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三角函数图像三种变换


必修四----三角函数

昌宁二中:数学组 2016年11月26日星期六
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必修四----三角函数

一、学习目标:

1、会求函数y ? A sin(?x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0)的三种变换的量
2.会根据正弦函数的三种变换来求余弦函 数和正切函数的三种

变换.

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二、学习过程: (一)复习题 y = Asin(ωx + ? )(其中A > 0, ω > 0)在简谐
运动中的相关概念 :
(1)A 2π (2)T = ω 1 ω (3)f = = T 2π (4)ωx + ? (5) ?

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振幅

周期

频率
相位 初相
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2、函数y=f(x)的图像与函数y=f(x+a)的图像 有什么关系?

如函数y ? 2 的图像可由函数 y ? 2 的图像怎样变换得到?
x

x?2

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(二)尝试练习题

二、学习过程:

1 1、为了得到函数y ? cos( x ? )的图象,只需把函数 ? 3 y ? cos x图象上所有的点( D )(1月4题) 1 1 A. 向左平行移动 ? 个单位 B. 向左平行移动 个单位 3 3 1 1 C. 向右平行移动 ? 个单位 D. 向右平行移动 个单位 3 3

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x 2、为了得到函数y=cos 的图象,只需把函数y=cosx 3 图象上所有的点的 ( A)? 题 A.横坐标伸长到原来的3倍,纵坐标不变 ? 1 B.横坐标缩小到原来的 倍,纵坐标不变 ? 3 C.纵坐标伸长到原来的3倍,横坐标不变 ? 1 D.纵坐标缩小到原来的 倍,横坐标不变 3

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3、已知函数y=cos(x+ 函数y=cos(x-

?
7

)的图象为C,为了得到

?
7

)的图象只需把C上所有的点 ( ?C )

A.向右平行移动 B.向左平行移动

? ?
7

个单位长度? 个单位长度?

7 2? C.向右平行移动 个单位长度? 7 2? D.向左平行移动 个单位长度 7
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p 4、为了得到函数y=sin(x- )的图象,只需 4 p 要把函数y=sin(x+ )的图象上的所有点 ? D ? 4 p A.向右平行移动 个单位? 2 p B.向右平行移动 个单位 4 p C.向左平行移动 个单位? 2 p D.向左平行移动 个单位 4
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5:如何按照下列指定的顺序,将一个函数的图象 变为下一个函数的图象.

y ? sin x



y ? sin( x ?

?
4

)



? y ? sin( 2 x ? ) 4

①______________________________ 4
把函数y ? sin(x ?

将函数 y ? sin x的图象向左平
?
4

?

个单位

)图象上所有点的横坐标

1 缩短到原来的 倍(纵坐标不变) ②_______________________________ 2
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二、学习过程: (二)尝试练习题
y=sinx

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y=Asin(?x+?)

方法1:按先平移后变周期的顺序变换
y=sinx
向左?>0 (向右?<0) 平移|?|个单位

y=sin(x+?)

横坐标缩短?>1 (伸长0<?<1)到原来的1/?倍 纵坐标不变 横坐标不变

y=sin(?x+?)

y=Asin(?x+?)
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纵坐标伸长A>1 (缩短0<A<1)到原来的A倍

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y=sinx

y=Asin(?x+?)

方法2:按先变周期后平移顺序变换
横坐标缩短?>1 (伸长0<?<1)到原来的1/?倍

y=sinx

纵坐标不变

y=sin?x

向左?>0 (向右?<0) 平移|?|/?个单位

? ? ? y ? sin ?? ( x ? )? ? sin( ?x ? ? ) ? ? ?
y=Asin(?x+?)
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横坐标不变

纵坐标伸长A>1 (缩短0<A<1)到原来的A倍

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1.选择题 :已知函数y ? 3sin( x ? )的图象为C. 5 ?
(1)为了得到函数 y ? 3 sin( x ? )的图象, 只要 5 把C上所有的点? C ? ( A)向右平行移动 个单位长度. 5 ( B )向左平行移动 个单位长度. 5 2? (C )向右平行移动 个单位长度. 5 2? ( D )向左平行移动 个单位长度. 5

(三)巩固练习: ?

? ?

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(三)巩固练习: ? 1.选择题 :已知函数y ? 3sin( x ? )的图象为C. 5 ?
(2)为了得到函数 y ? 3 sin(2 x ? )的图象, 只要 5 把C上所有的点? B ? ( A)横坐标伸长到原来的 2倍, 纵坐标不变 1 ( B)横坐标缩短到原来的 倍, 纵坐标不变 2 (C )纵坐标伸长到原来的 2倍, 横坐标不变 1 ( D)纵坐标缩短到原来的 倍, 横坐标不变 2
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必修四----三角函数

1.选择题 :已知函数y ? 3sin( x ? )的图象为C. 5 ? (3)为了得到函数 y ? 4 sin( x ? )的图象, 只要 5 把C上所有的点? C ? 4 ( A)横坐标伸长到原来的 倍, 纵坐标不变 3 3 ( B )横坐标缩短到原来的 倍, 纵坐标不变 4 4 (C )纵坐标伸长到原来的 倍, 横坐标不变 3 3 ( D)纵坐标缩短到原来的 倍, 横坐标不变 4

(三)巩固练习: ?

