当前位置:首页 >> 数学 >> 第十三节导数在研究函数中的应用(一)

第十三节导数在研究函数中的应用(一)


高考总复习?数学(文科)

第二章
第十三节 导数在研究函数中的 应用(一)

高考总复习?数学(文科)

求不含参数的函数的单调区间 【例 1】 间. 自主解答: 已知函数 f(x) = x(ex - 1) - x2 ,求函数 f(x) 的单调区

高考总复习?数学(文科) 解析:因为

f(x)=x(ex-1)- x2, 所以f′(x)=ex-1+xex-x=(ex-1)· (x+1). 令f′(x)=0,得x=0或x=-1, 当x<-1时,f′(x)>0,所以(-∞,-1)是函数f(x)的单调递 增区间;

高考总复习?数学(文科) 当 x > 0 时, f′(x) > 0 ,所以 (0 ,+ ∞ ) 是函数 f(x) 的单调 递增区间;

当-1<x<0时,f′(x)<0,所以( -1,0)是函数f(x)的单
调递减区间. 综上可知,函数 f(x) 的单调增区间为 ( - ∞ ,- 1) 和 (0 , +∞),递减区间为(-1,0).

高考总复习?数学(文科) 点评:求可导函数单调区间的一般步骤和方法: (1)确定函数f(x)的定义域; (2)求f′(x),令f′(x)=0,求出它们在定义域内的一切实

数根;
(3) 把函数 f(x) 的间断点 ( 即 f(x) 的无定义点 ) 的横坐标和上 面的各实数根按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把

函数f(x)的定义区间分成若干个小区间;
(4) 确定f′(x) 在各个开区间内的符号,根据 f′(x)的符号 判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性.

高考总复习?数学(文科)

变式探究
1. (2012· 南京、盐城模拟)函数f(x)=(x2+x+1)ex(x∈R)的单 调递减区间为________.

解析: 因 f′(x) = (2x + 1)ex + (x2 + x + 1)· ex = (x2 + 3x +
2)ex ,令 f′(x)<0 ,则 x2 + 3x + 2<0 ,解得- 2<x< - 1 , ∴ 单 调递减区间为(-2,-1). 答案:(-2,-1)(写成闭区间也对)

高考总复习?数学(文科) 讨论含参数的函数的单调性 【例2】 (2013· 山西太原调研文改编)已知函数f(x)=ln x- ax2

-x(a∈R).
(1)当a=2时,求y=f(x)的单调区间; (2)若y=f(x)存在单调递减区间,求a的取值范围. 思考点拨:(1)先求f′(x),然后利用f′(x)的符号与函数f(x) 的单调性的关系即可求得函数f(x)的单调区间;

(2)先求f′(x),分类讨论,求使f′(x)<0的a的取值范围.
自主解答:

高考总复习?数学(文科) 解析:(1)当a=2时,f(x)=ln x-x2-x(x>0),其定义域为(0,

+∞),
所以f′(x)= -2x-1=- 令f′(x)>0,则0<x< 令f′(x)<0,则x> 所以 . 是f(x)的单调 ; =- .

是函数f(x)的单调递增区间,


减区间.

高考总复习?数学(文科)

(2)因为f(x)=ln x-
所以f′(x)=

ax2-x,
(x>0),

-ax-1=-

因为y = f(x) 存在单调递减区间,所以f′(x) <0 在(0 ,+ ∞) 上 有解, 又因为x>0,则ax2+x-1>0在(0,+∞)上有解. ①当a=0时,x>1在(0,+∞)上有解; ②当a>0时,ax2+x-1>0在(0,+∞)上总有解; ③当a<0时,要使ax2+x-1>0在(0,+∞)上有解,

高考总复习?数学(文科) 只需ax2+x-1=0有两个不等的正实根,

所以

解得- <a<0. 综上所述,a的取值范围是

高考总复习?数学(文科)

点评:讨论含参数的函数的单调性,一般步骤是:
(1)确定函数f(x)的定义域; (2)求f′(x),令f′(x)>0,可得f(x)单调递增时参数的范 围.令f′(x)≤0,可得f(x)单调递减时参数的范围.

