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高考数学知识梳理复习题1-直接证明与间接证明


高考数学知识梳理复习题 1_1 第 2 讲 直接证明与间接证明 ★知识梳理★ 三种证明方法的定义与步骤: 1. 综合法是由原因推导到结果的证明方法,它是利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论 证,最后推导出所要证明的结论成立的证明方法。 2. 分析法是从要证明的结论出发,逐步寻求推证过程中,使每一步结论成立的充分条件,直到最后,把要证明的结论 归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定义、公理、定理等)为止的证明方法。 3.假设原命题的结论不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,由此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的方法 叫反证法;它是一种间接的证明方法.用这种方法证明一个命题的一般步骤:(1) 假设命题的结论不成立; (2) 根据 假设进行推理,直到推理中导出矛盾为止 (3) 断言假设不成立(4) 肯定原命题的结论成立 ★重难点突破★ 重点:能熟练运用三种证明方法分析问题或证明数学命题 难点:运用三种方法提高分析问题和解决问题的能力 重难点:在函数、三角变换、不等式、立体几何、解析几何等不同的数学问题中,选择好证明方法并运用三种证明方 法分析问题或证明数学命题 1.从命题的特点、形式去选择证明方法 ① 一般地,结论中出现“至多” “至少” “唯一”等词语,或否定性命题,或要讨论的情况很复杂的,可以考虑用反证法 ② 一般地,含分式、根式的不等式,或从条件出发思路不明显的命题,可以考虑用分析法③命题的结论有明确的证明方 向的,适宜用综合法 问题 1:对于任意非零实数 x, y ( x ? ? y ) ,等式

1 1 1 总不成立 ? ? x y x? y

点拨:从命题的形式特点看,适合用反证法证明 2.比较复杂的命题,有时需要多种证明方法综合运用,各取所长。 ★热点考点题型探析★ 考点 1 综合法 题型:用综合法证明数学命题 [例 1 ] (东莞 2007—2008 学年度第一学期高三调研测试)

对于定义域为 ?0,1? 的函数 f ( x ) ,如果同时满足以下三条:①对任意的 x ??0,1? ,总有 f ( x) ? 0 ;② f (1) ? 1 ;③若

x1 ? 0, x2 ? 0, x1 ? x2 ? 1 ,都有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,则称函数 f ( x) 为理想函数. (1) 若函数 f ( x ) 为理想函数,求 f (0) 的值; x (2)判断函数 g ( x) ? 2 ? 1( x ? [0,1] )是否为理想函数,并予以证明; x 【解题思路】证明函数 g ( x) ? 2 ? 1( x ? [0,1] )满足三个条件 [解析](1)取 x1 ? x 2 ? 0 可得 f (0) ? f (0) ? f (0) ? f (0) ? 0 . 又由条件① f (0) ? 0 ,故 f (0) ? 0 . x (2)显然 g ( x) ? 2 ?1 在[0,1]满足条件① g ( x) ? 0 ; 也满足条件② g (1) ? 1 .若 x1 ? 0 , x 2 ? 0 , x1 ? x 2 ? 1 ,则 g ( x1 ? x2 ) ? [ g ( x1 ) ? g ( x2 )] ? 2 x1 ? x2 ? 1 ? [(2 x1 ? 1) ? (2 x2 ? 1)] ? 2 x1 ? x2 ? 2 x1 ? 2 x2 ? 1 ? (2 x2 ?1)(2 x1 ?1) ? 0 ,即满足条件③, 故 g ( x) 理想函数.
【名师指引】紧扣定义,逐个验证 【新题导练】 1.(2008 年佛山)证明:若 a, b ? 0 ,则 lg

a ? b lg a ? lg b ? 2 2

a?b ? ab , 2 a?b ? lg ab , 两边取对数,得 lg 2 lg ab lg a ? lg b ? 又 lg ab ?? 2 2
[解析]当 a, b ? 0 时,

1

? 当 a, b ? 0 时 lg

a ? b lg a ? lg b ? 2 2 2.在锐角三角形 ABC 中,求证: sin A ? sin B ? sin C ? cos A ? cos B ? cos C
[解析]? ?ABC 为锐角三角形,? A ? B ?

?

? ? ? y ? sin x 在 (0, ) 上是增函数,? sin A ? sin( ? B ) ? cos B 2 2 同理可得 sin B ? cos C , sin C ? cos A ? sin A ? sin B ? sin C ? cos A ? cos B ? cos C 3. .已知数列 {an } 中各项为:12、1122、111222、??、 11??????1 22 ??????2
个 个
n n

2

?A?

