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2012年四川省普通高中数学学科学业水平考试要求及说明


附件 2: 四川省普通高中数学学科学业水平考试要求及说明 (试行)

一、考试性质 四川省普通高中数学学科学业水平考试是完成数学学 科毕业水平学习的高中生和具有同等学力的考生参加的全 省统一的普通高中学业水平考试,是面向全体普通高中和具 有同等学力的在校学生和社会青年的达标性考试. 考试结果既是衡量学生在该课程的学习中是否达到课 程标准的主要依据, 也是学生学业水平认定的重要依据. 《数 学课程标准》作为学科教学的纲领性文件,它明确了高中数 学课程的总体目标是“使学生在九年义务教育数学课程的基 础上,进一步提高作为未来公民所必要的数学素养,以满足 个人发展与社会进步的需要” .学业水平考试就是要全面考 查和评估我省普通高中学生的数学学业水平是否达到了这 个要求. 普通高中新课程实验数学学科学业水平考试是用于衡 量学生实际水平的参照性测验,而不是用于确定学生在群体 中相对水平位臵的甄别性选拔考试,因而测验的重点应放在 数学基础知识、基本思想方法及核心能力的形成上. 二、 指导思想

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普通高中新课程实验数学学科学业水平考试的命题,是 以教育部制定的《数学课程标准》为依据,参照《四川省普 通高中数学学科教学指导意见(试行)》及《四川省普通高中 数学学科教学基本要求(试行)》的精神,结合我省教学实际 情况,全面考查学生是否在知识与技能、过程与方法、情感 态度与价值观方面达到课程目标所规定的要求. 教师的专业素养是实现课程总体目标的重要因素.通过 学业水平考试,要对我省普通高中数学教师的专业发展状 况,做出合理评价,促进教师教学方式的不断改进和完善, 引导日常教学摆脱应试教育的模式.随着社会的进步, “未 来公民所必要的数学素养”在变化,学业水平考试要有利于 学生学习方式的改变,并引导社会、学校和家庭关注学生的 全面发展,形成正确的质量观和人才观. 三、 考试内容和要求 1.数学思想方法、数学能力与要求 ⑴ 数学思想方法 数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括, 它蕴含在数学知识发生、发展和应用的过程中.对数学思想 方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考 查,主要考查函数与方程的思想、数形结合的思想、分类与 整合的思想、化归与转化的思想、特殊与一般的思想、有限 与无限的思想、或然与必然的思想.对数学思想方法的考查 要与数学知识的考查紧密结合进行,通过数学知识的考查, 反映学生对数学思想方法的理解和掌握程度.考查时,要从 学科整体意义上考虑,注重通性通法,淡化特殊技巧,有效 地检测学生对中学数学知识中所蕴含的数学思想方法的掌
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握程度. ⑵ 数学能力 能力主要是指空间想象能力、抽象概括能力、推理论证 能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意 识. ① 空间想象能力:能根据条件作出正确的图形,根据 图形想象出直观形象;能正确地分析出图形中基本元素及其 相互关系;能对图形进行分解、组合与变形;会运用图形与 图表等手段形象地揭示问题的本质. ② 抽象概括能力:对具体的实例,通过抽象概括,能 发现研究对象的本质属性;并从给定的信息材料中,概括出 一般性结论,同时能将其用于解决问题或作出新的判断. ③ 推理论证能力:推理既包括演绎推理,也包括合情 推理;论证方法既包括按形式划分的演绎法和归纳法,也包 括按思考方法划分的直接证法和间接证法.应学会运用合情 推理进行猜想,再运用演绎推理进行证明.会根据已知的事 实和已获得的正确数学命题,论证某一数学命题真实性. ④ 运算求解能力:会根据法则、公式进行正确运算、 变形和数据处理,能根据问题的条件寻找与设计合理、简捷 的运算途径;能根据要求借助计算器对数据进行估计和近似 计算. ⑤ 数据处理能力:会收集、整理、分析数据,能从大 量数据中抽取对研究问题有用的信息,并作出判断.数据处 理能力主要依据统计或统计案例中的方法对数据进行整理、 分析,并解决给定实际问题. ⑥ 应用意识:能综合应用所学数学知识、思想和方法 解决问题,包括解决相关学科、生产、生活中简单的数学问 题;能理解问题陈述的材料,并对所提供的信息资料进行归
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纳、整理和分类,将实际问题抽象为数学问题;能应用相关 的数学方法解决问题进而加以验证,并能用数学语言正确地 表达和说明.应用的主要过程是依据现实的生活背景,提炼 相关的数量关系,将现实问题转化为数学问题,构造数学模 型,并加以解决. ⑦ 创新意识:对新颖的信息、情境和设问,选择有效 的方法和手段收集信息,综合与灵活地应用所学的数学知 识、思想方法进行独立思考、探索和研究,提出解决问题的 思路,创造性地解决问题. 2.数学探究、数学建模与数学文化 数学探究、数学建模、数学文化是贯穿于整个高中数学 课程的重要内容,这些内容不单独设臵,渗透在每个模块或 专题中. 《数学课程标准》要求高中阶段至少各应安排一次 较为完整的数学探究、数学建模活动. 数学探究和数学建模都是高中数学课程中引入的新的 学习方式.数学探究即数学探究性课题学习,是指学生围绕 某个数学问题,自主探究、学习的过程.这个过程包括:观 察分析数学事实,提出有意义的数学问题,猜测、探求适当 的数学结论或规律,给出解释或证明.数学建模是运用数学 思想、方法和知识解决实际问题的过程. 数学探究有助于学生初步了解数学概念和结论产生的 过程,初步理解直观和严谨的关系,初步尝试数学研究的过 程,体验创造的激情,建立严谨的科学态度和不怕困难的科 学精神;有助于培养学生勇于质疑和善于反思的习惯,培养 学生发现、提出、解决数学问题的能力;有助于发展学生的 创新意识和实践能力. 数学建模为学生提供了自主学习的空间,有助于学生体 验数学在解决实际问题中的价值和作用,体验数学与日常生
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活和其他学科的联系,体验综合运用知识和方法解决实际问 题的过程, 增强应用意识; 有助于激发学生学习数学的兴趣, 发展学生的创新意识和实践能力. 数学是人类文化的重要组成部分.数学是人类社会进步 的产物,也是推动社会发展的动力.通过在高中阶段数学文 化的学习,学生将初步了解数学科学与人类社会发展之间的 相互作用,体会数学的科学价值、应用价值、人文价值,开 阔视野,寻求数学进步的历史轨迹,激发对于数学创新原动 力的认识,受到优秀文化的熏陶,领会数学的美学价值,从 而提高自身的文化素养和创新意识. 3.知识范围与要求 四川省普通高中数学学业水平考试实行文理科同卷同 内容的考试方式,内容包括必修部分所有内容和选修系列 1 与系列 2 中相同内容部分. 根据《数学课程标准》的要求,将其中所涉及的知识点 的能力层级由低到高分为 “了解(知道、 识别、 模仿等)” 、 “理 解(描述,说明,表达,推测,想像,比较,判别,会求, 会解,初步应用等)”和“掌握(掌握,导出,分析,推导, 证明,研究,讨论,选择,决策,解决问题等)”三个层次 并分别用 A、B、C 表示. 能力层级 符 号 了解 A 理解 B 掌握 C

A——了解:要求对所列知识的含义有初步的、感性的 认识,知道这一知识内容是什么,能按照一定的程序和步骤 照样模仿,并能(或会)在有关的问题中识别和认识它. B——理解:要求对所列知识内容有较深刻的理性认识, 知道知识间的逻辑关系,能够对所列知识作正确的描述说明
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并用数学语言表达,能够利用所学的知识内容对有关问题进 行比较、判别、讨论,具备利用所学知识解决简单问题的能 力. C——掌握:要求能够对所列的知识内容进行推导、证 明,能够利用所学知识对问题进行分析、研究、讨论,并能 运用所学过的知识分析日常生活或生产实践中的问题. 下面为考试内容对应的考查能力层级要求: 模 块 内 集合的含义 容 能力层级 A √ B C 备 注

集合之间的包含与相等的 √ 含义 全集与空集的含义 √ 两个集合的并集与交集的 含义及计算 补集的含义及求法 √ √

数 用 Venn 图表示集合的关 √ 系及运算 √ 学 函数的概念 1 求简单函数的定义域和值 域 函数的表示法 简单的分段函数及应用 √ 关注学科 内综合 √ √

