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2014届高三数学(理)一轮专题复习课件 等关系与不等式


§7.1

不等关系与不等式

[高考调研 考纲解读

明确考向] 考情分析
?从高考内容上来看,不等关系、不 等式的性质及应用是命题的热点.

?了解现实世界和日常生活中的不等 ?着重突出考查对不等式性质的灵活 关系. ?了解不等式(组)的实际背景. 运用,有时与充要性的判断交汇命 题,

体现了化归转化思想,难度 中、低档. ?考查题型多为选择、填空题.

知识梳理 1.比较两个实数大小的法则 若a,b∈R,则 1 (1)a>b?□______________; 2 (2)a=b?□______________; 3 (3)a<b?□______________.

2.不等式的基本性质 4 (1)a>b?□______________; 5 (2)a>b,b>c?□__________; 6 (3)a>b?□______________; (4)a>b,c>0? __________; 7 □ ________;a>b,c<0? 8 □

9 (5)a>b,c>d?□____________; 10 (6)a>b>0,c>d>0?□__________; 11 (7)a>b>0?□____________(n∈N,且n≥2); 12 (8)a>b>0?□__________________(n∈N,且n≥2).

3.不等式的一些常用性质 (1)倒数性质: 1 1 13 ______ . ①a>b,ab>0? □ a b a b 14 ②a>b>0,0<c<d?c □______d. 1 1 1 ③0<a<x<b,或a<x<b<0?b< x<a.

(2)有关分数的性质: 若a>b>0,m>0,则 b+m b b-m b 15 ____ 16 ____ ①真分数的性质: a□ ;a□ (b-m a+m a-m >0). a a+m a a-m ②假分数的性质:b> ; < (b-m>0). b+m b b-m

1 答案:□a-b>0 5 □a>c

2 3 4 □a-b=0 □a-b<0 □b<a

6 7 8 9 □ a+c>b+c □ ac>bc □ ac<bc □ a+c>b+ d 10 □ ac>bd 15 16 □< □> 11 □ an>bn 12 n a > n b □ 13 14 □< □>

名师微博 ●一个技巧 作差法变形的技巧:作差法中变形是关键,常进行因式 分解或配方. ●一种方法 待定系数法:求代数式的范围时,先用已知的代数式表 示目标式,再利用多项式相等的法则求出参数,最后利用不 等式的性质求出目标式的范围.

基础自测 1.对于实数a,b,c,下列命题正确的是( A.若a>b,则ac2>bc2 B.若a<b<0,则a2>ab>b2 1 1 C.若a<b<0,则a<b b a D.若a<b<0,则a>b )

解析:因为c2≥0,所以只有c≠0时才能成立. c=0时,ac2=bc2,所以A是假命题. a<b,a<0?a2>ab;a<b,b<0?ab>b2,则a2>ab >b2,所以B是真命题. 1 1 由性质知a<b<0?a>b,所以C是假命题.

-2 -3 对于D,例如-3<-2<0, > 是假命题. -3 -2

答案:B

2.已知a<0,-1<b<0,那么下列不等式成立的是 ( ) A.a>ab>ab2 C.ab>a>ab2 B.ab2>ab>a D.ab>ab2>a

解析:方法一,由-1<b<0,可得b<b2<1. 又a<0,∴ab>ab2>a. 方法二,由已知,有ab>0,且ab2<0, 由此可知a,ab,ab2中,ab最大.由此可排除A、B. 下面用比较法比较a,ab2的大小, ∵a<0,又-1<b<0,

∴0<b2<1,∴b2-1<0,∴a(b2-1)>0, 即ab2-a>0,∴ab2>a.∴应排除C.

答案:D

1 1 1 3.已知a>b,则不等式:①a >b ;②a<b;③ > a-b
2 2

1 a.其中一定成立的个数是( A.0 C.2 B.1 D.3

)

解析:对于①,因a2-b2=(a-b)(a+b)且a-b>0,但a +b的符号无法确定. 1 1 b-a 对于②,因 a - b = ab ,且b-a<0,但ab的符号无法 确定. 1 1 b b 对于③,因 - = ,且a-b>0,但 a 的符号 a-b a ?a-b?a 不确定,所以这三个不等式都不一定成立,应选A.