?

2

?B,

??,证明这个数列中的每一项都是两

个相邻整数的积.

?

1 n 2 (10 ? 1) ?10n ? ? (10n ? 1) 9 9 1 ? (10n ? 1) ? (10n ? 2) 9 n 10 ? 1 记:A = , 则 A= 33 ??????3 为整数 3 n
[解析] an ?

10n ? 1 10n ? 1 ?( )?( ? 1) 3 3

an = A (A+1) ,

得证



考点 2 分析法 题型:用分析法证明数学命题 [例 2 ] 已知 a ? b ? 0 ,求证 a ? b ? a ? b [解析]要证 a ? b ? a ? b ,只需证 ( a ? b )2 ? ( a ? b )2

ab ,即证 b ? a 显然 b ? a 成立,因此 a ? b ? a ? b 成立
【名师指引】注意分析法的“格式”是“要证---只需证---” ,而不是“因为---所以---” 【新题导练】 4. 若 a ? b ? c ? d ? 0 且 a ? d ? b ? c ,求证: d ? a ? b ? c [解析]要证 d ? a ? b ? c ,只需证 ( d ? a )2 ? ( b ? c )2 即 a ? d ? 2 ad ? b ? c ? 2 bc ,因 a ? d ? b ? c ,只需证 ad ? bc 即 ad ? bc , 设 a ? d ? b ? c ? t ,则 ad ? bc ? (t ? d )d ? (t ? c)c ? (c ? d )(c ? d ? t ) ? 0

即 a ? b ? 2 ab ? a ? b ,只需证 b ?

? ad ? bc 成立,从而 d ? a ? b ? c 成立
5. 已知 a, b ? R, a ? b ? 1 ,求证: (a ? 2) ? (b ? 2) ?
2 2

25 2

25 25 1 ? a 2 ? b 2 ? 4(a ? b) ? 8 ? ? a 2 ? b2 ? 2 2 2 1 1 ? a 2 ? (1 ? a) 2 ? ? (a ? ) 2 ? 0 , 2 2 1 25 ? ( a ? ) 2 ? 0 显然成立,故 (a ? 2) 2 ? (b ? 2) 2 ? 成立 2 2
[解析] (a ? 2) ? (b ? 2) ?
2 2

考点 2 反证法 题型:用反证法证明数学命题或判断命题的真假 [例 3 ] 已知 f ( x) ? a ?
x

x?2 (a ? 1) ,证明方程 f ( x) ? 0 没有负数根 x ?1
x0

【解题思路】 “正难则反” ,选择反证法,因涉及方程的根,可从范围方面寻找矛盾 [解析]假设 x0 是 f ( x) ? 0 的负数根,则 x0 ? 0 且 x0 ? ?1 且 a

??

x0 ? 2 x0 ? 1

2

? 0 ? a x0 ? 1 ? 0 ? ?

1 x0 ? 2 ? 1 ,解得 ? x0 ? 2 ,这与 x0 ? 0 矛盾, 2 x0 ? 1

故方程 f ( x) ? 0 没有负数根 【名师指引】否定性命题从正面突破往往比较困难,故用反证法比较多 【新题导练】 6. (08 江西 5 校联考)某个命题与正整数 n 有关,若 n ? k (k ? N * ) 时该命题成立,那么可推得 n ? k ? 1 时该命题也 成立,现在已知当 n ? 5 时该命题不成立,那么可推得 A.当 n ? 6 时,该命题不成立 B.当 n ? 6 时,该命题成立 C.当 n ? 4 时,该命题不成立 D.当 n ? 4 时,该命题成立 [解析]用反证法,可证当 n ? 4 时,该命题不成立 7.设 a、b、c 都是正数,则 a ? A.都大于 2 B.都小于 2

1 1 1 、 b ? 、 c ? 三个数 b a c
D. 至少有一个不小于 2

C. 至少有一个大于 2

1 1 1 [解析] ? a, b, c, ? 0 ? a ? ? a ? ? c ? ? 6 ,举反例可排除 A、B、C,故选 D b b a 1 1 1 8.已知 a、b、c 成等差数列且公差 d ? 0 ,求证: 、 、 不可能成等差数列 a b c [解析]? a、b、c 成等差数列,? 2b ? a ? c 1 1 1 2 1 1 1 2 2 ? 、 假设 、 、 成等差数列, 则 ? ? ? (a ? c) ? 4ac ? ( a ? c) ? 0 , ?a ? c 从而 d ? 0 与 d ? 0 矛盾, a b c b a c a 1 1 、 不可能成等差数列 b c
9. (广东省深圳市宝安中学、翠园中学 2009 届高三第一学期期中联合考试) 下列表中的对数值有且仅有一个是错误的: x 3 5 8 9 15

