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湖北省武汉市第二中学2015-2016学年高二数学上学期期末考试试题 文


武汉二中 2015-2016 学年度上学期期末考试 高二文科数学试卷
考试时间:2016 年 1 月 27 日上午 8:00—10:00 试卷满分:150 分 一、选择题: (本大题共 12 小题;每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是 符合题目要求的,把正确选项的代号填在答题卡上。 ) 1. 复数 A

5 的共轭复

数是( i?2 i?2 B 2?i

) C

?2?i

D

i?2

2. 如图是某学校一名篮球运动员在 10 场比赛中所得分数的茎叶图,则该运动员在这 10 场比赛中得分的 中位数为( )

A 15 B 15.5 C 16 D 16.5 3.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 3:3:4,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的 学生中抽取容量为 50 的样本,则应从高二年级抽取( )名学生. A 10 B 15 C 20 D 25 4.设函数 y ? f ( x) 的定义域为 R,则 " f (0) ? 0" 是“函数 f ( x ) 为奇函数”的( A C 充分而不必要条件 充分必要条件 B 必要而不充分条件 D 既不充分也不必要条件



5. 阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序.若输出的 S 为 断框中 填写的内容可以是( )

11 ,则判 12

n?6 n?6 A B n?6 n?8 C D 6.已知某种产品的支出广告额 x 与利润额 y (单位:万元)之间有如下
对应数据:

则回归直线方程必过( A. ? 5,36? B. ? 5,35?

) C. ? 5,30? D. ? 4,30? 5 ,则 C 的渐近线方程为( 2 )

7.已知双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率为

x2 y2 a b

1

A

1 y?? x 4

B

1 y?? x 3

C

1 y?? x 2

D

y ? ?x

8.已知函数 f ? x ? ? log2 x ,任取一个 x0 ? ? , 2? 使 f ? x0 ? ? 0 的概率为( 2 A.

?1 ?

? ?



1 4

B.

1 2

C.

3 4

D. )

2 3

9.已知函数 f ? x ? ?

1 2 x sin x ? x cos x ,则其导函数 f ? ? x ? 的图象大致是( 2

2 10.设抛物线 C : y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,点 M 在 C 上, MF ? 5 ,若以 MF 为直径的圆过点 (0,2) ,

则 C 的方程为(

) B. y 2 ? 2 x 或 y 2 ? 8 x D. y 2 ? 2 x 或 y 2 ? 16 x

A. y 2 ? 4 x 或 y 2 ? 8 x C. y 2 ? 4 x 或 y 2 ? 16 x

11.在平面直角坐标系中,两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的“L?距离”定义为: ||P1P2||=|x1-x2|+|y1-y2|, 则平面内与 x 轴上两个不同的定点 F1, F2 的“L?距离”之和等于定值(大 于||F1F2||)的点的轨迹可以是( )

A

B

C 12. 设函数 f ? x ? ?

D

x2 ? k ln x , k ? 0 .若 f ? x ? 存在零点,则 f ? x ? 在区间 1, e ? ? 上有( )个零点 2
2

?

A

0

B

1

C

2

D

不确定

二、填空题: (本大题共有 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分。把正确答案填在答题卡的相应位置。 ) 13. 某单位有 840 名职工,现采用系统抽样方法抽取 42 人做问卷调查,将 840 人按 1,2,?,840 随机 编号,则抽取的 42 人中,编号落人区间[481,720]的人数为 14. 为比较甲、乙两地某月 14 时的气温状况,随机选取该月中的 5 天,将这 5 天中 14 时的气温数据(单 位:℃)制成如图所示的茎叶图.考虑以下结论:

①甲地该月 14 时的平均气温低于乙地该月 14 时的平均 气温; ②甲地该月 14 时的平均气温高于乙地该月 14 时的平均气温; ③甲地该月 14 时的平均气温的标准差小于乙地该月 14 时的气温的标准差; ④甲地该月 14 时的平均气温的标准差大于乙地该月 14 时的气温的标准差. 其中根据茎叶图能得到的统计结论的标号为 15.点 F 是抛物线 ? : x ? 2 py( p ? 0) 的焦点, F1 是双曲线 C :
2

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点,若 a 2 b2

线段 FF1 的中点 P 恰为抛物线 ? 与双曲线 C 的渐近线在第一象限内的交点, 则双曲线 C 的离心率 e 的值 为

16.某种平面分形图如下图所示,一级分形图是由一点出发的三条线段,长度均为 1,两两夹角为120 ; 二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来 原线段两两夹角为 120 ;??;依此规律得到 n 级分形图.
?

?

1 的线段,且这两条线段与 3

(1)4 级分形图中共有______条线段; (2) n 级分形图中所有线段长度之和为______. 三、解答题: (本大题共 6 个小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。 ) 17. (本小题满分 10 分)
3

2 2 设命题 p : 实数 x 满足 x ? 4ax ? 3a ? 0 ,其中 a ? 0 ;命题 q : 实数 x 满足 | 2 x ? 7 |? 5 ,

(1)当 a ? ?1 时,若 p ? q 为真,求 x 范围; (2)若 ? p 是 ? q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围。 18. (本小题满分 12 分) 2014 年“双节”期 间,高速公路车辆较多.某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务 区的先后每间隔 50 辆就抽取一辆的抽样方法抽取 40 名驾驶员进行询问调查,将他们在某段高速公路的车 速( km / h )分成六段: ?60,65? , ?65,70? , ?70,75? , ?75,80? , ?80,85? , ?85,90? 后得到如图的频 率分布直方图.

