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江苏省2015届高考数学解答题每日一练系列——应用题,解析几何11


江苏高考数学解答题每日一练——应用题,解析几何

编号:011

1、某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律:每生产产品 x(百台) ,其总成本为 G (x)万元,其中固定成本为 2 万元,并且每生产 100 台的生产成本为 1 万元(总成本=固定成本+生产成本) ,销售 收入 R(x)满足 R(x)= ?

?? 0.4 x 2 ? 4.2 x ? 0.8 ?10.2

(0 ? x ? 5) .假定该产品销售平衡,那么根据上述统计规律. ( x ? 5)

(1)要使工厂有盈利,产品 x 应控制在什么范围? (2)工厂生产多少台产品时赢利最大?并求此时每台产品的售价为多少?

2、已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,准线 l 的方程为 x ? ?2 ,点 P 在准线 l 上,纵坐标为 3t ? 点Q 在

y 轴上,纵坐标为 2t .

1 (t ? R , t ? 0) , t

(1)求抛物线 C 的方程; (2)求证:直线 PQ 恒与一个圆心在 x 轴上的定圆 M 相切,并求出圆 M 的方程。

江苏高考数学解答题每日一练——应用题,解析几何

编号:011

1、解:依题意,G(x)=x+2,设利润函数为 f(x),则

?? 0.4 x 2 ? 3.2 x ? 2.8 f ( x) ? ? ?8.2 ? x

(0 ? x ? 5) (1)要使工厂有赢利,则有 f(x)>0. ( x ? 5)

当 0≤x≤5 时,有–0.4x2+3.2x–2.8>0,得 1<x<7,∴1<x≤5. 当 x>5 时,有 8.2–x>0,得 x<8.2,∴5<x<8.2. 综上,要使工厂赢利,应满足 1<x<8.2.即产品应控制在大于 100 台小于 820 台的范围内. (2)0≤x≤5 时,f(x)=–0.4(x–4)2+3.6 故当 x=4 时,f(x)有最大值 3.6. 而当 x>5 时 f(x)<8.2–5=3.2 所以当工厂生产 400 台产品时,赢利最大,此时只须求 x=4 时,

R ( 4) =2.4(万元/百台)=240(元/台). 4 2、解: (1)设抛物线 C 的方程为 y 2 ? 2 px ( p ? 0) , p 因为准线 l 的方程为 x ? ?2 ,所以 ? ? ?2 ,即 p ? 4 , 2 2 因此抛物线 C 的方程为 y ? 8x . 1 (2)由题意可知, P ( ?2 , 3t ? ) , Q(0 , 2t ) , t 1 2t ? (3t ? ) t x, 则直线 PQ 方程为: y ? 2t ? 2
每台产品售价为 即 (t 2 ? 1) x ? 2ty ? 4t 2 ? 0 , 设圆心在 x 轴上,且与直线 PQ 相切的圆 M 的方程为 ( x ? x0 )2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) , 则圆心 M ( x0 , 0) 到直线 PQ 的距离

(t 2 ? 1) x0 ? 4t 2 (t 2 ? 1) 2 ? 4t 2

?r,
[来源:学科网 ZXX K]

即 (t 2 ? 1) x0 ? 4t 2 ? r ? rt 2 ①或 (t 2 ? 1) x0 ? 4t 2 ? ?r ? rt 2 ②
2

由①可得 ( x0 ? r ? 4)t ? x0 ? r ? 0 对任意 t ? R , t ? 0 恒成立,则有

? x0 ? r ? 4 ? 0, ? x0 ? 2, ,解得 ? (舍去) ? ?r ? ?2, ?? x0 ? r ? 0, 由②可得 ( x0 ? r ? 4)t 2 ? x0 ? r ? 0 对任意 t ? R , t ? 0 恒成立,则有 ? x0 ? r ? 4 ? 0, ? x0 ? 2, ,可解得 ? ? ? r ? 2, ?? x0 ? r ? 0,
因此直线 PQ 恒与一个圆心在 x 轴上的定圆 M 相切,圆 M 的方程为 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 .


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