函数的单调性、最大(小) √ 值及其几何意义 奇偶性的含义 √

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利用函数的图象理解和探 √ 究函数的性质 有理指数幂的含义 √ 幂的运算 指数函数的概念及其意 义;指数函数的单调性与 特殊点 指数函数模型的应用 对数的概念及其运算性质 换底公式的应用 √ √ √ √ √

关注探究 过程

关注实践 应用

对数函数的概念及其意 义;对数函数的单调性与 √ 特殊点 指数函数 y ? a x 与对数函数 y ? log a x (a ? 0, a ? 1) 互 为 反 √ 函数 幂函数的概念 √ 函数的零点与方程根的联 √ 系 用二分法求方程的近似解 函数的模型及其应用 柱、锥、台、球及其简单 √ 组合体的结构特征 简单空间图形的三视图的 √ 画法及三视图的识别 斜二测法画空间图形的直 √ 观图
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关注探究 过程 关注实践 √ 应用

应用平行投影与中心投影 数 画空间图形的视图与直观 √ 图 学 球、棱柱、棱锥、台的表 √ 面积和体积的计算公式 2 空间点、线、面的位臵关 √ 系的四个公理和一个定理 直线与平面、平面与平面 的平行或垂直的判定和性 √ 质 运用已获得的结论证明一 些空间位臵关系的简单命 √ 题 直线的倾斜角及斜率的概 √ 念 过两点的直线的斜率的计 √ 算公式 利用斜率判断直线的平行 √ 与垂直 直线方程的三种形式:点 关注探究 √ 斜式、两点式和一般式 过程 两直线交点坐标的求法 √ 两点之间的距离公式、点 到直线的距离公式,两平 行线间的距离 圆的标准方程和一般方程 √ √ 关注学科 内综合 关注实践 应用

直线与圆以及圆与圆的位 √ 臵关系 直线和圆的方程的简单应 √ 用 空间直角坐标系的概念 √
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用空间直角坐标系刻划点 的位臵 空间两点间的距离公式 算法的思想和含义 √

√ √

程序框图的三种基本逻辑 √ 结构 五种基本算法语句 √ 数 随机抽样的必要性和重要 √ 学 性 用简单随机抽样方法从总 √ 3 体中抽取样本 分层抽样和系统抽样方法 √ 列频率分布表、画频率分 布直方图、频率折线图、 √ 茎叶图 样本数据标准差的意义和 √ 作用 合理选取样本,从样本数 据中提取基本的数字特 √ 征,并能做出合理的解释 用样本的频率分布估计总 体分布,用样本的数字特 √ 征估计总体的数字特征 随机抽样的基本方法和样 本估计总体的基本思想的 √ 实际应用 散点图的作法 √ 利用散点图直观认识变量 √ 之间的相关关系 最小二乘法 √
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关注探究 过程

关注实践 应用

关注实践 应用

根据给出的线性回归方程 系数公式建立线性回归方 程 概率的意义及频率和概率 的区别 两个互斥事件的概率加法 公式及应用 古典概型及其概率的计算 公式,用列举法计算概率 几何概型的意义 任意角的概念和弧度制 弧度与角度的互化 任意角三角函数的定义 正弦、余弦、正切函数的 诱导公式 正弦、余弦、正切函数的 图象画法及性质的运用 三角函数的周期性

√ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ 关注探究 过程 关注实践 应用

数 学 4

同角三角函数的基本关系 √ 式 y ? A sin??x ? ? ? 的实际意义 √ 三角函数模型的简单应用 √ 关注实践 应用

平面向量和向量相等的含 √ 义及向量的几何表示 向量加、减法的运算及其 √ 几何意义 向量数乘的运算 √ 向量数乘运算的几何意义 √
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及两向量共线的含义 向量的线性运算性质及其 几何意义 平面向量的基本定理及其 意义 平面向量的正交分解及其 坐标表示 用坐标表示平面向量的 加、减及数乘运算 用坐标表示平面向量共线 的条件 平面向量数量积的含义及 其物理意义 平面向量的数量积与向量 投影的关系 平面向量数量积的坐标表 达式及其运算 运用数量积表示两个向量 的夹角,并判断两个平面 向量的垂直关系 平面向量的应用

√ √ √ √ √ √ √ √ √ √ 关注学科 内综合 关注学科 间联系 关注探究 过程

两角和与差的正弦、 余弦、 √ 正切公式 二倍角的正弦、余弦、正 √ 切公式 运用相关公式进行简单的 √ 三角恒等变换 正弦定理、余弦定理及其 √ 运用 数 数列的概念和简单的表示 √ 法

关注实践 应用

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学 等差数列、等比数列的概 念 5 等差数列、等比数列的通 项公式与前 n 项和公式 数列方法的应用 一元二次不等式的概念 解一元二次不等式 √

√ √ √ 关注学科 内综合



二元一次不等式的几何意 √ 义 用平面区域表示二元一次 √ 不等式组 两个正数的基本不等式 √ 两个正数的基本不等式的 √ 简单应用 命题的逆命题、否 命题与逆否命题、 √ 四种命题的关系 必要条件、充分条 √ 常 用 件与充要条件 逻 辑 逻辑联结词“或” √ 用语 “且” “非” 的含义 全称量词与存在量 √ 词的意义 椭圆的定义、标准 方程及简单几何性 √ 质 圆 锥 抛物线、双曲线的 曲 线 定义、几何图形、 √ 与 方 标准方程和简单几 选 程 何性质
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关注学科 内综合

关注学科 内综合

关注学科 内综合



圆锥曲线的简单应 √ 用 导数的概念 √ 导数的几何意义 由导数定义求函数
y ? c, y ? x, y ? x 2 1 y ? 的导数 x

关注学科 内综合 关注实践 应用





导 数 及 应 用导数研究函数的 √ 单调性 用 求不超过三次的多 项式函数的单调区 √ 间 求不超过三次的多 关注学科 项式函数的极大 内综合 值、极小值以及在 √ 给定区间上不超过 三次的多项式函数 的极大值、极小值 数系的扩充 √ 复数的基本概念以 及复数相等的充要 √ 数 系 条件 的 扩 复数的代数表示法 充 与 √ 及其几何意义
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用给出的基本初等 函数的导数公式和 导数的四则运算法 √ 则求简单函数的导 数 导数公式表 √

复 数 复数代数形式的四 √ 的 引 则运算 入 复数代数形式的 加、减运算的几何 √ 意义 4.情感态度与价值观要求 学生个体的情感、态度和价值观是学生的个性品质.要 求学生具有一定的数学视野,认识数学的科学价值和人文价 值,崇尚数学的理性精神,形成审慎思维的习惯,体会数学 的美学意义.对学生情感、态度和价值观的具体考察方法与 内容融入试题之中. 四、考试形式及试卷结构 1.考试形式、考试时间及试卷满分 考试方式 考试时间 试卷满分 2.试卷结构 ⑴ 试卷内容大至比例 基本原则:注重基础,注重教材,注重能力,注重应用, 突出主干知识,突出数学思想方法,知识覆盖面达到 75%左 右. ⑵ 试卷题型比例 题 型 选择题 题 量 10 小题
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纸笔测试;闭卷 90 分钟 100 分





40 分

填空题 解答题 ⑶ 试题难易比例

4 小题 5 小题

16 分 44 分

全卷总体难度系数大致控制在 0.75 左右.各题型难度 系数及大致比例如下: 难度级别 难度系数 约占比例 容易题 0.8 以上 70% 稍难题 0.65—0.8 20% 难题 0.50— 0.65 10%

五、题型示例
1.选择题:在每小题列出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. .... 【例 1】 cos1110°的值是 (A) -

3 2

(B)

3 2 3 . 2

(C) -

1 2

(D)

1 2

【分析】 根据诱导公式,将 1110°转化为(0°,360°)或(0°,90°):cos1110°= cos(3×360°+30°)=cos30°= 【答案】 (B). 【说明】 本题主要考查诱导公式(终边相同的角的关系)、特殊角的三角函数值,能力 要求层次为了解,属于容易题. 【例 2】 复数 (A) 2 ? i

5i ? 1 ? 2i (B) 1 ? 2i

(C) ?2 ? i

(D) ?1 ? 2i

【分析】 复数的四则运算,按法则进行: 【答案】 (C).

