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2.5等比数列的前n项和(1)教师版


2.5 等比数列的前 n 项和(一) 教学目标分析: 知识目标:掌握等比数列的前 n 项和公式及公式证明思路;会用等比数列的前 n 项和公式解决 有关等比数列的一些简单问题. 过程与方法:经历等比数列前 n 项和的推导与灵活应用,总结数列的求和方法,并能在具体的 问题情境中发现等比关系建立数学模型、解决求和问题. 情感目标:在应用数列知识解决问题的过程中,要勇于探索,积极进取,激

发学习数学的热情 和刻苦求是的精神. 重难点分析: 重点:等比数列的前项 n 和公式推导. 难点:灵活应用公式解决有关问题. 互动探究: 一、课堂探究: 1、情境引入: “国王对国际象棋的发明者的奖励”的故事. S64 ? 1 ? 2 ? 22 ? 23 ? ?? 263 ? 探究:你能推导出首项为 a1 ,公比为 q 的等比数列 {an } 的前 n 项和 Sn 的公式吗? 公式的推导方法一:一般地,设等比数列 a1 , a2 ? a3 ,?an ?它的前 n 项和是 ?S n ? a1 ? a 2 ? a3 ? ? a n S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ?an ;由 ? n ?1 ?a n ? a1 q 2 n?2 n ?1 ? ?S n ? a1 ? a1 q ? a1 q ? ? a1 q ? a1 q 得? ;? (1 ? q)S n ? a1 ? a1q n ; 2 3 n ?1 n ? ?qSn ? a1 q ? a1 q ? a1 q ? ? a1 q ? a1 q ∴当 q ? 1 时, S n ? a ? an q a1 (1 ? q n ) 或 Sn ? 1 1? q 1? q 当 q ? 1 时, S n ? na1 公式的推导方法二:有等比数列的定义, a a 2 a3 ? ??? n ? q a1 a2 an?1 根据等比的性质,有 a 2 ? a3 ? ? ? a n S ? a1 ? n ?q a1 ? a2 ? ? ? an?1 S n ? an 即 S n ? a1 ? q ? (1 ? q)S n ? a1 ? an q S n ? an 公式的推导方法三: S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ?an = a1 ? q(a1 ? a2 ? a3 ? ?an?1 ) = a1 ? qSn?1 = a1 ? q(S n ? an ) 1 ? (1 ? q)S n ? a1 ? an q 2、等比数列的前 n 项和公式: a ? an q a1 (1 ? q n ) 当 q ? 1 时, S n ? 或 Sn ? 1 1? q 1? q 当 q ? 1 时, S n ? na1 解决问题:有了等比数列的前 n 项和公式,就可以解决刚才的问题。 由 a1 ? 1, q ? 2, n ? 64 可得 Sn ? a1 (1 ? q n ) 1? (1 ? 264 ) 64 = = 2 ?1. 1? 2 1? q 264 ? 1 这个数很大,超过了 1.84 ?1019 .国王不能实现他的诺言. 例 1、求下列等比数列前 8 项的和. (1) 1 1 1 1 ,q ? 0 , , ,? ; (2) a1 ? 27, a9 ? 243 2 4 8 1 1 1 1 , q ? ? ? , n ? 8, 得 S8 ? 2 4 2 2 解:由 a1 ? 1 ? ?1? ?1 ? ? ? 2? ? ?2? 1? 1 2 8 ? ? ? ? ? 255. 256 练习: (1)在递增的等比数列

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