(1)求这 40 辆小型车辆车速的众数、平均数和中位数的估计值; (2)若从车速在 ?60,70? 的车辆中任抽取 2 辆,求车速在 ?65,70? 的车辆恰有一辆的概率.

19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? a ln x ? bx2 , a, b ? R .若 f ( x ) 在 x ? 1 处与直线 y ? ? (1)求 a , b 的值; (2)求 f ( x ) 在 [ , e ] 上的最大值。

1 相切, 2

1 e

20. (本小题满分 12 分) (1)在区间 [1,5] 和 [2,4] 上分别任取一个整数,记为 a , b ,则方程

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 x 轴上且离心率 a 2 b2
4

小于 3 的椭圆的概率为多少? 2
2 2 (2)在区间 [1,5] 和 [2,4] 上分别任取一个实数,记为 a , b ,则方程 x 2 ? y2 ? 1 表示焦点在 x 轴上且离心率 a b

小于 3 的椭圆的概率为多少? 2

21. (本小题满分 12 分)

3 已知椭圆 C 的对称中心为原点 O ,焦点在 x 轴上,左右焦点分别为 F1 和 F2 ,且 | F1 F2 |? 2 ,点 (1, ) 2
在该椭圆上. (1)求椭圆 C 的方程; (2)过 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,若 ?AF2 B 的面积为 切圆的方程.
12 2 ,求以 F2 为圆心且与直线 l 相 7

22. (本小题满分 12 分) 已知 函数 f ? x ? ? x ? ax , a ? R .
3 2

(1)求 y ? f ( x) 的单调区间; (2)若曲线 y ? f ? x ? 与直线 y ? x ? 1 只有一个交点,求实数 a 的取值范围.

二中 2015-2016 学年度上学期期末考试 高二文科数学答案 一. 选择题 题号 答案 1 D 2 A 3 B 4 B 5 C 6 A 7 C 8 D 9 C 10 C 11 A 12 B

二、填空题 13. 12 三、解答题 17 解: (1) p 真,则 ? 3 ? x ? ?1 ; q 真,则 ? 6 ? x ? ?1,
5

14.

①④

15.

3 2 4

n 16(1) 45 , (2) 9[1 ? ( ) ] .

2 3

因为 p ? q 为真,则 p 真且 q 真,故 x 范围为 ?? 3,?1? ; (2) ? p 是 ? q 的必要不充分条件,则 q 是 p 的必要不充分条件,

因为 p 真,有 3a ? x ? a ,所以 ?

?a ? ?1 ,故 ? 2 ? a ? ?1 . ?3a ? ?6

8 . 15 【解析】 (1)众数的估计值为最高的矩形的中点,即众数的估计值等于 77.5
18【答案】 (1)众数与中位数的估计值均等于 77.5 ,平均值为 77; (2) 设图中虚线所对应的车速为 x ,则中位数的估计值为:

0.01? 5 ? 0.02 ? 5 ? 0.04 ? 5 ? 0.06 ? ? x ? 75? ? 0.5 ,解得 x ? 77.5
即中位数的估计值为 77.5 平均数的估计值为:

5? (62.5 ? 0.01 ? 67.5 ? 0.02 ? 72.5 ? 0.04 ? 77.5 ? 0.06 ? 82.5 ? 0.05 ? 87.5 ? 0.02) ? 77
(2)从图中可知, 车速在 ?60,65? 的车辆数为: m1 ? 0.01? 5 ? 40 ? 2 (辆) , 车速在 ?65,70? 的车辆数为: m2 ? 0.02 ? 5 ? 40 ? 4 (辆)

b, 设车速在 ?60,65? 的车辆设为 a , 车速在 ?65,70? 的车辆设为 c , 则所有基本事件有: e ,f , d, ? a, b ? ,

? a, c ? , ? a, d ? , ? a, e ? , ? a, f ? , ? b, c ? , ? b, d ? , ? b, e ? , ?b, f ? , ? c, d ? , ? c, e ? , ? c, f ? , ? d , e ? , ? d , f ? , ? e, f ? ,共15 种
其中车速在 ?65,70? 的车辆恰有一辆的事件有:? a, c ? ,? a, d ? ,? a, e ? ,? a, f ? ,? b, c ? ,? b, d ? ,? b, e ? ,

?b, f ? 共 8 种
所以,车速在 ?65,70? 的车辆恰有一辆的概率为 ? ?

8 15

19【答案】 (1) a ? 1, b ?
' 【解析】 (1) f ( x ) ?

