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2011年广州市高中数学青年教师解题比赛试题


2011 年广州市高中数学青年教师解题比赛 决 赛 试 题

(2011 年 4 月 10 日上午 9∶00-11∶00) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 在每小题给出的四 个选项中, 有且只有一项是符合题目要求的. 请将答案代号填在答题卷的相 应位置上. 1. 计算 A.2
(2 ? i)(1 ? i)2 ? 1

? 2i

B.-2

C.2 i

D.-2 i

2.将抛物线 y 2 ? 4 x 沿向量 a 平移得到抛物线 y2 ? 4 y ? 4x ,则向量 a 为 A. (-1,2) B. (1,-2) C. (-4,2) D. (4,-2) 3.从 2004 名学生中选取 50 名组成参观团,若采用下面的方法选取:先用简单 随机抽样从 2004 人中剔除 4 人, 剩下的 2000 人再按系统抽样的方法进行. 则 每人入选的概率 A.不全相等 B.均不相等 25 1 C.都相等,且为 D.都相等,且为 40 1002 4.设 b 、 c 表示两条直线, ? 、 ? 表示两个平面,下列命题中真命题是 A.若 b ? ? , c // ? ,则 b // c. C.若 c // ? , c ? ? , 则? ? ? . B.若 b ? ? , b // c, 则c // ?. D.若 c // ? ,? ? ? , 则c ? ? .

5.下列四个函数:① y ?| tan x |, ② y ? lg | x |, ③ y ? sin( x ?

?

2 偶函数,又在区间(-1,1)内连续的函数的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 6.已知椭圆 E 的短轴长为 6,焦点 F 到长轴的一个端点的距离等于 9,则椭圆 E 的离心率等于 3 4 5 12 A. B. C. D. 5 5 13 13

), ④ y ? 2 x ,其中是

7. 已知 a ? 0 , 集合 A ? {x || x ? 2 |? a}, B ? {x | a x ? 1},若 A ? B ? ? ,则实数 a 的 取值范围是 A. ? 2,??? C. ? 0,1? ? ? 2,??? B. ? 0,1? D. ? 0,1? ? ?1, ???

2011 年广州市高中数学青年教师解题比赛决赛试题

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? y ? 0, y ?1 ? 8.实数 x 、 y 满足不等式组 ? x ? y ? 0, 则W ? 的取值范围是 x ?1 ? 2 x ? y ? 2 ? 0. ?

? 1? A. ??1, ? ? 3?

? 1 1? B. ? ? , ? ? 2 3?

? 1 ? C. ? ? , ?? ? ? 2 ?

? 1 ? D. ? ? ,1? ? 2 ?

? x ? 1 ? a , x ? 0, 9.已知函数 f ( x) ? ? 有三个不同零点,则实数 a 的取值范围为 log 2 x , x ? 0. ?
A. ? ??, ?1? B. ? ?1,0? C. ? ?1, ??? D. ? ?1,0?

10.有七名同学站成一排照毕业纪念照,其中甲必须站在正中间,并且乙、丙两 位同学要站在一起,则不同的站法有 A.240 种 B.192 种 C.96 种 D.48 种 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 请将答案填在答题 卷的相应位置上. 11. 右面的程序框图给出了计算数列 ?an ? 的前 8 项 和 S 的算法,算法执行完毕后,输出的 S 为 .

12.正四棱锥 P ? ABCD 的五个顶点在同一球面上,若正 四棱锥的底面边长为 4,侧棱长为 2 6 ,则此球的 表面积为 .

13.已知动圆 P 与定圆 C :( x ? 2) 2 ? y 2 =1 相外切,又与 定直线 l : x ? 1 相切,那么动圆的圆心 P 的轨迹方程 是 . 14.如图,第 n ? n ? N * ? 个图形是由正 n ? 2 边形“扩展”而来,则第 n 个图形中 共有 个顶点.

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2011 年广州市高中数学青年教师解题比赛答题卷
一、选择题答案(每小题 5 分,共 50 分)
题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

二、填空题答案(每小题 5 分,共 20 分)
11. 12. 13. 14.

考号

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、演算步骤或推 证过程.
15. (本小题满分 12 分 9) 设函数 f (x) ? sin ? ? x ? 图所示. (1)求 f ? x ? 的表达式; (2)若 f (x) ? f ? ? x ? ?

? ?

??

? ? x ? R,? ? 0 ? 的部分图象如右 4?

姓名



学校

1 ?? ? ? , x ? ? , ? ,求 tan x 的值. 4 ?4 2?