答案:A

4.若a,b是任意实数,且a>b,则( A.a >b
2 2

)

b B. <1 a
?1? ?1? a D.?2? <?2?b ? ? ? ?

C.lg(a-b)>0

解析:a>b,并不能保证a,b均为正数,从而不能保证 A、B成立,所以A、B应排除. a>b?a-b>0,但不能保证a-b>1,从而不能使C成 立,所以应排除C. 指数函数y=
?1? ? ? x是减函数,根据指数函数的单调性,有 ?2?

?1? ?1? a a>b??2? <?2?b成立,所以D成立. ? ? ? ?

答案:D

5.(2011· 浙江)若a,b为实数,则“0<ab<1”是“b< 1 ”的( a )

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

1 1 解析:若0<ab<1,当a<0时,b> a ,反之,若b< a , 当a<0时,ab>1,故选D.

答案:D

考点一

比较大小

[例1] ca的大小.

已知a,b,c是实数,试比较a2+b2+c2与ab+bc+

1 解析:∵a +b +c -(ab+bc+ca)= 2 [(a-b)2+(b-c)2+
2 2 2

(c-a)2]≥0,当且仅当a=b=c时取等号. ∴a2+b2+c2≥ab+bc+ca.

方法点睛

比较大小的方法常采用作差法与作商法,但

题型为选择题时可以用特殊值法来比较大小.

变式训练1 (2013· 莆田联考)已知实数a,b,c满足b+c =6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,则a,b,c的大小关系是 ( ) A.c≥b>a C.c>b>a B.a>c≥b D.a>c>b

解析:c-b=4-4a+a2=(2-a)2≥0,∴c≥b. 已知两式作差,得2b=2+2a2,即b=1+a2. ∵1+a
2

? 1?2 3 -a=?a-2? +4>0,∴1+a2>a. ? ?

∴b=1+a2>a.∴c≥b>a.

答案:A

考点二

利用不等式的性质判断命题的真假

[例2]

(2012· 包头模拟)若a>0>b>-a,c<d<0,则下

a b 列命题:(1)ad>bc;(2)d+ c<0;(3)a-c>b-d; (4)a· (d-c)>b(d-c)中能成立的个数是( A.1 B.2 C.3 ) D.4

解析:∵a>0>b,c<d<0,∴ad<0,bc>0, ∴ad<bc,∴(1)错误. ∵a>0>b>-a,∴a>-b>0, ∵c<d<0,∴-c>-d>0,∴a(-c)>(-b)(-d), a b ac+bd ∴ac+bd<0,∴d+c = cd <0,∴(2)正确.

∵c<d,∴-c>-d, ∵a>b,∴a+(-c)>b+(-d),a-c>b-d,∴(3)正 确. ∵a>b,d-c>0,∴a(d-c)>b(d-c),∴(4)正确,故 选C.

答案:C

方法点睛

在判断一个关于不等式的命题真假时,先把

要判断的命题和不等式性质联系起来考虑,找到与命题相近 的性质,并应用性质判断命题真假,当然判断的同时还要用 到其他知识,比如对数函数,指数函数的性质等.

变式训练2

已知三个不等式:①ab>0;②bc>ad;③

c d > .以其中两个作为条件,余下一个作为结论,则可以组成 a b 正确命题的个数是( A.0 C.2 B.1 D.3 )

c d 解析:命题1:若ab>0, a > b ,则bc>ad;命题2:若 c d c d ab>0,bc>ad,则 a > b ;命题3:若 a > b ,bc>ad,则ab> 0.

答案:D

考点三

利用不等式的性质求范围

[例3]

设f(x)=ax2+bx,且1≤f(-1)≤2,3≤f(1)≤4,求

f(-2)的取值范围.

解析:方法一:∵f(x)=ax2+bx,
?f?1?=a+b, ? ∴? ?f?-1?=a-b. ?

? 1 ?a=2[f?1?+f?-1?], ∴? ?b=1[f?1?-f?-1?]. ? 2 ∵f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1),

且1≤f(-1)≤2,3≤f(1)≤4, ∴6≤f(-2)≤10. 方法二(待定系数法): 设m(a+b)+n(a-b)=f(-2)=4a-2b,
?m+n=4, ? ∴? ?m-n=-2. ? ?m=1, ? ∴? ?n=3. ?

