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指数函数及其性质


指数函数及其性质 【学习目标】 1.掌握指数函数的概念,了解对底数的限制条件的合理性,明确指数函数的定义域; 2.掌握指数函数图象: (1)能在基本性质的指导下, 用列表描点法画出指数函数的图象, 能从数形两方面认识指数函数的性质; (2)掌握底数对指数函数图象的影响; (3)从图象上体会指数增长与直线上升的区别. 3.学会利用指数函数单调性来比较大小,包括较为复杂的含字母讨论的

类型; 4.通过对指数函数的概念、图象、性质的学习,培养观察、分析归纳的能力,进一步体会数形结合的思 想方法; 5.通过对指数函数的研究,要认识到数学的应用价值,更善于从现实生活中发现问题,解决问题. 【要点梳理】 要点一、指数函数的概念: x 函数 y=a (a>0 且 a≠1)叫做指数函数,其中 x 是自变量,a 为常数,函数定义域为 R. 要点诠释: (1)形式上的严格性:只有形如 y=a (a>0 且 a≠1)的函数才是指数函数.像 y ? 2 ? 3x , y ? 2 x ,
x

1

y ? 3x ? 1 等函数都不是指数函数.
(2)为什么规定底数 a 大于零且不等于 1:
x ? ? x ? 0时,a 恒等于0, ①如果 a ? 0 ,则 ? x ? ? x ? 0时,a 无意义.

②如果 a ? 0 ,则对于一些函数,比如 y ? (?4) x ,当 x ?
x

1 1 , x ? , ??? 时,在实数范围内函数值不存在. 2 4

③如果 a ? 1 ,则 y ? 1 ? 1 是个常量,就没研究的必要了. 要点二、指数函数的图象及性质: y=a 0<a<1 时图象
x

a>1 时图象

图象

①定义域 R,值域 (0,+∞) ②a =1, 即 x=0 时,y=1,图象都经过(0,1)点 性质 ③a =a,即 x=1 时,y 等于底数 a ④在定义域上是单调减函数 ⑤x<0 时,a >1 x x>0 时,0<a <1 ⑥ 既不是奇函数,也不是偶函数 要点诠释: (1)当底数大小不定时,必须分“ a ? 1 ”和“ 0 ? a ? 1 ”两种情形讨论。
x x 0

④在定义域上是单调增函数 ⑤x<0 时,0<a <1 x x>0 时,a >1
x

(2)当 0 ? a ? 1 时, x ? ??, y ? 0 ;当 a ? 1 时 x ? ??, y ? 0 。 当 a ? 1 时, a 的值越大,图象越靠近 y 轴,递增速度越快。 当 0 ? a ? 1 时, a 的值越小,图象越靠近 y 轴,递减的速度越快。 (3)指数函数 y ? a x 与 y ? ?

?1? ? 的图象关于 y 轴对称。 ?a?

x

要点三、指数函数底数变化与图像分布规律 (1)

① y ? ax ② y ? bx ③ y ? c x ④ y ? d x 则:0<b<a<1<d<c 又即:x∈(0,+∞)时, b x ? a x ? d x ? c x (底大幂大) x x x x x∈(-∞,0)时, b ? a ? d ? c (2)特殊函数

y ? 2x ,

y ? 3x ,

1 y ? ( )x , 2

1 y ? ( ) x 的图像: 3

要点四、指数式大小比较方法 (1)单调性法:化为同底数指数式,利用指数函数的单调性进行比较. (2)中间量法 (3)分类讨论法 (4)比较法 比较法有作差比较与作商比较两种,其原理分别为: ①若 A ? B ? 0 ? A ? B ; A ? B ? 0 ? A ? B ; A ? B ? 0 ? A ? B ; ②当两个式子均为正值的情况下,可用作商法,判断 【典型例题】 类型一、指数函数的概念 例 1.函数 y ? (a ? 3a ? 3)a 是指数函数,求 a 的值.
2 x

A A ? 1 ,或 ? 1 即可. B B

【答案】2 【解析】由 y ? (a ? 3a ? 3)a 是指数函数,
2 x

?a 2 ? 3a ? 3 ? 1, ?a ? 1或a ? 2, 可得 ? 解得 ? ,所以 a ? 2 . ?a ? 0且a ? 1, ?a ? 0, 且a ? 1,
【总结升华】判断一个函数是否为指数函数: (1)切入点:利用指数函数的定义来判断; (2)关键点:一个函数是指数函数要求系数为 1,底数是大于 0 且不等于 1 的常数,指数必须是自变 量x.