5i 5i (1 ? 2i) ? ? ?2 ? i . 1 ? 2i (1 ? 2i)(1 ? 2i)

【说明】 本题主要考查复数的代数运算,能力要求层次为了解,属于容易题. 【例 3】 下列函数中,定义域为 R 的是 (A) y= x (B) y=log2x (C) y=x
3

(D) y=

1 x

【分析】 由于各选项给出的均是具体的基本初等函数, 考察函数自变量的取值范围即

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可. 【答案】 (C). 【说明】 本题主要考查基本初等函数的定义域,能力要求层次为了解,属于容易题. 【例 4】 若 P ? {x x ? 1}, Q{x x ? 1} ,则 (A) P ? Q (B) Q ? P (C) ? R P ? Q (D) Q ? ? R P

【分析】 判断给定两个数集的关系,可以结合数轴直观.显然,(A)(B)不正确,由

P ? x x ?1

?

? 得 ? R P ? ? x x ? 1 ? ,? Q ? ? R P ,故选(D).

【答案】 (D). 【说明】 本题主要考查集合与集合的关系,补集的求法,能力要求层次为理解,属于 容易题. 【例 5】 数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 an ? (A)

1 ,则 S 5 ? n(n ? 1)

5 6

(B)

4 5

(C)

1 6

(D)

1 30

【分析】 已知 {an } ,求 S n (或具体的前 n 项和),可以直接运用公式,或观察 an 的特 征,选用相应的方法.这里采用裂项相消处理. 【答案】 (A). 【说明】 本题主要考查数列通项和前 n 项和的关系(求法),能力要求层次为了解,属 于容易题.因为问题要求的是 S 5 ,除采用根据通项求和的方法外,还可以采用逐一求出 S1 、

S 2 、…、 S 5 的方法获得答案.
【例 6】 函数 f ( x) ? x ? 2 的零点所在的区间是
3

(A) (?2,0)

(B) (0,1)
3

(C) (1, 2)

(D) (2,3)
3

【分析】 由零点存在性定理,若零点所在区间为(a,b),则 f(a)f(b)<0.于是,从判 断区间端点函数值的符号入手解题.? f (1) ? (1) ? 2 ? ?1 ? 0 , f (2) ? (2) ? 2 ? 6 ? 0 , 故选(C). 【答案】 (C). 【说明】 本题主要考查函数零点存在性定理的运用,能力要求层次为了解,属于容易 题.在这里,函数 f(x)单调递增,有且仅有一个零点. 【例 7】 已知向量 a ? (?2, ? 1) , a ? b ? (?4, 3) ,则 | b |? (A) 2 5 【答案】 (A). 【说明】 本题主要考查向量的坐标运算及向量的模,能力要求层次为了解,属于容易 题. 【例 8】 将函数 y ? sin x,x ? R 的图象上所有点的横坐标缩小为原来的一半,纵坐 标不变,所得图象对应的函数的最小正周期为 (A) 4π (B) 2π (C) π (D) (B) 2 10 (C) 20 (D) 40

【分析】 根据已知,先由坐标运算求出向量 b=(2,-4),再求其模.

? 2

【分析】 根据函数图象变换与解析式相应变化的关系, “横坐标缩小为原来的一半,
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纵坐标不变”对应“2x 代换 x” ,函数变为 y ? sin 2 x,x ? R ,选(C). 【答案】 (C). 【说明】 本题主要考查三角函数图象(变换)与性质(周期),能力要求层次为了解,属 于容易题. 【例 9】若一个几何体的三视图都是三角形,则这个几何体是 (A) 圆锥 (B) 四棱锥 (C) 三棱锥 (D) 三棱台 【分析】 由正视图与侧视图都是三角形, 说明几何体为锥体, 再由俯视图也是三角形, 说明底面是三角形,所以几何体为三棱锥. 【答案】 选择(C). 【说明】 本题主要考查三视图, 对几何体的形状进行判断, 考查学生的空间想象能力, 能力层次要求为了解,属于容易题. 【例 10】 两条直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 与 2 x ? y ? 1 ? 0 的位臵关系是 (A) 平行 (B) 垂直 (C) 相交且不垂直 (D) 重合 【分析】 由两直线方程的系数关系判断其位臵关系,因为对应系数的积之和:

1? 2 ? 2 ? (?1) ? 0 ,所以这两条直线是垂直的.
【答案】 (B). 【说明】 本题主要考查两条直线垂直的判定,应用意识,能力层次要求为理解,属于 容易题. 【例 11】 已知 ? 是第四象限角,则方程 x sin ? ? y ? 1 表示的曲线是
2 2

(A) 焦点在 x 轴上的椭圆 (C) 焦点在 x 轴上的双曲线

(B)焦点在 y 轴上的椭圆 (D)焦点在 y 轴上的双曲线
2 2

【分析】 根据 ? 所在象限,确定出 sin ? 的符号,再根据方程的形式判断属于那类曲 线.因为 ? 是第四象限角,所以 sin ? <0,所以方程 x sin ? ? y ? 1 表示焦点在 y 轴上的双 曲线. 【答案】 (D). 【说明】 本题主要考查三角函数的符号,双曲线的定义,特殊与一般的思想,能力层 次要求为了解,属于容易题. 【例 12】 已知抛物线 y ? 4 x 上的一点 P 到 y 轴的距离为 2,则点 P 到此抛物线的焦
2

点的距离是 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 【分析】 已知抛物线上的点,求焦点弦问题,都是根据抛物线的定义解决问题.根据 抛物线的定义知,点 P 到焦点的距离等于点 P 到准线的距离,而准线到 y 轴的距离为 1,点

P 到 y 轴距离为 2,所以点 P 到准线的距离 3.
【答案】 (C). 【说明】 本题主要考查抛物线的定义,数形结合的思想,化归与转化的思想,应用意 识,能力层次要求为理解,属于容易题.

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【例 13】 如图所示的程序框图,如果输入三个实数 a,b,c,要求输出这三个数中 最大的数,那么在空白处的判断框中,应该填入下面四 个选项中的(注:框图中的赋值符号“=”也可以写成 “ ? ”或“:=”) (A) c>x (C) c>b (B) x>c (D) b>c 输入 a,b,c 开始

【分析】 正确理解“输入三个实数 a,b,c,要 求输出这三个数中最大的数”的含义是解决本题的关 键. 【答案】 (A). 【说明】 本题主要考查框图中的条件结构,识图 能力以及观察、推理的能力,能力要求层次为理解,属 于容易题. 【例 14】 下列说法正确的是 (A) 事件 A,B 中至少有一个发生的概率一定比 A, B 中恰有一个发生的概率大 (B) 事件 A,B 同时发生的概率一定比 A,B 中恰有 一个发生的概率小 (C) 互斥事件一定是对立事件,对立事件不一定是 互斥事件 (D) 互斥事件不一定是对立事件,对立事件一定是 互斥事件 【分析】 根据并事件、交事件、互斥事件和对立 事件的定义进行判断. 【答案】 (D). 【说明】 本题主要考查并事件、交事件、互斥事件和对立事件的定义,能力要求层次 为了解,属于容易题. 【例 15】 函数 y ? ( ) ? 1 的图象关于直线 y=x 对称的图象大致是
x

x=a

b>x? 否

是 x=b 是 x=c



输出 x

结束

1 2

【分析】

1 y ? ( ) x ? 1 的图象过点 (0, 2) ,且单调递减,故它关于直线 y=x 对称的图 2

象过点 (2, 0) 且单调递减,选(A). 【答案】 (A). 【说明】 本题主要考查指数函数的图象及图象的对称变换,能力要求层次为理解,属

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1 2 二是利用互为反函数的两个函数的图象关系(其反函数为 y ? log 1 ( x ? 1) ).
2

于中档题.解答本题还有两种思路:一是作出函数 y ? ( ) x ? 1 的图象,再作其对称图形;

【例 16】 若 a, b 为实数,则“ 0 ? ab ? 1 ”是“ b ? (A) 充分而不必要条件 (C) 充分必要条件

1 ”的 a

(B) 必要而不充分条件 (D) 既不充分也不必要条件

【分析】 充分必要条件的判断, 应注意分析 “甲” 能否推出 “乙” 、 “乙” 能否推出 “甲” , 进行推证时,还应充分运用到特例和反例.对于本例,当 0 ? ab ? 1 , a ? 0, b ? 0 时,有

b?

1 1 1 ;反过来,当 b ? , a ? 0 时,则有 ab ? 1 ,?“ 0 ? ab ? 1 ”是“ b ? ”的既不 a a a
【答案】 (D). 【说明】 本题主要考查充要条件的概念及其判断, 能力要求层次为理解, 属于中档题. 【例 17】 若 l1 , l 2 , l3 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是 (A) l1 ? l2 , l2 ? l3 ? l1 / / l3 (C) l1 / / l2 / / l3 ? l1 , l 2 , l3 共面 (B) l1 ? l2 , l2 / / l3 ? l1 ? l3 (D) l1 , l 2 , l3 共点 ? l1 , l 2 , l3 共面

充分也不必要的条件.

