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二倍角的正弦、余弦和正切公式第二课时


2.2.1 二倍角的正弦、余弦、 正切公式(第二课时)

sin 2? ? 2 sin ? cos?
cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ?

? ?R ? ?R

2 tan? tan 2? ? 1 ? tan 2 ?

? k? ? k ? Z? ? ? k? ? ?,

?? ? ,且 2 2 4

cos 2? ? 2 cos ? ? 1
2

cos 2? ? 1 ? 2 sin ?
2

引申:公式变形:

1 ? sin2? ? (sin ? ? cos? )
1 ? cos2? ? 2 cos ?
2

2

1 ? cos2? ? 2 sin ?
2

?

升幂降角公式

1 ? cos 2? cos ? ? 2
2

1 ? cos 2? sin ? ? 2
2

?

降幂升角公式

例1
化简

(1) 1 ? sin 40? ; (2) 1 ? sin 40? ; (3) 1 ? cos 20? ; (4) 1 ? cos 20?

? cos 20 ? sin 20

? cos 20 ? sin 20

? 2 cos10

? 2 sin10

变式:如何化简 2 ? sin 2 ? cos4呢?
2

例2 化简sin50 (1 ? 3 tan10 )
o o

cos10 ? 3 sin10 解: 原式 ? sin 50 ? o cos10 o o 2sin 40 ? sin 50 ? o cos10
o o

o

2sin 40 ? cos 40 ? o cos10
o

o

sin 80 ? ?1 o cos10

o

1 3 1、 ? ? sin 10 cos10?

?4

3、 tan 70? cos10?( 3 tan 20? ? 1) ? ?1

例3、函数

y ? (sin x ? cos x) ? 2 cos x
2 2
f(x)

1)、求函数

的最小正周期。

2)、求函数 f(x) 的递减区间。
π? 0 , 3)、当x ? ? f ( x) ? 2? ? ? 求x为何值时,函数

取到最大值?

巩固训练
1、已知函数
1)、求 f ( x)

f ( x) ? cos2 x ? 3 sin x cos x ?1, x ? R
的最小正周期。

2)、求函数 f ( x) 的递增区间。 3)、求函数 f ( x) 取到最大值时x的集合。

1 ? sin 2 ? ? cos 2 ? 例4 求证: ? tan? 1 ? sin 2? ? cos 2?
1 ? 2 sin? cos? ? (1 ? 2 sin ? ) 证明:左边 ? 2 1 ? 2 sin? cos? ? ( 2 cos ? ? 1)
2

2 sin? (cos? ? sin? ) sin? ? ? 2 cos? (cos? ? sin? ) cos?
? tan? ? 右边

? 原式成立 .

例5. 证明恒等式:
sin 2? ? sin ? ? tan ? . 2 2 cos 2? ? 2sin ? ? cos ?
2sin ? cos ? ? sin ? 证明: 左式= 2 2 2 2(cos ? ? sin ? ) ? 2sin ? ? cos ?

sin ? (2 cos ? ? 1) ? cos ? (2 cos ? ? 1)

? tan ? =右式

练习

1 ? sin 2? ? cos 2? 1.化简 : =tanα 1 ? sin 2? ? cos 2?

总结 1、二倍角正弦、余弦、正切公式的推导

2、熟记二倍角正弦、余弦、正切公式
3、注意二倍角正弦、余弦、正切公式的 正 向 和逆向运用 4、注意二倍角正弦、余弦、正切公式的 变形 的运用


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