举一反三: 【变式 1】指出下列函数哪些是指数函数? (1) y ? 4x ;(2) y ? x4 ;(3) y ? ?4x ;(4) y ? (?4) x ; (5) y ? (2a ? 1) (a ?
x

1 且a ? 1) ;(6) y ? 4? x . 2
x

【答案】(1)(5)(6)

?1? 【解析】(1)(5)(6)为指数函数.其中(6) y ? 4 = ? ? ,符合指数函数的定义,而(2)中底 ?4?
?x

数 x 不是常数,而 4 不是变数; (3)是-1 与指数函数 4 的乘积; (4)中底数 ?4 ? 0 ,所以不是指数函数.
x

类型二、函数的定义域、值域 例 2.求下列函数的定义域、值域. (1) y ?

3x 1 x x 2 x ?1 ;(2)y=4 -2 +1;(3) 3 ? ;(4) y ? a x 1? 3 9

2x ?1 x ?1

(a 为大于 1 的常数)

【答案】 (1)R,(0,1); (2)R [

3 ? 1 ? ,?? ); (3) ? ? , ?? ? 4 ? 2 ?

(4)(-∞,-1)∪[1,+∞) ?0, ??? ;

[1,a)∪(a,+∞) x 【解析】(1)函数的定义域为 R (∵对一切 x ? R,3 ≠-1). ∵ y? ∴ 0?

(1 ? 3x ) ? 1 1 x x ? 1? ,又∵ 3 >0, 1+3 >1, x 1? 3 1 ? 3x

1 1 ? 1 , ∴ ?1 ? ? ? 0, x 1? 3 1 ? 3x 1 ? 1 , ∴值域为(0,1). ∴ 0 ? 1? 1 ? 3x 1 1 2 3 x 2 x x x x (2)定义域为 R, y ? (2 ) ? 2 ? 1 ? (2 ? ) ? ,∵ 2 >0, ∴ 2 ? 即 x=-1 时,y 取最小 2 2 4 3 3 3 值 ,同时 y 可以取一切大于 的实数,∴ 值域为[ ,?? ). 4 4 4 1 2 x ?1 ? ? 0 , 即 32 x ? 1 ? 3? 2 , 又 函 数 y ? 3x 是 增 函 数 , 所 以 (3) 要 使 函 数 有 意 义 可 得 到 不 等 式 3 9
1 ? 1 ? 2 x ? 1 ? ?2 ,即 x ? ? ,即 ? ? , ?? ? ,值域是 ?0, ??? . 2 ? 2 ?
(4)∵

2x x ?1 ?1 ? ?0 x ?1 x ?1

∴ 定义域为(-∞,-1)∪[1,+∞),
2x ?1 x ?1 2x ?1 x ?1

又∵

x ?1 x ?1 ? 0且 ? 1 ,∴ y ? a x ?1 x ?1

? 1且y ? a

? a , ∴值域为[1,a)∪(a,+∞).

【总结升华】求值域时有时要用到函数单调性;第(3)小题中值域切记不要漏掉 y>0 的条件,第(4)小题 中

x ?1 2 ? 1? ? 1不能遗漏. x ?1 x ?1
举一反三: 【变式 1】求下列函数的定义域: (1) y ? 2x (3) y ?
2

-1

(2) y ? 3

3- x

【答案】 (1)R; (2) ? -?, (3) ?0,+? ? ; (4)a>1 时, ? -?, 3? ; 0? ;0<a<1 时, ?0, +?? 【解析】(1)R (2)要使原式有意义,需满足 3-x≥0,即 x ? 3 ,即 ? -?, 3? .
x x

2 x -1

(4) y ? 1- a x (a ? 0, a ? 1)

