? sin C ??sin B ? sin C ? sin A? ? sin B sin C 根据正弦定理得 (a ? b ? c)(c ? b ? a) ? bc ,即 a ? b ? c ? bc
2 2 2

?

?

由余弦定理 a ? b ? c ? 2bc cos A 得 cos A ? ?
2 2 2

1 2

又 A ? (0, ? ) ,

所以 A ?

2 ? 3

…………………………………………………6 分

7. 【河南省郑州市 2014 届高中毕业年级第一次质量预测试题】(本小题满分 12 分)如图

???? ??? ? 2 2 ?ABC 中,已知点 D 在 BC 边上,满足 AD ? AC ? 0 , sin ?BAC ? , AB ? 3 2 , 3

BD ? 3 .
(1)求 AD 的长; (2)求 cos C .

试题解析:(1) 因为 AD ? AC ,所以 sin ?BAC ? sin(

?
2

? ?BAD) ? cos ?BAD ,

即 cos ?BAD ?

2 2 ,???????????.2 分 3
2 2 2

在 ?ABD 中,由余弦定理可知 BD ? AB ? AD ? 2 AB ? AD ? cos ?BAD , 即 AD ? 8 AD ? 15 ? 0 ,
2

解之得 AD ? 5 或 AD ? 3. ??????????????????.6 分 由于 AB ? AD ,所以 AD ? 3. ???????????????????..7 分

8. 【山西省曲沃中学 2014 届高三上学期期中考试】已知△ABC 中,A,B, C 的对边分别为 a,b,c,且 2 cos 2 (1)若 A ?

5? ,求边 c 的大小; 12

B ? 3 sin B, b ? 1 . 2

(2)若 a=2c,求△ABC 的面积.

B ? ? 3 sin B ,∴ 1 ? cos B ? 3 sin B ,∴ 2sin( B ? ) ? 1 , 2 6 ? ? ? ? 5? ∴B? ? 或B? ? (舍),得 B ? , 3 6 6 6 6 5? ? 又∵ A ? ,则 C ? , 12 4
试题解析:∵ 2 cos
2

由正弦定理得,

C b 6 ? ,得 c ? . sin C sin B 3

9. 【山西省太原市太远五中 2014 届高三 12 月月考】已知向量 m ? ( 3 sin

??

x ,1) , 4

? ?? ? x x n ? (cos , cos 2 ) , f ( x) ? m ? n 4 4
(Ⅰ)若 f ( x) ? 1 ,求 cos( x ?

?
3

) 的值;
1 c ? b ,求函 2

(Ⅱ)在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c ,且满足 a cos C ? 数 f ( B ) 的取值范围.

试题解析:(Ⅰ)∵

?? ? x x x 3 x 1 x 1 x ? 1 f ( x) ? m ? n ? 3 sin cos ? cos 2 ? sin ? cos ? ? sin( ? ) ? , 4 4 4 2 2 2 2 2 2 6 2
而 f ( x) ? 1 ,∴ sin( ? (Ⅱ) ∵ a cos C ?

x ? 1 ? x ? x ? 1 ) ? ,∴ cos( x ? ) ? cos 2( ? ) ? 1 ? 2sin 2 ( ? ) ? , 2 6 2 3 2 6 2 6 2
o s , ∴c A? 1 , 2

2 1 a2 ? b ?2c 1 2 c?b, ? c ?b, c2 ? a2 ?b c ∴a 即b ? 2 2ab 2

又∵ A ? (0, ? ) ,∴ A ?

?
3

,又∵ 0 ? B ?

? B ? ? 3 2? ,∴ ? ? ? ,∴ f ( B) ? (1, ) . 6 2 6 2 2 3

考点:1.向量的数量积;2.倍角公式;3.两角和与差的正弦公式;4.余弦公式;5.三角函数 的值域.

2012-2013 年联考题
1. 【云南省玉溪一中 2013 届高三上学期期中考试理】(本小题满分 12 分)已知函数

f ( x) ?

3 1 sin 2 x ? cos 2 x ? , ( x ? R) 2 2

(Ⅰ)当 x ? [ ?

, ] 时,求函数 f ( x) 的最小值和最大值; 12 12

? 5?

(Ⅱ)设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对应边分别为 a , b, c ,且 c ? 3, f (C) ? 0 , 若向量 m ? (1,sin A) 与向量 n ? (2,sin B) 共线,求 a , b 的值。

??

?

【答案】 f ( x) ? ∵? ∴?

? 3 1 3 1 ? cos 2 x 1 sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? sin(2 x ? ) ? 1 。 sin 2 x ? ? ? 6 2 2 2 2 2
5? ? ? 2? ,∴ ? ? 2 x ? ? , 12 3 6 3

?
12

?x?

3 ? 3 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 ? 0 。 ? sin(2 x ? ) ? 1 ,从而 ? 1 ? 2 6 2 6 3 ,最大值是 0 。 2

则 f ( x ) 的最小值是 ? 1 ? (2) f (C ) ? sin(2C ?

? ) ? 1 ? 0 ,则 sin(2C ? ) ? 1 , 6 6 ? ? ? 11? ? ? ∵ 0 ? C ? ? ,∴ ? ? 2C ? ? ,∴ 2C ? ? ,解得 C ? 。 3 6 6 6 6 2
∵向量 m ? (1, sinA) 与向量 n ? (2, sinB) 共线,∴ sin B ? 2sin A ,

?

由正弦定理得, b ? 2a
2 2


2

由余弦定理得, c ? a ? b ? 2ab cos 由①②解得 a ? 1, b ? 2 。

?
3

,即 a 2 ? b 2 ? ab ? 3



2.【山东省潍坊市四县一区 2013 届高三 11 月联考(理)】(本小题满分 12 分)

?ABC 中,内角 A、B、C 成等差数列,其对边 a,b,c 满足 2b 2 ? 3ac ,求 A.
【答案】解:由 A、B、C 成等差数列可得 2 B ? A ? C ,而 A ? B ? C ? ? , 故 3B ? ? ? B ?
2

?

3

,且 C ?

2? ? A .??????3 分 3
2

而由 2b ? 3ac 与正弦定理可得 2 sin B ? 3 sin A sin C ????5 分

? 2 ? sin 2
所以可得

?
3

? 3 sin(

2? ? A) sin A 3

2?

3 2? 2? ? 3(sin cos A ? cos sin A) sin A ? 3 cos A sin A ? sin 2 A ? 1 ? 4 3 3

3 1 ? cos 2 A ? 1 sin 2 A ? ? 1 ? sin(2 A ? ) ? ,??????9 分 2 2 6 2
2? ? ? 7? ? ? ? 2A ? ? , 3 6 6 6 ? ? ? 5? ? ? 故 2A ? ? 或 2A ? ? ,于是可得到 A ? 或 A ? . ??????12 分 6 2 6 6 6 6
由0 ? A ? 3.【山东省潍坊市四县一区 2013 届高三 11 月联考(理)】(本小题满分 12 分) 函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, | ? |?

?

2

) 的部分图象如图所示.

(Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期及解析式; (Ⅱ)设 g ( x) ? f ( x) ? cos2 x ,求函数 g ( x) 在区间 [0, 【答案】解:(Ⅰ)由图可得 A ? 1, ? 3分 当x?

?
2

] 上的最小值.

T 2

2? ? ? ? ? ,所以 T ? ? .? ? 2 . ?????? 3 6 2 ??) ? 1 ,

?
6

时, f ( x) ? 1 ,可得 sin( 2 ?

?
6

?| ? |?

?
2

,?? ?

?
6

.? f ( x) ? sin( 2 x ?

?
6

) .??????6 分 ) ? cos 2 x ? sin 2 x cos

(Ⅱ) g ( x) ? f ( x) ? cos 2 x ? sin( 2 x ?

?
6

?
6

? cos 2 x sin

?
6

? cos 2 x

?
?0 ? x ?
当 2x ?

3 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) . ????????9 分 2 2 6

?
2

,? ?

?
6

? 2x ?

?
6

?

?
6

??

?
6

5? . 6
1 . ????????12 分 2

,即 x ? 0 时, g ( x) 有最小值为 ?

4.【山东省潍坊市四县一区 2013 届高三 11 月联考(理)】23.已证:在 ?ABC 中, a, b, c 分 别是 ?A, ?B, ?C 的对边.

a b c ? ? . sin A sin B sin C 【答案】证法一:如图,在 ?ABC 中,过点 B 作 BD ? AC ,垂足为 D
求证:

? BD ? BD ,

? AB sin A ? BC sin C ,??????????2 分 a c ? 即 c ? sin A ? a ? sin C ? , ??????4 分 sin A sin C a b ? 同理可证 , sin A sin B a b c ? ? ? . ????????5 分 sin A sin B sin C
证法二: 如图,在 ?ABC 中,过点 B 作 BD ? AC ,垂足为 D

sin ?ABC ? sin[180? ? ( A ? C)]
? sin( A ? C ) ? sin A cosC ? cos A sin C ??????????2 分

BD CD AD BD ? ? ? AB BC AB BC AB sin A ? AC AC sin A ? ? AB ? BC BC ?

b sin A , ????????????4 分 a a sin B ? b sin A , a b a c ? ? ? 同理可证 , sin A sin B sin A sin C a b c ? ? ? . ????????5 分 sin A sin B sin C ?
5.【山东省烟台市 2013 届高三上学期期中考试理】本小题满分 12 分) 已知 f ( x ) ? cos

3x x 3x x cos ? sin sin ? 2 sin x cos x . 2 2 2 2

(1)求函数 f ( x) 的最小正周期; (2) 当 x ? ?

