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3.2 立体几何中的向量方法(1)


3.2 立体几何中的向量方法(1)
班别:____ 组别:____ 姓名:____ 评价:____
【学习目标】 (1)掌握平面的法向量的概念及求法; (2)掌握利用平面的法向量证明平行、垂直等立体几何问题的方法.

☆预习案☆ (约

30

分钟)

依据课前预习案通读教材,进

行知识梳理,完成预习自测题目,并将预习中不能解决的问题填写 到后面“我的疑惑”处。 【知识要点】 (阅读课文 102—110 页,完成导学案) 1. 概念 (1)点:在空间中,我们取一定点 O 作为基点,那么空间中任意一点 P 的位置就可以用向量_______来表 示,我们把向量________称为点 P 的位置向量. (2)直线:① 直线的方向向量:和这条直线______________的非零向量. ② 对于直线 l 上的任一点 P ,存在实数 t ,使得___________. (3)平面:① 空间中平面 ? 的位置可以由 ? 内两个不共线向量确定.对于平面 ? 上的任一点 P , a 、 b 是 平面 ? 内两个不共线向量,则存在有序实数对 ( x, y ) ,使得_______________. ② 空间中平面 ? 的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量表示空间中平面的位置. (4)平面的法向量:如果直线 l⊥ ? ,取直线 l 的方向向量 a ,则向量_____叫做平面 ? 的法向量. 思考: 1. 一个平面的法向量是唯一的吗? 2. 平面的法向量可以是零向量吗? 2.直线、平面的几种重要的位置关系的充要条件:

设直线 l , m 的方向向量分别为 a 、 b ,平面 ? , ? 的法向量分别为 u 、 v ,则: l ∥m ? l ⊥m ? ; ; ? ? l ∥? ? l ⊥? ? ; ; ? ? ; . ? ∥? ? ? ? ⊥? ? ? 3.用待定系数法求平面法向量的步骤: (1)建立适当的坐标系. (2)设平面的法向量为 n ? ( x, y, z) .

?

?

(3)求出平面内两个不共线向量的坐标 a ? (a1 , b1 , c1 ),b ? (a2 , b2 , c2 ) . (4)根据法向量定义建立方程组 ? 4.利用向量方法证平行关系 (1)线线平行:设直线 l1 、 l 2 的方向向量分别为 a 、 b ,则 l1 // l2 ? a // b ? a ? ?b (2) 线面平行: ①由线面平行的判定定理, 只要证明已知直线的方向向量与平面内的某一向量平行即可; ②设直线 l 的方向向量为 a ,平面 ? 的法向量为 u ,则 l // ? ? a ? u ? a ? u ? 0 ; (3)面面平行: ①证明两个平面的法向量平行,即两个平面的法向量 u //? ; ②证明一个平面内两条相交直线的方向向量分别和另一个平面内的两条相交直线的方向向量平行. 5. 利用向量方法证明垂直关系 (1)线线垂直:设直线 l1 、 l 2 的方向向量分别为 a 、 b ,则 l1 ? l2 ? a ? b ? a ? b ? 0

? ?n ? a ? 0 . ? n ? b ? 0 ?

(5)解方程组,取其中一解,即得平面的法向量.

?

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?

? ?

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(2)线面垂直:①设直线 l 的方向向量为 a ,平面 ? 的法向量为 u ,则 l ? ? ? a // u ? a ? ku ;

?

? ?

?

?

1

②由线面垂直的判定定理,只要证明已知直线的方向向量与平面内两个不共线向量垂直。 (3)面面垂直:①证明两个平面的法向量垂直,即两个平面的法向量 u ? ? ? u ?? ? 0 ; ②由面面垂直的判定定理可知:只要证明一个平面内的一条直线的方向向量和一个平面 内的两条相交直线的方向向量垂直. 【预习自测】 1.若 A(-1,0,1),B(1,4,7)在直线 l 上,则直线 l 的一个方向向量为 A.(1,2,3) B.(1,3,2) C.(2,1,3) D.(3,2,1) ( )

?