【分析】 借助正方体各棱的位臵关系, 可举出 A, C,D 三个选项的反例, 说明不成立, 如 l1 , l2 , l3 共面,B 选项显然成立,如不共面,由 l1 ? l2 ,l2 / / l3 ,根据异面直线所成角知 l1 与

l3 所成角为 90°.
【答案】 (B). 【说明】 本题主要考查空间直线的位臵关系,化归与转化的思想,空间想象能力和推 理论证能力,能力层次要求为理解,属于中档题. 2.填空题:将答案直接填在题中横线上. 【例 18】 已知集合 M ? {1, 2,3, 4},集合 N ? {1,3,5} ,则 M ? N 的一个非空子集是 ___________.

? 【分析】 由已知, M ? N ? {1, 2,3, 4} ? {1,3,5} ???? M ? N ? {1,3} .
取公共元素

【答案】

{1} 、 {3} 或 {1,3} (填其中一个即可).

【说明】 本题主要考查集合的运算(求交集)、对给定集合子集的识别,能力层次要求 为理解,属于容易题. 【例 19】 已知函数 f ( x) ? ?

?2 x , x ? 0, ?log 2 x, x ? 0,

那么 f(4)的值为____________

【分析】 求各段函数已知的分段函数的函数值, 基本方法是根据自变量的范围代入相 应解析式.≧4>0,? f (4) ? log 2 4 ? 2 . 【答案】 2. 【说明】 本题主要考查(分段)函数值的求法、 简单的对数运算, 能力要求层次为了解, 属于容易题. 【例 20】 某校高中一、二、三年级的学生分别有 800 名,1200 名,1000 名,现用分

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层抽样的方法从其中抽取一个容量为 750 的样本,则从高中二年级抽取的人数为 ____________ . 【分析】 总体是由差异明显的部分组成,根据问题要求采用的抽样方法为分层抽样, 故按比例计算各年级抽取的人数. 【答案】

750 1 ?1200 ? ?1200 ? 300 . 800 ? 1200 ? 1000 4

【说明】 本题主要考查分层抽样的方法及相关计算, 抽样方法的合理性及统计的思想, 能力要求层次为了解,属于容易题. 【例 21】 命题“如果函数 f(x)是偶函数,那么它的图象关于 y 轴对称”的逆命题是 ____________. 【分析】 构造简单命题的逆命题,只需交换命题的条件和结论. 【答案】 如果函数 f(x)的图象关于 y 轴对称,那么它是偶函数. 【说明】 本题主要考查命题的几种形式的关系,能力要求层次为了解,属于容易题. 【例 22】 如图是某中学高二年级举办的演讲比赛上, 七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图,去掉一个最高 分和一个最低分后,所剩数据的中位数 为 . 【分析】 去掉一个最高分 93 分和一个最低分 79 分后,余下的五个分数依次是:84, 84,85,86,87,中位数是 85. 【答案】 85. 【说明】 本题主要考查用茎叶图分析问题的方法,阅读图表的能力,能力要求层次为 了解,属于容易题. 【例 23】 某人早上醒来的时候发现表停了,如果他打开收音机收听电台报时,他等 待的时间不多于 10 分钟的概率是____________. 【分析】 利用几何概型的定义和几何概型公式求解. 【答案】

1 . 6

【说明】 本考查古典概型和几何概型的识别,解决应用问题的意识和能力,能力要求 层次为了解,属于容易题. 【例 24】 若角 ? 的终边经过点 P(m,m ? 4) ,且 tan ? ? ?3 ,则 m ? ______. 【分析】 已知角的终边上的点和三角函数值,运用定义建立关系: tan ? ? =

y x

m?4 ? ?3 ,解得 m=-1. m
【答案】 -1. 【说明】 本题主要考查三角函数的定义,能力要求层次为了解,属于容易题.在课标

及教材中,强调单位圆在理解定义、性质中的作用,三角函数的定义是以角的终边和单位圆 的交点建立的.解答中根据定义得到等式时运用了: tan ? ? 的终边与单位圆的交点,(x,y)为终边上异于原点的点). 【例 25 】 当输入的 x 的值为-5,下列程序运行的结果等于_________.

y0 y ? (其中,(1,y0)为角 1 x

20

【分析】

该程序用了输入语句、条件语句、赋值语句和输出 INPUT x IF x>=0 THEN PRINT x ELSE PRINT –x END IF END

语句进行算法描述. 【答案】 5. 【说明】 本题主要考查输入语句、条件语句、赋值语句和输 出语句的功能和数学阅读理解的能力,能力要求层次为了解,属于 容易题. 【例 26】 向量 | a |? 5 , | b |? 4 , a 与 b 的夹角为 120 ,则
?

a ? b ? ________.
【分析】 由联系题设各量的向量数量积公式变形即得. 【答案】 -10. 【分析】 本题主要考查向量数乘的运算,能力要求层次为了解,属于容易题. 【例 27】 若变量 x,y 满足约束条件 ? _________. 【分析】 根据已知的约束条件画出可行域,结合图形即得答案. 【答案】 -6. 【说明】 本题主要考查基本的线性规划问题,能力要求层次为理解,属于中档题. 【例 28】 经过点 P(3,0)且长轴长是短轴长的 3 倍的椭圆的标准方程为 ________________. 【分析】 由于焦点位臵不确定,需要分情况讨论,再根据 P 点坐标得出 a 或者 b,从 而得出椭圆的标准方程.当焦点在 x 轴上时,有 a=3,b=1,此时椭圆方程为 当焦点在 y 轴上时,有 b=3,a=9,此时椭圆方程为 【答案】

?3 ? 2 x ? y ? 9 ,则 z ? x ? 2 y 的最小值是 ?6 ? x ? y ? 9

x2 ? y 2 ? 1, 9

x2 y2 ? ? 1. 9 81

x2 x2 y2 ? y 2 ? 1, ? ? 1. 9 9 81

【说明】 本题主要考查椭圆的标准方程,分类与整合的思想,应用意识,能力层次要 求为理解,属于中档题.

1 ? x ? ) , x ? [?2? , 2? ] 的单调递增区间是________. 2 3 1 ? 【分析】 根据正弦函数的单调性解答.令 z= x ? ,而函数 y=sinz 的单调递增区 2 3 ? ? 1 ? ? 5? ? ? ? 间是 ? ? ? 2k? , ? 2k? ? .由 ? ? 2k? ? x ? ? ? 2k? ,得 ? ? 4 k? 2 2 2 3 2 3 ? 2 ?
【例 29】 函数 f ( x) ? sin(

?x?

?
3

? 4 k? , k ? Z .
? 5? ? ? ?? 3 , 3 ? . ? ?

【答案】

【说明】 本题主要考查三角函数的单调性,能力要求层次为理解,属于中档题. 【例 30】 如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? 2 ,点 E 为 AD 的中点,点 F

21

在 CD 上,若 EF∥平面 AB1C,则线段 EF 的长度等于_____________. 【分析】 由线面平行得出线线平行,知 EF 为三角形 DAC 的中位线,再根据中位线定 理求值.因为 EF / / 平面AB1C , EF ? 平面ABCD ,且平面 AB1C 与平面 ABCD 的交线 为 AC ,所以 EF / / AC ,又点 E 为 AD 的中点,所以 EF 为 ?DAC 的中位线,所以 EF ?

1 AC .因为 AB ? 2 , ABCD 为正方形,所 2
2.

以 AC ? 2 2 ,所以 EF ? 【答案】

2.

【说明】 本题主要考查线面平行的性质,三角形中位线定理, 化归与转化的思想,空间想象能力与推理论证能力,能力层次要求为理解,属于中档题. 【例 31】 已知一隧道的截面是半径为 4 m 的半圆,车辆只能在道路中心线一侧行驶, 一辆宽为 2.7 m,高为 3 m 的货车能不能驶入这个隧道?你作出的判 断是________(填“能”或“不能”). 【分析】 建立坐标系,根据圆的方程求出对应点的纵坐标,再 与车的高度进行比较,作出合理判断.如图,以半圆的圆心为坐标原 点,其直径所在直线为 x 轴,建立平面直角坐标系,则半圆的方程为:

x 2 ? y 2 ? 16 ( y ? 0) .令 x=2.7,则 y 2 ? 8.71 .
≧ y ? 8.71 ? 3 ,?货车不能驶入此隧道. 【答案】 不能. 【说明】 本题主要考查建立适当的坐标系解决实际问题,圆的标准方程,数形结合的 思想,数据处理能力和应用意识.能力层次要求为理解,属于中档题.这个题目的特点是紧 密联系学生的生活,情境简单符合学生的认知水平,通过对复杂的实际事物适当简化,使得 题目即有趣味又具有思想性(坐标法思想),这是解析几何的核心思想方法.