(3) 为使得原函数有意义,需满足 2 -1≥0,即 2 ≥1,故 x≥0,即 ?0,+? ?
x x

(4) 为使得原函数有意义,需满足 1 ? a ? 0 ,即 a ? 1 ,所以 a>1 时, ? -?, 0? ;0<a<1 时, ?0, +?? . 【总结升华】本题中解不等式的依据主要是指数函数的单调性,根据所给的同底指数幂的大小关系,结 合单调性来判断指数的大小关系. 类型三、指数函数的单调性及其应用

?1? 例 3.讨论函数 f ( x) ? ? ? ?3?

x2 ? 2 x

的单调性,并求其值域.
x2 ? 2 x

?1? 【思路点拨】对于 x∈R, ? ? ?3?

? 0 恒成立,因此可以通过作商讨论函数 f ( x) 的单调区间.此函数

是由指数函数及二次函数复合而成的函数,因此可以逐层讨论它的单调性,综合得到结果. 【答案】函数 f ( x ) 在区间(-∞,1)上是增函数,在区间[1,+∞)上是减函数 (0,3] 【解析】 解法一:∵函数 f ( x ) 的定义域为(-∞,+∞) ,设 x1、x2∈(-∞,+∞)且有 x1<x2,

?1? ∴ f ( x2 ) ? ? ? ?3?

2 x2 ? 2 x2

?1? , f ( x1 ) ? ? ? ? 3?

2 x1 ? 2 x1



?1? 2 2 x2 ? x1 ? 2( x2 ? x1 ) ( x2 ? x1 )( x2 ? x1 ? 2) ? f ( x2 ) ? 3? ?1? ?1? ? ? ?? ? ?? ? . 2 f ( x1 ) ? 1 ? x1 ? 2 x1 ? 3 ? ?3? ? ? ?3?
(1)当 x1<x2<1 时,x1+x2<2,即有 x1+x2-2<0.

2 x2 ? 2 x2

?1? 又∵x2-x1>0,∴(x2―x1)(x2+x1―2)<0,则知 ? ? ? 3?

( x2 ? x1 )( x2 ? x1 ? 2)

?1.

又对于 x∈R, f ( x) ? 0 恒成立,∴ f ( x2 ) ? f ( x1 ) . ∴函数 f ( x ) 在(-∞,1)上单调递增.

(2)当 1≤x1<x2 时,x1+x2>2,即有 x1+x2-2>0. 又∵x2-x1>0,∴(x2―x1)(x2+x1―2)>0,则知

?1? 0?? ? ? 3?

( x2 ? x1 )( x2 ? x1 ? 2)

? 1 .∴ f ( x2 ) ? f ( x1 ) .

∴函数 f ( x ) 在[1,+∞)上单调递减. 综上,函数 f ( x ) 在区间(-∞,1)上是增函数,在区间[1,+∞)上是减函数.

1 ?1? ∵x ―2x=(x―1) ―1≥-1, 0 ? ? 1 , 0 ? ? ? 3 ? 3?
2 2

x2 ? 2 x

?1? ? ? ? ? 3. ? 3?

?1

∴函数 f ( x ) 的值域为(0,3].

?1? 解法二:∵函数 f ( x ) 的下义域为 R,令 u=x -2x,则 f (u ) ? ? ? . ?3?
2

u

?1? ∵u=x ―2x=(x―1) ―1, 在 (―∞, 1]上是减函数, f (u ) ? ? ? 在其定义域内是减函数, ∴函数 f ( x ) ?3?
2 2

u

在(-∞,1]内为增函数. 又 f (u ) ? ? ? 在其定义域内为减函数, 而 u=x2―2x=(x―1)2―1 在[1, +∞) 上是增函数, ∴函数 f ( x ) 在[1,+∞)上是减函数. 值域的求法同解法一. 【总结升华】由本例可知,研究 y ? a 般地有:即当 a>1 时, y ? a
f ( x) f ( x)

?1? ?3?