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(三)巩固练习:

)的图象向右平移 个单位, 3 6 ? 这时图象所表示的函数 为? ? D ? ? ? 2 3 C. y ? sin(2 x ? ), D. y ? sin 2 x 2 A. y ? sin(2 x ?

2.把y ? sin(2 x ?

?

?

?

), B. y ? sin(2 x ?

?
6

)

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(三)巩固练习:

3、怎样由y ? sin x的图象得到y ? 2sin(2 x ? 的图象 ?
(1)向左平移

?
3

)

?
3

函数y ? sin x

? y ? sin( x ? )的图象 3
3

1 (2)横坐标缩短到原来的 2 y ? sin(2x + ? )的图象

纵坐标不变
(3)纵坐标伸长到原来的2倍
y ? 2sin(2x ?

?
3

横坐标不变

)的图象
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x π 题:怎样由y = sinx的图象得到y = 2sin( - )的图象? 2 6 x

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选做题:

y ? sin x

2 x π y = sin( - ) 途径一: 2 6 平移多少个单位? x π 所有点的纵坐标 y = 2sin( - ) 伸长为原来的2倍 2 6 π 所有的点向右 y ? sin x y = sin(x - ) 平移多少个单位? 6 x π 所有点的横坐标 途径二: y = sin( - ) 伸长为原来的多少倍? 2 6 x π 所有点的纵坐标 y = 2sin( - ) 伸长为原来的多少倍? 2 6
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所有点的横坐标 伸长为原来的2倍 所有的点向右

y = sin

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(四)总结归纳: y ? f ( x) x轴方向平移:
y ? f ( x) y轴方向平移:

y ? f ( x ? a)

平移变换

y ? f ( x) ? b

伸缩变换 应用到:

y ? f ( x) x轴方向伸缩: y ? f ( x) y轴方向伸缩:

y ? f (? x)

y ? Af ( x)

y ? sin x与y ? A sin(? x ? ? ) 的图像的关系上有:
y=sin(?x+?) y=Asin(?x+?)

途径一:先平移后伸缩 y=sinx y=sin(x+?)
途径二:先伸缩后平移 y=sinx y=sin?x

y ? sin(? x ? ? )

y=Asin(?x+?)
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三、当堂检测:

?1. 要得到函数 y= 2 sin x 的图象,只需将 y= sinx 图象( ) A.横坐标扩大原来的两倍 B. 纵坐标扩大原来的两倍 C.横坐标扩大到原来的两倍 D. 纵坐标扩大到原来的两倍 ?2. 要得到函数 y=sin3x 的图象,只需将 y=sinx 图象( ) A. 横坐标扩大原来的3倍 B.横坐标扩大到原来的3倍 C. 横坐标缩小原来的1/3倍 D.横坐标缩小到原来的1/3倍 ?3. 要得到函数 y=sin(x + π/3)的图象,只需将 y=sinx 图象( ) A. 向左平移π/6个单位 B. 向右平移π/6个单位 C. 向左平移π/3个单位 D. 向右平移π/3个单位 ?4. 要得到函数 y=sin(2x-π/3)的图象,只需将y=sin2x图象( ) A. 向左平移π/3 个单位 B. 向右平移π/3个单位 C. 向左平移π/ 6个单位 D. 向右平移π/6 个单位

D

D

C

D

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补救过关

试用两种方法解答下题:

y ? sin x 图象变成 1 ? y ? 2 sin( x ? )的图象? 3 6
如何由

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2。三角变换一般技巧有 ①切化弦, ②降次, ③变角, ④化单一函数, ⑤妙用1, ⑥分子分母同乘除,

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二、基础训练:
?
A.向左平移

3.要得到y ? sin( 2 x ?
?
3

3

)的图象,只要将y ? sin 2 x的图象 (
B.向右平移

)

?
3
6

C.向左平移

?
6

D.向右平移

?

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y=sinx

所有的点向左(? >0) 或向右(? <0)平行移动 | ? | 个单位长度 横坐标缩短(?>1)或 伸长(0< ?<1) 1/?倍 纵坐标不变 纵坐标伸长(A>1)或 缩短(0< A<1) A倍 横坐标不变

小结

y=sin(x+?) y=sin?x

y=sinx

y=sinx
y=sinx

y=Asinx
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y=Asin(?x+ ?)


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