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2013年河北省高中数学竞赛试卷(高二年级组)


2013 年河北省高中数学竞赛试卷(高二年级组)
(时间:9 月 15 日上午 8:30~11:30) 一、填空题(将每小题的答案填在题后的横线上内,本大题共 8 小题,每小题 8 分,满分 64 分) 1.若任意 x ? A ,则

1 1 1 ? A ,就称 A 是“和谐”集合,则在集合 P ? {? , ?1, ?2, 0,1, 2,3, , 4,5} 的 x 2 3

所有非空子集中,“和谐”集合有_______个。 2 . 数 列 {an } 满 足 条 件 : a1 ? 1 , 2(a1 ? a2 ? a3 ?

? an ) ? (n ? 1)an (n ? 1, 2,3, ) , 则

a1 ? a2 ? a3 ?

。 ?na _______________ ?

3.O 是△ ABC 所在平面上一点,满足 2 AB ? OA ? OB ? OC ,则△ OAB 的面积与△ ABC 的面积的 比值为__________。 4.有一个正四棱锥,它的底面边厂与侧棱长均为 a,现用一张正方形包装纸将其完全包住(不能 裁剪纸,但可以折叠) ,那么包装纸的最小边长应为_______。 5.不等式 x ? 2 2xy ? 2a( x ? y) 对于一切正数 x,y 恒成立,则实数 a 的最小值为________。 6. 已知直线 l : x ? y ? 6 ? 0 和 点 A 在直线 l 上, 若直线 AC 与 M M : x2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 2 ? 0 ,

至少有一个公共点 C,且 ?MAC ? 30? ,则点 A 的横坐标的取值范围是__________。 7.计算 tan 70? sin 80? ? 4cos 2 20? ?

3 sin10? cos 20? ? ____________。 cos 70?
1 2 2 3

8 . 已 知 函 数 f ( x) ? loga (2 x ? a) 在 区 间 [ , ] 上 恒 有 f ( x ) ? 0 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 ____________。 二、解答题(本大题共 6 小题,每题的解答均要求有推理过程,9、10、11、12 小题各 14 分,13、 14 小题各 15 分,共 86 分) 9.一条直线型街道的两端 A、B 的距离为 180 米,为方便群众,想在中间安排两个报亭 C、D, 顺序为 A、C、D、B。 (1)若由甲乙两人各选择一个,在随机选择的情况下,求甲、乙至少一人选择报亭 C 的概率; (2)求 A 与 C,B 与 D 之间的距离都不小于 60 米的概率。

1

10.在△ ABC 中, ? A 、 ? B 、 ?C 所对的边长分别是 a、b、c,满足: 2a cos C ? c cos A ? b 。 (1)求 ?C 的大小; (2)求 sin A ? sin B 的最大值。

11.已知等腰梯形 PDCB 中(如图 1) ,PB=3,DC=1, PD ? BC ? 2 ,A 为 PB 边上一点,且 PA=1,将△ PAD 沿 AD 折起,使面 PAD ? 面 ABCD(如图 2) (1)证明:平面 PAD ? PCD ; (2)设点 M 为棱 PB 的中点,求二面角 M-AC-P 的余弦值; (3)在 M 满足(2)的情况下,求点 B 到平面 ACM 的距离。
P

P

A

B

M

A D 图1 C D C 图2

B

2

12.已知整数列 {an } 满足 a3 ? ?1, a7 ? 4 ,前 6 项依次成等差数列,从第 5 项起依次成等比数列。 (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)求出所有的正整数 m,使得 am ? am?1 ? am?2 ? am am?1am?2 。

13.已知定点 M (0, 2), N (0, ?2), Q(2,0) ,动点 P 满足 m | PQ |2 ?MP ? NP ? 0 (m ? R) 。 (1)求动点 P 的轨迹方程,并说明轨迹的形状; (2)当 m=0 时,求 | 2MP ? NP | 的取值范围。

3

14.设函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c ,且 f (1) ? ? 求证: (1) a ? 0 且 ?3 ?

a , 3a ? 2c ? 2b 。 2

b 3 ?? ; a 4

(2)函数 f ( x ) 在区间 (0, 2) 内至少有一个零点;

(3)设 x1 , x2 是函数 f ( x ) 的两个零点,则 2 ?| x1 ? x2 |?

57 。 4

4


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