?? ? , ? ,求函数 f ( x) 的零点. ?2 ? ?

【答案】解:(1) f ( x) ? cos2 x ? sin 2 x = 2 cos( 2 x ? 故T ? ? (2)令 f ( x) ? 0 , 2 cos( 2 x ? 又? x ? ?

?
4

),

???4 分

???5 分

?
4

) =0,
???8 分

5? ? 9? ?? ? ? ? 2x ? ,? ? , ? 4 4 4 ?2 ? 3? , 2

?
故x ?

?
4

? 2x ?

???9 分

5? 5? ,函数 f ( x) 的零点是 x ? . ???12 分 8 8

6.【山东省烟台市 2013 届高三上学期期中考试理】(本小题满分 12 分)

( 1, sin 2 x) 已知向量 m= ,n= ,函数 f ( x) =m ? n. (2 cos2 x, 3)
(1)求函数 f ( x ) 的对称中心; (2)在 ? ABC 中, a, b, c 分别是角 A,B,C 的对边,且 f (C ) ? 3, c ? 1 , ab ? 2 3 ,且

a ? b ,求 a , b 的值.
【答案】(1) f ( x) ? m ? n ? (2cos2 x , 3) ? (1, sin 2x ) ? 2cos2 x ? 3sin 2 x , ???2 分

??? ? ???

? cos 2 x ? 1 ? 3 sin 2 x ? 2sin(2 x ? ) ? 1 . ???4 分 6 ? k? ? ? 令 2 x ? ? k? 得 , x ? (k ? Z ) , ∴ 函 数 f ( x ) 的 对 称 中 心 为 6 2 12

?

(

k? ? ? , 1) . 2 12

???5 分

(2) f (C ) ? 2 sin( 2C ?

?
6

) ? 1 ? 3 ,? sin( 2C ?

?
6
.

) ? 1,
???7 分

? C 是三角形内角,∴ 2C ?

?
6

?

?
2

即: C ?

?
6

? cosC ?

b2 ? a2 ? c2 3 ? 2ab 2

即:

a2 ? b2 ? 7 .

???9 分

2 将 ab ? 2 3 代入可得: a ?

12 ? 7 ,解之得: a 2 ? 3 或 4, 2 a
???11 分 ???12 分

? a ? 3或2 ,?b ? 2或 3
? a ? b, ? a ? 2, b ? 3

7. 【山东省实验中学 2013 届高三第三次诊断性测试理】(本小题满分 12 分)设函数

f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos2 x ? a .
(Ⅰ)写出函数的最小正周期及单调递减区间;

3 , ] 时,函数 f ( x) 的最大值与最小值的和为 ,求 f ( x) 的解析式; 2 6 3 ? (Ⅲ)将满足(Ⅱ)的函数 f ( x) 的图像向右平移 个单位,纵坐标不变横坐标变为原来 12 1 ? 的 2 倍,再向下平移 ,得到函数 g ( x) ,求 g ( x) 图像与 x 轴的正半轴、直线 x ? 所围 2 2
(Ⅱ)当 x ? [ ? 成图形的面积。 【答案】解(Ⅰ) f ( x) ? ∴T ? ? . 由

? ?

3 1 ? cos 2 x ? 1 sin 2 x ? ? a ? sin(2 x ? ) ? a ? , 2 2 6 2

(2 分)

3? ? 2? ? 2k? ,得 ? kx ? x ? ? k? . 2 6 2 6 3 ? 2? ? k? ]( k ? Z ) . 故函数 f ( x) 的单调递减区间是 [ ? k? , (6 分) 6 3 ? ? ? ? 5? 1 ? .? ? ? sin( 2 x ? ) ? 1 . (2) Q ? ? x ? ,? ? ? 2 x ? ? 6 3 6 6 6 2 6 ? 2k? ? 2 x ? ?
当 x ? ??

?

?

1 1 1 3 ? ? ?? ( 1 ? a ? ) ? (? ? a ? ) ? , , ? 时,原函数的最大值与最小值的和 2 2 2 2 ? 6 3?

? a ? 0,? f ( x) ? sin( 2 x ?

?
6

)?

1 . 2

(8 分) (10 分)

(3)由题意知 g ( x) ? sin x

?

?
2

0

sin xdx ? ? cos x | 2 =1
0

?

(12 分)

8.【山东省泰安市 2013 届高三上学期期中考试数学理】(本小题满分 12 分) 已知 a,b,c 分别为△ABC 的三个内角 A,B, C 的对边,m ? ? 3,sin A , n ? ? cos A,1? , 且m? n. (1)求角 A 的大小; (II)若 a ? 2, ?ABC 的面积为 3 ,求 b,c. 【答案】

??

?

?

?

??

?

9.【云南省玉溪一中 2013 届高三第三次月考 理】 (本小题满分 12 分)如图 A, B 是单位圆 O 上的动点,且 A, B 分别在第一,二象限. C 是圆与 x 轴正半轴的交点, ?AOB 为正三角形. 若
A 点的坐标为 ( x, y ) .

记 ?COA ? ? .

sin 2 ? ? sin 2? ?3 4? (1)若 A 点的坐标为 ? , ? ,求 的值; cos2 ? ? cos 2? ?5 5?

(2)求 | BC |2 的取值范围.

?3 4? 【答案】解:(Ⅰ)因为 A 点的坐标为 ? , ? ,根据三角函数定义可知, ?5 5?
0 ?? ?

?
2

,sin ? ?

3 4 ,得 cos ? ? ,.................................2 分 5 5

所以

sin 2 ? ? sin 2? sin 2 ? ? 2sin ? cos ? = ? 20 ..........................5 分 2 cos ? ? cos 2? 3cos2 ? ?1

(Ⅱ)因为三角形 AOB 为正三角形,所以 ?AOB ? 600 , 所以
cos ?COB = cos(?COA ? 600 ) = cos(? ? 60? ) ...............................6 分

? 所以 | BC |2 ?| OC |2 ? | OB |2 ?2 | OC || OB | cos ?BOC = 2 ? 2cos(? ? ) .........7 分
3
?

?
6

?? ?

?
2

,?

?
2

?? ?

?
3

5 ? ? , 6

5 ? ? ? cos ? ? cos(? ? ) ? cos , 6 3 2

即? ?

3 ? ? cos(? ? ) ? 0 ,.................................9 分 2 3

? 2 ?| BC |2 ? 3 ? 2 .................................10 分

10. 【天津市天津一中 2013 届高三上学期一月考 理】 已知 A(cosα ,sinα ),B(cosβ ,sinβ ), 且 5 |AB|=2, (1)求 cos(α -β )的值; (2)设 α ∈(0,π /2),β ∈(-π /2,0),且 cos(5π /2-β )=-5/13,求 sinα 的值. 【 答 案 】 解 :(1) 由 题 知 (cos? ? cos?) 2 ? (sin ? ? sin ?) 2 ? 2 5 ? 2 ? 2 cos( ? ? ?) ? 4 , 所 以 5 5
c o s? ( ? ?) ? 3 5

(2)? 0 ? ? ? ? ,? ? ? ? ? 0 ? 0 ? ? ? ? ? ? ,又 cos( ? ? ?) ? 3 ? sin( ? ? ?) ? 4 . 2 2 5 5 33 12 5? 5 5 ? sin ? ? sin[(? ? ? ) ? ? ] ? cos( ? ?) ? ? sin ? ? ? ? cos ? ? 13 2 13 65 13 而 则 11. 【 天 津 市 天 津 一 中 2013 届 高 三 上 学 期 一 月 考 f(x)=2cosxsin(x+π /3)- 3 sin x+snxcosx (1)求函数 f(x)的单调递减区间; (2)将函数 f(x)的图象沿水平方向平移 m 个单位后的图象关于直线 x=π /2 对称,求 m 的最小正值.
2

理 】 已 知 函 数

【答案】 (1)

1 3 f ( x) ? 2 cos x( sin x ? cosc) ? 3 sin 2 x ? sin x cos x 2 2

? sin x cos x ? 3 cos2 x ? 3 sin 2 x ? sin cos x ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 2 sin(2 x ?


?
3

)
?

3 ? 2k? ? ? , k ? Z 2 ? 7 得k? ? ? x ? k? ? ? , k ? Z 12 12 2 ? 2k? ? 2 x ? 3

?

故函数f ( x)的单调递减区间为 [k? ?

