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必修二模块(B组)


2012 学年度必修二模块测试卷(B 卷)
考试时间:120 分钟 一、选择题: (共 10 小题,每小题 5 分) 1.直线 3 x ? 3 y ? 1 ? 0 的倾斜角是( ) 满分:150 分

A、 30? B、 60? C、 120? D、 135? 2.下列命题正确的是( ) A、有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B、有两个

面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C、用一个平面去截棱锥,底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台 D、有两个面平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱 3.设圆心为 C1 的方程为 ( x ? 5) ? ( y ? 3) ? 9 ,圆心为 C 2 方程为 x ? y ? 4 x ? 2 y ? 9 ? 0 ,则圆心距
2 2 2 2

等于( A、 5

) B、 25 C、 10 D、 2 5 )

4.如图正方形 OABC 的边长为 1cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图形的周长是( C、 2(1 ? 3) cm D、 2(1 ? 2) cm

A、8cm

B、6 cm

5.下列命题中,错误的命题是( ) A、平行于同一平面的两个平面平面 B、平行于同一直线的两个平面平行 C、一条直线与两个平行平面中的一个相交,那么这条直线必和另一个平面相交 D、一条直线与两个平行平面所成的角相等 6.若三直线 2 x ? 3 y ? 8 ? 0 , x ? y ? 1 ? 0 和 x ? ky ? 0 相交于一点,则 k ? ( A、 ?2 B、 )

1 2

C、 2

D、 ?

1 2
正视图 侧视图

7.如图,一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形。 如果直角三角形的直角边的长为 1,那么这个几何体的体积为( ) A、

1 6
?

B、

1 2

C、

1 3
A1

D、1
D1 B1 D C B C1 俯视图

8.如图,长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,∠DAD1=45 ? , ∠CDC1=30 ,那么异面直线 AD1 与 DC1 所成角的 余弦值是 ( A、
2 8

) B、
3 8

C、

2 4

D、

3 4

A 第8题

9.已知直线 l ? 平面 ? ,直线 m ? 平面 ? ,有下列命题: ①? ∥ ? ? l ? m ; 其中正确的命题是( A、①与② ②? ? ? ? l ∥ m ; ③ l ∥ m ? ? ? ? ; ④ l ? m ? ? ∥ ? ) B、①与③

C、②与④

D、③与④

10.对于任意实数 a ,点 P ? a, 2 ? a ? 与圆 C : x ? y ? 1 的位置关系的所有可能是(
2 2



A、都在圆内

B、都在圆外

C、在圆上、圆外

D、在圆上、圆内、圆外

二、填空题: (共 4 小题,每小题 5 分) 11.两个球的体积之比为 8∶27,那么这两个球的表面积的比为

. .

12.若点 M 在直线 a 上, a 在平面 ? 上,则 M , a, ? 间的关系可用集合语言表示为 13.经过点 P (2, ?3) 作圆 ( x ? 6) ? y ? 4 的切线,切线长是
2 2



14.已知直线 l1 和 l 2 夹角的平分线所在直线的方程为 y ? x ,如果 l1 的方程是 ax ? by ? c ? 0( ab ? 0) , 那么 l 2 的方程是 三、解答题: (共 6 小题) 15. (本小题满分 12 分) 如图, 在平行四边形 ABCD 中, AB 所在直线方程为 2 x ? y ? 2 ? 0 , C (,0 边 点 2) (1)求直线 CD 的方程; (2)求 AB 边上的高 CE 所在直线的方程。 .

y B E

C O A

x

D

16. (本小题满分 12 分)如图,在直三棱柱(侧棱垂直于底面) ABC ? A1 B1C1 中, AC=9,BC=12,AB=15, ,AA1=12,点 D 是 AB 的中点 (1)求证: AC ? B1C ; (2)求证: AC1 // 平面 CDB1 A1

C1 B1

C A D B

17. (本小题满分 14 分)如图(1)是一正方体的表面展开图,MN 和 PB 是两条面对角线,请在图(2) 的正方体中将 MN 和 PB 画出来,并就这个正方体解决下面问题。 (Ⅰ)求证:MN∥平面 PBD; (Ⅱ)求证: AQ ? 平面 PBD ;

(Ⅲ)求 PB 和平面 NMB 所成的角的大小.

Q

N

D C

M

P

A

D A 图(2)

C

B 图(1)

18. (本小题满分 14 分) 在△ABC 中,已知 BC ? 2 ,且

AB AC

? m ,求点 A 的轨迹方程,并说明轨迹实什么图形。

19. (本小题满分 14 分) 已知圆 C 的圆心为原点 O ,且与直线 x ? y ? 4 2 ? 0 相切。 (1)求圆 C 的方程; (2)点 P 在直线 x ? 8 上,过 P 点引圆 C 的两条切线 PA, PB ,切点为 A, B ,求证: 直线 AB 恒过定点。
A y P

O B

x

20. (本小题满分 14 分)如图,四棱锥 P -ABCD 的底面是矩形,侧面 PAD 是正三角形, 且侧面 PAD⊥底面 ABCD,E 为侧棱 PD 的中点。 (1)求证:PB//平面 EAC; (2)求证:AE⊥平面 PCD; (3)当

P E D C

AD 为何值时,PB⊥AC ? AB
A

B

2012 学年度必修二模块测试卷(B 卷)参考答案
一、选择题: CDAAB DACBB 二、填空题: 11、4∶9; 12、 M ? a , a ? ? ; 13、 4 2 ; 14、 bx ? ay ? c ? 0

三、解答题: 15、解: (1)?四边形 ABCD 为平行四边形,? AB // CD 。

? kC D ? k

AB

? 2。

?直线 CD 的方程为 y ? 2 ? x ? 2 ? ,即 2 x ? y ? 4 ? 0 。
(2)?CE ? AB ,? kCE ? ?