u

型的复合函数的单调性用复合法,比用定义法要简便些,一

f ( x) 的单调性与 y ? f ( x) 的单调性相同;当 0<a<1 时, y ? a 的单调与

y ? f ( x) 的单调性相反.
举一反三: 【变式 1】求函数 y ? 3? x
2

?3 x?2

的单调区间及值域.
1

3 3 【答案】 x ? (??, ] 上单增,在 x ? [ , ??) 上单减. (0,34 ] 2 2
【解析】[1]复合函数——分解为:u=-x +3x-2, y=3 ; [2]利用复合函数单调性判断方法求单调区间; [3]求值域. 2 u 设 u=-x +3x-2, y=3 ,
u 2 其中 y=3 为 R 上的单调增函数,u=-x +3x-2 在 x ? (??, ] 上单增, 2 u

3 2

2 u=-x +3x-2 在 x ? [ , ??) 上单减,

3 2

则 y ? 3? x

2

?3 x?2

在 x ? (??, ] 上单增,在 x ? [ , ??) 上单减.

3 2

3 2

又 u=-x +3x-2 ? ?( x ? ) ?
2

3 2

2

2 1 1 ? , y ? 3? x ?3x?2 的值域为 (0,34 ] . 4 4

1

【变式 2】求函数 f ( x) ? a x -2 x (其中a ? 0,且a ? 1) 的单调区间. u 【解析】当 a>1 时,外层函数 y=a 在 (??, ? ?) 上为增函数,内函数 u=x2-2x 在区间 (??, 1) 上为减函 数,在区间 ?1, +? ? 上为增函数,故函数 f ( x) ? a x
2

2

-2 x

+? ? 上为增函 在区间(-?, 1) 上为减函数,在区间 ?1,

数; u 当 0<a<1 时,外层函数 y=a 在 (??, ? ?) 上为减函数,内函数 u=x2-2x 在区间 (??, 1) 上为减函数,在 区间 ?1, +? ? 上为增函数,故函数 f ( x) ? a x 例 4.证明函数 f ( x) ?
x
2

-2 x

在区间 (??, 1) 上为增函数,在区间 ?1,+? ? 上为减函数.

a ?1 (a ? 1) 在定义域上为增函数. ax ? 1

【思路点拨】利用函数的单调性定义去证明。 【解析】定义域为 x ? R,任取 x1<x2,

a x1 ? 1 a x2 ? 1 (a x1 ? 1)(a x2 ? 1) ? (a x1 ? 1)(a x2 ? 1) f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? ? a ? 1 a x2 ? 1 (a x1 ? 1)(a x2 ? 1) 2(a x1 ? a x2 ) . ? x1 (a ? 1)(a x2 ? 1)
∵ a 1 ? 1 ? 0, a
x

? 1 ? 0 , ∴ (a x1 ? 1)(a x2 ? 1) ? 0 , x x x x 又 a>1, x1<x2, ∴ a 1 ? a 2 , ∴ a 1 ? a 2 ? 0 , ∴ f(x1)<f(x2), ax ?1 (a ? 1) 在定义域上为增函数. 则 f ( x) ? x a ?1 x x x x x ?x 另: a 1 ? a 2 ? a 1 (1 ? a 2 1 ) , ∵ a 1 ? 0 , a>1 且 x2-x1>0, x ?x x ?x ∴ a 2 1 ? 1, ∴ 1 ? a 2 1 ? 0 .
x2

【总结升华】指数函数是学习了函数的一般性质后,所学的第一个具体函数.因此,在学习中,尽量体 会从一般到特殊的过程. 例 5.判断下列各数的大小关系: (1)1.8 与 1.8 ; (3)2 ,(2.5) , (
2.5 0 a a+1

? 1 -2 4 (2) ( ) 3 ,3 ,( ) 3 3
1 2.5 ) 2
a+1

2

(4) a 2与a 3 (a ? 0, a ? 1)

【思路点拨】利用指数函数的性质去比较大小。 【答案】 (1)1.8 <1.8
2
a

(2) ( ) 3 <( ) <3
3

1 3

2

1 3

-2

4

(3) (
3

1 2.5 ) <(2.5)0 <22.5 2

(4)当 a>1 时, a ? a ,当 0<a<1 时, a ? a 【解析】 x (1)因为底数 1.8>1,所以函数 y=1.8 为单调增函数, a a+1 又因为 a<a+1,所以 1.8 <1.8 .
2

1 2 1 -2 4 1 2 1 -2 ? 1 ? ?1? ?1? 3 (2)因为 3 ? ? ? ,又 y ? ? ? 是减函数,所以 ( ) <( ) < ? ? ,即 ( ) 3 <( ) <3 . 3 3 3 3 ?3? ?3? ?3?
4

?4

x

-4

(3)因为 2

2.5

?1? ? 1, ? ? ?2?

