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宝安区2012-2013上学期高二年级文科数学试题答案


2012-2013学年第一学期宝安区期末调研测试卷 高二 文科数学
命题 张松柏

一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1、不等式 x ? x 的解集是(
2

B

) C. [1,??) D. [0,1]

/>A . (0,1)

B. (??,0) ? (1,??) C ) B. ?

2. sin 15? ? cos 15? ? (

1 A. 2

1 4
C

C.

1 4

D. 4

3. 函数 f ( x) ? ln(x 2 ? 1) 的单调增区间是(

) D. (??,?1)

A . (?1,1)

B. (?1,??)

C. (1,??)

4. 已 知 函 数 f ( x) ? ? ( D ) A. ? 2

? e x?2 , x ? 0 , 则 使 得 f ( x) ? 1 成 立 的 所 有 x 的 值 为 | x ? 1 |, x ? 0 ?
B. 0,2 C. 0,?2
2 2 2

D. 0,?2

5、在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a, b, c ,若 a ? c ? ac ? b ,则角 B 的大 小为( D ) . B.

A.

2? 3

? 4

C.

? 6

D.

? 3

6、等差数列 an 中,记 S n ? a1 ? a2 ? ? ? an ,若 S9 ? 72 ,则 a2 ? a4 ? a ? 等于( C ) 9 A.14 B.12 C.24 D.16 ) D. 4

? ?

a b 7.若实数 a, b 满足 a ? b ? 2 ,则 3 ? 3 的最小值是( A

A .6

B. 2

C. 3

8.设函数 y ? g (x) 为奇函数,f(x)= 2 ? g ( x) 的最大值为 M,最小值为 m,则 M+m= ( D ) B.- 2 C. 3 D. 4

A .-6

9.圆 C 与圆 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 关于直线 y =x +2 对称,则圆 C 的方程是( A



A . ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1
C. ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 2

B. ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1 D. ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 1 A )

10.若实数 x, y 满足 x2 ? y 2 ? xy ? 1 ,则 x ? y 的最大值是 (

A . [?

2 3 2 3 , ] 3 3 2 2 2 2 , ] 3 3

B. (?

2 3 2 3 , ) 3 3 2 2 2 2 , ) 3 3

C. [?

D. (?

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上. 11.已知一组命题: p : 3 ? 4, q : 3 ? 4 ,利用逻辑连接词“或”构造的新命题是真命题还是 假命题 (填“真”或者“假” ) 12 、 已 知 数 列 { an } 中 a1 ? 1 且 an ?1 ?

an ( n ? N ), 则 数 列 的 通 项 公 式 为 , an ? 1

an ?

1 n

.
2

13 若 关 于 x 的 不 等 式 mx ? mx ? m ? 1 ? 0 的 解 集 为 ? , 则 实 数 m 的 取 值 范 围 是 m?0 . 14、 投资生产 A 产品时,每生产 100t 需要资金 200 万元,需场地 200 m ,可以获利润 300 万元;投资生产 B 产品时,每生产 100m 需要资金 300 万元,需场地 100 m ,可以获利润 200 万元。现单位可以使用资金 1400 万元,场地 900 m ,请你用你所掌握的数学知识进行 投资组合,使得单位获得最大利润,可能获得的最大利润为 1475 万元。
2 2 2

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分。解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤。

15. (本题 12 分)已知椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1. 9 ? k k ?1

(1)求 k 的取值范围;

(2)若椭圆 C 的离心率 e ?

6 ,求 k 的值. 7

15.解(1)1<k<5 或 5<k<9; ( 6 分) (2)当焦点在 x 轴上时,k=2 当焦点在 y 轴上时,k=8 16. (本题 12 分)已知函数 f ( x) ? (1)求使 f ( x) ? 0 的 x 的集合。

(12 分)

x 2 ? 3x ? 2 x

(2)若 m ? f (x) 对 x ? 0 的所有实数恒成立,求 m 的取值范围。 16.解: (1) f ( x) ? 0 即 (2) f ( x) ?

x 2 ? 3x ? 2 ? 0 解得: x ? ?2 或 ? 1 ? x ? 0 (6 分) x

x 2 ? 3x ? 2 2 ? x ? ? 3 ? 2 2 ? 3 ,要不等式恒成立必须 m ? 2 2 ? 3 x x
(12 分)

x2 y 2 17. (本题 14 分)设 F1 、 F2 分别是椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左右焦点。 a b

(1)设椭圆 C 上点 ( 3, 焦点坐标;

3 ) 到两点 F1 、 F2 距离和等于 4 ,写出椭圆 C 的方程和 2

(2)设 K 是(1)中所得椭圆上的动点,求线段 KF1 的中点 B 的轨迹方程; (3) 设点 P 是椭圆 C 上的任意一点, 过原点的直线 L 与椭圆相交于 M ,N 两点, 当直线 PM ,PN 的斜率都存在, 并记为 kPM ,k PN , 试探究 K PM K PN 的 值是否与点 P 及直线 L 有关。
( 3) 2 3 ) 在椭圆上, 2 ? 17.解: (1)由于点 ( 3, a 2 ( 3 2 ) 2 ?1 b2

得 2 a =4,

(2 分)

椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ?1 4 3

,焦点坐标分别为 (?1, 0), (1, 0)

(4 分)

(2)设 KF1 的中点为 B(x, y)则点 K (2 x ? 1, 2 y) 把 K 的坐标代入椭圆

(5 分) (7 分)

x2 y 2 ? ?1 4 3

中得

(2 x ? 1) 2 (2 y ) 2 ? ?1 4 3
2

线段 KF1 的中点 B 的轨迹方程为 ( x ? ) ?