?

12

, k? ?

7? ], k ? Z . 12

y ? 2 sin( 2 x ?
(2)
? y ? 2 sin(2 x ? ?2?

?
3

?( m , 0) ) ?a ? ? ?? y ? 2 sin( 2 x ?

?
3

? 2 m)

?
3

? 2m)的图象关于直线 x?

?
2

对称.

(k ? Z ) 3 2 1 ? ? m ? ? (k ? 1)? ? (k ? Z ) 2 12 5 当k ? 0时, m的最小正值为 ? . 12 2

?

?

?

? 2m ? k? ?

?

12.【天津市新华中学 2012 届高三上学期第二次月考理】 在△ABC 中,A,B 为锐角,角 A, B,C 所对应的边分别为 a,b,c,且 cos2a= (1)求 A+B 的值;(7 分) (2)若 a-b= 2 -1,求 a,b,c 的值。(5 分) 【答案】(1)cos2A=2cos A-1=
2

3 10 ,sinB= (共 12 分) 5 10

3 5

∴cos A=

2

4 5
1分

∵A 锐角,∴cosA=

2 5 5
cosB=

1分

sinA=

5 5

sinB=

10 10

B 锐角

3 10 10

1分

cos(A+B)=

2 5 3 10 5 10 5 50 2 · · = = 5 10 5 10 50 2

∴A+B=

? 4

2分

5 a sin A (2)∵ = = 5 = 2 b sin B 10 10
a= 2
2 2 2

∴?

? ?a ? 2b ? ?a ? b ? 2 ? 1
1分

1分

==>b=1

1分

1分

C=

3? 4
∴c= 5

c =a +b -2abcosC=5

13. 【 天 津 市 新 华 中 学 2012 届 高 三 上 学 期 第 二 次 月 考 理 】 已 知 函 数 f ( x ) =sin ? x ?

? ?

7? ? 3? ? ? ? +cos ? x ? ? ,x∈R(共 12 分) 4 ? 4 ? ?
4 4 ? , cos ( ? +? ) = - ,0< ? < ? ≤ , 求证: [f (? ) ] 5 5 2

(1)求 f(x)的最小正周期和最小值;(6 分) (2) 已知 cos ( ? -? ) =
2

-2=0.(6 分) 【答案】(1)f(x)=sinxcos

7? 7? 3? 3? +cosxsin +cosxcos +sinxsin 4 4 4 4

1

分 =

2 2 2 2 sinxcosxcosx+ sinx 2 2 2 2
1分 1分

1分

= 2 sinx- 2 cosx =2sin(x∴T=2 ? f min (x)=-2

? ) 4

1分 1分

(2)[f( ? )]

2

-2=4sin ( ? 2

? )-2=4· 4

1 ? cos(2? ? 2

?

) 2 -2=-2sin ? 2 分

Sin2 ? =sin[( ? + ? )+( ? - ? )] cos2 ? =-

1分

4 4 9 × =-1 5 5 25
∴sin( ? + ? )=

∵0< ? + ? < ?

3 5

1分

? 3 ∴sin( ? - ? )= 1分 2 5 3 4 4 3 ∴sin2 ? = × +(- )× =0 1分 5 5 5 5
0< ? - ? < 14. 【天津市耀华中学 2013 届高三第一次月考理科】(本小题满分 13 分,已知函数

f (x)= 3 sin (2 x-

?
6

)+2 sin 2 (x-

?
12

)(x ? R)

(1)求函数 f (x) 的最小正周期; (2)求使函数 f (x) 取得最大值的 x 集合; (3)若 ? ? (0,

?

5 ) ,且 f (? )= ,求 cos 4? 的值。 3 2

【答案】 15.【天津市耀华中学 2013 届高三第一次月考理科】(本小题满分 13 分)在△ABC 中,A,C 为锐角,角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c,且 cos 2 A= , sinC = (1)求 cos (A+C ) 的值; (2)若 a-c= 2-1 ,求 a,b,c 的值; (3)已知 tan (? +A+C )=2 ,求

3 5

10 。 10

1 的值。 2 sin ? cos ? + cos 2 ?

【答案】

16.【山东省烟台市莱州一中 20l3 届高三第二次质量检测 (理)】(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,m=(sinA,sinB),n=(cosB,cosA), m·n=—sin2C. (1)求角 C 的大小; (2)若 c ? 2 3, A ? 【答案】

?
6

,求△ABC 的面积 S.

17. 【 山 东 省 烟 台 市 莱 州 一 中 2013 届 高 三 10 月 月 考 ( 理 ) 】 ( 12 分 ) 设

?? ? f ?x ? ? 4 c o s 2x ? c o ? s2 x ? ? ? 1 . 3? ?
(1)求 f ?x ? 的最小值及此时 x 的取值集合; (2)把 f ?x ? 的图象向右平移 m(m>0)个单位后所得图象关于 y 轴对称,求 m 的最小值.

【答案】

18.【山东省烟台市莱州一中 2013 届高三 10 月月考(理)】(12 分)在三角形 ABC 中,角 A、B、C 满足 sin C cos B ? ?2 sin A ? sin B?cosC . (1)求角 C 的大小; (2)求函数 y ? 2 sin B ? cos2 A 的值域.
2

【答案】

2011-2012 年联考题
题组一 1.(甘肃省甘谷三中 2011 届高三第三次检测试题) 若△ ABC 的内角 A 满足 则 sin A ? cos A =
15 3

sin 2 A ?

2 3,





A.

B.

?

15 3

5

C. 3

D.

?

5 3

答案 A. 2.(重庆市重庆八中 2011 届高三第四次月考文) 在 ?ABC 中,如果 sin A : sin B : sin C = 5 : 6 : 8 ,则此三角形最大角的余弦值是 答案 .

3. (福建省安溪梧桐中学 2011 届高三第三次阶段考试理) 下图展示了一个由角的区间(0, ? ) 到实数集 R 的映射过程: 区间(0, ? )中的角 ? 始边落在 OA 上,则终边对应半圆弧 AB 上的点 M,如图 1;将半圆弧 AB 围成一个椭圆,使两端点 A、B 恰好重合,如图 2;再将这个椭 圆放在平面直角坐标系中, 使其椭圆中心在 y 轴上, 点 A 的坐标为 与 x 轴交于点
M

(0,1) , 如图 3 中直线 AM

N (n,0)

,则 ? 的象就是 n,记作 f (? ) ? n .

B

O

A

下列说法中正确命题的序号是

.(填出所有正确命题的序号)

?1? f ? ? ?1 ① ?4? ;



f ? x?

是奇函数; ③

f ? x?
f ? x?

是定义域上的单调函数;



f ? x?

( ,0 ) 的图象关于点 2 对称 ;

?



的图象关于 y 轴 y 2 0 2 6 x

对称 答案 ③④ 4.(浙江省嵊州二中 2011 届高三 12 月月考试题文)(本小题满 分 14 分)已知 ?ABC 中的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,定 义向量

?? m ? 2sin B, ? 3

?

?,

? ? B ? n ? ? cos 2 B, 2cos 2 ? 1? ?? ? 2 ? 且 m / /n . ?
(Ⅰ)求函数

f ? x ? ? sin 2x cos B ? cos 2x sin B

的单调递增区间;

(Ⅱ)如果 b ? 2 ,求 ?ABC 的面积的最大值

答案

? ? ? 2 sin B(2 cos 2 B ? 1) ? ? 3 cos 2 B 2 解:(Ⅰ)? m // n


? sin 2B ? ? 3 cos2B

t an 2B ? ? 3

又? B 为锐角 ? 2B ? ?0, ? ?

? 2B ?

2? 3

?B ?

?
3

?? ? f ? x ? ? sin 2 x cos B ? cos 2 x sin B ? sin ? 2 x ? ? 3? ?
2 k? ?

?
2

? 2x ?

?
3

? 2 k? ?

?
2

? 5? ? ? k? ? , k? ? ? ? 12 12 ? . ∴函数的单调递增区间是 ?
?B ?
(Ⅱ)

7分

?
3

, b ? 2,由余弦定理cos B ?

a2 ? c2 ? b2 得 2ac

a 2 ? c 2 ? ac ? 4 ? 0
2 2 又? a ? c ? 2ac 代入上式得: ac ? 4 (当且仅当 a ? c ? 2 时等号成立.)

S ?ABC ?

1 3 ac s i n B? ac ? 3 2 4 (当且仅当 a ? c ? 2 时等号成立.)

14 分

5.(山东省莱阳市 2011 届高三上学期期末数学模拟 6 理)(本小题满分 12 分)

f ( x) ?
已知函数

3 1 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 , ( x ? R)

(I)求函数 f ( x ) 的最小值和最小正周期; ( II ) 设 ?ABC 的 内角 A, B, C 的 对 边分 别为 a, b, c , 且 c ? 3 , f (C ) ? 0 , 若向 量

u v v m ? (1,sin A) 与向量 n ? (2,sin B) 共线,求 a , b 的值.
f ( x) ?
答案 解:(I)

? 3 1 ? cos 2 x 1 sin(2 x ? ) ? 1 sin 2 x ? ? 6 2 2 2=
T? 2? ?? 2 .