2.5

1 ? 1 ,所以 ( ) 2.5 <(2.5)0 <22.5 2

(4)当 a>1 时, a 2 ? a 3 ,当 0<a<1 时, a 2 ? a 3 . 【总结升华】 (1)注意利用单调性解题的规范书写; (2)不是同底的尽量化为同底数幂进行比较(因为同底才能用单调性); (3)不能化为同底的,借助一个中间量来比较大小(常用的中间量是“0”和“1”). 举一反三: 【变式 1】比较大小: 2.1 2.3 3 3 (1)2 与 2 (2)3.5 与 3.2 (4)0.9 与 0.7
0.3 0.4

(3)0.9
1 1

-0.3

与 1.1

-0.1

(5) 1.5

?0.2

2 4 , ( )3 , ( )3 . 3 3

【解析】 2.1 2.3 (1)2 <2 3 3 3 (2)3.5 >3.2 .观察两函数值,底数不同,而指数不变——不是指数函数,而是 y=x ,它为增函数. -0.3 -0.3 (3)由 0.9 ,0<0.9<1, -0.3<0?0.9 >1, -0.1 -0.3 -0.1 1.1>1, -0.1<0?0<1.1 <1, 则 0.9 >1.1 ; 0.3 0.4 (4)由指数函数图象相对位置关系——数形结合,0.9 >0.7 .

2 2 ? ( ) 0.2 ,又函数 y ? ( ) x 为减函数, 3 3 1 2 0.2 2 3 x ? 0 ? 0 ? y ? 1, ∴ 1 ? ( ) ? ( ) ? 0 , 3 3 1 1 4 x 1 4 2 0.2 2 ∵ y ? ( ) 为增函数, x ? ? 0 时,y>1, ( ) 3 ? ( ) ? ( ) 3 . 3 3 3 3 3 1 1 1 4 2 另解:幂函数 y ? x 3 为增函数,则有 ( ) 3 ? 1 ? ( ) 3 ,(下略). 3 3
(5)∵ 1.5
?0.2

【高清课堂:指数函数 369066 例 1】 【变式 2】利用函数的性质比较 2 , 3 , 6 【答案】 3 ? 2 ? 6
1 1 2

1 3

1 6

1 3

1 2

1 6

【解析】 2 2 = 2 6 ? (2 ) 6 ? 8 6
3

3

1

1

33 ? 36 ? (32 ) 6 ? 9 6
作出 y ? 8 , y ? 9 , y ? 6 的图象知
x x x

1

2

1

1

y ? 9x ? y ? 8x ? y ? 6x
所以 3 ? 2 ? 6 【变式 3】 比较 1.5
1 3
1 2

1 6

-0.2

, 1.3 , ( ) 3 的大小.
0.7

2 3

1

2 ? 0.2 【答案】 ( ) 3 ? 1.5 ? 1.30.7 3
【解析】先比较 1.5
?0.2

1

2 2 3 2 2 ? ( ) ?0.2 ? ( ) 5 与( ) 3 的大小.由于底数 ? (0,1), ∴ y ? ( ) x 在 R 上是 3 3 2 3 3
1 1

1

1

1 1 2 2 2 ? ? 0 , ∴ 0 ? ( ) 3 ? ( ) 5 ? ( ) 0 ? 1 ,再考虑指数函数 y=1.3x, 由于 1.3>1, 所以 减函数,∵ 3 5 3 3 3