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16. (本小题满分 12 分) 某家具城进行促销活动,促销方案是:顾客每消费 1000 元,便可以获得奖券一张. 每张奖 券中奖的概率为

1 ,若中奖,则家具城返还顾客现金 1000 元. 某顾客购买一张价格为 3400 5

元的餐桌,得到 3 张奖券. 设该顾客购买餐桌的实际支出为 ? (元) . (1)求 ? 的所有可能取值; (2)求 ? 的分布列和数学期望 E? .

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17. (本小题满分 14 分) 如图,在斜三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,侧面 AA B1B ⊥底面 ABC ,侧棱 AA1 与底面 ABC 成 1 60°的角,AA ? 2 . 底面 ABC 是边长为 2 的正三角形, 其重心为 G 点, E 是线段 BC1 上 1 一点,且 BE ?

1 BC1 . 3

(1)求证: GE ? 侧面 AA B1B ; 1 (2)求平面 B1GE 与底面 ABC 所成锐

考号

二面角的正切值.



学校

姓名

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18. (本小题满分 14 分) 飞船返回仓顺利到达地球后, 为了及时将航天员救出, 地面指挥中心在返回仓预计到达区域 安排三个救援中心(记为 A , B , C ) B 在 A 的正东方向,相距 6 km , C 在 B 的北偏 , 东 30°,相距 4 km , P 为航天员着陆点,某一时刻 A 接到 P 的求救信号,由于 B 、 C 两 地比 A 距 P 远,因此 4 s 后, B 、 C 两个救援中心才同时接收到这一信号,已知该信号的 传播速度为 1 km / s . (1)求 A 、 C 两个救援中心的距离; (2)求在 A 处发现 P 的方向角; (3)若信号从 P 点的正上方 Q 点处发出,则 A 、 B 收到信号的时间差变大还是变小,说 明理由.

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19. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) 的定义域为 I,导数 f '( x ) 满足 0 ? f ?( x) ? 2 且 f '( x ) ? 1 ,常数 c1 为方程

f ( x ) ? x ? 0 的实数根,常数 c2 为方程 f ( x ) ? 2 x ? 0 的实数根.
(1)若对任意 a,b ? I ,存在 x0 ? a,b ,使等式 f (b) ? f (a ) ? (b ? a ) f '( x0 ) 成 立.求证:方程 f ( x ) ? x ? 0 不存在异于 c1 的实数根; (2)求证:当 x ? c2 时,总有 f ( x ) ? 2 x 成立;

?

?

?

?



学校

姓名

考号

(3)对任意 x1 、x2 ,若满足 x1 ? c1 ? 1, x2 ? c1 ? 1 ,求证: f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4 .

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20. (本小题满分 14 分) 把正奇数数列 {2n ? 1} 中的数按上小下大、左小右大的原则排成如下三角形数表: 1 3 5 7 9 11 ????????? ???????????
* 设 amn m, n ? N 是位于这个三角形数表中从上往下数第 m 行、从左往右数第 n 个数.

?

?

(1)若 amn ? 2011,求 m,n 的值; (2) 已知函数 f ( x ) 的反函数为 f
?1

若记三角形数表中从上往下数第 n ( x) ? 8n x 3 ( x ? 0) ,

行各数的和为 bn ,求数列 { f (bn )} 的前 n 项和 S n .

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2011 年广州市高中数学青年教师解题比赛 决赛试题参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A A C C C B 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.

7 C

8 D

9 D

10 B

11.92
三、解答题:

12.36 ?

13. y 2 ? ?8x

14. n2 ? 5n ? 6

15.解: (1)设函数 f ? x ? 的周期为 T,

?

T 3? ? ? ? - ? 得T ? ? , ?? ? 2 . 4 8 8 4

所以 f (x) ? sin(2 x ?

?

4

).

?????3 分

(2)∵ f ? x ? ? f ? ? x ? ? sin ? 2x ?

? ?

??

?? ? ?? 1 ?? ? ? ? sin ? -2x ? ? sin ? 2x ? ? cos ? 2 x ? ? ? , 4? ? 4 4? 4? 4 ? ? ?

∴ sin ? 4 x ?

? ?

?? 1

1 5? ?? ? ? .??9 分 ? cos4x ? ,又 x ? ? , ? , 4x ? (? ,2? ), ? x ? ?? 2? 2 2 12 ?4 2?

