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2014年高三唐山一模理科数学试卷(含答案)


唐山市 2013—2014 学年度高三年级第一次模拟考试

理科数学参考答案
一、选择题: A 卷:ABDCC B 卷:DCABB 二、填空题: (13)(-∞,1] DBAAB CDADA (14)6 DC CB 16 (15) 3 (16) -∞,

(

1 2

]

三、解答题: (17)解: (Ⅰ)由 4bsin A= 7a,根据正弦定理得 4sin Bsin A= 7sin A, 7 所以 sin B= . ?4 分 4 (Ⅱ)由已知和正弦定理以及(Ⅰ)得 7 sin A+sin C= . ① 2 设 cos A-cos C=x, ② 7 ①2+②2,得 2-2cos(A+C)= +x2. ③ ?7 分 4 又 a<b<c,A<B<C,所以 0?<B<90?,cos A>cos C, 3 故 cos(A+C)=-cos B=- . ?10 分 4 7 代入③式得 x2= . 4 7 因此 cos A-cos C= . ?12 分 2 (18)解: (Ⅰ)由抽样方法可知,从甲、乙、丙三个车床抽取的零件数分别为 1,2,3. 从抽取的 6 个零件中任意取出 2 个,记事件“已知这两个零件都不是甲车床加工点” 为 A,事件“其中至少有一个是乙车床加工的”为 B,则 2 C2 C2 5-C3 5 P (A)= 2,P (AB)= , 2 C6 C6 2 2 P (AB) C5-C3 所求概率为 P (B|A)= = =0.7. ?5 分 P (A) C2 5 (Ⅱ)X 的可能取值为 0,1,2. i 3-i C2 C4 P (X=i)= ,i=0,1,2. C3 6 X 的分布列为 X 0 1 2 P 0.2 0.6 0.2 ?10 分 X 的期望为 E (x)=0×0.2+1×0.6+2×0.2=1. ?12 分 (19)解: (Ⅰ)因为 A1O⊥平面 ABC,所以 A1O⊥BC. 又 BC⊥AC,所以 BC⊥平面 A1ACC1,所以 AC1⊥BC. ?2 分 因为 AA1=AC,所以四边形 A1ACC1 是菱形,所以 AC1⊥A1C. 所以 AC1⊥平面 A1BC, 所以 A1B⊥AC1. ?5 分

z A1 C1

B1

A

O x

C

y

B

(Ⅱ)以 OC 为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系 O-xyz, 则 A (0,-1,0),B (2,1,0),C (0,1,0),C1(0,2, 3).

→ AB =(2,2,0),→ BB1 =→ CC1=(0,1, 3),
设 m=(x,y,z)是面 ABB1 的一个法向量,则 m·→ AB =m·→ BB1 =0, ?2x+2y=0, 即? 取 m=( 3,- 3,1). ?y+ 3z=0, 同理面 CBC1 的一个法向量为 n=(0,- 3,1). ?10 分 m·n 2 7 因为 cos ?m,n?= = . 7 |m||n| 2 7 所以二面角 A-BB1-C 的余弦值 . ?12 分 7 (20)解: (Ⅰ)圆 A 的圆心为 A (-1,0),半径等于 2 2. 由已知|MB|=|MP|,于是|MA|+|MB|=|MA|+|MP|=2 2, 故曲线 Γ 是以 A,B 为焦点,以 2 2为长轴长的椭圆,a= 2,c=1,b=1, x2 曲线 Γ 的方程为 +y2=1. ?5 分 2 2 2 5 2 2 (Ⅱ)由 cos ∠BAP= ,|AP|=2 2,得 P , . ?8 分 3 3 3 2 于是直线 AP 方程为 y= (x+1). 4 x2 2 +y =1, 2 7 由 解得 5x2+2x-7=0,x1=1,x2=- . 5 2 y= (x+1), 4 2 由于点 M 在线段 AP 上,所以点 M 坐标为 1, . ?12 分 2 (21)解: (Ⅰ)f ?(x)=-xex. 当 x∈(-∞,0)时,f ?(x)>0,f (x)单调递增; 当 x∈(0,+∞)时,f ?(x)<0,f (x)单调递减. 所以 f (x)的最大值为 f (0)=0. ?4 分 (1-x)ex-1 -(x2-x+1)ex+1 (Ⅱ)g (x)= ,g ?(x)= . x x2 2 x x 设 h (x)=-(x -x+1)e +1,则 h ?(x)=-x(x+1)e . 当 x∈(-∞,-1)时,h ?(x)<0,h (x)单调递减; 当 x∈(-1,0)时,h ?(x)>0,h (x)单调递增; 当 x∈(0,+∞)时,h ?(x)<0,h (x)单调递减. ?7 分

(

)

? ? ?

(

)

7 3 又 h (-2)=1- 2>0,h (-1)=1- <0,h (0)=0, e e 所以 h (x)在(-2,-1)有一零点 t. 当 x∈(-∞,t)时,g ?(x)>0,g (x)单调递增; 当 x∈(t,0)时,g ?(x)<0,g (x)单调递减. ?10 分 由(Ⅰ)知,当 x∈(-∞,0)时,g (x)>0;当 x∈(0,+∞)时,g (x)<0. 因此 g (x)有最大值 g (t),且-2<t<-1. ?12 分 (22)解: (Ⅰ)连结 OA,则 OA⊥EA.由射影定理得 EA2=ED·EO. ED EC 由切割线定理得 EA2=EB·EC,故 ED·EO=EB·EC,即 = , BD EO 又∠OEC=∠OEC,所以△BDE∽△OCE,所以∠EDB=∠OCE. 因此 O,D,B,C 四点共圆. ?6 分
A

E B

D

O

C

(Ⅱ)连结 OB.因为∠OEC+∠OCB+∠COE=180?,结合(Ⅰ)得 ∠OEC=180?-∠OCB-∠COE=180?-∠OBC-∠DBE =180?-∠OBC-(180?-∠DBC)=∠DBC-∠ODC=20?. ?10 分 (23)解: (Ⅰ)因为 ρ2=x2+y2,ρsin θ=y,所以圆 C 的直角坐标方程为 x2+y2-4y+2=0. ?4 分 ?x=h-10+t, (Ⅱ)平移直线 l 后,所得直线 l?的? (t 为参数) . ?y=t 2t2+2(h-12)t+(h-10)2+2=0. 因为 l?与圆 C 相切,所以 Δ=4(h-12)2-8[(h-10)2+2]=0,即 h2-16h+60=0, 解得 h=6 或 h=10. ?10 分 (24)解: (Ⅰ)g (x)≤5?|2x-1|≤5?-5≤2x-1≤5?-2≤x≤3; f (x)≤6?|2x-a|≤6-a?a-6≤2x-a≤6-a?a-3≤x≤3. 依题意有,a-3≤-2,a≤1. 故 a 的最大值为 1. ?6 分 (Ⅱ)f (x)+g (x)=|2x-a|+|2x-1|+a≥|2x-a-2x+1|+a≥|a-1|+a, 当且仅当(2x-a)(2x-1)≥0 时等号成立. 解不等式|a-1|+a≥3,得 a 的取值范围是[2,+∞). ?10 分


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