2 ? 0.2 y=1.3 在 R 上为增函数 1.3 >1.3 =1, ∴ ( ) 3 ? 1.5 ? 1.30.7 . 3
x 0.7 0

1

【总结升华】 在进行数的大小比较时, 若底数相同, 则可根据指数函数的性质得出结果, 若底数不相同, 则首先考虑能否化成同底数,然后根据指数函数的性质得出结果;不能化成同底数的,要考虑引进第三个 数(如 0,1 等)分别与之比较,从而得出结果.总之比较时要尽量转化成底的形式,根据指数函数单调性进 行判断. 例 6. (分类讨论指数函数的单调性)化简: a 3 - 2a ? a 3 【思路点拨】先把被开方数变形成完全平方式的形式,然后对 a 进行分类讨论,去掉绝对值。
1 ? 2 3 ? ? ?a - a 3 , a ? 1 【解析】 a - 2a ? a ? ? a - a ? ? a - a ? ? 1 2 ? ? ?a 3 - a 3 , 0 ? a ? 1 ? 4 3 2 3 2 3 1 3 2 2 3 1 3

4

2

举一反三: 【变式 1】如果 a
2 x ?1

? a x?5 ( a ? 0 ,且 a ? 1 ),求 x 的取值范围.

【答案】当 0 ? a ? 1 时, x ? ?6 ;当 a ? 1 时, x ? ?6 【解析】(1)当 0 ? a ? 1 时,由于 a
2 x ?1

? a x?5 ,

? 2 x ? 1 ? x ? 5 ,解得 x ? ?6 .
(2)当 a ? 1 时,由于 a
2 x ?1

? a x?5 ,

? 2 x ? 1 ? x ? 5 ,解得 x ? ?6 . 综上所述, x 的取值范围是:当 0 ? a ? 1 时, x ? ?6 ;当 a ? 1 时, x ? ?6 .
类型四、判断函数的奇偶性 例 7.判断下列函数的奇偶性: f ( x) ? ( 【答案】偶函数 【解析】f(x)定义域关于原点对称(∵ ? ( x) 定义域关于原点对称,且 f(x)的定义域是 ? ( x) 定义域除掉

1 1 ? )? ( x) ( ? ( x) 为奇函数) 2 ?1 2
x

1 1 1 1 2x 1 ? 2x 1 ? ,则 g (? x) ? ? x ? ? ? ? x ? 0 这个元素),令 g ( x ) ? x x 2 ?1 2 2 2 ?1 2 2 ?1 2 1? 2

?

? (2 x ? 1) ? 1 1 1 1 1 1 ? ? ?1 ? x ? ? ?( x ? ) ? ? g ( x) x 2 2 ?1 2 ?1 2 2 ?1 2

∴ g(x)为奇函数, 又 ∵ ? ( x) 为奇函数,∴ f(x)为偶函数. 【总结升华】求 f ( x) ? g ( x) ? ? ( x) 的奇偶性,可以先判断 g ( x) 与 ? ( x) 的奇偶性,然后在根据奇·奇= 偶,偶·偶=偶,奇·偶=奇,得出 f ( x ) 的奇偶性. 举一反三: 【变式 1】判断函数的奇偶性: f ( x ) ? 【答案】偶函数 【解析】定义域{x|x ? R 且 x≠0}, 又 f (? x) ? ? x(

x x ? . 2 ?1 2
x

1 1 2x 1 2x 1 ? ) ? ? x ( ? ) ? x ( ? ) ?x x x 2 2 ?1 2 1? 2 2 ?1 2 x 2 ?1?1 1 1 1 1 1 ? x( x ? ) ? x(1 ? x ? ) ? x( x ? ) ? f ( x) , 2 2 ?1 2 ?1 2 2 ?1 2

∴ f(-x)=f(x),则 f(x)偶函数. 类型五、指数函数的图象问题 例 8. 如图的曲线 C1、 C2、 C3、 C4 是指数函数 y ? a x 的图象, 而a?? ,

? ?1 ? ?2

? 2 ? , 3, ? ? , 2 ? ?

则图象 C1、 C2、 C 3、 C4 对应的函数的底数依次是________、 ________、 ________、 ________. 【答案】

2 2

1 2

?