????3 分

则 f ( x ) 的最小值是-2,最小正周期是

????????6 分

f (C ) ? sin(2C ? ) ? 1 ? 0 sin(2C ? ) 6 6 =1, (II) ,则

?

?

? ? 11 ?? ? 2C ? ? ? ? 0 ? C ? ? ,?0 ? 2C ? 2? , 6 6 6 ,
? 2C ?

?
6

?

? ? C? 3, 2,

????????????????8 分

? 向量 m ? ?1,sin A? 与向量 n ? ? 2,sin B? 共线
1 sin A ? ? 2 sin B , a 1 ? b 2 由正弦定理得, c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos
由余弦定理得, 由①②解得 a ? 1, b ? 2 .

??????????????????10 分



?
3 ,即 3= a 2 ? b2 ? ab


?????????????????12 分

6、(福建省三明一中 2011 届高三上学期第三次月考理)(本题满分 13 分)

y ? 0与函数 f ( x) ? 2 cos 2
A、 B 是直线

?x
2

? cos(?x ?

?
3

) ? 1(? ? 0)
图像的两个相邻交

| AB |?
点,且

?
2

.

(I)求 ? 的值;

(II)在锐角 ?ABC 中,a,b,c 分别是角 A,

3 f ( A) ? ? , c ? 3, ?ABC 2 B,C 的对边,若 的面积为 3 3 ,求 a 的值.
答案

题组二 一、选择题 1. (成都市玉林中学 2010— 2011 学年度)函数 f ( x) ? x ? ax ? 3x ? 9 ,已知 f ( x) 在
3 2

x ? ?3 时取得极值,则 a =
(A)4 (B)3
3 2

(C)5
2

(D)2

? 答案 C. 解: f ( x) ? x ? ax ? 3x ? 9 ? f ( x) ? 3x ? 2ax ? 3
? 由已知 x ? ?3 时, f ( x) ? 0 ? 3 ? 9 ? 2a ? 3 ? 3 ? 0 ? a ? 5
cos( ?
2.(成都市玉林中学 2010—2011 学年度) 故选 C

20? )? 3

1 3 (A) 2 (B) 2
答案 C.

1 (C)— 2

3 (D)— 2

3. (成都市玉林中学 2010—2011 学年度) 已知定义域为 R 的函数 f ( x ) 在 (8,??) 上为减函数,

且 y ? f ( x ? 8) 函数为偶函数,则 A. f (6) ? f (7) C. f (7) ? f (9) 答案 D. D. f (7) ? f (10) B. f (6) ? f (9)

?? ? y ? 2sin ? 2 x ? ? 3 ? 的图象是: ? 4.(成都市玉林中学 2010—2011 学年度)
(A)关于原点成中心对称
?? ? ? ,0 ? (C)关于点 ? 12 ? 成中心对称

(B)关于 y 轴成轴对称
x?

?
12 成轴对称

(D)关于直线

?? ? y ? 2sin ? 2 x ? ? 3? ? 答案 D. 解:因为
2x ?
若是关于中心对称:则 关于指定的点成中心对称;

?
3

? k? ? x ?

3k? ? ? ? (k ? Z ) x ? 0, x ? 6 12 ,所以不 ,故 k? ? ? (k ? Z ) 2 12

2x ?
若是关于轴对称:则

?
3

? k? ?

?
2

?x?

? k ? 0 时,对称轴为

x?

?
12
故选 D

5.(江西省 2011 届高三文)直角梯形 ABCD,如图 1,动点 P 从 B 点出发,由 B→C→D→ A 沿边运动,设动点 P 运动的路程为 x,Δ ABP 面积为 f ( x ) ,已知 f ( x ) 图象如图 2,则Δ ABC 面积为( ) D y C P A A.10 答案 B. 图1 B.16 B C.18 0 4 图2 D.32 9 14 x

6.(江西省 2011 届高三理)若函数 f(x)=x- 值范围是 A.[-1,+∞) 答案 A.

p p + 在(1,+∞)上是增函数,则实数 p 的取 x 2 D.(-∞,1]

B.[1,+∞) C.(-∞,-1]

?? ? y ? 2sin ? 2 x ? ? 3 ? 的图象是: ? 7.(四川省成都市玉林中学 2011 届高三理)
A.关于原点成中心对称
?? ? ? ,0 ? C.关于点 ? 12 ? 成中心对称

B.关于 y 轴成轴对称
x?

?
12 成轴对称

D.关于直线

?? ? y ? 2sin ? 2 x ? ? 3? ? 答案 解:因为
2x ?
若是关于中心对称:则 关于指定的点成中心对称;

?
3

? k? ? x ?

3k? ? ? ? (k ? Z ) x ? 0, x ? 6 12 ,所以不 ,故 k? ? ? (k ? Z ) 2 12

2x ?
若是关于轴对称:则

?
3

? k? ?

?
2

?x?

? k ? 0 时,对称轴为

x?

?
12
故选 D

? 8. (浙江省桐乡一中 2011 届高三理) 要得到函数 y=cos2x 的图象, 只需将函数 y=cos(2x- 3 )
的图象

?
(A)向右平移 3 个单位

?
(B)向左平移 3 个单位

?
(C)向右平移 6 个单位 答案 D.

?
(D)向左平移 6 个单位

9. (四川省成都外国语学校 2011 届高三 10 月文)同时具有性质:“①对任意 x ? R ,
f ( x ? ? ) ? f ( x)

恒成立;②图象关于直线

x?

?
3 对称;③在

[?

? ?

, ] 6 3 上是增函数”的函数可

以是( A.



f ( x) ? sin(2 x ?

?
6

)

B. D.

f ( x) ? sin(2 x ?

?
6 )

)

C. 答案 B.

f ( x) ? cos(2 x ?

?
3

)

f ( x) ? cos(2 x ?

?
6

3 10.(四川省成都外国语学校 2011 届高三 10 月文).已知函数 f ( x) ? x ? bx 的图象在点

A (1, f (1)) 处的切线的斜率为 4,则函数 g ( x) ? 3 sin 2x ? b cos 2x 的最大值是( A. 1 B. 2 C. 2 D. 3



答案 B.

y ? sin x sin( x ?
11. (2011 湖南嘉禾一中) 别是 ( )

?
2

) ? sin

2? cos 2 x 3 的最大值 和最小正周期分

1? 3 A. 2
答案 D.

B.2,2π

C. 2 ,2π D.1,2π

12.(北京四中 2011 届高三上学期开学测试理科试题)函数 为 C,则下列论断中,正确论断的个数是( )

的图象

(1)图象 C 关于直线

对称;

(2)函数

在区间

内是增函数;

(3)由函数 A.0 答案 C. B.1

的图象向右平移 C.2 D.3

个单位长度可以得到图象 C.

? y ? sin 2 x 13.(北京五中 2011 届高三上学期期中考试试题理)将函数 的图象向左平移 4
个单位长度,向上平移 1 个单位长度,所得图象对应的函数解析式是( )

( A) y ? 2cos2 x
答案 A.

( B) y ? c o s x 2

(C ) y ? ? c o s x 2

( D) y ? ?2 c o2sx

f ( x) ? ?4 sin( 2 x ?
14. (福建省安溪梧桐中学 2011 届高三第三次阶段考试理) 将函数

?

) 4 的

1 ? 图象向右平移 个单位,再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的 2 倍,所得图象关于直线

x?

?
4 对称,则 ? 的最小正值为
3 ? B. 8
( )

1 ? A. 8
答案 B.

3 ? C. 4

D.

1 ? 2

15.(福建省惠安荷山中学 2011 届高三第三次月考理科试卷)

1 x 3? y? y ? cos( ? )( x ?[0,2? ]) 2 的交点个数是( ) 2 2 在同一直角坐标系中, 的图象和直线
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 答案 C. 16.(福建省惠安荷山中学 2011 届高三第三次月考理科试卷) 函数 f ( x) ? 2cos x ? sin 2 x ?1
2

,给出下列四个命题:

? 5? [ , ] (1)函数在区间 8 8 上是减函数;
x?
(2)直线

?
8 是函数图象的一条对称轴;

? (3)函数 f ( x) 的图象可由函数 y ? 2 sin 2 x 的图象向左平移 4 而得到;
x ? [0, ] 2 ,则 f ( x) 的值域是 [0, 2] 。 (4)若
其中正确命题的个数是 ( A.1 B .2 答案 B. 二、填空题 ) C.3 D.4

?