?

? ?

? 2.平面 α 与 β 的法向量分别是 a =(1,0,-2), b =(-1,0,2),则平面 α 与 β 的位置关系是(
? 3.若直线 l 的方向向量 a =(1,0,2),平面 α 的法向量为 u =(-2,0,-4),则
A.平行 B.垂直 C.相交不垂直 D.无法判断



(

)

? ? 4.若 a =(2,-1,0), b =(3,-4,7),且(λ a + b )⊥ a ,则 λ 的值是
A.0 B.1 C.-2 1 C. 2

A.l∥α

B.l⊥α

C.l?α

D.l 与 α 斜交 ( )

? 5.若平面 α、β 的法向量分别为 a =(-1,2,4), b =(x,-1,-2),并且 α⊥β,则 x 的值为(
A.10 B.-10 1 D.- 2

D.2



6.已知平面 α 经过三点 A (1,2,3),B (2,0,-1),C (3,-2,0),试求平面 α 的一个法向量.

【典型例题】 【例题 1】在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, O 是 B1 D1 的中点,求证: B1C // 面ODC1 .

【例题 2】在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E , F 分别是棱 AB, BC 的中点,试在棱 BB1 上找一点 M ,使 得 D1 M ⊥平面 EFB1 .

2

【我的疑惑】 请你将预习中未能解决或有疑惑的问题写下来,等待课堂上与老师和同学探究解决。

☆探究案☆ (约
【基础训练】——把最简单的题做好就叫不简单!

30
?

分钟)
).

1. 平面 α 内有一个点 A(2, -1, 2), α 的一个法向量为 n =(3, 1, 2), 则下列点 P 中在平面 α 内的是 ( A.(1,-1,1) 3 B.(1,3, ) 2 3 C.(1,-3, ) 2 3 D.(-1,3,- ) 2

2.两平面 α、β 的法向量分别为 u =(3,-1,z), v =(-2,-y,1),若 α⊥β,则 y+z 的值是( A.-3 B.6 C.-6 D.-12

?

?



3.已知 l∥α,且 l 的方向向量为(2,-8,1),平面 α 的法向量为(1,y,2),则 y=________. 19 5 5 4.若 A(0,2, ),B(1,-1, ),C(-2,1, )是平面 α 内的三点,设平面 α 的法向量 a =(x,y,z), 8 8 8 则 x∶y∶z=________. 1 5.若 l 的方向向量为(2,1,m),平面 α 的法向量为(1, ,2),且 l⊥α,则 m=________. 2 6.如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别是 C1C、B1C1 的 中点.求证:MN∥平面 A1BD.

7.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P 为 DD1 的中点,O 为底面 ABCD 的中心,求证:OB1⊥平面 PAC.

3

【能力提升】 1.三棱锥被平行于底面 ABC 的平面所截得的几何体如图所示,截面为 A1B1C1,∠BAC=90°,A1A⊥平 面 ABC.A1A= 3,AB=AC=2A1C1=2,D 为 BC 中点.证明:平面 A1AD⊥平面 BCC1B1.

【自主总结】——概念、定义、公式、定理、题型、方法…… 1、学会了 2、掌握了 3、还有疑难

4

3.2 立体几何中的向量方法(1)参考答案
【知识要点】略 【预习自测】 1.答案 A 2.答案 A 3.答案 B 4.答案 C 5.答案 B 6.解: ∵A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0), ??? ? → =(1,-2,-4), AB =(1,-2,-4),AC ?
? ? ?x-2y-4z=0 ?x=2y 即? ,解得? . ?2x-4y-3z=0 ?z=0 ? ?

解析 ∵ a =(1,0,-2)=-(-1,0,2)=- b ,∴ a ∥ b ,∴α∥β. 解析 ∴ u =-2 a ,∴ a ∥ u ,∴l⊥α. 解析 λ a + b =λ(2,-1,0)+(3,-4,7)=(3+2λ,-4-λ,7) ∵(λ a + b )⊥ a

?