? ?0,则 f(0)+f(2)与 【例 32】 对于 R 上可导的任意函数 f(x),若满足(x-1) f(x)
2f(1)的大小关系为_________________. 【分析】 研究函数值的大小关系,从单调性入手.依题意,当 x?1 时,f ?(x)?0,函 数 f(x)在(1,+?)上是增函数;当 x?1 时,f ?(x)?0,f(x)在(-?,1)上是减函数,故 f(x) 当 x=1 时取得最小值,即有 f(0)?f(1),f(2)?f(1),故 f(0)+f(2)?2f(1). 【答案】 f(0)+f(2)?2f(1). 【说明】 本题主要考查导数性质的应用(导函数的函数值取值与单调性的关系), 能力 要求层次为掌握,属于较难题. 【例 33】 若函数 f ( x) 的定义域为 A, x1 , x2 ? A 且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 时, 当 总有 x1 ? x2 , 则称 f ( x) 为单函数.例如,函数 f ( x) =2x+1( x ?R )是单函数.给出下列命题:①函数

f ( x) ? x 2 (x ? R)是单函数;②指数函数 f ( x) ? 2 x (x ? R)是单函数;③若 f ( x) 为单函数, x1 , x2 ? A 且 x1 ? x2 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; 则 ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数. 其
中所有真命题的序号是___________. 【分析】 这是“多选多”型填空题,一般需要逐一分析判断.在判断中,应注意特例 和反例的灵活运用.对于①,若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 x1 ? ? x2 ,不满足;②是单函数;命题 ③实际上是单函数命题的逆否命题,故为真命题;根据定义,命题④为真. 【答案】 ②、③、④.
22

【说明】 本题以数学新概念为背景,从单函数概念出发,考查学生的阅读能力、理解 能力、思维能力、推理能力和创新意识.能力要求层次为掌握,属于较难题. 3.解答题: 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 【例 34】 某人有 4 把钥匙,其中有两把能够打开房门.现随机地取一把钥匙试着开 门,不能打开的就扔掉,问第二次才能打开门的概率是多少?如果试过的钥匙不扔掉,这个 概率又是多少? 【分析】 每把钥匙打开门的概率都是相同的,并且试验结果是有限的,故本题是古典 型概率问题. 【答案】

1 1 , . 3 4

【说明】 本考查古典概型的识别及学生的实际应用意识,能力要求层次为理解,属于 中档题. 【例 35】 在等差数列 {an } 中, a1 ? a3 ? a5 ? 21 , a4 ? 9 .求: (Ⅰ) 数列 {an } 的通项公式 an ; (Ⅱ) 求 a2 ? a4 ? a6 ? ? ? a20 的值. 【分析】 已知等差数列的两个等式, 利用等差数列的基本关系建立方程即可得到等差 数列的基本量,从而求得通项公式等. 【答案】 (Ⅰ) 方法一:设数列 {an } 的公差为 d, 则?

?a1 ? (a1 ? 2d ) ? (a1 ? 4d ) ? 21, 解得 a1 =3, d ? 2 . ?a1 ? 3d ? 9,

故数列 {an } 的通项公式 an ? 2n ? 1. 方法二:由 a1 ? a3 ? a5 ? 21 ,得 3a3 ? 21 ,? a3 ? 7 . 又≧ a4 ? 9 ,?公差 d ? a4 ? a3 ? 2 .由 a3 ? a1 ? 2d ? a1 ? 4 ? 7 ,? a1 =3. 故数列 {an } 的通项公式 an ? 2n ? 1. (Ⅱ) 方法一:由题知 a2 、 a4 、 a6 、…、 a20 是以 a2 为首项,公差为 4 的等差数列, 则 a2 ? a4 ? a6 ? ? ? a20 ?

10(a2 ? a20 ) 10(5 ? 41) ? ? 230 . 2 2 方法二:由题知 a2 、 a4 、 a6 、…、 a20 是以 a2 为首项,公差为 4 的等差数列,则 10 ? 9 ? 4 ? 230 . 2

a2 ? a4 ? a6 ? ? ? a20 ? 10 ? 5 ?

【说明】 本题主要考查等差数列的通项公式、前 n 项和公式及相关概念、性质,能力 要求层次为理解,属于中档题.在解决本问题时,对已知条件的不同表示、对结论(如(Ⅱ) 的求和)的不同表达,即产生对问题的不同解法. 【例 36】 如图, 在平行四边形 ABCD 中,M 是 AB 边的中点, N 在对角线 BD 上, 点 且 DN ? 2 NB . (Ⅰ) 记 AB ? a , AD ? b ,试用向量 a 、 b 表示 MN ; (Ⅱ) 证明: M、N、C 三点共线. 【分析】 根据向量及其运算的几何意义,联系平面向量 共线的表示求解.
23

??? ?

????

???? ?

【答案】 (Ⅰ) ≧ BD ? AD ? AB ? b ? a , BN ? ? MN ? MB ? BN ?

??? ?

???? ??? ?

????

? 1 ??? 1 BD ? (b ? a ) , 3 3

1 1 1 1 a ? (b ? a ) ? a ? b . 2 3 6 3 ???? ???? ??? 1 ? ? 1 (Ⅱ) 证明: MC ? MB ? BC ? a ? b ? a ? b . 2 2 ???? 1 ? ? 1 1 1 1 ???? ? MN ? a ? b = ? ( a ? b) ? MC .故 M、N、C 三点共线. 6 3 3 2 3
【说明】 本题主要考查向量及其运算的几何意义、向量共线的表示,能力要求层次为 理解,属于中档题. 【例 37】 已知 0 ? ? ? (I) 求 tan 2? ; (II) 求 cos ? . 【分析】 三角恒等变换,抓住相关的角、函数名和式子的结构(即角、名、形)关系入 手. 【答案】 (I) 由 0 ? ? ? ? tan ? ?

???? ?

???? ????

?
2

? ? ? ? ,且 sin ? ?

3 1 , cos(? ? ? ) ? . 3 2

?
2

, sin ? ?

3 6 2 ,知 cos ? ? 1 ? sin ? ? , 3 3

sin ? 2 2 tan ? 2 . ? tan 2? ? ? ? ?2 2. 2 cos ? 2 1 ? tan ? 1 ? 1 2 sin 2? 2sin ? cos ? (或: tan 2? ? ? ?2 2) cos 2? 1 ? 2sin 2 ?
(II) 由 0 ? ? ?

?
2

? ? ? ? 可知, 0 ? ? ?

?
2



?
2

? ? ? ? , ?? ? ? ? ? ?

?
2



3 1 ,? sin(? ? ? ) ? ? . 2 2 ? cos ? ? cos[? ? (? ? ? )] ? cos ? cos(? ? ? ) ? sin ? sin(? ? ? )
? ?? ? ? ? ? ? 0 . 又 cos(? ? ? ) ?

?

6 1 3 3 6 1 ? ? ? (? ) ? ? . 3 3 3 2 6 2

【说明】 本题主要考查三角恒等变换(和差角的正弦、余弦,倍角公式),能力要求层 次为理解,属于中档题. 【例 38】 已知函数 f ( x) ?

1 1 ? ( a ? 0,x ? 0 ). a x 1 2

(I) 证明: f ( x) 是 (0, ?) 上的增函数; ? (II) 若 f ( x) 在 [ , 上的值域是 [ , ,求 a 的值. 2] 2] 【分析】 证明函数的单调性,可以考虑运用定义或导数知识;对于连续函数,在单调 性确定之后,函数在给定闭区间上的值域容易由已知区间的端点函数值表示.

1 2

? 【答案】 (I) 法一: 设 x1、x2 ? (0, ?) ,且 x1 ? x2 ,
24

则 f ( x1 ) ?

1 1 1 1 ? ,f ( x2 ) ? ? , a x1 a x2

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( ?