?? ? f ?x ? ? 2 sin ? 3x ? ? 6 ? 的最小正周期 T ? ? 17.(江苏泰兴市重点中学 2011 届理)函数
2 ? 3 ,

答案

?? ? f ?x ? ? 3 sin x ? sin? ? x ? ?2 ? 在 x ? R 上的最 18.(江苏泰兴市重点中学 2011 届理)函数
小值等于 答案 -2。 19.(江苏泰兴市重点中学 2011 届理)函数 f ?x ? ? x ? 2 sin x 在 ?0, ? ?上的单调增区间为

{ ,? } 答案 3 ,
20 .(江苏泰兴市重点中学 2011 届理)已知函数 y ? f ( x) 是奇函数,当 x ? 0 时,

?

f ( x) ? x2 ? ax(a ? R) , f (2) ? 6 ,则 a ?
答案 5

_________

21.(江苏泰兴市重点中学 2011 届理)设函数 f ( x ) 是定义在 R 上以 3 为周期的奇函数,

若 f (1) ? 1 ,

f (2) ? 2 3,

2a ? 3 a ? 1 ,则 a 的取值范围是__________________________.

?1 ? a ?
答案

f ( x) ? lg

22.(江苏省 2011 届高三理)关于函数 ①其图象关于 y 轴对称; ②当 x ? 0 时, f ( x ) 是增函数;当 ③ f ( x ) 的最小值是 lg 2 ;

x2 ? 1 ( x ? 0) | x| ,有下列命题

x ? 0 时,

f ( x)

是减函数;

④ f ( x ) 在区间(-1,0)、(2,+∞)上是增函数 ⑤ f ( x ) 无最大值,也无最小值 其中所有正确结论的序号是 3 (?2,? ] 2 答案
π? ? f ( x) ? 3sin ? 2 x ? ? 3 ? 的图象 ? 23.(湖南省嘉禾一中 2011 届高三上学期 1 月高考押题卷)函数

为 C ,如下结论中正确的是_______

(写出所有正确结论的编号) ①图象 C 关于直线
x? 11 π 12 对称;

? 2? ? 0? ? , C ②图象 关于点 ? 3 ? 对称; ? ? 5? ? ?? , ? ③函数 f ( x) 在区间 ? 12 12 ? 内是增函数;

④由

y ? 3sin 2 x

? 的图角向右平移 3 个单位长度可以得到图象 C

答案 ①②③ 24. (四川成都市玉林中学 2010—2011 学年度) 已知函数 f ( x) ?| x ? 2ax ? b | ( x ? R) . 给
2

出下列命题:① f ( x) 必是偶函数;②当 f (0) ? f (2) 时, f ( x) 的图像必关于直线 x=1 对
2 2 称;③若 a ? b ? 0 ,则 f ( x) 在区间 [a, ? ?] 上是增函数; ④ f ( x) 有最大值 | a ? b | . 其

中正确的序号是 答案 ③ 解:①不恒为偶函数;



② f (0) ? f (2) ?| b |?| 4 ? 4a ? b |? b ? (4 ? 4a) ? 2b(4 ? 4a) ? b ,
2 2 2

所以 a ? 1或b ? 2a ? 2 ,若 f ( x) ?| x ? 2 x ? b | ( x ? R) ? 关于 x ? 1 对称,
2

若 f ( x) ?| x ? 2ax ? 2a ? 2 |? 不恒关于 x ? 1 对称;
2

③ a ? b ? 0 时,整个图象在 x 轴的上方(或顶点在 x 轴上)
2

f ( x) ?| x2 ? 2ax ? b |? x2 ? 2ax ? b ,故 f ( x) 在区间 [a, ? ?] 上是增函数;
④无最大值。(开口向上) 25.(成都市玉林中学 2010—2011 学年度)已知函数 f ( x) ?| x ? 2ax ? b | ( x ? R) .给出
2

下列命题:① f ( x) 必是偶函数;②当 f (0) ? f (2) 时, f ( x) 的图像必关于直线 x=1 对称;
2 2 ③若 a ? b ? 0 ,则 f ( x) 在区间 [a, ? ?] 上是增函数;④ f ( x) 有最大值 | a ? b | . 其中

正确的序号是 答案 ③ 解:①不恒为偶函数;



② f (0) ? f (2) ?| b |?| 4 ? 4a ? b |? b ? (4 ? 4a) ? 2b(4 ? 4a) ? b ,
2 2 2

所以 a ? 1或b ? 2a ? 2 ,若 f ( x) ?| x ? 2 x ? b | ( x ? R) ? 关于 x ? 1 对称,
2

若 f ( x) ?| x ? 2ax ? 2a ? 2 |? 不恒关于 x ? 1 对称;
2

③ a ? b ? 0 时,整个图象在 x 轴的上方(或顶点在 x 轴上)
2

f ( x) ?| x2 ? 2ax ? b |? x2 ? 2ax ? b ,故 f ( x) 在区间 [a, ? ?] 上是增函数;
④无最大值。(开口向上) 三、简答题

f ( x) ?
26. (江苏泰兴市重点中学 2011 届理) (本小题满分 14 分) : 已知函数

1 ? ax2 x ? b ?a ? 0?

是奇函数,并且函数 f ( x) 的图像经过点(1,3), (1)求实数 a , b 的值; (2)求函数 f ( x) 的值域

答案 解:(1)?函数
2

f ( x) ?

1 ? ax2 x ? b 是奇函数,则 f (? x) ? ? f ( x)

?

1 ? a?? x ? 1 ? ax2 ?? ,? a ? 0,? ? x ? b ? ? x ? b,? b ? 0 ? x?b x?b ???(3 分)

1? a ? f (1) ? 3,? ? 3,? b ? 0, f ( x ) 1? b 又函数 的图像经过点(1,3),
∴a=2 ??(6 分)

f ( x) ?
(2)由(1)知

1 ? 2x 2 1 ? 2 x ? ? x ? 0? x x ???(7 分)

当 x ? 0 时,

2x ?

1 1 1 ? 2 2x ? ? 2 2, 2x ? , x x x 当且仅当

x?


2 2 时取等号?(10 分)

当 x ? 0 时,

?? 2 x? ?

1 1 1 ? 2 ?? 2 x ? ? ? 2 2 ,? 2 x ? ? ?2 2 ?x ?x x

(?2 x) ?
当且仅当

1 2 , x?? ?x 即 2 时取等号?????(13 分)

综上可知函数 f ( x) 的值域为 ? ?,?2 2 ? 2 2,?? ????(12 分)

?

? ?

?

?1 ? a ? ?1, cos x ?, b ? ? , sin x ?, x ? ?0, ? ? ?3 ? 27.(江苏泰兴市重点中学 2011 届)(14 分)已知
sin x ? cos x (1)若 a // b ,求 sin x ? cos x 的值;
(2)若 a ? b ,求 sin x ? cos x 的值。 答案(本题满分 14 分)

? a / / b ? sin x ?
解:(1)

1 1 cos x ? tan x ? 2 3 ????3 分

1 ?1 sin x ? cos x tan x ? 1 3 ? ? ? ? ?2 sin x ? cos x tan x ? 1 1 ?1 3 ????6 分
?a ? b ?
(2)

1 1 ? sin x cos x ? 0 ? sin x cos x ? ? 3 3 ????8 分 5 3 ????10 分

? (sin x ? cos x) 2 ? 1 ? 2sin x cos x ?

? x ? (0, ? )且 sin x cos x ? 0 ? x ? ( , ? ) ? sin x ? cos x ? 0 2 又 ??12 分

?

? sin x ? cos x ?

15 3 ??????14 分

28.(2011 湖南嘉禾一中)(本小题满分 12 分)

f ( x) ? sin( x ?
已知函数 (1)求常数 a 的值;

?
6

) ? sin( x ?

?
6

) ? cos x ? a
的最大值为 1.

(2)求 f ( x) 的单调递增区间; (3)求 f ( x) ≥ 0 成立的 x 的取值集合.

f ( x) ? 2 sin x cos
答案 (1)

?
6

? cos x ? a

? 3 sin x ? cos x ? a ? 2 sin( x ? sin( x ?


?
6

)?a

?
6

) ? 1时,

f ( x) max ? 2 ? a ? 1, 所以a ? ?1. ????????4 分
2k? ?
(2)令

?
2

? x?

?
6

? 2k? ?

?
2

,k ? Z,
??????6 分

2k? ?
解得:

2? ? ? x ? 2k? ? , k ? Z 3 3 [2k? ? 2? ? ,2k? ? ], k ? Z . 3 3 ????8 分

所以, f ( x) 的单调递增区间是

f ( x) ? 0得 sin( x ?
(3)由

?
6

)?

1 2 ,????????10 分 5? ,k ? Z, 6

2k? ?
所以,

?
6

? x?

?
6

? 2l? ?

2k? ? x ? 2k? ?
解得:

2? ,k ? Z 3 {x | 2k? ? x ? 2k? ? 2? , k ? Z} 3 ??12 分

所以, f ( x) ? 0成立的x 的取值集合

29.(2011 湖南嘉禾一中)(本题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ? x ? ax ? 1, (a ? R)
3 2

2 (1)若在 f ( x) 的图象上横坐标为 3 的点处存在垂直于 y 轴的切线,求 a 的值;
(2)若 f ( x) 在区间(-2,3)内有两个不同的极值点,求 a 取值范围; (3)在(1)的条件下,是否存在实数 m,使得函数 g ( x) ? x ? 5x ? (2 ? m) x ? 1 的
4 3 2

图象与函数 f ( x) 的图象恰有三个交点,若存在,试出实数 m 的值;若不存在,说明理由.