高考总复习?数学(文科)

变式探究
2.(2013· 郑州一中模考)若函数f(x)=mx2+ln x-2x在定 义域内是增函数,则实数m的取值范围是____________. 解析:f′(x)=2mx+ -2,函数f(x)在其定义域(0,+∞)

内为增函数的充要条件是2mx+ -2≥0在(0,+∞)内恒成
立,即2m≥- 在(0,+∞)内恒成立,由于函数φ(x)=
2+1≤1,故只要2m≥1即可,即m≥



=-

.

答案:

高考总复习?数学(文科) 求函数的极值 【例 3】 已知函数 f(x) = x3 + mx2 + nx - 2 的图象过点 ( - 1 ,

-6),且函数g(x)=f′(x)+6x的图象关于y轴对称. (1)求m,n的值及函数y=f(x)的单调区间; (2)若a>0,求函数y=f(x)在区间(a-1,a+1)内的极值. 解析:(1)由函数f(x)的图象过点(-1,-6), 得m-n=-3.① 由f(x)=x3+mx2+nx-2,得f′(x)=3x2+2mx+n,

则g(x)=f′(x)+6x=3x2+(2m+6)x+n.

高考总复习?数学(文科) 而g(x)的图象关于y轴对称,所以- 所以m=-3,代入①得n=0. 所以f(x)=x3-3x2-2, 于是f′(x)=3x2-6x=3x(x-2). 由f′(x)>0得x>2或x<0, 故f(x)的单调递增区间是(-∞,0)和(2,+∞); 由f′(x)<0得0<x<2,故f(x)的单调递减区间是(0,2). =0.

高考总复习?数学(文科) (2)由(1)得f′(x)=3x(x-2), 令f′(x)=0得x=0或x=2, 当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

x
f′(x) f ( x)

(-∞,0)
+ ↗

0
0 极大值

(0,2)
- ↘

2
0 极小值

(2,+∞)
+ ↗

高考总复习?数学(文科)

由此可得:
当0<a<1时,f(x)在(a-1,a+1)内有极大值f(0)=-2, 无极小值;

当a=1时,f(x)在(a-1,a+1)内无极值;
当1<a<3时,f(x)在(a-1,a+1)内有极小值f(2)=-6, 无极大值; 当a≥3时,f(x)在(a-1,a+1)内无极值. 综上得:当0<a<1时,f(x)有极大值-2,无极小值;

当1<a<3时,f(x)有极小值-6,无极大值;
当a=1或a≥3时,f(x)无极值.

高考总复习?数学(文科) 点评:(1)可导函数y=f(x)在点x0处取得极值的充要条件是 f′(x0) = 0,且在 x0 左侧和右侧 f′(x) 的符号不同.特别注意, 导数为零的点不一定是极值点. (2) 若函数 y = f(x) 在区间 (a, b) 内有极值,那么 y =f(x)在 (a, b)内绝不是单调函数,即在某区间上单调函数没有极值. (3)运用导数求可导函数y=f(x)的极值的步骤:

①先求函数的定义域,再求函数y=f(x)的导数f′(x);
②求方程f′(x)=0的根; ③检查 f′(x) 在方程根的左右的值的符号,如果左正右负, 那么f(x)在这个根处取得极大值,如果左负右正,那么f(x)在这 个根处取得极小值.

高考总复习?数学(文科) 变式探究

3. (2012· 佛山模拟改编)已知函数f(x)=x2+(-2-b)x+bln
x(实数b为常数). (1)若b=-1,求函数f(x)的极值; (2)若b>0,讨论函数f(x)的单调性.