1 1 ; (2)最大值为 f (1) ? ? . 2 2

a ? 2bx . x

? f ' (1) ? 0 ?a ? 2b ? 0 1 ? ? 由函数 f ( x ) 在 x ? 1 处与直线 y ? ? 相切,得 ? ,即 ? 1 . 1 2 ? b ? ? f (1) ? ? ? ? ? 2 ? 2

6

? a ?1 ? 解得: ? 1. b ? ? ? 2
(2)由(1)得: f ( x) ? ln x ? 此时, f ( x) ?
'

1 2 x ,定义域为 (0, ??) . 2

1 1 ? x2 ?x? ,令 f ' ( x) ? 0 ,解得 0 ? x ? 1 ,令 f ' ( x) ? 0 ,得 x ? 1 . x x

1 e 1 1 所以 f ( x ) 在 [ , e ] 上的最大值为 f (1) ? ? . e 2

所以 f ( x ) 在 ( ,1) 上单调递增,在 (1, e) 上单调递减,

?a ? b ? 20( 1) a 可取 1,2,3,4,5, b 可取 2,3,4,故可以构成 15 个曲线方程,又 ? a 2 ? b 2 3 ? ? a 2 ?
即 ?b

?a ? b ?a ? 3 ?a ? 4 ?a ? 5 ?a ? 5 4 ? ,故 P= ; 或? 或? 或? 1 ,则 ? 15 b ? 2 b ? 3 b ? 3 b ? 4 ? ? ? ? ? ? ?a 2

(2)如图, a , b 可构成矩形,

?a ? b ?a ? b ? 又 ? b 1 ,即 ? ,即阴影区域, ? ?2b ? a ? ?a 2
S阴 S 矩形 15 15 ? 4 ? 8 32

则P ?

x2 y2 ? ?1 21.(1)椭圆 C 的方程为 4 3
(2)①当直线 l ⊥x 轴时,可得 A(-1,不合题意. ②当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y=k(x+1) .代入椭圆方程得:

3 3 ) ,B(-1, ) , ? A F2 B 的面积为 3, 2 2

(3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 ,显然 ? >0 成立,设 A ( x1 , y 1 ) ,B ( x2 , y2 ) ,则
x1 ? x 2 ? ? 8k 2 4k 2 ? 12 12(k 2 ? 1) , ,可得 |AB|= x x ? 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

又圆 F2 的半径 r=

2|k | 1? k
2

,∴ ? A F2 B 的面积=

1 12 | k | k 2 ? 1 = 12 2 ,化简得: |AB| r= 2 7 3 ? 4k 2
7

17 k 4 + k 2 -18=0,得 k=±1,∴r = 2 ,圆的方程为 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 2

22【解析】 (1) f ?( x) ? 3x 2 ? 2ax ? x(3x ? 2a) 当 a ? 0 时,R 上 y ? f ( x) 单调递增; 当a ? 0 时, ?? ?,0? , ?

? 2a ? ? 2a ? ,?? ? 为 y ? f ( x) 增区间, ? 0, ? 为 y ? f ( x) 减区间; ? 3 ? ? 3 ? ? 2a ? ? ,0 ? 为 y ? f ( x) 减区间; ? 3 ?

当 a ? 0 , ? ? ?,

? ?

2a ? ? , ?0,??? 为 y ? f ( x) 增区间, 3 ?

3 2 (2)由题得方程 x ? ax ? x ? 1 ? 0 只有一个根,

设 g ( x) ? x3 ? ax2 ? x ? 1 , 则 g '( x) ? 3x2 ? 2ax ?1 ,因为 ? ? 4a2 ? 12 ? 0, 所以 g '( x ) 有两个零点 x1 , x2 ,即 3xi2 ? 2axi ?1 ? 0 ( i ? 1, 2 ) , 且 x1 x2 ? 0 , a ?

3xi2 ? 1 , 2 xi

不妨设 x1 ? 0 ? x2 ,所以 g ( x) 在 (??, x1 ),( x2 , ??) 单调递增,在 ( x1 , x2 ) 单调递减,

g ( x1 ) 为极大值, g ( x2 ) 为极小值,
3 2 方 程 x ? ax ? x ? 1 ? 0 只有一个根等价于 g ( x1 ) ? 0 且 g ( x2 ) ? 0 ,

或者 g ( x1 ) ? 0 且 g ( x2 ) ? 0 , 又 g ( xi ) ? xi3 ? axi2 ? xi ? 1 ? xi3 ? 设 h( x ) ? ?

3xi2 ? 1 2 x 1 xi ? xi ? 1 ? ? xi3 ? i ? 1(i ? 1, 2) , 2 xi 2 2

1 3 x 3 1 x ? ? 1 ,所以 h '( x) ? ? x 2 ? ? 0 ,所以 h( x) 为减函数, 2 2 2 2

又 h(1) ? 0 ,所以 x ? 1 时 h( x) ? 0 , x ? 1 时 h( x) ? 0 , 所以 xi (i ? 1, 2) 大于 1或小于 1,由 x1 ? 0 ? x2 知, xi (i ? 1, 2) 只能小于 1, 所以由二次函数 g '( x) ? 3x ? 2ax ?1 性质可得 g '(1) ? 3 ? 2a ? 1 ? 0 ,所以 a ? 1 .
2

8


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