? ? 3 1? 5? ? ? ? tan 4 ? tan 6 ? 3 ? 2 ? 3 .????12 分 ? tan ? ? ? ? ? ∴ tanx ? tan ? ? 12 3 ? 4 6 ? 1-tan ? tan 1- 4 6 3
16.解: (1) ? 的所有可能取值为 3400,2400,1400,400.????????????2 分

64 ?4? (2) P(? ? 3400) ? ? ? ? , ? 5 ? 125
2 2 3

3

? 1 ?? P(? ? 2 4 0 0 )C ? ?? ? ? 5 ??
1 3 3

4? 48 , ? ? 5? 125

2

12 1 ? 1 ? ? 4? 3?1? , P(? ? 400) ? C3 ? ? ? , P(? ? 1 4 0 0 )C ? ? ? ? ? ? ? 5 ? ? 5? 1 2 5 ? 5 ? 125

? 的分布列为

?
P

3400

2400

1400

400

????????10 分 12 1 125 125 64 48 12 1 ? 2400 ? ? 1400 ? ? 400 ? ? 2800. ??????12 分 故 E? ? 3400 ? 125 125 125 125 1 17.解法 1: (1)延长 B1E 交 BC 于点 F,? ?B1EC1 ∽△FEB,BE= EC1, 2

64 125

48 125

2011 年广州市高中数学青年教师解题比赛决赛试题参考答案

第 1 页 共 4 页

∴BF=

1 1 B1C1= BC,从而点 F 为 BC 的中点.∵G 为△ABC 的重心, 2 2

∴A、G、F 三点共线.且

FG FE 1 ? ? ,? GE // AB1 ,又 GE ? 侧面 AA1B1B, FA FB1 3

∴GE//侧面 AA1B1B.??????????????????????????6 分 (2)在侧面 AA1B1B 内,过 B1 作 B1H⊥AB,垂足为 H,∵侧面 AA1B1B⊥底面 ABC, ∴B1H⊥底面 ABC.又侧棱 AA1 与底面 ABC 成 60°的角,AA1=2, ∴∠B1BH=60°,BH=1,B1H= 3. 在底面 ABC 内,过 H 作 HT⊥AF,垂足为 T,连 B1T, 由三垂线定理有 B1T⊥AF,又平面 B1CE 与底面 ABC 的交线为 AF, ∴∠B1TH 为所求二面角的平面角.∴AH=AB+BH=3,∠HAT=30°, ∴HT=AH sin 30? ?

3 BH .在 Rt△B1HT 中, tan?B1TH ? 1 ? 2 3 , 2 HT 3
3

从而平面 B1GE 与底面 ABC 成锐二面角的正切值为 2 3 .??????????14 分 解法 2: (1)∵侧面 AA1B1B⊥底面 ABC,侧棱 AA1 与底面 ABC 成 60°的角, ∴∠A1AB=60°, 又 AA1=AB=2,取 AB 的中点 O,则 AO⊥底面 ABC. 以 O 为原点建立空间直角坐标系 O— xyz 如图, 则 A ? 0, ?1,0? , B ? 0,1,0 ? , C

?

3, 0, 0 , A1 0, 0, 3 , B1 0, 2, 3 , C1

?

?

?

?

?

?

3,1, 3 .

?

???????????????????????????????????3 分 ∵G 为△ABC 的重心,∴ G ?

? 3 ? ? 3 , 0, 0 ? . ? ? ?

? ??? 1 ???? ? ? ? BE ? BC1 ,∴ E ? ? 3 ?

3 3? ??? ? ? 3 ? 1 ???? ,1, ? ,∴ CE ? ? 0,1, ? ? AB1 . ? ? 3 3 ? 3 ? 3 ? ?
????

又 GE ? 侧面 AA1B1B,∴GE//侧面 AA1B1B.????????????????6 分
? (2)设平面 B1GE 的法向量为 n ? (a, b, c) ,则由 ?n ? B1 E ? 0, 得 ? 3 a ? b ? 3 c ? 0, ? ? ? ??? ?n ? GE ? 0. ?

? 3

2 3

? ?b ? 3 c ? 0. ? 3 ?

可取 n ?

?

3, ?1, 3

?

又底面 ABC 的一个法向量为 m ? ? 0,0,1?

设平面 B1GE 与底面 ABC 所成锐二面角的大小为 ? ,则 cos ? ?

m?n 21 . ? | m |?| n| 7

由于 ? 为锐角,所以 sin ? ? 1 ? cos

2

??

2 7 2 3 ,进而 tan ? ? . 7 3
3

故平面 B1GE 与底面 ABC 成锐二面角的正切值为 2 3 .??????????14 分 18.解: (1)以 AB 中点为坐标原点,AB 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系,则
2011 年广州市高中数学青年教师解题比赛决赛试题参考答案 第 2 页 共 4 页

A? ?3, 0? ,B?3, 0? ,C 5, 2 3
则 AC ?
2 2

? ?5 ? 3? ? ?2 3 ? ? 2

?

19 km

即 A、C 两个救援中心的距离为 2 19 km . ??????????????????4 分 (2) ∵| PC| ?| PB| ,所以 P 在 BC 线段的垂

直平分线上.

