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平面几何四大定理


平面几何四个重要定理
四个重要定理: 梅涅劳斯(Menelaus)定理(梅氏线) △ABC 的三边 BC、CA、AB 或其延长线上有点 P、Q、R, BP CQ AR ? ? ?1。 则 P、Q、R 共线的充要条件是 PC QA RB

A R Q B C P

塞瓦(Ceva)定理(塞瓦点) △ABC 的三边 BC、CA、AB

上有点 P、Q、R,则 AP、BQ、

A R B
D

BP CQ AR ? ? ? 1。 CR 共点的充要条件是 PC QA RB

Q P
C

C

托勒密(Ptolemy)定理 四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是 该四边形内接于一圆。

A

B

西姆松(Simson)定理(西姆松线) 从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是 该点落在三角形的外接圆上。
B

A

F D

C E l

P

例题: 1. 设 AD 是△ABC 的边 BC 上的中线,直线 CF 交 AD 于 F。

AE 2AF 求证: 。 ? ED FB AE DC BF 【分析】CEF 截△ABD→ ? ? ? 1 (梅氏定理) ED CB FA
【评注】也可以添加辅助线证明:过 A、B、D 之一作 CF 的平 行线。 2. 过△ABC 的重心 G 的直线分别交 AB、AC 于 E、F,交 CB
B D

A F E

C

A

于 D。 求证:

BE CF ? ? 1。 EA FA
D B

G E

F

【分析】连结并延长 AG 交 BC 于 M,则 M 为 BC 的中 点。 DEG 截△ABM→

C

BE AG MD ? ? ? 1 (梅氏定理) EA GM DB CF AG MD DGF 截△ACM→ ? ? ? 1 (梅氏定理) FA GM DC BE CF GM ? (DB ? DC) GM ? 2MD ∴ = = =1 ? EA FA 2GM ? MD AG ? MD

A

G E

F

【评注】梅氏定理 3. D、E、F 分别在△ABC 的 BC、CA、AB 边上,

D

B

M

C

A F L

BD AF CE ? ? ? ? ,AD、BE、CF 交成△LMN。 DC FB EA
求 S△LMN。 【分析】
M B D

E N C

A

【评注】梅氏定理 4. 以△ABC 各边为底边向外作相似的等腰△BCE、 △CAF、 △ABG。求证:AE、BF、CG 相交于一点。 【分析】

C

B

A G F

B E

C

A G N M F

B

L E

C

【评注】塞瓦定理

5. 已知△ABC 中,∠B=2∠C。求证:AC2=AB2+AB〃BC。 【分析】过 A 作 BC 的平行线交△ABC 的外接圆于 D,连结 BD。则 CD=DA=AB,AC=BD。 由托勒密定理,AC〃BD=AD〃BC+CD〃AB。 【评注】托勒密定理 6. 已知正七边形 A1A2A3A4A5A6A7。 求证:

D A

C

B

A3 A2 A4

1 1 1 ? ? 。 (第 21 届全苏数学竞赛) A1A 2 A1A 3 A1A 4

A1 A6

A5 A7

【分析】
A2

A3 A4

A1 A6
A

A5 A7

【评注】托勒密定理 7. △ABC 的 BC 边上的高 AD 的延长线交外接圆于 P,作 PE⊥AB 于 E,延长 ED 交 AC 延长线于 F。 求证:BC〃EF=BF〃CE+BE〃CF。 【分析】

E D B C F P

C M N D

B

A

【评注】西姆松定理(西姆松线) 8. 正六边形 ABCDEF 的对角线 AC、CE 分别被内分点 M、 N 分成的比为 AM:AC=CN:CE=k,且 B、M、N 共线。 求 k。 (23-IMO-5) 【分析】