1 a

1 1 1 1 1 x ?x )?( ? ) ? ? ? 1 2 . x1 a x2 x2 x1 x1 x2

≧ 0 ? x1 ? x2 ,则 x1 ? x2 ? 0,x1 x2 ? 0 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 , ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) , f ( x) 是 (0, ?) 上的增函数. ? 法二: 由已知,当 x>0 时, f ?( x) ? ? ? f ( x) 是 (0, ?) 上的增函数. ? (II) 由(I)知, f ( x) 在 [ , 上单调递增,当 f ( x) 在 [ , 上的值域是 [ , 时,有 2] 2] 2]

0 ? x ? 1? 1 1 ? 2 >0, x2 x 1 2 1 2

1 2

1 ?1 1 ? 1 ?a ? 2 ? 2 , 2 ?f( )? , ? ?a? . 2 即? ? 2 5 ? f (2) ? 2, ?1 ? 1 ? 2 ? ? ?a 2
【说明】 本题主要考查函数的单调性证明及其应用,能力要求层次为掌握,属于中档 题.函数的单调性是函数的重要性质,与不等式、最值(值域)等有密切联系.研究函数的单 调性,定义是基础,导数是重要工具. 【例 39】 为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系,下表记录 了小李某月 1 号到 5 号每天打时间 x(单位:小时)与当于投篮命中率 y 之间的关系: 时间 x 命中率 y 1 0.4 2 0.5 3 0.6 4 0.6 5 0.4

(Ⅰ) 求小李这 5 天的平均投篮命中率为; (Ⅱ) 用线性回归分析的方法,预测小李该月 6 号打 6 小时篮球的投篮命中率. 【分析】 (Ⅰ)用平均数的定义可求解; (Ⅱ)先利用表格给出的数据求出线性回归方程, 再以此为基础求第六天的命中率. 【答案】 0.5;0.53. 【说明】 本题主要考查平均数和线性回归方程等基本知识, 数据统计中最常用的回归 分析以及运算能力,能力要求层次为理解,属于较难题. 【例 40】 锐角 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,且 3a ? 2b sin A . (Ⅰ) 求角 B; (Ⅱ) 若 c ? 2 ,且 BC ? BA ? 3 ,求 b. 【分析】

??? ??? ? ?

3a ? 2b sin A 的结构,加上解题目标“求 ?ABC 中的角”的导向,考虑

运用正弦定理.对于(Ⅱ),表示向量的数量积之后,根据已知条件选择关系解三角形即可. 【答案】 (Ⅰ) 由 3a ? 2b sin A 及正弦定理,得

3 ? 2 R sin A ? 2 ? 2 R sin B ? sin A ,
即 3 sin A ? 2sin B ? sin A ,? sin A ? 0 ,? sin B ?

3 . 2

25

? ?ABC 是锐角三角形, 0 ? B ?
(Ⅱ) ≧ BC ? BA ? 3 ,? ac ? cos

?
2

,? B ?

?
3



??? ??? ? ?

?
3

? 3,

? ac ? 6 .又≧ c ? 2 ,? a ? 3 . ?b ? 题. 【例 41】 如图, 在三棱锥 P ? ABC 中,AB ? AC , 为 BC 的中点, ⊥平面 ABC , PO D 垂足 O 落在线段 AD 上. (Ⅰ) 证明: AP ⊥ BC ; (Ⅱ) 已知 BC ? 8 , PO ? 4 , AO ? 3 , OD ? 2 .求二面 角 B ? AP ? C 的大小. 【分析】 (Ⅰ)欲证 AP ⊥ BC ,转化为证明 BC ? 平面

a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? 32 ? 22 ? 2 ? 3 ? 2 cos B ? 7 .

【说明】 本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用,能力要求层次为掌握,属于较难

APD,即证明 AD⊥BC,PO⊥BC;(Ⅱ)欲求二面角 B ? AP ? C 的
大小,即求其二面角的平面角的大小,因此,需作出二面角的 平面角∠BMC, 再利用已知条件解三角形 BMC, 求得平面角∠BMC. 【答案】 (Ⅰ) 由 AB=AC,D 是 BC 的中点,得 AD⊥BC.又

PO⊥平面 ABC,得 PO⊥BC.因为 PO∩AD=O,所以 BC⊥平面 PAD,故 BC⊥PA. (Ⅱ) 如图,在平面 PAB 内作 BM⊥PA 于 M,连 CM. 因为 BC⊥PA.,得 AP⊥平面 BMC.所 以 AP⊥CM.故∠BMC 为二面角 B-AP-C 的平面角.
在 Rt△ADB 中,AB =AD +BD =41,得 AB= 41 , 在 Rt△POD 中, PD =PO +OD , 在 Rt△PDB 中, PB =PD +BD , 所以 PB =PO +OD +BD =36,得 PB=6. 在 Rt△POA 中, PA =AO +OP =25,得 PA=5.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

PA2 ? PB 2 ? AB 2 1 ? , 又 cos ?BPA ? 2 PA ? PB 3
2 2 , 所以 BM ? PB sin ?BPA ? 4 2 .同理 CM ? 4 2 . 3 2 2 2 因为 BM +MC =BC ,所以 ?BPA =90°,即二面角 B-AP-C 的大小为 90°.
从而 sin ?BPA ? 【说明】 本题主要考查空间线线、线面、面面位臵关系,二面角等基础知识,同时考 查化归与转化的思想,空间想象能力和推理论证能力,能力层次要求为掌握,属于较难题. 【例 42】 若以点 C (t, ) ( t ? R ,t ? 0 )为圆心的圆与 x 轴交于点 O、A ,与 y 轴交 于点 O、B ,其中 O 为原点. (Ⅰ) 求证: ?AOB 的面积为定值; (Ⅱ) 若直线 y ? ?2 x ? 4 与 ? C 交于点 M、N ,且 OM ? ON ,求 ? C 的方程. 【分析】 (Ⅰ)欲求三角形 AOB 的面积,需要求得两直角边 OA,OB 的长,通过求圆与 坐标轴的交点解决问题;(Ⅱ)关键抓住 OM=ON 这一条件,得出点 O 在 MN 的中垂线上,同时 圆心 C 必在弦 MN 的中垂线上,从而 OC 为 MN 的中垂线,根据两直线垂直斜率互为负倒数解
26

2 t

决问题. 【答案】 (Ⅰ) 由题意知, ? C 的半径 r ? t ?
2

4 ( t ? 0 ),则 ? C 方程为 t2

2 4 ( x ? t )2 ? ( y ? )2 ? t 2 ? 2 . t t
? y ? 0, ? x ? 0, ? x ? 2t , ? 由? 或? 2 2 2 4 ?? 2 ?( x ? t ) ? ( y ? t ) ? t ? t 2 , ? y ? 0, ? y ? 0. ? ? x ? 0, ? x ? 0, ? x ? 0, ? ? 或? 由? 2 4 ?? 4 ( x ? t ) 2 ? ( y ? ) 2 ? t 2 ? 2 , ? y ? 0, ? y ? . ? t t t ? ?
? S?AOB ?

1 4 ? | 2t | ? | |? 4 (定值). 2 t 2 t

(Ⅱ) 由 OM ? ON 知,线段 MN 的中垂线经过原点 O,且经过圆心 C (t, ) . ? OC 的斜率等于 MN 的斜率的负倒数,即 kOC ? ?

1 1 ? , ?2 2

2 ?0 1 即 t ? ? t ? 2或t ? ?2 . t ?0 2 2 2 2 2 ? ? C 的方程为 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 5 或 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 5 .
【说明】 本题主要考查圆的方程,三角形面积,定值问题,垂径定理,两直线垂直的 性质,数形结合的思想和化归与转化的思想,抽象概括能力与运算求解能力,能力层次要求 为掌握,属于较难题.

x2 y2 【例 43】 已知点 P 在椭圆 ? ? 1 上,且以点 P 及该椭圆的两个焦点 F1,F2 为顶 5 4
点的三角形的面积等于 1,求点 P 的坐标. 【分析】 由椭圆方程易得椭圆的两个焦点坐标,从而得出焦距 | F1 F2 | ,由点 P 的纵 坐标的绝对值为 ?PF1 F2 的一条高的长,可得 ?PF1 F2 的面积的表达式,进而得出点 P 的纵 坐标,由点 P 在椭圆上,求出点 P 的坐标. 【答案】 由椭圆方程 设点 P(x,y),则 S?PF1F2 因为点 P 在椭圆

x2 y2 所以 | F1 F2 |? 2 . ? ? 1 得两焦点坐标为 F1 (?1, 0) , F2 (1, 0) , 5 4 1 ? | F1F2 | ? | y |?| y |? 1 ,所以 y ? ?1 . 2

x2 y2 x 2 (?1) 2 15 ? 1 ,解得 x ? ? ? ? 1 上,所以 ? . 2 5 4 5 4
15 15 15 15 ,1), (? ,1), (? , ?1), ( , ?1). 2 2 2 2

所以所求点 P 有四个,分别为 (

【说明】 本题主要考查椭圆的焦点坐标,焦距,点在曲线上,三角形面积求法,数形

27

结合的思想,分类与整合的思想,化归与转化的思想,运算求解能力,应用意识,能力要求 层次为掌握,属于较难题. 【例 44】 已知 a ? R ,函数 f ( x) ? a ? (I) 是否存在实数 a 使 f ( x) 为奇函数; (II) 探索方程 f(x)=0 的实根个数. 【分析】 对于(I),利用奇函数定义,根据 f(-x)=-f(x)建立 a 的等式得结论;对于 (II),可考虑运用零点存在性定理或者函数的图象解答. 【答案】 (I) 函数的定义域为 R, x ? R , ? f (? x) ? ?a ? 设 则 令 a?