lg x

2a ? b

a ? c 3 ? 3a ? 3c
=

4a ? 2b 3a ? b ? c ? 1

请将错误的一个改正为 lg

[解析]? lg 9 ? 2 lg 3 ,所以 3 和 9 的对数值正确,若 lg15 ? 3a ? b ? c ? 1 正确,则 lg 5 ? a ? c 从而 lg 8 ? 3(1 ? lg 5) ,即 lg 8 ? 3 ? 3a ? 3c ,矛盾。 故 15 的对数值错误,应改正为 lg15 ? 3a ? b ? c ★抢分频道★ 基础巩固训练 1.(2008 年华师附中)用反证法证明命题: “三角形内角和至少有一个不大于 60 ”时,应假设( ) A. 三个内角都不大于 60
0 0 0

B. 三个内角都大于 60

0 0

C. 三个内角至多有一个大于 60 [解析] B

D. 三个内角至多有两个大于 60

2.已知 p3 ? q3 ? 2 ,关于 p ? q 的取值范围的说法正确的是( ) A. 不大于 2 2 B.不大于 2 C.不小于 2 D.不小于 2 2 [解析] B 3.若三角形能剖分为两个与自己相似的三角形,那么这个三角形一定是( ) A.锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定 [解析] B 4.要证明不等式 6 ? 7 ? 2 2 ? 5 成立,只需证明: [解析] ( 6 ? 7 )2 ? (2 2 ? 5 )2

2 与 2 2 的大小关系是 a ?2 2 2 ? 2 2 (注意:不能取等号)[用平均值不等式] [解析] a ? 2 ? 2 a ?2 6. (07 年惠州第一问)已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 5 , a2 ? 5 , an?1 ? an ? 6an?1 (n ? 2) .
5.已知 a ? 2 ?
2 2

3

求证: ?an?1 ? 2an ? 是等比数列; [解析]由 an+1=an+6an-1,an+1+2an=3(an+2an-1) (n≥2) ∵ a1=5,a2=5 ∴ a2+2a1=15 故数列{an+1+2an}是以 15 为首项,3 为公比的等比数列 综合提高训练 7. (金山中学 2009 届高三期中考)已知表中的对数值有且只有两个是错误的: x lgx 1.5 3a-b+c 3 2a-b 5 a+c 6 1+a-b-c 8 3(1-a-c) 9 2(2a-b) 12 1-a+2b

请你指出这两个错误 . (答案写成如 lg20≠a+b-c 的形式) [ 解 析 ] 若 lg 3 ? 2a ? b 错 误 , 则 lg 9 ? 2(2a ? b) 也 错 误 , 反 之 亦 然 , 此 时 其 他 对 数 值 都 正 确 , 但

lg1.5 ? lg 6 ? 1 ? 4a ? 2b ? lg 9 , ? lg 3 ? 2a ? b 、 lg 9 ? 2(2a ? b) 且 lg1.5 ? 3a ? b ? c , 若 lg 5 ? a ? c 错误,则 lg 6 ? 1 ? lg 3 ? lg 5 ? 1 ? a ? b ? c 也错误, ? lg 5 ? a ? c 正确 ? lg 6 ? 1 ? a ? b ? c 正确, ? lg 8 ? 3(lg 6 ? lg 3) ? 3(1 ? a ? c) 若 lg 6 ? 1 ? a ? b ? c 错误, 也能导出 lg 5 ? a ? c 错误, 正确,? lg12 ? 1 ? a ? 2b , 综上 lg1.5 ? 3a ? b ? c , lg12 ? 1 ? a ? 2b
8. 设函数 f ( x) ?

a ? 2x ? a ? 2 为奇函数. 2x ?1

(Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)用定义法判断 f ( x) 在其定义域上为增函数 [解析](Ⅰ)依题意,函数 f ( x) 的定义域为 R ∵ f ( x) 是奇函数 ∴ f ( ? x) ? ? f ( x)