3

【解析】由底数变化引起指数函数图象的变化规律可知,C2 的底数<C1 的底数< C4 的底数<C3 的底数. 【总结升华】利用底数与指数函数图象之间的关系可以快速地解答像本题这样的有关问题,同时还可 以解决有关不同底的幂的大小比较的问题,因此我们必须熟练掌握这一性质,这一性质可简单地记作:在 y 轴的右边“底大图高” ,在 y 轴的左边“底大图低” . 举一反三:
x 【变式 1】 设 f ( x) ?| 3 ? 1| , c<b<a 且 f (c) ? f (a) ? f (b) , 则下列关系式中一定成立的是 (



A. 3 ? 3
c

b

B. 3 ? 3
c

b

C. 3 ? 3 ? 2
c a

D. 3 ? 3 ? 2
c a

【答案】D 【变式 2】为了得到函数 y ? 9 ? 3 ? 5 的图象,可以把函数 y ? 3 的图象(
x x

)

A.向左平移 9 个单位长度,再向上平移 5 个单位长度 B.向右平移 9 个单位长度,再向下平移 5 个单位长度 C.向左平移 2 个单位长度,再向上平移 5 个单位长度 D.向右平移 2 个单位长度,再向下平移 5 个单位长度

【答案】C 【解析】注意先将函数 y ? 9 ? 3x ? 5 转化为 y ? 3x?2 ? 5 ,再利用图象的平移规律进行判断. ∵ y ? 9 ? 3x ? 5 ? 3x?2 ? 5 , ∴把函数 y ? 3x 的图象向左平移 2 个单位长度, 再向上平移 5 个单位长度, 可得到函数 y ? 9 ? 3x ? 5 的图象,故选 C. 【总结升华】用函数图象解决问题是中学数学的重要方法,利用其直观性实现数形结合解题,所以要熟 悉基本函数的图象,并掌握图象的变化规律,比如:平移、伸缩、对称等. 巩固练习 一、选择题: 1.下列个函数中,是指数函数的是( ) A. y ? (?3) x B. y ? ?3x
x

C. y ? 3x?1

D. y ? 3x

?1? 2.若函数 f ( x ) 与 g ( x) ? ? ? 的图象关于 y 轴对称,则满足 f ( x) ? 1 的 x 的取值范围是( ?2?
A. R B. ? ??,0? C.



? 0, ???

x ?x

D. ?1, ?? ?

3.若 ?1 ? x ? 0 ,则下列各不等式成立的是( A. 2
?x

? 2x ? 0.2x

B. 2 ? 0.2 ? 2
x x

C. 0.2 ? 2

?x

? 2x


D. 2 ? 2
x

?x

? 0.2x

4.函数 f ( x) ? a ? 1 在 R 上是减函数,则 a 的取值范围是(
2

?

?

x

A. a ? 1

B. a ? 2

C. a ?

2

D. 1 ? a ? 2

5. 已知定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 和偶函数 g ( x) 满足 f ( x) ? g ( x) ? a x ? a? x ? 2

? a ? 0, 且a ? 1? ,若 g (2) ? a ,则 f (2) ? (
A. 2 B.

) D.

15 4

C.

17 4

a2
a b

2 2 6.已知 a ? b, ab ? 0 , 下列不等式 (1)a ? b ; (2) 2 ? 2 ; (3)

1 1 1 1 ?1? ?1? ? ; (4) a 3 ? b 3 ; (5) ? ? ? ? ? a b ? 3? ? 3?

a

b

中恒成立的有( A.1 个 7.函数 y ? A.奇函数

) B.2 个 )

C.3 个

D.4 个

2x ? 1 是( 2x ? 1
B.偶函数

C. 既是奇函数又是偶函数
x

D.非奇非偶函数 )

8.已知 0 ? a ? 1, b ? ?1 ,则函数 y ? a ? b 的图像必定不经过( A.第一象限 二、填空题: B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

9.当 x ?? ?1,1? 时, f ( x) ? 3x ? 2 的值域为

。 。

10.设函数 f ( x) ? x(e x ? ae? x )( x ? R) 是偶函数,则实数 a 的值是

?x ? ?2 , x ? (??,1) 11.设函数 f ( x) ? ? 2 , 若 f ( x) ? 4 ,则 x 的取值范围是_________. ? ? x , x ? ?1, ?? ?