E
C

F
B

M

D N

O

A

【评注】面积法

E

F

9. O 为△ABC 内一点,分别以 da、db、dc 表示 O 到 BC、 CA、AB 的距离,以 Ra、Rb、Rc 表示 O 到 A、B、C 的 距离。 求证: (1)a〃Ra≥b〃db+c〃dc; (2) a〃Ra≥c〃db+b〃dc; (3) Ra+Rb+Rc≥2(da+db+dc)。 【分析】

A

F O E

B

D

C
A

F L O E

B

D

C

K

【评注】面积法 10. △ABC 中,H、G、O 分别为垂心、重心、外心。 求证:H、G、O 三点共线,且 HG=2GO。 (欧拉线) 【分析】
H G O A

C

B
C

G O

H

【评注】同一法

A

D

B

11. △ABC 中,AB=AC,AD⊥BC 于 D,BM、BN 三等分∠ ABC,与 AD 相交于 M、N,延长 CM 交 AB 于 E。 求证:MB//NE。 【分析】
B

A

E

N M D
A

C

E 1 2 3 B

4 5

N

M 7 6 D

8

C

【评注】对称变换

12. G 是△ABC 的重心,以 AG 为弦作圆切 BG 于 G, 延长 CG 交圆于 D。求证:AG2=GC〃GD。 【分析】

A D G B C

A D G

【评注】平移变换 13. C 是直径 AB=2 的⊙O 上一点,P 在△ABC 内,若 PA+PB+PC 的最小值是 7 , 求此时△ABC 的面积 S。

B G'

C

C

P

【分析】
A B
B'

C P' P

A B 【评注】旋转变换 费马点:已知 O 是△ABC 内一点,∠AOB=∠BOC=∠COA=120°;P 是△ABC 内 任一点,求证:PA+PB+PC≥OA+OB+OC。 (O 为费马点)

C

O' C P'

C'

O P A B

O P A B

( B, ?60 ) ( B, ?60 ) ( B, ?60 ) 【分析】将 C ?R ? ??? C',O ?R ? ??? O', P ?R ? ??? P',连结 OO'、PP'。

0

0

0

则△B OO'、△B PP'都是正三角形。 ∴OO'=OB,PP' =PB。显然△BO'C'≌△BOC,△BP'C'≌△BPC。 由于∠BO'C'=∠BOC=120°=180°-∠BO'O,∴A、O、O'、C'四点共线。 ∴AP+PP'+P'C'≥AC'=AO+OO'+O'C',即 PA+PB+PC≥OA+OB+OC。 14.(95 全国竞赛) 菱形 ABCD 的内切圆 O 与各 边分别交于 E、F、G、H,在弧 EF 和弧 GH 上 M 分别作⊙O 的切线交 AB、BC、CD、DA 分别于 M、N、P、Q。 B 求证:MQ//NP。 【分析】由 AB∥CD 知:要证 MQ∥NP,只需证 N ∠AMQ=∠CPN, A 结合∠A=∠C 知,只需证 E △AMQ∽△CPN M AM CP ? ← ,AM〃CN=AQ〃CP。 AQ CN O B 连结 AC、BD,其交点为内切圆心 L O。设 MN 与⊙O 切于 K,连结 OE、 N OM、 OK、 ON、 OF。记∠ ABO= φ, F ∠MOK=α,∠KON=β,则 C ∠EOM=α,∠FON=β,∠EOF=2α+2β=180°-2φ。 ∴∠BON=90°-∠NOF-∠COF=90°-β-φ=α ∴∠CNO=∠NBO+∠NOB=φ+α=∠AOE+∠MOE=∠AOM 又∠OCN=∠MAO,∴△OCN∽△MAO,于是 ∴AM〃CN=AO〃CO 同理,AQ〃CP=AO〃CO。
P

A
Q

O P

D

C
H Q

D

P G

AM AO , ? CO CN

【评注】 15.(96 全国竞赛)⊙O1 和⊙O2 与ΔABC 的三边所在直线 都相切,E、F、G、H 为切点,EG、FH 的延长线交于 P。求证:PA⊥BC。 【分析】