?

?

?

?

?

∴2(3+2λ)+4+λ=0,即 λ=-2.

解析 因为 α⊥β,则它们的法向量也互相垂直,所以 a · (x,-1,-2)=0,解得 x=-10. b =(-1,2,4)·

?

设平面 α 的法向量为 n =(x,y,z).依题意,应有 n ·AB = 0,

? ??? ?

? → AC = 0. n·

令 y=1,则 x=2. ∴平面 α 的一个法向量为 n =(2,1,0). 【典型例题】 【例题 1】证明:方法一:∵ B1C = A1D , ∴ B1C // A1 D ,又 A1 D ? 面ODC1 , B1C ? 面ODC1 ∴ B1C // 面ODC1 法二: ∵ B1C = B1C1 + B1B = B1O + OC1 + D1O + OD

?

???? ? ???? ?

???? ? ????? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ???? ? ???? = OC1 + OD . ???? ? ???? ? ???? ∴ B1C , OC1 , OD 共面.
又 B1C ? 面 ODC1,∴B1C∥面 ODC1.

法三: 如图建系空间直角坐标系 D ? xyz ,设正方体的棱长为 1,则可得 1 1 ? B1(1,1,1),C(0,1,0),O? ?2,2,1?,C1(0,1,1),

???? ? ???? ???? ? B1C =(-1,0,-1), OD =?-1,-1,-1?, OC1 =?-1,1,0?. 2 ? 2 ? ? 2 2 ?
设平面 ODC1 的法向量为 n=(x0,y0,z0),

???? ? ?n ? OD ? 0, 则? ???? ? n ? OC 1 ? 0, ? ?

?-2x -2y -z =0 得? 1 1 ?-2x +2y =0 ②
0 0 0 0 0

1

1



令 x0=1,得 y0=1,z0=-1,∴ n =(1,1,-1).

?

???? ? ? ???? ? ? ∴ B1C ⊥ n ,∴B1C∥平面 ODC1.

又 B1C · n =-1×1+0×1+(-1)×(-1)=0, 【例题 2】解:建立空间直角坐标系 D—xyz,设正方体的棱长为 2,则

5

E(2,1,0), F(1,2,0), D1(0,0,2), B1(2,2,2). ??? ? → 设 M(2,2,m) ,则 EF =( ? 1,1,0) ,B1E=(0, ? 1, ? 2) ,

????? ? D1M =(2,2,m ? 2). ∵ D 1M ⊥平面 EFB1,

∴ D 1M ⊥EF, D 1M ⊥B1E, ????? ? ??? ? ????? ? → ∴ D1M · B1E = 0, EF = 0 且 D1M · 于是 ?

?-2+2=0, ?-2-2(m-2)=0,

∴m=1, 故取 B1B 的中点为 M 就能满足 D1M⊥平面 EFB1. 【反思感悟】 证明直线与平面垂直有两种方法:(1)用直线与平面垂直的判定定理;(2)证明该直线 所在向量与平面的法向量平行. 【基础训练】 1.答案 B

? → 解析 要判断点 P 是否在平面 α 内,只需判断向量PA与平面 α 的法向量 n 是否垂直,即

→ ? → → ? PA· (3,1, n 是否为 0,因此,要对各个选项进行检验.对于选项 A,PA=(1,0,1),则PA· n =(1,0,1)· 1 1 → → ? 2)=5≠0,故排除 A;对于选项 B,PA=(1,-4, ),则PA· (3,1,2)=0,故 B 正确; n =(1,-4,2)· 2 同理可排除 C,D.故选 B. 2.解析 3.答案 α⊥β?u· v=0?-6+y+z=0,即 y+z=6. 1 2 答案 B