2 . 2 ?1
x

2 2? x 2 . ? ?a ? x ?x 2 ?1 2 ?1

2 ? 2x 2 = ?a ? x ,得 a=1.因此,存在实数 a=1,使 f ( x) 为奇函数. 2 ?1 2x ? 1 2 (II) 方程 f(x)=0 即 a ? x =0, 2 ?1
当 a≤0 时,f(x)<0 恒成立,方程显然无解; 当 a>0 时, 方程变形得 2 ?
x

2 设 ?1 ? 0 , g(x ? ) 2 a

x

2 若 则 ? 1 . ? 此时, a≥2, g(x)>0 a

恒成立,方程无解;若 0<a<2,方程 g(x)=0 有且仅有一个实数根. 所以,当 a≤0 或 a≥2 时,方程 f(x)=0 实根的个数为 0;当 0<a<2 时,方程 f(x)=0 有且仅有一个实根. 【说明】 本题主要考查函数的性质、 方程的根(函数零点)的个数的确定和分类讨论思 想,能力要求层次为掌握,属于较难题.以上解答中,结论“当 0<a<2 时,方程 g(x)=0 有 且仅有一个实数根”的获得,可以运用零点存在性定理,也可以运用函数的图象(对于函数 的问题,利用函数的图象直观,数形结合进行思考,往往使问题的解决更加简洁.). 【例 45】 现需要围建一个面积为 360 m 的矩形场地,场地的一面利用旧墙(但旧墙 必须维修),其它三面全部新建,并在旧墙对面的新墙上留一个宽为 2 m 的进出口(如图所 示). 已知旧墙的维修费用为 45 元/ m ,新墙的建造价为 180 元/ m .设利用旧墙的长度为
2

x ( m ),修建此矩形场地围墙的总费用为 y (元). (Ⅰ) 将 y 表示为 x 的函数,并写出定
义域; (Ⅱ) 试确定 x ,使修建此矩形场地围 墙的总费用最小,并求出这个最小值. 【分析】 对于实际应用型的问题,应 注意阅读审题、分析题意、建立关系,根据 建立的关系(数学模型)的特征联系相应的 数学方法解决问题. 【答案】 (Ⅰ) 当旧墙的长度为 x 时,矩形场地的宽度为
新墙 新墙

旧墙

(场地俯视图)

新墙

进出口

新墙

360 ,则新墙的总长度为 x

( x ? 2) ?

360 ?2 . x
28

? 旧墙的维修费用 y1 ? 45 x ,新墙的修建费用为 y2 ? [( x ? 2) ? 总费用 y ? y1 ? y2 ? 45 x ? [( x ? 2) ?

360 ? 2] ?180 . x

360 ? 2] ?180 ,化简得 x

3602 y ? 225 x ? ? 360 . x
由于要在旧墙对面的新墙上要留一个宽为 2 m 的进出口,所以 x ? 2 .

3602 故 y ? 225 x ? ? 360 , x ? (2, ?) . ? x 3602 (Ⅱ) 由 y ? 225 x ? ? 360 及 x ? 2 ,知 x
y ? 225 x ? 3602 3602 ? 360 ? 2 225 x ? ? 360 ? 10440 , x x

3602 ,即 x ? 24 时, “=”成立. x ? 当 x ? 24 m 时,总费用的最小值为 10440 元.
其中,当且仅当 225x ? 【说明】 本题主要考查运用函数、不等式知识解决实际问题以及分析问题、解决问题 的能力,能力要求层次为掌握,属于较难题. 【例 46】 已知函数 f ( x) ?

a ln x b ? ,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x ?1 x

x ? 2y ? 3 ? 0 .
(I) 求 a,b 的值; (II) 证明:当 x>0,且 x ? 1 时, f ( x) ?

ln x . x ?1

【分析】 曲线的切线问题,从导数的几何意义入手;涉及函数的不等关系,基本思路 是考虑函数的单调性(导函数的函数值符号). 【答案】 (Ⅰ) 显然, f '( x) ?

?(

x ?1 ? ln x) b x ? 2 .由于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的斜率 2 ( x ? 1) x

? f (1) ? 1, ?b ? 1, 1 ? ? 为 ? ,且过点 (1,1) ,故 ? 1 即 ?a 1 解得 a ? 1 , b ? 1. 2 ? f '(1) ? ? 2 , ? 2 ? b ? ? 2 , ? ?
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知 f ( x) ?

x2 ?1 ln x 1 ln x 1 ? (2 ln x ? ). ? ,所以 f ( x) ? x ?1 1 ? x2 x x ?1 x

x2 ?1 考虑函数 h( x) ? 2ln x ? ( x ? 0) ,则 x
h?( x) ? 2 2 x 2 ? ( x 2 ? 1) ( x ? 1) 2 ? ?? . x x2 x2

所以当 x ? 1 时, h?( x) ? 0 ,即 h(x)在(0,1)和(1,+≦)上是减函数,而 h(1) ? 0 ,故

29

当 x ? (0,1) 时, h( x) ? h(1) ? 0 ,可得

1 h( x ) ? 0 ; 1 ? x2

当 x ? (1, ??) 时, h( x) ? h(1) ? 0 ,可得 从而当 x ? 0, 且x ? 1, f ( x) ?

1 h( x ) ? 0 ; 1 ? x2

ln x ln x ? 0,即f ( x) ? . x ?1 x ?1

【说明】 本题主要考查导数的几何意义(与直线相切于曲线的联系)、导数的应用(导 函数的函数值取值与单调性的关系),推理与运算能力,能力要求层次为掌握,属于较难题. 六、样题及参考答案

30

四川省普通高中学业水平考试(样卷) 数 学

本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 第Ⅰ卷 1 至 2 页, 第Ⅱ卷 3 至 6 页. 全卷满分 100 分,考试时间为 90 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 40 分) 注意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上. 3.考试结束时,将本试卷和答题卡一并收回. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. .... 1.若直线 Ax-2y-1=0 与直线 6x-4y+1=0 互相平行,则 A 的值为 (A) ?3 (B) 3 (C) 6 (D) ?
4 3

2.一元二次不等式 x2 ? 5x ? 6 ? 0 的解集是 (A) (2,3) (C) (?? , 2) ? (3 , ? ?) (B) (-3,-2) (D) (?? , ? 3) ? (?2 , ? ?)

3.设集合 U ? {1, 2,3, 4,5} ,集合 A ? {1,3,5} ,集合 B ? {3,4,5} ,则 ?U A) B 等于 ( ? (A) ? (B) {4} (C) {1,3, 4,5} (D) {2,3, 4,5}

4.将一枚质地均匀的硬币抛掷两次,出现“一次正面朝上、一次正面朝下”的概率是 (A) 0 (B)
1 2

(C)

1 4

(D) 1

1 α 5.设α∈{-1,1, ,3},则使函数 y=x 的定义域为 R 且为奇函数的所有α的值为 2

(A) 1 1,1,3

(B) 1,3

(C) -1,

1 2

(D) -

6.从某项综合能力测试中抽取 100 人的成绩,统计如表: 分数 人数 5 20 4 10 3 30 2 30 1 10

则这 100 人成绩的标准差为 (A)
3

(B) 3

(C)

10 5

(D)

2 10 5

31

7.已知 a ? ? ?3, 2 ? , b ? ? ?1, 0 ? ,向量 ?a ? b 与 a ? 2b 垂直,则实数 ? 的值是 (A) ?

1 7

(B)

1 7
(B) 90°

(C) ?