G H O1 A

O2

E B

C F

P 1 2

G 3 4 O1 A H

O2

E B

D

C F

【评注】 16.(99 全国竞赛)如图,在四边形 ABCD 中,对角线 AC 平分∠BAD。在 CD 上取一点 E,BE 与 AC 相交于 F,延 长 DF 交 BC 于 G。求证:∠GAC=∠EAC。 证明:连结 BD 交 AC 于 H。对△BCD 用塞瓦定理,可得

A

D

B G
A

F

E

CG BH DE ? ? ?1 GB HD EC
因为 AH 是∠BAD 的角平分线,由角平分线定理, 可得

C

BH AB CG AB DE ,故 ? ? ? ? 1。 HD AD GB AD EC
B G

H E

D

过 C 作 AB 的平行线交 AG 的延长线于 I,过 C 作 AD 的平行线交 AE 的延长线于 J。

F

CG CI DE AD 则 , ? , ? GB AB EC CJ CI AB AD 所以 ? ? ? 1 ,从而 CI=CJ。 AB AD CJ

C

J I

又因为 CI//AB,CJ//AD,故∠ACI=π-∠BAC=π-∠DAC=∠ACJ。 因此,△ACI≌△ACJ,从而∠IAC=∠JAC,即∠GAC=∠EAC。 已知 AB=AD,BC=DC,AC 与 BD 交于 O,过 O 的任意两条直线 EF 和 GH 与四边形 ABCD 的四边交于 E、F、G、 H。连结 GF、EH,分别交 BD 于 M、N。 求证:OM=ON。 (5 届 CMO)
( AC ) ? ?? △E'OH', 证明:作△EOH ?S
A E E' A E

G B M O N H D B

G M H' O N D H

F

F

则只需证 E'、M、H'共线,即 E'H'、BO、 GF 三线共点。

C

C

记∠BOG=α,∠GOE'=β。连结 E'F 交 BO 于 K。只需证 逆定理) 。

E' G BH' FK =1(Ceva ? ? GB H' F KE'

E' G BH' FK S ?OE 'G S ?OBH ' S ?OFK OE' sin ? OB sin ? OF ? ? ? ? = = =1 ? ? GB H' F KE' S ?OGB S ?OH 'F S ?OKE ' OB sin ? OF sin ? OE'
注:筝形:一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形。 对应于 99 联赛 2:∠E'OB=∠FOB,且 E'H'、GF、BO 三线共 点。求证:∠GOB=∠H'OB。 事实上,上述条件是充要条件,且 M 在 OB 延长线上时结论仍 然成立。 证明方法为:同一法。

E' G B H' M O

蝴蝶定理: P 是⊙O 的弦 AB 的中点, 过 P 点引⊙O 的两弦 CD、 EF,连结 DE 交 AB 于 M,连结 CF 交 AB 于 N。求证:MP=NP。
F
F H F'

F

D O A N C P E M B
A N C G P E O M

D

B

( GH ) ? ?? F'F,显然'∈⊙O。又 P∈GH,∴PF'=PF。 【分析】设 GH 为过 P 的直径,F ?S

( GH ) ( GH ) ? ?? PF',PA ?S ? ?? PB,∴∠FPN=∠F'PM,PF=PF'。 ∵PF ?S

又 FF'⊥GH,AN⊥GH,∴FF'∥AB。∴∠F'PM+∠MDF'=∠FPN+∠EDF' =∠EFF'+∠EDF'=180°,∴P、M、D、F'四点共圆。∴∠PF'M=∠PDE=∠PFN。 ∴△PFN≌△PF'M,PN=PM。 【评注】一般结论为:已知半径为 R 的⊙O 内一弦 AB 上的一点 P,过 P 作两条相交 弦 CD、EF,连 CF、ED 交 AB 于 M、N,已知 OP=r,P 到 AB 中点的距离为 a,则

1 1 2a ? ? 。 (解析法证明:利用二次曲线系知识) PM PN R 2 ? r 2


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