1 1 ?? 。 k AB 2

?直线 CE 的方程为 y ? ?

1 ? x ? 2 ? ,即 x ? 2 y ? 2 ? 0 。 2

16、 (1)?直三棱柱 ABC ? A1 B1C1

? CC1 ? 面 ABC

? CC1 ? AC

又? AC=9,BC=12,AB=15

? AB2 ? BC 2 ? AB 2
? CC1 ? BC ? C ? AC ? B1C

? A C? B C

? AC ? 面 BB1C1C
C1 A1 D1 B1

(2)取 A1 B1 的中点 D1 ,连结 C1 D1 和 AD1

? AD ∥ D1 B1 ,且 AD = D1 B1

?四边形 ACB1 D1 为平行四边形
? AD1 面 CDB1

? AD1 ∥ DB1
C A D B

? CC1 ∥ DD1 ,且 CC1 = DD1

?四边形 CC1 D1 D 为平行四边形
? C1 D1 面 CDB1 ? AD1 ? C1 D1 ? D1

? C1 D1 ∥ CD

?面 AC1 D1 ∥面 CDB1

? AC1 / / 平面 CDB1

17、解:MN 和 PB 的位置如右图示: (Ⅰ)∵ ND∥MB 且 ND=MB ∴四边形 NDBM 为平行四边形 ∴MN∥DB ∵ NM ? 平面 PDB, DB ? 平面 PDB ∴MN∥平面 PBD
P

N M

Q

D A B

C

(Ⅱ)∵ QC ? 平面 ABCD, BD ? 平面 ABCD ,∴ BD ? QC 又∵ BD ? AC ∴ BD ? 平面 AQC ,

? AQ ? 面 AQC ∴ AQ ? BD ,同理可得 AQ ? PB ,∵ BD ? PB ? B
∴ AQ ? 面 PDB (Ⅲ)连结 PQ 交 MN 于点 E,-----------------16 分 ∵ PE ? MN , PE ? MB , MB ? MN ? M ∴ PE ? 平面 NMB 连结 BE,则 ?PBE 为 PB 和平面 NMB 所成的角---------18 分
P N
E

Q M

D A B

C

1 在直角三角形 PEB 中∵ PE ? PB 2
即 PB 和平面 NMB 所成的角为 30°

∴ ?PBE =30° .

18、如图,以直线 BC 为 x 轴、线段 BC 的中点为原点,建立直角坐标系。 则有 B(?1, 0) , C (1,0) ,设点 A 的坐标为 ( x, y)



AB AC

? m ,得 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? m ( x ? 1) 2 ? y 2

整理成 (m 2 ? 1) x 2 ? (m 2 ? 1) y 2 ? 2(m 2 ? 1) ? (m 2 ? 1) ? 0
当 m ? 1 时, m ? 1,方程是 x ? 0 ,轨迹是 y 轴。
2



当 m ? 1 时,对①式配方,得 ( x ?
2

m2 ?1 2 4m 2 ) ? y2 ? m2 ?1 (m 2 ? 1) 2

所以,点 A 的轨迹是以 (

2m m2 ?1 , 0) 为圆心, 2 为半径的圆(除去圆与 BC 的交点) 2 m ?1 m ?1

19、解: (1)依题意得:圆 C 的半径 r ? 所以圆 C 的方程为 x ? y ? 16 。
2 2

4 2 ? 4, 1?1

(2)? PA, PB 是圆 C 的两条切线,

?OA ? AP, OB ? BP 。 ? A, B 在以 OP 为直径的圆上。
设点 P 的坐标为 ? 8, b ? , b ? R , 则线段 OP 的中点坐标为 ? 4, ? 。

? ?

b? 2?

b? ? ?b? ?以 OP 为直径的圆方程为 ? x ? 4 ? ? ? y ? ? ? 42 ? ? ? , b ? R 2? ? ?2?
2

2

2

化简得: x ? y ? 8 x ? by ? 0, b ? R
2 2

? AB 为两圆的公共弦,

?直线 AB 的方程为 8x ? by ? 16, b ? R
所以直线 AB 恒过定点 ? 2, 0 ? 。

20、解: (1)连结 BD 交 AC 于 O,连结 EO, 因为 O、E 分别为 BD、PD 的中点, 所以 EO//PB,

E 0 ? 平面EAC, PB ? 平面EAC ,所以 PB//平面 EAC。
矩形ABCD ? CD ? AD ? ? ? CD ? 面PAD ? (2) 面PAD ? 面ABCD=AD ? ? ? 面PDC ? 面PAD ? CD ? 面PDC ? 面ABCD ? 面PAD ?
正三角形 PAD 中,E 为 PD 的中点,所以, AE ? PD , 又 面PDC ? 面PAD ? PD ,所以,AE⊥平面 PCD。 (3)设 N 为 AD 中点,连接 PN,则 PN ? AD 。 又面 PAD⊥底面 ABCD,所以,PN⊥底面 ABCD。 所以,NB 为 PB 在面 ABCD 上的射影。 要使 PB⊥AC,需且只需 NB⊥AC,在矩形 ABCD 中,设 AD=1,AB=x, AN ? 由 ?ANB ? ?BAC ,得 Rt?NAB ∽ Rt?CBA ,

1 , 2

2 AN AB 1 , ? ? AB 2 ? AN ? BC ? x 2 ? 解之得: x ? 2 AB BC 2
所以,当

AD ? 2 时,PB⊥AC。 AB


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