a ? 2?x ? a ? 2 a ? 2x ? a ? 2 ?? ∴ 2?x ? 1 2x ?1 x ∴ 2(a ? 1)(2 ? 1) ? 0 ?a ?1 2x ?1 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x) ? x 2 ?1 设 x1 ? x2 且 x1 , x2 ? R ,则 2 x2 ? 1 2 x1 ? 1 ? 2 ? ? 2 ? 2(2 x2 ? 2 x1 ) ? ? ?1 ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? x2 ?0 ? ? ?1 ? ?? 2 ? 1 2 x1 ? 1 ? 2 x2 ? 1 ? ? 2 x1 ? 1 ? (2 x2 ? 1)(2 x1 ? 1) ∴ f ( x2 ) ? f ( x1 ) ∴ f ( x) 在 R 上是增函数 9. 已知 f ( x) ? ln x 证明: f (1 ? x) ? x ( x ? ?1) [解析]即证: ln(x ? 1) ? x ? 0 1 ?x ?1 ? 设 k ( x) ? ln( x ? 1) ? x, 则k ?( x) ? . x ?1 x ?1
当 x∈(-1,0)时,k′(x)>0,∴k(x)为单调递增函数; 当 x∈(0,∞)时,k′(x)<0,∴k(x)为单调递减函数; ∴x=0 为 k(x)的极大值点, ∴k(x)≤k(0)=0. 即 ln(x ? 1) ? x ? 0 ? f (1 ? x) ? x ( x ? ?1)

1 1? t ) ( x ? 0) 的最小值恰好是方程 x3 ? ax2 ? bx ? c ? 0 的 x2 ? 2 x ? 2 ? t ,y ? ( x ? 2 x 2 三个根,其中 0 ? t ? 1 .求证: a ? 2b ? 3 ; [解析]三个函数的最小值依次为 1 , 1 ? t , 1 ? t ,
10. 已知函数 y ?| x | ?1 ,y ?
4

由 f (1) ? 0 ,得 c ? ?a ? b ? 1 ∴

f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c ? x3 ? ax2 ? bx ? (a ? b ? 1) ? ( x ?1)[ x2 ? (a ? 1) x ? (a ? b ? 1)] ,
2

故方程 x2 ? (a ? 1) x ? (a ? b ? 1) ? 0 的两根是 1 ? t , 1 ? t . 故 1 ? t ? 1 ? t ? ?(a ? 1) , 1 ? t ? 1 ? t ? a ? b ? 1. ( 1 ? t ? 1 ? t )2 ? (a ? 1)2 , 即2? 2 ( a ?b ? 1 ) ( ? 1 ) ? a ∴ a ? 2b ? 3 . 参考例题:
2

1. 设 a, b 为非零向量,且 a, b 不平行,求证 a ? b , a ? b 不平行 [解析]假设 a ? b ? ? (a ? b) ,则 (1 ? ? )a ? (1 ? ? )b ? 0 ,

?1 ? ? ? 0 ,因方程组无解,故假设不成立,即原命题成立 ? a, b 不平行,? ? ?1 ? ? ? 0 2. 已知 ? 为锐角,且 tan? ? 2 ? 1 , ? 1 2 函数 f ( x) ? x tan 2? ? x ? sin( 2? ? ) ,数列{an}的首项 a1 ? , a n ?1 ? f ( a n ) . 4 2 ⑴ 求函数 f ( x) 的表达式; ⑵ 求证: a n ?1 ? a n ;
⑶ 求证: 1 ?

1 1 1 ? ??? ? 2 (n ? 2 , n ? N * ) 1 ? a1 1 ? a2 1 ? an

[解析] ⑴ tan 2? ?

2 tan? 2( 2 ? 1) ? ? 1 又∵ ? 为锐角 2 1 ? tan ? 1 ? ( 2 ? 1) 2 ? ? ∴ 2? ? ∴ sin( 2? ? ) ? 1 f ( x) ? x 2 ? x 4 4 1 2 ⑵ an?1 ? an ∵ a1 ? ∴ a2 , a3 ,?an 都大于 0 ? an 2 2 ∴ an ∴ a n ?1 ? a n ?0 1 1 1 1 1 ⑶ ? 2 ? ? ? a n?1 a n ? a n a n (1 ? a n ) a n 1 ? a n 1 1 1 ∴ ? ? 1 ? an a n a n?1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴ ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? 2? 1 ? a1 1 ? a2 1 ? an a1 a2 a2 a3 an an?1 a1 a n?1 a n?1 1 2 1 3 3 2 3 ∵ a 2 ? ( ) ? ? , a 3 ? ( ) ? ? 1 , 又∵ n ? 2 an?1 ? an 2 2 4 4 4 1 ∴ an?1 ? a3 ? 1 ∴1 ? 2 ? ?2 a n ?1 1 1 1 ? ??? ?2 ∴1 ? 1 ? a1 1 ? a 2 1 ? an

5


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