2012年全国高中数学联赛模拟试05

2012 年全国高中数学联赛模拟试题(五)
（命题人：罗增儒） 第一试

一、

选择题： （每小题 6 分，共 36 分）

1、 空间中 n（n≥3）个平面，其中任意三个平面无公垂面．那么，下面四个结论 （1） 没有任何两个平面互相平行； （2） 没有任何三个平面相交于一条直线； （3） 平面间的任意两条交线都不平行； （4） 平面间的每一条交线均与 n?2 个平面相交． 其中，正确的个数为 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 2、 若函数 y=f(x)在[a,b]上的一段图像可以近似地看作直线段， 则当 c∈(a,b)时，(c) f 的近似值可表示为 （A）
f ? a ? ? f ?b ? 2

（B） f ?

?a?b? ? ? 2 ?
c?a b?a

（C）

?b ? c ? f ? a ? ? ? c ? a ? f ?b ? ?b ? a ?
2 2 2

（D） f ? a ? ?

? f ? b ? ? f ? a ??

3、 设 a＞b＞c，a+b+c=1，且 a +b +c =1，则 （A）a+b＞1 （B）a+b=1 （C）a+b＜1 （D）不能确定，与 a、b 的具体取值有关 4、 设椭圆
7 4
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 的离心率 e ?

3 2

， 已知点 P ? 0 ,
?

?

3? ? 到椭圆上的点的最远距离是 2?

，则短半轴之长 b=
1 16

（A）

（B）

1 8

（C）

1 4

（D）

1 2

5、 S={1,2,…,2003}， 是 S 的三元子集， A 满足： 中的所有元素可以组成等差数列． A 那 么，这样的三元子集 A 的个数是 （A） C 2003 （C） A 1001 ? A 1002
2 2 3

（B） C 1001 ? C 1002
2 2

（D） A 2003

3

6、 长方体 ABCD?A1B1C1D1，AC1 为体对角线．现以 A 为球心，AB、AD、AA1、AC1 为半径作 四个同心球，其体积依次为 V1、V2、V3、V4，则有 （A）V4＜V1+V2+V3 （B）V4=V1+V2+V3 （C）V4＞V1+V2+V3 （D）不能确定，与长方体的棱长有关

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二、

填空题： （每小题 9 分，共 54 分）
sin ?
3

1、已知

sin ?

?

cos ?
3

cos ?

? k ，则 k 的取值范围为
2 2

．
2

2、等差数列{an}的首项 a1=8，且存在惟一的 k 使得点(k,ak)在圆 x +y =10 上，则这样 的等差数列共有 个． 3 、 在 四 面 体 P?ABC 中 ， PA=PB=a ， PC=AB=BC=CA=b ， 且 a ＜ b ， 则
a b

的取值范围

为 ． 4、动点 A 对应的复数为 z=4(cos?+isin?)，定点 B 对应的复数为 2，点 C 为线段 AB 的中点， 过点 C 作 AB 的垂线交 OA 与 D， D 所在的轨迹方程为 则 ． 5、 ? 3 被 8 所除得的余数为
k k ?1 2003

． ．

6、圆周上有 100 个等分点，以这些点为顶点组成的钝角三角形的个数为

三、

（20 分） 已知抛物线 y =2px(p＞0)的一条长为 l 的弦 AB． AB 中点 M 到 y 轴的最短距 求 离，并求出此时点 M 的坐标．
2

四、

（20 分） 单位正方体 ABCD?A1B1C1D1 中，正方形 ABCD 的中心为点 M，正方形 A1B1C1D1 的中 心为点 N，连 AN、B1M． （1）求证：AN、B1M 为异面直线； （2）求出 AN 与 B1M 的夹角．

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五、

（20 分） 对正实数 a、b、c．求证：
a
2

? 8 bc a

?

b ? 8 ac
2

?

c ? 8 ab
2

≥9．

b

c

第二试

一、

（50 分） 设 ABCD 是面积为 2 的长方形，P 为边 CD 上的一点，Q 为△PAB 的内切圆与边 AB 的切点．乘积 PA·PB 的值随着长方形 ABCD 及点 P 的变化而变化，当 PA·PB 取 最小值时， （1）证明：AB≥2BC； （2）求 AQ·BQ 的值．

二、

（50 分） 给定由正整数组成的数列
? a 1 ? 1, a 2 ? 2 （n≥1） ． ? ? a n ? 2 ? a n ?1 ? a n

（1）求证：数列相邻项组成的无穷个整点 (a1,a2)，(a3,a4)，…，(a2k-1,a2k)，… 2 2 均在曲线 x +xy?y +1=0 上． n n-1 2 （2）若设 f(x)=x +x ?anx?an-1，g(x)=x ?x?1，证明：g(x)整除 f(x)．

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三、

（50 分） 我们称 A1,A2,…,An 为集合 A 的一个 n 分划，如果 （1） A1 ? A 2 ? ? ? A n ? A ； （2） A i ? A j ? ? ，1≤i＜j≤n． 求最小正整数 m，使得对 A＝{1,2,…,m}的任意一个 13 分划 A1,A2,…,A13，一 定存在某个集合 Ai(1≤i≤13)，在 Ai 中有两个元素 a、b 满足 b＜a≤
9 8

b．

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参考答案 第一试 一、选择题： 题号 答案 二、填空题： 1、 ? ? 1, ?
? ? 1? ?1 ? ? ,1 ? ； 2? ?2 ? ? ?

1 D

2 C

3 A

4 C

5 B

6 C

2、17；

3、 ? ? ?

2?

3 ,1 ? ； ? ?

4、

? x ? 1? 2
4

?

y

2

? 1；

3

5、4；

6、117600．

? l2 ? l2 ? ? ,0 ? l ? 2 p , M ? ? ? 8 p ,0 ? ? ? ?8 p 三、 ? ． ?l? p ? pl ?l ? p 2 , l ? 2 p, M ? , ? p ? ? 2 ? ? 2 2 ? ? ?

四、 （1）证略；

（2） arccos

2 3

．

五、证略． 第二试 一、 （1）证略（提示：用面积法，得 PA·PB 最小值为 2，此时∠APB＝90°） ； （2）AQ·BQ=1． 二、证略（提示：用数学归纳法） ． 三、m=117．

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