∴f(-2)=(a+b)+3(a-b)=f(1)+3f(-1). ∵1≤f(-1)≤2,3≤f(1)≤4, ∴6≤f(-2)≤10.

方法点睛

由a<f(x,y)<b,c<g(x,y)<d,求F(x,y)

的取值范围,可利用待定系数法解决,即设F(x,y)=mf(x, y)+ng(x,y),用恒等变形求得m,n,再利用不等式的性质 求得F(x,y)的取值范围.

变式训练3 取值范围.

?-1≤α+β≤1, ? 已知α,β满足 ? ?1≤α+2β≤3, ?

求α+3β的

解析:设α+3β=x(α+β)+y(α+2β)=(x+y)α+(x+2y)β.
?x+y=1, ? 由? ?x+2y=3, ? ?x=-1, ? 解得? ?y=2. ?

∵-1≤-(α+β)≤1,2≤2(α+2β)≤6, ∴两式相加,得1≤α+3β≤7.

考点四

利用不等式的性质证明简单不等式

[例4]

1 1 1 设a>b>c,求证: + + >0. a-b b-c c-a

证明:∵a>b>c, ∴-c>-b. ∴a-c>a-b>0, 1 1 ∴ > >0. a-b a-c 1 1 ∴ + >0. a-b c-a

1 又b-c>0,∴ >0. b-c 1 1 1 + + >0. a-b b-c c-a

方法点睛

①运用不等式性质解决问题时,必须注意性

质成立的条件.②同向不等式的可加性与可乘性可推广到两 个以上的不等式.

变式训练4 e e > . ?a-c?2 ?b-d?2

若a>b>0,c<d<0,e<0,求证:

证明:∵c<d<0, ∴-c>-d>0. 又∵a>b>0, ∴a-c>b-d>0. ∴(a-c)2>(b-d)2>0. 1 1 ∴0< < . ?a-c?2 ?b-d?2 e e 又∵e<0,∴ 2> 2. ?a-c? ?b-d?

思想方法(八)

数式大小比较问题

数式大小的比较是高考中最常见的一种命题方式,涉及 的知识点和问题求解的方法不仅涉及不等式知识,而且更多 的关联到函数、数列、三角函数、向量、解析几何、导数等 知识,内容丰富多彩.命题的方式主要是选择题、填空题, 考查不等式性质、函数性质的应用.

一、作差法 [示例] 是( ) a+b a+b A.a<b< ab< 2 B.a< ab< 2 <b a+b a+b C.a< ab<b< 2 D. ab<a< 2 <b (2011· 陕西)设0<a<b,则下列不等式中正确的

a+b 审题:只需比较a与 ab,b与 2 的大小. 转化:作差法、特值法. 求解:作差法:a2-( ab)2=a(a-b)<0?a< ab, a+b b-a a+b b- 2 = 2 >0?b> 2 特值法:取a=2,b=8可得,选B.

答案:B

反思:作为选择题的数式大小比较采用特值法显然快而 准.

二、作商法 [示例] 若0<x<1,a>0且a≠1,则|loga(1-x)|与 )

|loga(1+x)|的大小关系是(

A.|loga(1-x)|>|loga(1+x)| B.|loga(1-x)|<|loga(1+x)| C.不确定,由a的值决定 D.不确定,由x的值决定

|loga?1-x?| 审题:采用作商法 . |loga?1+x?| 转化:恒等变式,得到1-log(1+x)(1-x2). 求解:1-log(1+x)(1-x2)>1?|loga(1-x)|>|loga(1+x)|, 选A. 1 反思:本题也可以采用特值法,取a=2,x=2,则
? 3? 1 |log22|=1>?log22?. ? ?

三、中间量法 [示例] 2π 若a=2 ,b=logπ3,c=log2sin ,则( 5
0.6

)

A.a>b>c C.c>a>b

B.b>a>c D.b>c>a

审题:分别与0或1比较大小.

求解:a=20.6>20=1, 0=logπ1<b=logπ3<logππ=1, 2π c=log2sin <log21=0. 5

答案:a>b>c

反思:在数式大小比较问题中,中间量一般是0或1,比 较时,一般利用指数、对数的性质.


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