解析 ∵l∥α,∴l 的方向向量(2,-8,1)与平面 α 的法向量(1,y,2)垂直,

1 ∴2× 1-8× y+2=0,∴y= . 2 7 → 7 → 解析 AB=(1,-3,- ),AC=(-2,-1,- ), 4 4 7 2 → x-3y- z=0, x= y, ? 4 3 AB=0, ?a· 由? 得 解得 → 7 4 ?a· AC=0, ? -2x-y- z=0, z=- y, 4 3 2 4 则 x∶y∶z= y∶y∶(- y)=2∶3∶(-4). 3 3 2 1 m 5.答案 4 解析 由 l⊥α 得, = = ,即 m=4. 1 1 2 2 6.证明 法一 如图所示,以 D 为原点,DA、DC、DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角 4.答案 2∶3∶(-4)

? ? ?

? ? ?

坐标系,设正方体的棱长为 1,则可求得 1 1 M(0,1, ),N( ,1,1),D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0), 2 2 1 1 → → → 于是MN=( ,0, ),DA1=(1,0,1),DB=(1,1,0), 2 2 设平面 A1BD 的法向量是 n =(x,y,z),

?

? → ? → ? ?x+z=0, 则n · DA1=0,且 n · DB=0,得? ?x+y=0. ?

6

取 x=1,得 y=-1,z=-1,∴ n =(1,-1,-1). 1 1 → ? 又MN· (1,-1,-1)=0, n =(2,0,2)· → ? ∴MN⊥ n .又 MN?平面 A1BD, ∴MN∥平面 A1BD. 1→ → → → 1 → 1→ 1 → → 法二 ∵MN=C1N-C1M= C1B1- C1C= (D1A1-D1D)= DA1, 2 2 2 2 → → ∴MN∥DA1,而 MN?平面 A1BD,DA1? 平面 A1BD,∴MN∥平面 A1BD. 7.证明 如图,建立空间直角坐标系,不妨设正方体棱长为 2,则 A(2,0,0),P(0,0,1),C(0,2,0),B1(2,2,2),O(1,1,0). → → → 于是OB1=(1,1,2), AC=(-2,2,0), AP=(-2,0,1), → → → → 由于OB1· AC=-2+2+0=0 及OB1· AP=-2+0+2=0. → → → → ∴OB1⊥AC,OB1⊥AP, ∴OB1⊥AC,OB1⊥AP. 又 AC∩AP=A,∴OB1⊥平面 PAC. 【能力提升】 1. 证明 法一 如图,建立空间直角坐标系.则 A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A1(0,0, 3),C1(0, 1, 3), ∵D 为 BC 的中点, ∴D 点坐标为(1,1,0), → → → ∴BC=(-2,2,0),AD=(1,1,0),AA1=(0,0, 3), → → → → ∵BC·AD=-2+2+0=0,BC·AA1=0+0+0=0, → → → → ∴BC⊥AD,BC⊥AA1,∴BC⊥AD,BC⊥AA1, 又 AD∩AA1=A,∴BC⊥平面 ADA1, 而 BC?平面 BCC1B1, ∴平面 A1AD⊥平面 BCC1B1. → → → → 法二 同法一,得AA1=(0,0, 3),AD=(1,1,0), BC=(-2,2,0),CC1=(0,-1, 3), 设平面 A1AD 的法向量 n1=(x1,y1,z1),平面 BCC1B1 的法向量为 n2=(x2,y2,z2). → ? AA1=0, ? 3z1=0, ?n1· 由? 得? → ? ?n1·AD=0, ?x1+y1=0. 令 y1=-1 得 x1=1,z1=0, ∴n1=(1,-1,0).

?

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→ ? BC=0, ?n2· ?-2x2+2y2=0, 由? 得? → ? ?n2·CC1=0, ?-y2+ 3z2=0. 令 y2=1,得 x2=1,z2= ∴n2=(1,1, 3 ). 3 3 , 3

∴n1·n2=1-1+0=0,∴n1⊥n2. ∴平面 A1AD⊥平面 BCC1B1.

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