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湖北省松滋市高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.1.2排列与排列数公式导学案新人教A版选修2-3解析


1.2.1.2 排列与排列数公式
【学习目标】 1.熟练掌握排列数公式; 2.能运用排列数公式解决一些简单的应用问题. 【问题导学】 1.预习教材 P14-P20,找出疑惑之处. 2. 复习 1:什么叫排列?排列的定义包括两个方面分别是 取元素 两个排列相同的条件是元素 复习 2:排列数公式:
m = An

和 排顺序



相同,元素的排列顺序

也相同

( m, n ? N ? , m ? n ) = . ,全部取出的排列数是 .

n 全排列数 An =

复习 3

从 5 个不同元素中任取 2 个元素的排列数是

【合作探究】 探究任务一:排列数公式应用的条件 问题 1: ⑴ 从 5 本不同的书中选 3 本送给 3 名同学,每人各 1 本,共有多少种不同的送法? ⑵ 从 5 种不同的书中买 3 本送给 3 名同学,每人各 1 本,共有多少种不同的送法?
3 解析: (1) A5 ? 60

(2) 5 ? 5 ? 5 ? 125

新知: 排列数公式只能用在从 n 个不同元素中取出 m 个元素的的排列数, 对元素可能相同的 情况不能使用. 探究任务二:解决排列问题的基本方法 问题 2: 用 0 到 9 这 10 个数字, 可以组成多少个没有重复数字的三位数 (写出表达式即可) ?
3 1 2 解析:法一(直接法) :按无 0 和有 0 分两类,共有 A9 ? A2 A9 ? 648 个.(2)间接法: 3 2 A10 ? A9 ? 648 个.

问题 3:7 位同学按照不同的要求站成一排,求不同排队方案有多少种? (1)甲必须站中间; (2)甲、乙只能站两端; (3)甲不站左端,乙不站右端; (1) (4)甲、乙两人必须相邻;

1

(5)甲、乙两人不能相邻.
6 解析: (1)看作余下 6 个元素的全排列, A6 ? 720 种.(2)根据分布乘法计数原理,第一 2 5 步,甲、乙站在两端有 A2 种,第二步,余下的 5 位同学进行全排列有 A5 种,所以共有 5 2 A5 A2 ? 240 种.(3)甲、乙为特殊元素,左、右两端为特殊位置. 6 法一(特殊元素法) :甲在最右边时,其他的可全排列,有 A6 种,甲不在最右边时,可从余 1 下的 5 个位置中任选一个, 有 A5 种; 而乙可排在除去最右边位置后剩余的 5 个中的一个上, 1 1 1 5 6 1 1 5 有 A5 种,其余人全排列,故共有 A5 A5 A5 种;由分类计数原理 A6 ? A5 A5 A5 ? 3720 种.

法二(特殊位置法) :先排最左边,除甲外,有
1 6 种 ,余下 6 个位置全排列有 A6 种,但应剔 A6 1 5 除乙在最右边的排法 A5 A5 种,故共有 1 6 1 5 A6 A6 ? A5 A5 ? 3720 7 6 法三(间接法) :7 个人全排有 A7 种,其中,不合条件的有甲在最左边时 A6 种,乙在最右 6 5 边 时 A6 种 , 其 中 都 包 含 了 甲 在 最 左 边 , 同 时 乙 在 最 右 边 的 情 况 , 有 A5 种.故共有 7 6 5 =3720. A7 ? 2 A6 ? A5 6 2 (4)(捆绑法)把甲、乙两人捆绑后看成一个元素.有 A6 A2 ? 1440 种.

( 5 )法一(插空法) :先让其余的 5 人全排列再让甲、乙在 6 个位置插入排列,共有
5 2 7 6 2 :不考虑限制条件共有 A7 种.除去甲、乙相邻的排法 A6 A5 A6 ? 3600 种.法二(间接法) A2 , 7 6 2 所以共有 A7 ? A6 A2 ? 3600 种.

变式:(1)6 男 2 女排成一排,2 女相邻,有多少种不同的站法? (2)6 男 2 女排成一排,2 女不能相邻,有多少种不同的站法? (3)4 男 4 女排成一排,同性别者相邻,有多少种不同的站法? (4)4 男 4 女排成一排,同性别者不能相邻,有多少种不同的站法? (5)4 男 4 女排成一排,甲、乙之间必须有 2 人. 有多少种不同的站法?
2 7 6 2 解析: (1) 先将女生捆绑在一起. A2 A7 =10080(2)先排男生再插入女生. A6 A7 ? 30240 .

2

4 4 2 4 4 (3) A4 A4 A2 ? 1152 .(4)先排男(女)生,再插入女(男)生, 2 A4 A4 ? 1152 .(5)

任取 2 人与甲、乙组成一个整体,与余下 4 人全排列,故有
2 2 5 A2 A6 A5 ? 7200 .

新知:(1)位置分析法;以位置为主,特殊(受限)的位置优先考虑. 有两个以上的约束 条件时,往往根据其中一个条件分类处理. (2)元素分析法:以元素为主,先满足特殊(受限)的要求,再处理其他元素,有两个以上 的约束条件时,往往考虑一个元素的同时,兼顾其他元素. (3)间接法:也叫排异法,直接考虑情况较多.但其对立面情况较少,比较容易解决.可考虑 用间接法. (4)插空法: “不相邻”问题可以用插空法.但要注意无限制条件的元素的排列数及所形成的 空的个数. (5) 捆绑法:把要求在一起的“小集团”看成一个整体,与其他元素进行排列,同时不要忘 记“小集团”内也要排列. 此法适用于“相邻”问题的排列. 【学习评价】 ●自我评价 你完成本节导学案的情况为( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ).

●当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分) : 1.用数字 1,2,3,4,6 可以组成无重复数字的五位偶数有 A. 48 2. B. 64 C. 72 D.90 ( B ) ( C )

5 人排成一排,其中甲、乙至少一人在两端的排法种数为 A.6 B. 84 C.24 D. 48

B 组(你坚信你能行) : 3. 甲、乙、丙 3 位志愿者安排在周一至周五的 5 天中参加某项志愿者活动,要求每人参加 一 天 且 每天 至 多安 排 一人 , 并 要求 甲 安排 在 另外 两 位 前面 , 不同 的安排 方 法共有 ( A A.20 ) B. 30 C.40 D. 60

解析:分甲在周一、周二、周三三类讨论或总数乘以三分之一. 4. 安排 7 位工作人员在 10 月 1 日到 10 月 7 日值班,其中甲、乙两人都不能安排在 10 月 1 日和 10 月 2 日,不同的安排方法共有 2400 种. 36 .

5 (★★) .五个人排成一排, 甲、 乙不相邻, 且甲、 丙也不相邻的不同排法的种数为

2 3 解析:分两类:一类是甲、乙、丙互不相邻,此类方法有 A2 A3 ? 12 种;另一类是乙、丙相

3

2 2 2 2 邻但不与甲相邻,此类方法有 A2 A3 A2 ? 24 种(先把除甲、乙、丙外的另两人排好,有 A2

种方法,再从这两人所形成的三个空位中任选 2 个作为甲和乙、丙的位置) ,故共有

12 ? 24 ? 36 种.

【小结与反思】

4


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