解析:易知函数的定义域为(0,+∞),
(1)当b=-1时,函数f(x)=x2-x-ln x,

则f′(x)=2x-1-

高考总复习?数学(文科) 令f′(x)=0,得x=1,x=- (舍去).

当0<x<1时,f′(x)<0,函数单调递减; 当x>1时,f′(x)>0,函数单调递增. ∴f(x)在x=1处取得极小值,f(x)极小值=f(1)=0. (2)由于f′(x)=2x-(2+b)+

,令f′(x)=0,得x1=

,x2=1.

高考总复习?数学(文科) ①当0< x f ′( x ) f ( x) 所以,函数f(x)的单调递增区间为 递减区间为 ②当 . 和(1,+∞),单调 <1,即0<b<2时,列表如下: (0 , ) + ( ,1) - (1,+∞) +

=1,即b=2时,f′(x)≥0,所以函数f(x)的单调递增

区间为(0,+∞).

高考总复习?数学(文科) ③当 >1,即b>2时,列表如下:

x
f ′( x ) f ( x)

(0,1)


(1, )


(

,+∞)


所以函数f(x)的单调递增区间为(0,1)和 间为 .

,单调递减区

综上所述,当0<b<2时,函数f(x)的单调递增区间为 +∞),单调递减区间为 ;

和(1,

高考总复习?数学(文科)

当b=2时,函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞);
当b>2时,函数f(x)的单调递增区间为(0,1)和 单调递减区间为 . ,

高考总复习?数学(文科) 求函数的最值 【例4】 g(x)=ln x. (1)若函数f(x)与g(x)的图象在x=x0处的切线平行,求x0的值; (2)求当曲线y=f(x)与y=g(x)有公共切线时,实数 m的取值范 围;并求此时函数F(x)=f(x)-g(x)在区间 m表示). 上的最值(用 (2013· 广东六校联考)已知f(x)=3x2-x+m(x∈R),

高考总复习?数学(文科)

思路点拨: (1) 由两函数在 x = x0 处的导数相等可 解得x0;(2)先由(1)得公共切点的横坐标,从而求得公 共切点的纵坐标,再用数形结合法求有公共切线时, 实数m的范围.求导数F′(x),根据F′(x)的符号和给 定区间 求极值,进而求得最值.

高考总复习?数学(文科) 解析:(1)因为f′(x)=6x-1,g′(x)= ,

由题意知6x0-1=
解得x0= 或x0=-

,即6x -x0-1=0,
,因为x0>0,所以x0= .

(2)若曲线y=f(x)与y=g(x)相切且在交点处有公共切线,由 (1)得切点横坐标为 所以f 得m=- =g .所以 , - +m=ln ,

-ln 2.

高考总复习?数学(文科) 作出函数f(x)与g(x)的图象(图略),可知,m>- f(x)与g(x)有公共切线. 又F′(x)=6x-1- 则F′(x)与F(x)在区间 x 的变化情况见下表: -ln 2时,

F′(x)
F(x)



0
极小值



高考总复习?数学(文科) 又因为F 所以当x∈ =m+ln 3,F(1)=2+m>F 时,F(x)min=F =m+ , +

ln 2

, .

F(x)max=F(1)=m+2

高考总复习?数学(文科) 点评: (1) 如果在闭区间上函数的图象是一条连续不断 的曲线,那么它必有最大值和最小值. (2) 求闭区间上可导函数的最值时,对函数极值是极大 值还是极小值,可不再作判断,只需要直接与端点的函数值

比较即可获得.
(3) 当连续函数的极值点只有一个时,相应的极值点必 为函数的最值.

高考总复习?数学(文科) 变式探究 4.已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx. (1) 若曲线 y = f(x) 与曲线 y = g(x) 在它们的交点 (1 , c) 处具

有公共切线,求a,b的值;
(2)当a=3,b=-9时,若函数f(x)+g(x)在区间[k,2]上的 最大值为28,求k的取值范围.