1 6
(C) 120°

(D)

1 6
(D)

8.已知在△ABC 中,sinA∶sinB∶sinC=3∶5∶7,那么这个三角形的最大角是 (A) 60° 150° 9.若右图是一个棱锥的正视图、侧视图和俯视图,且图中三角形是直角边长均为 1 的 直角三角形,四边形是边长为 1 的正方形,则此棱锥的体积等于 (A) 1 (C)
1 3

(B) (D)

1 2 1 4

10.阅读下面的程序框图,当输入变量 x ? 8 时,输出的结果是 (A) 3 (C) ?3 (B) 8
1 (D) 3
输入 x 开 始

x ? 1?




y ? log 2 x

y ? 2x

输出

y

结 束

32

四川省普通高中学业水平考试(样卷) 数 学

第Ⅱ卷(非选择题 共 60 分) 三 15 16 17 18 19

题号 得分



总分

总分人

注意事项: 1.第Ⅱ卷共 4 页,用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上. 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,请将答案直接填在题中横线上.
?1? i ? 11.计算: ? ? ? __________. ?1? i ?
4

12.椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点的坐标为_____________. 9 5
7

13.已知 ?1 ? 2x ? 展开式中第四项的系数为__________. 14.若函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? a 2 在 x ? 1 时有极值 10,则 a, b 的值分别为__________. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 44 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤.
1 在区间 ?1, ?? ? 上是增函数. x

15.(本题 8 分) 用定义证明:函数 f ( x) ? x ?

33

16.(本题 8 分) 如图,已知圆 C 与 x 轴和 y 轴都相切,圆心 C 的坐标为(2,2). (Ⅰ) 写出圆 C 的标准方程,并化为一般方程; (Ⅱ) 求与圆 C 相切,且在 x 轴和 y 轴上的截距相等的直线方程.

17.(本题 8 分) 如图,已知正方体 ABCD-A1B1C1D1,AD1 与 A1D 相交于点 O. (Ⅰ) 判断 AD1 与平面 A1B1CD 的位臵关系,并证明; (Ⅱ) 求直线 AB1 与平面 A1B1CD 所成的角.

34

18.(本题 10 分) 已知函数 f ( x) ?

tan ? tan 2? ? 3(sin 2 ? ? cos2 ? ) , tan 2? ? tan ?

(Ⅰ) 把 f ( x) 的表达式化简为 A sin(? x ? ? ) 的形式; (Ⅱ) 指出 f ( x) 在区间 [0, 2? ] 上的单调区间、最大值及相应的 x 的值.

35

19.(本题 10 分) 已知等差数列 {an } 的公差 d 不为 0,设 Sn ? a1 ? a2 q ? ? ? an q n?1 ,
Tn ? a1 ? a2 q ? ? ? ? ?1?
n ?1

an q n ?1 ,q ? 0, n ? N? .

(Ⅰ) 若 q=1,a1=1,S3=15,求数列 {a n } 的通项公式; (Ⅱ) 若 a1=d,且 S1,S2,S3 成等比数列,求 q 的值; (Ⅲ) 若 q ? ?1 ,证明: ?1 ? q ? S2 n ? ?1 ? q ? T2 n ?
2dq ?1 ? q 2 n ? 1 ? q2

( n ? N? ).

36

四川省普通高中学业水平考试(样卷)数学试题 参考答案及评分意见 一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 4 分,共 40 分) 题号 答案 1 (B) 2 (D) 3 (B) 4 (C) 5 (B) 6 (D) 7 (A) 8 (C) 9 (C) 10 (A)

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分) 11.1;12.(2,0);13.280;14. 4, ?11 . 三、解答题(本大题共 5 个小题,共 44 分) 15.(本题 8 分) 设 1 ? x1 ? x2 , ·························· 2 分

? 1? ? 1? 1 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? x1 ? ? ? ? x2 ? ? ? ( x1 ? x2 )(1 ? ) ? 0 , ······ 4 分 x1 ? ? x2 ? x1 x2 ?

即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , ························· 6 分 ? 函数 f ( x) ? x ? 16.(本题 8 分) (Ⅰ) 由已知,圆心 C 的坐标为(2,2), ················ 1 分 又 圆 C 与 x 轴和 y 轴都相切,可得圆 C 的半径 r ? 2 .·········· 2 分 所以,圆 C 的标准方程是 ? x ? 2 ? ? ? y ? 2 ? ? 4 . ············ 3 分
2 2

1 在区间 ?1, ?? ? 上是增函数. ············ 8 分 x

圆的一般方程为 x2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 4 ? 0 . ··············· 4 分 (Ⅱ) 由已知,直线在 x 轴和 y 轴上的截距相等,可设直线方程为 x ? y ? a ? 0 . 又该直线与圆 C 相切,所以
2?2?a 12 ? 12 ? 2 ,解得 a ? 4 ? 2 2 . ······ 6 分

故所求直线方程为: x ? y ? 4 ? 2 2 ? 0 或 x ? y ? 4 ? 2 2 ? 0 . ······ 8 分 17.(本题 8 分) (Ⅰ) AD1 ? 平面A1 B1CD . ····················· 2 分 ≧ 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, A1 B1 ? AD1 , AD1 ? A1 D, A1 D ? A1 B1 ? A1 , ? AD1 ? 平面A1 B1CD . ······················ 4 分 (Ⅱ)连结 B1O .≧ AD1 ? 平面A1 B1CD 于点 O, ? 直线 B1O 是直线 AB1 在平面 A1 B1CD 上的射影. ? ?AB1O 为直线 AB1 与平面 A1 B1CD 所成的角. ············ 6 分 ≧ AB1 ? 2 AO ,? sin ?AB1O ?
AO 1 ? , AB1 2

? ?AB1O ? 30 °. ························ 8 分 18.(本题 8 分)

37

sin x sin 2 x ? tan x tan 2 x (Ⅰ) f ( x) ? ? 3(sin 2 x ? cos2 x) = cos x cos 2 x ? 3 cos 2 x sin 2 x sin x tan 2 x ? tan x ? cos 2 x cos x

=

sin x sin 2 x ? 3 cos 2 x =sin2x ? 3 cos 2x ······ 2 分 2sin x cos x ? sin x(cos2 x ? sin 2 x)
2

? f ( x) =2sin(2x ? (Ⅱ) 设 x ?[0,

?
3

). ······················ 3 分

2? ? ? ] ,则 u=2x ? ? [? , ? ] . 3 3 3

根据正弦函数的单调性可知, 函数 g(x)=2sinu 在 u ? [? , ] 时递增, u ? [ , ? ) 时递 在 3 2 2 减;且当 u= ?

? ?

?

? 时,g(x)max=2. ········· 6 分 3 2 2? 5? 5? 2? 所以, x ?[0, ] 时,f ( x) 的单调递增区间是 [0, ] , 当 单调递减区间是 [ , ] ;f ( x)
时,g(x)min= ? 3 ;当 u=
3 12 12 3

?

的最小值为 f(x)min= ? 3 ,相应的 x=0; f ( x) 的最大值为 f(x)max=2,相应的 x=

5? . 12

································· 8 分 19.(本题 10 分) (Ⅰ) 由题设, S3 ? a1 ? a2 q ? a3 q 2 = a1 ? (a1 ? d )q ? (a1 ? 2d )q 2 , 将 q=1,a1=1,S3=15 代入,解得 d=4, 所以数列 {an } 的通项公式为: a n ? 4n ? 3 an ? 4n ? 3,n ? N? . ····· 3 分 (Ⅱ) 由已知,a1=d,且 S1,S2,S3 成等比数列,所以 S2 = S1S3,即
(d ? 2dq)2 ? d (d ? 2dq ? 3dq 2 ) ,
2

注意到 d≠0,q≠0,解得 q=-2. ··················· 6 分 (Ⅲ) 由题设,有 bn= q n ?1 ,则
S2n ? a1 ? a2 q ? a3q 2 ? ? ? a2n q 2n?1 T2n ? a1 ? a2 q ? a3 q 2 ? ? ? a2n q 2 n?1

① ②

①-②得, S2n ? T2n ? 2(a2 q ? a4 q3 ? ? ? a2n q 2n?1 ) ············· 8 分 ①+②得, S2n ? T2n ? 2(a1 ? a3 q 2 ? ? ? a2 n?1q 2n?2 ) 所以, ?1 ? q ? S2n ? ?1 ? q ? T2n = S2n ? T2n ? q(S2n ? T2n ) = 2(a2 q ? a4 q3 ? ? ? a2 n q 2n ?1 ) - 2(a1q ? a3q3 ? ? ? a2n?1q 2n?1 ) =2d( q ? q3 ? ? ? q2n?1 ) =
2dq ?1 ? q 2 n ? 1 ? q2



③式两边同乘以 q,得 q(S2n ? T2n ) ? 2(a1q ? a3q3 ? ? ? a2n ?1q 2n?1 )

. ················ 10 分

38


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