又 ∵| PB|?| PA| ? 4 ,所以 P 在以 A、B 为焦点的双曲线

的左支上,且 AB ? 6

x2 y2 ? ? 1 ? x ? 0? . ∴双曲线方程为 4 5
联立两方程解得: x ? ?8 .

BC 的垂直平分线的方程为 x ? 3 y ? 7 ? 0 .

∴P ?8,5 3 ,k PA ? tan ∠PAB ? ? 3 . ∴∠PAB=120°.
所以 P 点在 A 点的北偏西 30°处.????????????????????9 分 (3)如图,设 PQ ? h, PB ? x, PA ? y ,

?

?

∵ QB ? QA ?

x 2 ? h2 ?

y 2 ? h2 ?

x2 ? y2 x2 ? h2 ? y 2 ? h2

? ? ?x ? y·


x? y x 2 ? h2 ? y 2 ? h2

又∵

x?y x 2 ? h2 ? y2 ? h2

?1

∴ QB ? QA ? PB ? PA

QB QA PB PA ? ? ? 1 1 1 1

即 A、B 收到信号的时间差变小.????????????????????14 分 19.证明: (1)假设方程 f ( x ) ? x ? 0 有异于 c1 的实根 m,即 f ( m) ? m , 则有 m ? c1 ? f (m) ? f (c1 ) ? m ? c1 f '( x0 ) 成立. 因为 m ? c1 ,所以必有 f '( x0 ) ? 1 ,这与 f '( x ) ? 1 矛盾, 因此方程 f ( x ) ? x ? 0 不存在异于 c1 的实数根.??????????????4 分 (2)令 h( x ) ? f ( x ) ? 2 x,∵h'( x ) ? f '( x ) ? 2 ? 0 , ∴函数 h ( x ) 为减函数.

?

?

又 ∵h( c2 ) ? f ( c2 ) ? 2c2 ? 0 ,∴当 x ? c2 时, h ( x ) ? 0 ,即 f ( x ) ? 2 x 成立.?8 分 (3)不妨设 x1 ? x 2 ,

∵f '( x ) ? 0,∴f ( x ) 为增函数,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) .

又 ∵f '( x ) ? 2 ,∴函数 f ( x ) ? 2 x 为减函数,即 f ( x1 ) ? 2 x1 ? f ( x2 ) ? 2 x2 .
2011 年广州市高中数学青年教师解题比赛决赛试题参考答案 第 3 页 共 4 页

∴0 ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 2( x2 ? x1 ) . 即 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 2 x2 ? x1 .

∵ x2 ? x1 ? x2 ? c1 ? c1 ? x1 ? x2 ? c1 ? x1 ? c1 ? 2 , ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4 .????????????????????????14 分
20. 解: (1)?三角形数表中前 m 行共有 1 ? 2 ? 3 ? ? ? m ?

m(m ? 1) 个数, 2

?第 m 行最后一个数应当是所给奇数列中的第
故第 m 行最后一个数是 2 ?

m(m ? 1) 项.?????????2 分 2

m(m ? 1) ? 1 ? m2 ? m ? 1 . 2
2

因此,使得 amn ? 2011的 m 是不等式 m ? m ? 1 ? 2011 的最小正整数解. 由 m ? m ? 1 ? 2011 m ? m ? 2012? 0 得
2 2

?m ?

? 1 ? 1 ? 8048 ? 1 ? 7921 ? 1 ? 89 ? ? ? 44 , ? m ? 45. 2 2 2
2

于是,第 45 行第一个数是 44 ? 44 ? 1 ? 2 ? 1981

?n ?

2011 ? 1981 ? 1 ? 16. ???????????????????????4 分 2
?1

(2)? f

( x) ? 8n x 3 ? y ( x ? 0) ,

故 f ( x) ?

3

x
n

2

( x ? 0)

.?????6 分

?第 n 行最后一个数是 n 2 ? n ? 1 ,且有 n 个数,若将 n 2 ? n ? 1 看成第 n 行第一个数,则第 n 行各数
成公差为 ?2 的等差数列,故 bn ? n(n ? n ? 1) ?
2

n(n ? 1) ( ?2) ? n 3 . 2

? f (bn ) ?

n .????????????????????????????8 分 2n 1 2 3 n ?1 n 1 1 2 3 n ?1 n 故 S n ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ? n .因为 S n ? 2 ? 3 ? 4 ? … ? n ? n ?1 , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 n S n ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 .?????????10 分 两式相减得: 2 2 2 2 2 2

1? 1? ?1 ? n ? n 1 n 2 2 ? ? ? ? n?1 ? 1 ? n ? n?1 . 1 2 2 2 1? 2

? Sn ? 2 ?

n?2 .?????14 分 2n

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