高考总复习?数学(文科) 解析:(1)f′(x)=2ax,g′(x)=3x2+b. 因为曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有 公共切线, 所以f(1)=g(1),且f′(1)=g′(1), 即a+1=1+b,且2a=3+b, 解得a=3,b=3.

高考总复习?数学(文科) (2)设h(x)=f(x)+g(x), 当a=3,b=-9时,h(x)=x3+3x2-9x+1, h′(x)=3x2+6x-9. 令h′(x)=0,得x1=-3,x2=1. h(x)与h′(x)在(-∞,2]上的变化情况如下: x h′(x) (-∞,-3) + -3 0 (-3,1) - 1 0 (1,2) + 2

h(x)



28



-4



3

高考总复习?数学(文科)

由此可知:
当k≤-3时,函数h(x)在区间[k,2]上的最大值为 h(-3) =28; 当-3<k<2时,函数h(x)在区间[k,2]上的最大值小于28. 因此,k的取值范围是(-∞,-3].


更多相关文档:

...第二章 第十三节导数在研究函数中的应用(一)课时精...

第十三节 导数在研究函数中的应用(一) ) 1.函数 y=x+xln x 的单调递减区间是( -2 -2 A.(-∞,e ) B.(0,e ) -2 2 C.(e ,+∞) D.(e ,+...

...第二章 第十三节导数在研究函数中的应用(一)课时精...

第十三节 题号 答案 1 2 导数在研究函数中的应用(一) 3 4 5 ) 6 7 1.(2012·桂林模拟)函数 y=x+xln x 的单调递减区间是( -2 -2 A.(-∞,e )...

导数在研究函数中的应用

学习目标 重难点 第 2 讲 导数在研究函数中的应用考点一 利用导数研究函数的...? ? 1 13.已知函数 f(x)=-2x2+4x-3ln x 在区间[t,t+1]上不单调,...

课题:《导数在研究函数中的应用》

课题:《导数在研究函数中的应用》_专业资料。课题: 《直线与圆锥曲线的位置关系》课型:高三复习课 授课人:尤溪一中 一. 【考纲要求】 1.了解圆锥曲线的实际背景...

...第二章 第十三节 导数在研究函数中的应用(二)课时作...

【金版教程】2016高考数学一轮复习 第二章 第十三节 导数在研究函数中的应用(二)课时作业 文(含解析)_数学_高中教育_教育专区。第十三节题号 答案 1 2 导数...

1.3导数在研究函数中的应用

1.3导数在研究函数中的应用_高二数学_数学_高中...x 证法一:(用以前学的方法证)任取两个数 x1,x...x ,在[-1,1]上的最小值为( 4 3 2 13 B....

1.3 导数在研究函数中的应用

函数中的应用 1.3 导数在研究函数中的应用 1.3.1 单调性回顾]: 一,[回顾...( 4 3 2 13 B.-2 C.-1 D. 12 ) ) 2x x 2 4.函数 y= 的最大...

...2.13导数在研究函数中的应用(一)练习 理

2016届高考数学一轮复习 2.13导数在研究函数中的应用(一)练习 理_数学_高中教育_教育专区。第十三节题号 答案 1 导数在研究函数中的应用(一) 2 3 4 5 1...

...第13节 导数在研究函数中的应用(一)]

2015届高考数学(理)基础知识总复习课时精练:第2章 第13节 导数在研究函数中的应用(一)]_高中教育_教育专区。2015届高考数学(理)基础知识总复习课时精练:第2章...

高三一轮复习《导数在研究函数中的应用》

高三一轮复习《导数在研究函数中的应用》_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高三一轮复习《 导数概念及其几何意义》 考纲要求:1、了解导数概念的实际背景 2、理解...
更多相关标签:
导数研究函数教学设计 | 导数研究函数单调性 | 导数研究函数的零点 | 三角函数导数 | 三角函数的导数 | 反函数的导数 | sigmoid函数的导数 | 指数函数的导数 |
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com