2 f ?( ) ? 0, 3 答案 解:(1)依题意,

? f ?( x) ? ?3x 2 ? 2ax,
2 2 ? 3( ) 2 ? 2 ? a ? ? 0, 3 3

? a ? 1 ??????????3 分
(2)若 f ( x) 在区间(—2,3)内有两个不同的极值点,

? 则方程 f ( x) ? 0 在区间(—2,3)内有两个不同的实根,

? ? ? 0, f ?(?2) ? 0, f ?(3) ? 0,?2 ?
3

a 9 ? 3, 解得 ? 3 ? a ? 且a ? 0 3 2

但 a=0 时, f ( x) ? ? x ? 1 无极值点,

9 ( ?3,0) ? (0, ) 2 ????????8 分 ∴a 的取值范围为

(3)在(1)的条件下,a=1,要使函数 f ( x)与g ( x) ? x ? 5x ? (2 ? m) x ? 1 的图象
4 3 2

恰有三个交点,等价于方程 ? x ? x ? 1 ? x ? 5x ? (2 ? m) x ? 1,
3 2 4 3 2

即方程 x ( x ? 4 x ? 1 ? m) ? 0 恰有三个不同的实根。
2 2

? x =0 是一个根,
2 ? 应使方程 x ? 4 x ? 1 ? m ? 0 有两个非零的不等实根,

由 ? ? 16 ? 4(1 ? m) ? 0,1 ? m ? 0, 解得m ? ?3, m ? 1??????12 分
4 3 2 ? 存在 m ? (?3,1) ? (1,??),使函数f ( x)与g ( x) ? x ? 5x ? (2 ? m) x ? 1 的图象恰

有三个交点??????????13 分 30. (成都市玉林中学 2010—2011 学年度) (本题满分 12 分)已知向量 a ? (cos x, 2cos x) , b

? (2cos x,sin ?? ? x ?)

,若 f ( x) ? a ?b+1 .(I)求函数

f ( x) 的解析式和最小正周期;

? ?? x ? ?0, ? ? 2 ? ,求 f ( x) 的最大值和最小值. (II) 若
答案 解:(I)∵a ∴

? (cos x, 2cos x) , b ? (2cos x,sin ?? ? x?) ,
2

f ( x) ? a

·b+1 ? 2cos x ? 2cos x sin(? ? x) ? 1 ----------------2 分

? 1 ? cos 2 x ? 2 sin x cos x ? 1 ---------------------------------4 分 ? cos 2 x ? sin 2 x ? 2 --------------------------------------6 分

? 2 sin( 2 x ? ) ? 2 4 . -------------------------------------------7 分

?

∴函数

f ( x) 的最小正周期 T ? 2 ? ? .

2?

--------------------------8 分

? ? ? 5? ? ? ?? 2x ? ? ? , ? ? x ? ?0, ? 4 ? 4 4 ? . ------------------------------------------------9 分 ? 2?, ∴ (II)

当2 x ?


?
4

?

?
2

,即x ?

?
8




f ( x)有最大值 2 ? 2 ;------------------11 分

当2 x ?

?
4

?

5? ? , 即x ? 时 4 2 , f ( x)有最小值1 -----------------------12 分

31. (四川成都市玉林中学 2010—2011 学年度) (本题满分 12 分) 已知向量 a ? (cos x, 2cos x) , b

? (2cos x,sin ?? ? x ?)

,若 f ( x) ? a ?b+1 .(I)求函数

f ( x) 的解析式和最小正周期;

? ?? x ? ?0, ? ? 2 ? ,求 f ( x) 的最大值和最小值. (II) 若
答案 解:(I)∵a ∴

? (cos x, 2cos x) , b ? (2cos x,sin ?? ? x?) ,
2

f ( x) ? a

·b+1 ? 2cos x ? 2cos x sin(? ? x) ? 1 ----------------2 分

? 1 ? cos 2 x ? 2 sin x cos x ? 1 ---------------------------------4 分 ? cos 2 x ? sin 2 x ? 2 --------------------------------------6 分

? 2 sin( 2 x ? ) ? 2 4 . -------------------------------------------7 分

?

∴函数

f ( x) 的最小正周期

T?

2? ?? 2 .

--------------------------8 分

? ? ? 5? ? ? ?? 2x ? ? ? , ? ? x ? ?0, ? 4 ? 4 4 ? . ------------------------------------------------9 分 ? 2?, ∴ (II)

当2 x ?


?
4

?

?
2

,即x ?

?
8




f ( x)有最大值 2 ? 2 ;------------------11 分

当2 x ?

?
4

?

5? ? , 即x ? 时 4 2 , f ( x)有最小值1 -----------------------12 分
g ( x) ? ?bx a, b, c ? R

32 .(四川成都市玉林中学 2010 — 2011 学年度)(本题满分 14 分)已知二次函数

f ( x) ? ax2 ? bx ? c
a ? b ? c, f (1) ? 0 .

和一次函数



其中







(1)证明:函数 f ( x)与g ( x) 的图象交于不同的两点 A,B; (2)若函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x)在[2,3] 上的最小值为 9,最大值为 21,试求 a , b 的值; (3)求线段 AB 在 x 轴上的射影 A1B1 的长的取值范围. 答案 33.(1)由 g ( x) ? ?bx与f ( x) ? ax ? bx ? c得ax ? 2bx ? c ? 0,? f (1) ? a ? b ? c ? 0 ,
2 2

a ? b ? c,? a ? 0, c ? 0, 从而? ? b 2 ? 4ac ? 0, 即函数 f ( x)与g ( x) 的图象交于不同

的两点 A,B;

?

?

3





2



b c ? ?a ? b, a ? b ? c, 即a ? c ? ?a ? b, 得2a ? ?b, ? ? 2, a
2 已知函数 F ( x) ? ax ? 2bx ? c 的对称轴为

x??

b a,
?????6 分 ??8 分

故 y ? F ( x) 在[2,3]上为增函数,

F (2) ? 3a ? 3b ? 9, F (3) ? 8a ? 5b ? 21, 解得a ? 2, b ? 1;

2b ? x1 ? x 2 ? ? ? ? a F ( x) ? ax2 ? 2bx ? c ? 0的两根为x1 , x 2 , 得? ?x x ? c 1 2 ? a ? (3)设方程
c 1 3 | A1 B1 |2 ?| x1 ? x2 |? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 4[( ? ) 2 ? ], a 2 4 由a ? b ? c, b ? ?a ? c, 得a ? ?a ? c ? c, c 1 ? (?2, ? ), a 2

??9 分

??10 分

c c 1 3 1 c c 1 | A1 B1 | 2 ? h( ) ? 4[( ? ) 2 ? ], x ? ? , h( )在 ? (?2,? ) a a 2 4 的对称轴为 2 a a 2 上是减函 设

| A1 B1 | ? (3,12),得 | A1 B1 |? ( 3,2 3). 数,?
2

??12 分

34.(江苏泰兴市重点中学 2011 届)(14 分)设 ?ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为
2 a、b、c,且 3 b +3 c -3 a =4 2 bc .

2

2

(Ⅰ) 求 sinA 的值;

2sin( A ? )sin( B ? C ? ) 4 4 1 ? cos 2 A (Ⅱ)求 的值.
cos A ?
答案 解:(Ⅰ)由余弦定理得

?

?

b2 ? c 2 ? a 2 2 2 ? 2bc 3
1 3

0 ? A ? ? , 故 sin A ? 1 ? cos 2 A ?


2sin( A ? )sin(? ? A ? ) 4 4 ? 1 ? cos 2 A (Ⅱ)原式

?

?

2sin( A ? )sin( A ? ) 4 4 ? 2sin 2 A
2( 2 2 2 2 sin A ? cos A)( sin A ? cos A) 2 2 2 2 2sin 2 A

?

?

?

sin 2 A ? cos 2 A ? 2sin 2 A
7 ?? . 2
35.(江苏泰兴市重点中学 2011 届)(16 分)已知函数 f ( x) ? ax ? x ? bx (其中常数
3 2

a, b ? R ), g ( x) ? f ( x) ? f ?( x) 是奇函数。
(1)求 f ( x ) 的表达式; (2)讨论 g ( x) 的单调性,并求 g ( x) 在区间
2

?1, 2? 上的最大值和最小值。

? 答案 解:(Ⅰ)由题意得 f ( x) ? 3ax ? 2 x ? b ? 因此 g ( x) ? f ( x) ? f ( x) ? ax ? (3a ? 1) x ? (b ? 2) x ? b
2 2

因为函数 g ( x) 是奇函数,所以 g (? x) ? ? g ( x) ,即对任意实数 x ,有

a(? x)3 ? (3a ? 1)(? x)2 ? (b ? 2)(? x) ? b ? ?[ax3 ? (3a ? 1) x2 ? (b ? 2) x ? b]
从而 3a ? 1 ? 0, b ? 0 ,

1 1 a ? ? ,b ? 0 f ( x) ? ? x 2 ? x 2 . f ( x ) 3 3 解得 ,因此 的解析表达式为
1 g ( x) ? ? x 2 ? 2 x 3 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 ,

? ? 所以 g ( x) ? ? x ? 2, 令g (x)=0
2

解得

x1 ? ? 2, x2 ? 2

? 则当 x ? ? 2或x> 2 时, g ( x) ? 0
从而 g ( x) 在区间 (??, ? 2] , [ 2, ??) 上是减函数,

当? 2 ? x ?

