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研究性学习:平面向量与三角形四心的相关问题研究


研究性学习专题:平面向量与三角形四心的相关问题研究
一、三角形四心概念及其简单性质 1. 定义:我们把三角形三个内角的角平分线的交点叫做三角形的内心,即三角形内切圆圆 心;三角形三条边上的中垂线的交点叫做三角形的外心,即三角形外接圆圆心;三角形三条边 上的中线的交点叫做三角形的重心;三角形三条高线的交点叫做三角形的垂心.我们将三角 形的“内心”、“外心”、“重心”、“垂

心”合称为三角形的 “四心”. 2. 性质:三角形的内心到三角形三边的距离相等;三角形的外心到三角形三个顶点的距离相 等;三角形的重心到三角形的顶点的距离是相应中线长的三分之二;三角形的垂心与顶点的 连线垂直于该顶点的对边. 二、问题研究

1.“定”心
问题 1:(2005 年全国 I)点 O 是 ?ABC 所在平面内的一点,满足

OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA ,则 O 是 ?ABC 的(
A.内心 B.外心 C.重心

) D.垂心

问题 2:已知 M 是 ?ABC 所在平面内的任意一点,且 MA ? MB ? MC ? 3MN ,则 N 是

?ABC 的(
A.内心

) B.外心
2 2 2

C.重心

D.垂心 ) D.垂心

问题 3:在 ?ABC 中,若 OA ? OB ? OC ,则 O 是 ?ABC 的( A.内心 B.外心 C.重心

问题 4:点 O 是 ?ABC 所在平面内的一点,满足

| BC | AO ?| AC | ?BO ?| AB | ?CO ,则 O 是 ?ABC 的(
A.内心 B.外心 C.重心

) D.垂心

变式 1:点 O 是 ?ABC 所在平面内的一点,且

AO ? (


CA AB AB BC BC CA ? ) ? BO ? ( ? ) ? CO ? ( ? ) , 则 O 是 ?ABC 的 | CA | | AB | | AB | | BC | | BC | | CA |
) B.外心 C.重心 D.垂心

A.内心

变式 2:点 O 是 ?ABC 所在平面内的一点,且

OA ? (
的(

AB AC BA BC CA CB ? ) ? OB ? ( ? ) ? OC ? ( ? ) ? 0 ,则 O 是 ?ABC | AB | | AC | | BA | | BC | | CA | | CB |
) B.外心 C.重心 D.垂心

A.内心

变式 3:点 O 是 ?ABC 所在平面内的一点,满足

| HA |2 ? | BC |2 ?| HB |2 ? | CA |2 ?| HC |2 ? | AB |2 ,则 O 是 ?ABC 的(
A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心



2.“穿”心
已知点 G 是 ?ABC 内任意一点,点 M 是 ?ABC 所在平面内一点.试分别根据下列条件判断 G 点可能通过 ?ABC 的__________心.(填“内心”或“外心”或“重心”或“垂心”).

??? ? ???? ???? ? ???? AB AC (1) (2003 年全国高考题)若存在常数 ? ,满足 MG ? MA ? ? ( ??? ? ? ???? )(? ? 0) ,则点 AB AC
G 通过 ?ABC 的_____ (2)若点 D 是 ?ABC 的底边 BC 上的中点,满足 GD ? GB ? GD ? GC ,则点 G 通过 ?ABC 的__________. (3)若 O 是平面内的一定点, A 、 B 、C 不共线,动点 P 满足 OP ? OA ? ? ( AB ? AC) ,

? ? [0,??) ,则点 P 的轨迹一定通过 ?ABC 的__________.
(4)若存在常数 ? ,满足 MG ? MA ? ? (

AB AC ? )(? ? 0) ,则点 G 通过 | AB | sin B | AC | sin C

?ABC 的__________.

(5)若存在常数 ? ,满足 MG ? MA ? ? (

AB AC ? )(? ? 0) ,则点 G 通过 | AB | cos B | AC | cosC

?ABC 的__________.
【提示语】以上四个问题的解决要求不同,除了熟悉三角形的“四心”的性质,同时更要熟悉 平面向量的性质,对于平面向量与三角函数的结合也要相当熟悉. 第五题的变式研究: 变式: 若 O 点是 ?ABC 内的外心, H 点是 ?ABC 的垂心,且 OH ? m(OA ? OB ? OC) ,求实 数 m 的值.

????

??? ? ??? ? ??? ?

3.“用”心
若 O 为 ?ABC 内一点, OA ? 2OB ? 3OC ? 0 ,求 ?AOB 的面积与 ?AOC 的面积比.

做了这么多,总结归纳一下吧。


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