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数列求和题型归类


【题型归类】 题型一 应用 a n ? ?

?

S1

(n ? 1) (n ? 2)

?S n ? S n?1

求数列通项

例 1.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ,分别求其通项公式. ⑴ S n ? 3n ? 2 ⑵ Sn ?

/>
1 ( a n ? 2) 2 8

( a n ? 0)

点拨: 本例的关键是应用 an ? ?

? S1 ?S n ? S n?1

(n ? 1) 求数列的通项, 特别要注意验证 a1 的 (n ? 2)

值是否满足 " n ? 2" 的一般性通项公式。 题型二利用递推关系求数列的通项 例 2.根据下列各个数列 ?an ? 的首项和递推关系,求其通项公式 ⑴ a1 ?

1 , 2

a n ?1 ? a n ?

1 4n ? 1
2

(2) a1 ? 1, ⑶ a1 ? 1,

an ? 0, (n ? 1)an?1 ? nan ? an ? an?1 ? 0 ,
a n ?1 ? 1 an ? 1 2

2

2

点拨:在递推关系中若 an?1 ? an ? f (n), 求 an 用累加法,若 若 an?1 ? pan ? q ,求 an 用待定系数法或迭代法。 知识要点 1.求数列前 n 项和的基本方法 ⑴直接用等差、等比数列的求和公式求和;

a n ?1 ? f (n), 求 an 用累乘法, an

n(a1 ? a n ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2 (q ? 1) ? na1 ? n S n ? ? a1 (1 ? q ) (q ? 1) ? ? 1? q Sn ?
公比含字母时一定要讨论。

?an ?为无穷递缩等比数列时, S ?

a1 1? q

⑵错位相减法求和:如 ?an ? 为等差数列,?bn ? 为等比数列,求 a1b1 ? a2 b2 ? ? ? an bn 的和。 ⑶分组求和:把数列的每一项分成若干项,使其转化为等差或等比数列,再求和。 ⑷合并求和:如求 100 ? 99 ? 98 ? 97 ? ? ? 2 ? 1 的和。
2 2 2 2 2 2

⑸裂项相消法求和:把数列的通项拆成两项之差,正负相消剩下首尾若干项。 常见拆项:

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? (2n ? 1)(2n ? 1) 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ? ? 1 1? 1 1 ? ? ? 典例精析 n(n ? 1)(n ? 2) 2 ? n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) ? ? n ? n! ? (n ? 1)!?n! n 1 1 ? ? (n ? 1)! n! (n ? 1)!
一、错位相减法求和 例 1:求和: S n ?

1 2 3 n ? 2 ? 3 ??? n a a a a

点拨:①若数列 ?an ? 是等差数列, ?bn ? 是等比数列,则求数列 ?an ? bn ?的前 n 项和时,可 采用错位相减法; ②当等比数列公比为字母时,应对字母是否为 1 进行讨论; ③当将 S n 与 q S n 相减合并同类项时,注意错位及未合并项的正负号。 二、 裂项相消法求和
?

例 2:数列 ?an ? 满足 a1 =8, a4 ? 2,且an?2 ? 2an?1 ? an ? 0 ( n ? N ) ①求数列 ?an ? 的通项公式;

②设 bn ?

1 n(14 ? a n )

(n ? N ? )
m 恒成立,求最大的 32

Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ( n ? N ? )若对任意非零自然数 n , Tn ?
整数 m 的值。

点拨:①若数列 ?an ? 的通项能转化为 f (n ? 1) ? f (n) 的形式,常采用裂项相消法求和。 ②使用裂项消法求和时,要注意正负项相消时,消去了哪些项,保留了哪些项。 三、奇偶分析法求和 例 3:设二次函数 f ( x) ? x ? x,当x ? ?n,n ? 1?( n ? N )时, f ( x) 的函数值的所有
2
?

整 数 值 的 个 数 记 为

g ( n) 。 ① 求 g ( n) 的 表 达 式 ; ② 设

an ?

2n 3 ? 3n 2 g ( n)

(n ? N ? ),

S n ? a1 ? a 2 ? a3 ? a 4 ? ? ? (?1) n ?1 a n ,
求 Sn

巩固练习: 1.已知等差数列 {a n } 中,a1 ? ?12 ,d ? 2 , 则它的前________项和最小, 最小值为________。
2.等比数列中, S10 ? 5 , S 20 ? 25 ,则 S 30 =________。 3.数列 1 , 1 ? 2 , 1 ? 2 ? 22 , 1 ? 2 ? 22 ? 23 , ?1 ? 2 ? 22 ? 23 ? ?2n?1 ,? 前 n 项和为________。 4.已知数列

?an ?满足a1 ? 0, an?1 ? an ? 2n, 则a2003 ?
S12 S10 ? ? ?2 ,则 S2013 的值为 12 10

5.等差数列{an}中,“a1<a3”是“an<an+1”的 6.等差数列 {an } 中 a1 ? 2013,前 n 项和为 S n , __________. 7.设公差不为 0 的等差数列{an}的首项为 1,且 a2,a5,a14 构成等比数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式;

b1 b2 bn 1 * (Ⅱ)若数列{bn}满足 + +?+ =1- n,n∈N ,求{bn}的前 n 项和 Tn. a1 a2 an 2

8.已知数列 ?an ? 中,a1 ? 1, an?1 ? 的通项公式 an ;

? 1 1? an 并求 ?an ? (n ? N * ) 求证:? ? ? 是等比数列, an ? 3 a 2 n ? ?

9.各项均为正数的等比数列 ?an ? , a1 ? 1 , a2 a4 ? 16 ,单调增数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn ,

b1 ? 2 ,且 6Sn ? bn 2 ? 3bn ? 2 ? n ? N * ? .
(1)求数列 ?an ? 、 ?bn ? 的通项公式; (2)令 cn ?

bn ? n ? N * ? ,求使得 cn ? 1的所有 n 的值,并说明理由; an

10.已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an?1 ?

an (n ? N * ) an ? 3

(1)求证: ?

? 1 1? ? ? 是等比数列,并求 ?an ? 的通项公式 an ; ? an 2 ?

( 2 ) 数 列 ?bn ? 满 足 bn ? (3 ? 1) ?
n

n ? a n , 数 列 ?bn ? 的 前 n 项 和 为 T n , 若 不 等 式 2n

(?1) n ? ? Tn ?

n 2
n ?1

对一切 n ? N 恒成立,求 ? 的取值范围.
*


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