1 2

y2 ?1 3 4

(8 分)

(3)过原点的直线 L 与椭圆相交的两点 M,N 关于坐标原点对称 设 M ( x0 , y0 ) N ( ? x0 , ? y0 ),

p( x, y) ,
x0 2 y0 2 x2 y 2 ? 2 ? 1 ,2 ? 2 ? 1 a2 b a b
(10 分)

M , N , P 在椭圆上,应满足椭圆方程,得

kPM ? KPN =

b2 y ? y0 y ? y0 y 2 ? y02 =? 2 ? ? 2 a x ? x0 x ? x0 x ? x02
(14 分)

故: kPM ? KPN 的值与点 P 的位置无关,同时与直线 L 无关, 18. (本题 12 分) (1)研究函数 f ( x) ? ln x ? x 的单调区间与极值。 (2)试探究 f ( x) ? ln x ? ax ( a ? R )单调性 18. (1)要函数有意义必须 x ? 0 (2 分)

f ?( x) ?

1 1? x ?1 ? 时 时 ,?当0 ? x ? 1 , f (x) 为增函数, 分)?当x ? 1 , f (x) 为 (4 x x

减函数,当 x ? 1 时 f (x) 取得极小值,此极小值也为函数的最小值。 分) (8 (2)同样要函数有意义必须 x ? 0 , f ?( x) ?

1 1 ? ax ?a ? x x

当 a ? 0 时 f ?( x) ? 0 ,所以 f (x) 在 (0,??) 上为增函数。 (11 分) 当 a ? 0 时, 0 ? x ?

1 1 时 f ?( x) ? 0 , f (x) 在 (0, ) 上为增函数 a a 1 1 x ? 时 f ?( x) ? 0 , f (x) 在 ( ,?? ) 上为减函数(14 分) a a

19. (本题 14 分)在锐角 ?ABC 中, a , b , c 分别为内角 A , B , C 所对的边,且满足

3a ? 2b sin A ? 0 .
(1)求角 B 的大小; (2)若 a ? c ? 5 ,且 a ? c , b ?

7 ,求 AB? AC 的值.

19.解: (1)因为 3a ? 2b sin A ? 0 , 所以 3sin A ? 2sin Bsin A ? 0 , 因为 sin A ? 0 ,所以 sin B ? 又 B 为锐角, 则 B ? (2)由(1)可知, B ? ( 3 分)

3 . (4 分) 2
(7 分)

?
3

.

?
3

.因为 b ?

7,

2 2 根据余弦定理,得 7 ? a ? c ? 2ac cos

?
3

, 分) (9

整理,得 (a ? c)2 ? 3ac ? 7 . 由已知 a ? c ? 5 ,则 ac ? 6 . 又 a ? c ,可得 a ? 3 , c ? 2 . 于是 cos A ? (12 分)

b2 ? c 2 ? a 2 7 ? 4 ? 9 7 , ? ? 2bc 14 4 7
??? ??? ? ? 7 ?1. 14
(14)分

所以 AB?AC ? AB ? AC cos A ? cb cos A ? 2 ? 7 ?

??? ??? ? ?

20. (本题 14 分)设数列 {an } 是首项为 0 的递增数列, (n ? N*) ,

1 f n ( x) ? sin ( x ? an ) , x ?[an , an?1 ] 满足:对于任意的 b ?[0,1), f n ( x) ? b 总有两个 n 不同的根. (Ⅰ)试写出 y ? f1 ( x) ,并求出 a2 ; (Ⅱ)求 an?1 ? an ,并求出 {an } 的通项公式;
(Ⅲ)设 Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? ? ? (?1) n?1 an ,求 Sn . 19.解(1)∵ a1 ? 0 ,当 n ? 1 时, f1 ( x) ?| sin(x ? a1 ) |?| sin x | , x ? [0, a2 ] , 又∵对任意的 b ? [0,1) , f1 ( x) ? b 总有两个不同的根,∴ a 2 ? ? ∴ f1 ( x) ? sin x, x ? [0, ? ] , a 2 ? ? (4 分)

(2)由(Ⅰ), f 2 ( x) ?| sin

1 1 x ( x ? a 2 ) |?| sin ( x ? ? ) |?| cos |, x ? [? , a3 ] 2 2 2 ∵对任意的 b ? [0,1) , f1 ( x) ? b 总有两个不同的根, ∴ a3 ? 3? 1 1 1 f 3 ( x) ?| sin ( x ? a3 ) |?| sin ( x ? 3? ) |?| sin ? |, x ? [3? , a 4 ] 3 3 3 ∵对任意的 b ? [0,1) , f1 ( x) ? b 总有两个不同的根, ∴ a4 ? 6? n(n ? 1)? an ? 由此可得 an?1 ? an ? n? , (9 分) 2

(14 分)


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