2时, g ?( x) ? 0 ,

从而 g ( x) 在区间 [? 2, 2] 上是增函数, 由前面讨论知, g ( x) 在区间[1,2]上的最大值与最小值只能在 x ? 1, 2, 2 时取得,

5 4 2 4 g (1) ? , g ( 2) ? , g (2) ? 3 3 3 , 因 此 g ( x) 在 区 间 [1 , 2] 上 的 最 大 值 为 而 g (2) ?
4 4 2 g (2) ? . 3 3 ,最小值为
2

36.(江苏泰兴市重点中学 2011 届理)(本题满分 16 分)设二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 在区间

??2, 2? 上的最大值、最小值分别是 M、m,集合 A ? ?x | f ( x) ? x? .

(1)若 A ? {1, 2},且 f (0) ? 2 ,求 M 和 m 的值; (2)若 A ? {1} ,且 a ? 1 ,记 g (a) ? M ? m ,求 g ( a ) 的最小值. 答案 27.(1)由 f (0) ? 2可知c ? 2, ???????????1 分 又

A ? ?1 , 2?,故1 , 2是方程ax2 ? (b ? 1) x ? c ? 0的两实根.

1-b ? 1+2= ? ? a ?? , c ?2= ? ? a ???????3 分

解得a ? 1, b ? ?2 ????4 分

? f ( x) ? x2 ? 2x ? 2 ? ( x ? 1)2 ? 1,

x ???2,2?

当x ? 1时,f ( x)min ? f (1) ? 1,即m ? 1 ???????????5 分 当x ? ?2时,f ( x)max ? f (?2) ? 10,即M ? 10. ???????????6 分
2 (2)由题意知,方程ax ? (b ? 1) x ? c ? 0有两相等实根x=2, x=1

1? b ? 1?1 ? ? ? a ? ?b ? 1 ? 2a ?2 ? c ? ? c?a a ∴ ? , 即?

???????????8 分

∴f(x)=ax2+(1-2a)x+a, x∈[-2,2]

1 4a ? 1 ? 1 ? 2a 其对称轴方程为 x= 2a

1 ?1 ? ? ? ,1? 又 a≥1,故 1- 2a ? 2 ? ???????????9 分
∴M=f(-2)=9a-2 ??????????10 分

f(
m=

2a ? 1 1 ) ? 1? 2a 4a

???????????11 分

1 g(a)=M+m=9a- 4 a -1

???????????14 分

31 63 又g (a)在区间?1, ??? 上为单调递增的, ?当a ? 1时,g (a)min ? . 4 ???16 分 = 4

2010 年联考题
题组二

1.(马鞍山学业水平测试)△AOB 是边长为 1 的等边三角形,O 是原点, AB ? x 轴,以 O 为顶点,且过 A,B 的抛物线的方程是 A. y ?
2

3 x 6

B. y ? ?
2

3 x 6

C. y ? ?
2

3 x 6

D. y ? ?
2

3 x 3

答案 B 2.设点 O 在 ?ABC 内部,且 4OA ? OB ? OC ? 0 ,则 ?ABC 的面积与 ?OBC 的面积之比 是 A.2:1 B.3:1 C.4:3 D.3:2 答案:D 3. ( 祥 云 一 中 三 次 月 考 理 ) 已 知 边 长 为 1 的 正 三 角 形 ABC 中 , 则

??? ? ??? ? ??? ?

?

BC ? CA ? CA ? AB ? AB ? BC 的值为
A. ?

1 2

B. ?

3 2

C.

1 2

D.

3 2

答案:B 4. ?ABC 的三内角 A,B,C 所对边长分别是 a, b, c ,设向量 m ? (a ? b, sin C),

n ? ( 3a ? c, sin B ? sin A) ,若 m // n ,则角 B 的大小为_____________

答案

5 ? 6

5.(哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学) (1) 由 “若 a, b, c ? R 则 (ab)c ? a(bc) ” 类比 “若 a,b,c 为三个向量则 (a ? b) ? c = a ? (b ? c) ” (2)在数列 ?an ? 中, a1 ? 0, an?1 ? 2an ? 2 猜想 an ? 2n ? 2 (3)在平面内“三角形的两边之和大于第三边”类比在空间中“四面体的任意三个面的面 积之和大于第四个面的面积” (4)已知 (2 ? x)8 ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? ?? a8 x8 ,则 a1 ? a2 ? ?? a8 ? 256 . 上述四个推理中,得出的结论正确的是____ .(写出所有正确结论的序号) 答案(2) (3)

6.(哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学) 设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 且 a cos C ? (1)求角 A 的大小; (2)若 a ? 1 ,求 ?ABC 的周长 l 的取值范围. 解:(1)由 a cos C ?

1 c ? b. 2

1 1 c ? b 得 sin A cos C ? sin C ? sin B 2 2

???? 2 ? ???? 4 ?

又 sin B ? sin ? A ? C ? ? sin A cos C ? cos Asin C

1 1 ? sin C ? cos A sin C ,? sinC ? 0 ,? cos A ? , 2 2
又? 0 ? A ? ? ? A ? (2)由正弦定理得: b ?

?

3

???? 6 ?

a sin B 2 2 ? sin B , c ? sin C sin A 3 3

l ? a ? b ? c ? 1?

2 2 ? sin B ? sin C ? ? 1 ? ?sin B ? sin ? A ? B ? ? ??? 8? 3 3
???? 10?

? 3 ? 1 ?? ? ? 1? 2? sin B ? cos B ? 1 ? 2 sin? B ? ? ? ? 2 ? 2 6? ? ? ?
?A?

?

? 2? , ? B ? ? 0, 3 ? 3

? ? ? 5? ? ?? ?1 ? ? ? ? , ? B ? ? ? , ? ? sin ? B ? ? ? ? ,1? 6 ?6 6 ? 6? ?2 ? ? ?
???? 12?

故 ?ABC 的周长 l 的取值范围为 ? 2,3? .

2 2 2 (2)另解:周长 l ? a ? b ? c ? 1 ? b ? c 由(1)及余弦定理 a ? b ? c ? 2bc cos A

?b2 ? c 2 ? bc ? 1
? (b ? c) 2 ? 1 ? 3bc ? 1 ? 3( b?c 2 ) 2

???? 8 ?

b?c ? 2 又 b ? c ? a ? 1? l ? a ? b ? c ? 2
即 ?ABC 的周长 l 的取值范围为 ? 2,3? .

???? 10? ???? 12?

7.(肥城市第二次联考)(本小题满分 12 分) 如图,A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D 为两岛上的 两座灯塔的塔顶。测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为

750 ,30 0 ,于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 60 0 ,AC=0.1km。
试探究图中 B,D 间距离与另外哪两点间距离相等,然后求 B,D 的距 离(计算结果精确到 0.01km, 2 ? 1.414, 6 ? 2.449) 解: 在△ABC 中,∠DAC=30°, ∠ADC=60°-∠DAC=30, 所以 CD=AC=0.1 又∠BCD=180°-60°-60°=60°, 故 CB 是△CAD 底边 AD 的中垂线,所以 BD=BA, 在△ABC 中, sin ?BCA ? sin ?ABC ,
AB AC

??5 分

ACsin60 ? 3 2 ? 6 ? , 即 AB= sin 15? 20
3 2? 6 ? 0.33km 。 因此,BD= 20

故 B,D 的距离约为 0.33km。

??12 分

8.(池州市七校元旦调研)在 ?ABC 中,内角 A、B、C 的对边长分别为 a 、 b 、 c ,已知

a 2 ? c 2 ? 2b ,且 sin A cos C ? 3cos A sin C, 求 b
分析:此题事实上比较简单 ,但考生反应不知从何入手 .对已知条件(1) a ? c ? 2b 左侧是
2 2

二 次 的 右 侧 是 一 次 的 , 学 生 总 感 觉 用 余 弦 定 理 不 好 处 理 , 而 对 已 知 条 件 (2)

sin A cos C ? 3cos A sin C, 过多的关注两角和与差的正弦公式 ,甚至有的学生还想用现在
已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分. 解 法 一 : 在 ?ABC 中 ? sin A cos C ? 3cos A sin C, 则 由 正 弦 定 理 及 余 弦 定 理

有 : a?

a 2 ? b2 ? c 2 b2 ? c2 ? a 2 ?3 ?c, 化 简 并 整 理 得 : 2 (a 2 ? c 2 )? b2. 又 由 已 知 2ab 2bc

a 2 ? c 2 ? 2b ? 4b ? b2 .解得 b ? 4或b ? 0(舍) .
解法二:由余弦定理得: a ? c ? b ? 2bc cos A .又 a ? c ? 2b , b ? 0 。
2 2 2 2 2

所以 b ? 2c cos A ? 2 ?????????????① 又 sin A cos C ? 3cos A sin C ,? sin A cos C ? cos A sin C ? 4 cos A sin C

sin( A ? C ) ? 4cos A sin C ,即 sin B ? 4 cos A sin C
由正弦定理得 sin B ?

b sin C ,故 b ? 4c cos A ?????????② c

由①,②解得 b ? 4 。

题组一(1 月份更新)
一、选择题 1、 (2009 青岛一模)已知点 F 、 A 分别为双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的左焦点、 a 2 b2

右顶点,点 B(0, b) 满足 FB ? AB ? 0 ,则双曲线的离心率为

??? ? ??? ?