12.函数 y ? 32?3x 的单调递减区间是_______________. 三、解答题: 13.比较下列各题中两个数的大小: (1) 30.8 ,30.7 ; (2) 0.750.1 ,0.75?0.1 ;

2

(3)已知 ? ? ? ? ? ,比较 a , b 的大小。

? 4? ?7?

a

? 4? ?7?

b

?1? 14.已知函数 y ? ? ? ? 3?

x2 ? 2 x ?5

,求其单调区间及值域.

15.已知函数 f ( x) ?

a x ?1 (a ? 1) , ax ?1

(1)判断函数的奇偶性; (2)求该函数的值域; (3)证明 f ( x ) 是 R 上的增函数.

巩固练习 一、选择题: 1.函数 f ( x) ? a ? 1 在 R 上是减函数,则 a 的取值范围是(
2

?

?

x



A. a ? 1

B. a ? 2

C. a ?

2

D. 1 ? a ? 2

2. 已知定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 和偶函数 g ( x) 满足 f ( x) ? g ( x) ? a x ? a? x ? 2

? a ? 0, 且a ? 1? ,若 g (2) ? a ,则 f (2) ? (
A. 2 B.

) D.

15 4

C.

17 4

a2
a b

2 2 3.已知 a ? b, ab ? 0 , 下列不等式 (1)a ? b ; (2) 2 ? 2 ; (3)

1 1 1 1 ?1? ?1? ? ; (4) a 3 ? b 3 ; (5) ? ? ? ? ? a b ? 3? ? 3?

a

b

中恒成立的有( A.1 个

) B.2 个

C.3 个

D.4 个

x 4.用 min ?a, b, c? 表示 a, b, c 三个数中的最小值。设 f ( x) ? min 2 , x ? 2,10 ? x ( x ? 0) ,则 f ( x ) 的

?

?

最大值为( A. 4 5.函数 y ? A. ? ??,1?

) B.
x

5

C.

6 )

D.7

1 的值域是( 2 ?1
B. ? ??,0?

? 0, ???
x

C. ? ?1, ?? ?

D. (??, ?1) )

?0, ???

6.已知 0 ? a ? 1, b ? ?1 ,则函数 y ? a ? b 的图像必定不经过( A.第一象限 7. F ( x) ? ?1 ? B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

? ?

2 ? ? ? f ( x)( x ? 0) 是偶函数,且 f ( x) 不恒等于零,则 f ( x) ( 2 ?1 ?
x

)

A.是奇函数 B.可能是奇函数,也可能是偶函数 C.是偶函数 D.不是奇函数,也不是偶函数 8. 一批设备价值 a 万元,由于使用磨损,每年比上一年价值降低 b % ,则 n 年后这批设备的价值为 ( ) A. na(1 ? b%) 二、填空题: 9.设函数 f ( x) ? ?
?x ? ?2 , x ? (??,1) , 若 f ( x) ? 4 ,则 x 的取值范围是_________. 2 x , x ? 1, ?? ? ? ? ?

B. a(1 ? nb%)

C. a[1 ? (b%) ]
n

D. a(1 ? b%)

n

10.设函数 f ( x) ? x(e ? ae )( x ? R) 是偶函数,则实数 a 的值是
x

?x



?1? 11.函数 y ? ? ? ? 3?
12.方程 2
?x

?2 x 2 ?8 x ?1

(?3 ? x ? 1) 的值域是


.

? x 2 ? 3 的实数解的个数为
x

13.设函数 f ( x ) ? 三、解答题:

1 1 2 3 4 5 ,则 f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? 4 ?2 5 5 5 5 5
2 2



14.设 0 ? a ? 1 ,解关于 x 的不等式 a2 x

?3 x ? 2

? a2 x

? 2 x ?3

.

15.已知 x ?? ?3,2? ,求 f ( x) ?

1 1 ? ? 1 的最小值与最大值. 4x 2x

16.若函数 y ? 4x ? 3 2x ? 3 的值域为 ?1,7? ,试确定 x 的取值范围.


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