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2015年全国高中数学联赛河南省高一预赛试题含答案


2015 年全国高中数学联赛河南省高一预赛试题 一.填空题(本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分) 1.若集合 A ? ?a a ? 5 x ? 4, x ? N*? , B ? ?b b ? 7 y ? 6, y ? N*? ,将 A B 中的 元素从小到大排列,则排在第 20 个的那个元素是 . 2.已知实数 x , y 满足: ( x ? 3)3 ? 201

5( x ? 3) ? (2 y ? 3)3 ? 2015(2 y ? 3) ? 0 , 则 ? x 2 ? 4 y 2 ? 4 x ?min ? . 3 .设线段 BC ? ? , AB ? ? , CD ? BC ,且 CD 与平面 ? 成 30 ? 角,且 AB ? BC ? CD ? 2 cm,则线段 AD 的长度为 . 4. 若直线 l 与直线 x ? 3 y ? 10 ? 0 ,2 x ? y ? 8 ? 0 分别交于点 M ,N , 若 MN 的中点为 P(0,1) ,则直线 l 的方程是 . 5.设 k ,m ,n 都是整数,过圆 x2 ? y 2 ? (3k ? 1)2 外一点 P(m3 ? m, n3 ? n) 向 该圆引两条切线,切点分别为 A ,B ,则直线 AB 上满足横坐标与纵坐 标均为整数的点有 个. 6 . 若 函 数 f ( x) ? (1 ? x2 )( x2 ? ax ? b) 的 图 象 关 于 直 线 x ? ?2 对 称 , 则 a?b ? . 7. (请同学们任选一题作答,若两题都做,则按上面一题正误判分) (必修 3)执行如图所示的算法,则输出的结果是 . (必修 4)已知函数 f ( x) ? a?( sin x π 在区间 (0, ) 上是减函数,若 0 ? x ≤1 , x 2 sin x 2 sin x sin x 2 ) ,b ? ,c ? 2 ,则 a ,b ,c 的大小关系是 x x x . 8.如果实数 a , b 使得 x 2 ? x ? 1 是 ax2 数字为 . 2015 ?1 ? bx2 2015 ?1 ? 1的因式,则 a 的个位 二(本题满足 16 分) 求 x2 ? 3 y 2 ? 2 的整数解. 三(本题满足 20 分) 如图所示,已知 AB 为圆 O 的直径,点 C 在圆 O 上且满足 AC ? BC ,在 线段 BC 上取一点 D ,使 BD ? AC ,在 AD 上取一点 E 使 ?BED ? 45? ,延 长 BE 交 CA 于 F ,求证: CD ? AF . 四(本题满足 20 分) 对于任意的 △ ABC ,若其三边长为 a , b , c ,则 a x , b x , c x 依然可以 构成某三角形的三边长,求实数 x 的取值范围. 五(本题满足 20 分) 已知全集 U ? ?1,2, , n? ,集合 A 满足:(i) A ? U ;(ii)若 x ? A ,则 kx ? A ; (iii)若 x ? ?U A , kx ? ?U A (其中 k , n ? N* , k ≥ 2 ) ,用 fk (n) 表示满足条 件的集合 A 的个数. (1)求 f 2 (4) , f 2 (5) ; (2)记集合 A 中所有元素的和记为集合 A 的“和” ,当 n ? pk ? q ( p , q ? N , 0 ≤ q ≤ k ? 1 )时,求所有集合 A 的“和”的和(结果用含 p , q , k 的代数式表示) .

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