A. 2

B. 3

C.

1? 3 2

D.

1? 5 2

答案 D 2、(2009 上海十四校联考) 已知非零向量 AB与 AC满足?

? AB AC ? ? ? BC ? 0, 且 AB ? AC ? 1 , 则△ABC 的形 ? ? | AB | | AC | ? | AB | | AC | 2 ? ?
( B.直角三角形 D.等边三角形 )

状是 A.三边均不相等的三角形 C.等腰(非等边)三角形 答案 D

3 、 ( 2009 枣 庄 一 模 )已 知 a, b, c分别为?ABC 的 三 个 内 角 A , B , C 的 对 边 , 向 量

m ? (2 cosC ? 1,?2), n ? (cosC, cosC ? 1).若m ? n, 且a ? b ? 10, 则?ABC 周长的最小值为 ( )
A. 10 ? 5 3 答案 B 4、 (2009 上海奉贤区模拟考)在正方体 ABCD- A1B1C1D1 中,点 E 在 A1C1 上, A1 E ? 且 AE ? x AA1 ? y AB? z AD ,则―――――――(
1 1 1 1 (A) x ? 1, y ? ,z ? ,(B) x ? , y ? 1,z ? , 2 2 2 2 1 1 1 1 (C) x ? 1, y ? ,z ? ,(D) x ? 1, y ? ,z ? . 4 4 3 2
? ? ? ?

B. 10 ? 5 3

C. 10 ? 2 3

D. 10 ? 2 3

1 A1C1 4

)。

A1

D1 E

C1 B1

D A 第4题 B

C

答案 D 二、填空题 5、(2009 深圳一模)已知 AD 是 ?ABC 的中线,

AD ? ? AB ? ? AC (?, ? ? R) ,那么 ? ? ? ?
若 ?A ? 120 ? , AB ? AC ? ?2 ,则 AD 的最小值是 答案 1 三、解答题



??? ? ??? ?

????



6、 (2009 湛江一模)已知向量 a ? (2 cos x, 3 ) , b ? (1, sin 2 x) ,函数 f ( x) ? a ? b ,
2

??

??

?? ??

g ( x) ? b .
(Ⅰ)求函数 g ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)在 ? ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,且 f (C ) ? 3 ,c ? 1 , ab ? 2 3 , 且 a ? b ,求 a , b 的值. 解:(Ⅰ) g ( x) ? b
?? 2

?? 2

? 1 ? sin 2 2 x ? 1 ?

1 ? cos 4 x 1 3 ? ? cos 4 x ? 2 2 2

---------2 分

∴函数 g ( x) 的最小周期 T ? 分

2? ? ? 4 2
2

----------4

(Ⅱ) f ( x) ? a ? b ? (2 cos x, 3 ) ? (1, sin 2 x) ? 2 cos x ? 3 sin 2 x
2

?? ??

? cos 2 x ? 1 ? 3 sin 2 x ? 2 sin( 2 x ?

?
6

) ?1

-------------6 分

f (C ) ? 2 sin( 2C ?

?
6

) ?1 ? 3

? sin( 2C ?

?
6

) ?1

------------7 分

? C 是三角形内角 ? ? ? 13? ? ? ) , ∴ 2C ? ? ∴ 2C ? ? ( , 即: C ? -------------8 分 6 6 6 6 6 2
∴ cosC ?

b2 ? a2 ? c2 3 ? 2ab 2
2

即: a ? b ? 7
2 2

----------------10 分

将 ab ? 2 3 可得: a ? ∴a ?

12 ? 7 解之得: a 2 ? 3或4 2 a

3或2

? b ? 2或 3

?a ? b
∴a ? 2

b? 3

------------12 分

7、 (2009 杭州高中第六次月考) 已知 A, B, C 三点的坐标分别是 A(3, 0), B(0, 3), C (cosθ , sinθ ),其中 ? <θ < 3? ,且 AC ? BC .

2

2
的最大值和最小值.

(1)求角 θ 的值; (2)当 0≤x≤ ? 时,求函数 f ? x ? ? 2sin ? 2x ? ? ?

2
解:(1) AC =(cosθ -3,sinθ ), BC =(cosθ ,sinθ -3) ∵ AC ? BC ∴ (cos ? ? 3) 2 ? sin 2 ? ? 2分

cos 2 ? ? (sin ? ? 3) 2
5分 7分 10 分

3? 5? ? <θ < ∴θ = 2 4 2 5? 9? ? (2)当 0≤x≤ 时, ≤2x+θ ≤ 4 4 2
∵ ∴-1≤sin(2x+θ ) ≤

化简得:sinθ =cosθ

2 2

∴f(x)max= 2

f(x)min=-2

14 分

n ? 1, 8、 (2009 杭州学军中学第七次月考)已知向量 m ? (sin A,cos A) , n ? ( 3, ?1) ,m?
且 A 为锐角. (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)求函数 f ( x) ? 3 cos 2 x ? 4cos A sin x cos x( x ? ?0, ?) 的值域. 2 解:(1)

??

?

?? ?

? ?? ? ?

3 sin A ? cos A ? 1, 2sin( A ? ) ? 1 6 ? 1 ? sin( A ? ) ? , A ? 6 2 3
(2)

?

f ( x) ? 3 cos 2 x ? 4 cos

?

3 ? 3 cos 2 x ? sin 2 x

sin x cos x

? 2sin(2 x ? ) 3

?

?
3 ?

? 2x ?

?
3

?

4? 3

3 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 2 3

? 3? y?2
9、(2009 嘉兴一中一模)已知 ?ABC 的三内角 A , B , C 所对边的长分别为 a , b , c , 设向量 m ? (3c ? b, a ? b) , n ? (3a ? 3b, c) , m // n . (1)求 cos A 的值; 解:(1)因为 m // n ,所以 又因为 cos A ? (2)求 sin(2 A ? 30?) 的值.

3c ? b a?b 1 2 2 2 ? ,得 a ? b ? c ? bc ????3 分 3a ? 3b c 3

b2 ? c2 ? a2 1 ? ?????????????3 分 2bc 6

(2)由 cos A ?

1 35 及 A ? (0, ? ) ,得 sin A ? ,?????????????2 分 6 6

所以 sin 2 A ? 2 sin A cos A ?

35 ,?????????????2 分 18

cos 2 A ? 2 cos 2 A ? 1 ? ?

17 ,?????????????2 分 18

sin(2 A ? 30?) ?

3 1 105 ? 17 sin 2 A ? cos 2 A ? ????????????2 分 2 2 36

10、 (2009 桐庐中学下学期第一次月考)已知 A、B、C 三点的坐标分别为 A(3,0) 、 B(0,3) 、

? 3? C (cos ? , sin ? ), ? ? ( , ). 2 2

(1)若 | AC |?| BC |, 求角? 的值; (2)若 AC ? BC ? ?1, 求

2 sin 2 ? ? sin 2? 的值. 1 ? tan?

解:(1)? AC ? (cos? ? 3, sin ? ), BC ? (cos? , sin ? ? 3) ,

?| AC |? (cos? ? 3) 2 ? sin 2 ? ? 10 ? 6 cos? , | BC |? 10 ? 6 sin ? ,

? 3? 由 | AC |?| BC | 得 sin ? ? cos? , 又? ? ( , ), 2 2 5 ?? ? ? , 4
(2)由 AC ? BC ? ?1, 得(cos? ? 3) cos? ? sin ? (sin? ? 3) ? ?1,

? sin ? ? cos? ?

2 5 ? 2 sin ? ? cos? ? ? , 3 9 2 2 2 sin ? ? sin 2? 2 sin ? ? 2 sin ? cos? 5 又 ? ? 2 sin ? ? cos? ? ? , sin ? 1 ? tan? 9 1? cos? 2 sin 2 ? ? sin 2? 5 所以, ?? . 1 ? tan? 9


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