当前位置:首页 >> 学科竞赛 >> 高等代数课件(北大版)第四章 矩阵§4-2

高等代数课件(北大版)第四章 矩阵§4-2


一、加法 二、乘法 三、数量乘法 四、转置

2013-8-8

数学与计算科学学院

一、加法
1.定义 设 A ? (aij )s?n , B ? (bij )s?n , 则矩阵
C ? (cij )s?n ? (aij ? bij )s?n
称为矩阵A与B的和,记作 C ? A ?

B .即

? a11 ? b11 a12 ? b12 ? a21 ? b21 a22 ? b22 A? B ? ? ? ? ?a ?b a ?b s2 ? s1 s1 s 2
§4.2 矩阵的运算
2013-8-8

? a1n ? b1n ? ? a2 n ? b2 n ? ? ? ? ? a sn ? bsn ? ?

数学与计算科学学院

说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时,才能进行 加法运算.

例如

? 12 3 ? 5 ? ? 1 8 9 ? ? ? ? ? ? 1 ? 9 0 ? ? ? 6 5 4? ?3 6 8 ? ? 3 2 1? ? ? ? ?

? 12 ? 1 3 ? 8 ? 5 ? 9 ? ? 13 11 4 ? ? ? ? ? ? ? 1 ? 6 ? 9 ? 5 0 ? 4 ? ? ? 7 ? 4 4 ?. ? 3? 3 6? 2 ? ? 6 8 9? ? 8?1 ? ? ?
§4.2 矩阵的运算
2013-8-8 数学与计算科学学院

2.性质
(1) A ? B ? B ? A
(2)

交换律
结合律

A ? ( B ? C ) ? ( A ? B) ? C

(3) A ? 0 ? A (4) A ? ( ? A) ? 0

3.减法 定义 A ? B ? A ? ( ? B ).

§4.2 矩阵的运算
2013-8-8

数学与计算科学学院

二、乘法
1.定义 设 A ? (aij )s?n , B ? (bij )n?m , 则 s ? n 矩阵
C ? (cij ) s?m , 其中
cij ? ai 1b1 j ? ? ? ainbnj ? ? aik bkj
k ?1 n

i ? 1,2,? , s,

j ? 1,2,? , m

称为 A 与 B 的积,记为 C ? AB .

§4.2 矩阵的运算
2013-8-8

数学与计算科学学院

注意 ① 乘积 AB 有意义要求 A 的列数=B 的行数. ② 乘积 AB 中第 i 行第 j 列的元素由 A 的第 i 行 乘 B 的第 j 列相应元素相加得到. 如

? 1 2 3? ? ? ? 1 6 8? ? 不存在. ? 3 2 1?? ? 5 8 9? ? 6 0 1? ? ?

§4.2 矩阵的运算
2013-8-8

数学与计算科学学院

例1 线性方程组

? a11 x1 ? ? ? a1n xn ? b1 ? ?????????? ? as1 x1 ? ? ? asn xn ? bs ?

(1)

? x1 ? ? b1 ? ? x2 ? ? b2 ? 令 A ? (aij ) s?n , X = ? ? , B= ? ? ? ? ?x ? ?b ? ? n? ? s?
则(1)可看成矩阵方程 AX ? B.

§4.2 矩阵的运算
2013-8-8

数学与计算科学学院

? 4 1 0? A ? 1 0 3 ?1 , B ? ? ?1 1 3 ? 例2. 2 1 0 2 ? 2 0 1? ? 1 3 4? ? ? AB ? 9 ?2 ?1 , 而 BA无意义. 9 9 11

?

?

?

?

例3. A ? ?2 4 , B ? 2 4 1 ?2 ?3 ?6
AB ? ?16 ?32 , 8 16
§4.2 矩阵的运算
2013-8-8

?

?

?

?
AB ? BA.

?

?

BA ? 0 0 , 0 0
数学与计算科学学院

? ?

? 1? 例4. A ? ? 2 ? , B ? ? 1,2,3 ? ? 3? ? ? ? 1? ? 1 2 3? AB ? ? 2 ? ? 1,2,3 ? ? ? 2 4 6 ? , ? 3? ? 3 6 9? ? ? ? ? ? 1? BA ? ? 1,2,3 ? ? 2 ? ? (1 ? 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 3) ? (14) ? 14 ? 3? ? ?

§4.2 矩阵的运算
2013-8-8

数学与计算科学学院

注意

① 一般地,AB ? BA.
若 AB ? BA ,称A与B可交换. ② AB ? 0 未必有 A ? 0 或B ? 0 . 即 A ? 0 且 B ? 0 时,有可能 AB ? 0 . ③ AX ? AY 未必 X=Y .

§4.2 矩阵的运算
2013-8-8

数学与计算科学学院

2.矩阵乘法的运算规律
(1) (2) ( AB )C ? A( BC ) A( B ? C ) ? AB ? AC ( B ? C ) A ? BA ? CA

(结合律) (分配律)

(3)
(4)

As?n En ? Es As?n ? As?n
A0 ? 0, 0 A ? 0

? a1 ?? b1 ? ? a1b1 ? (5) ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? an ?? bn ? ? anbn ? ? ?? ? ? ?
§4.2 矩阵的运算
2013-8-8 数学与计算科学学院

证:1)设 A ? (aij )sn , B ? (b jk )nm , C ? (ckl )mr 令 其中

V ? AB ? (vik )sm , W ? BC ? ( w jl )nr ,
vik ? ? aij b jk , w jl ? ? b jk ckl .
j ?1 n m k ?1 m

VC 的第 i 行第 l 列元素为

? ?? aij b jk ckl
k ?1 j ?1

m

n

? vik ckl ? ? (? aij b jk )ckl k ?1 j ?1 k ?1

m

n

AW 的第 i 行第 l 列元素为
n m m n

? aij w jl ? ? aij (? b jk ckl ) j ?1 j ?1 k ?1
结合律得证.

n

n

m

? ?? aij b jk ckl ? ?? aij b jk ckl .
j ?1 k ?1 k ?1 j ?1

§4.2 矩阵的运算
2013-8-8

数学与计算科学学院

3.矩阵的方幂
定义 设 A 为n 级方阵. 定义

A1 ? A,

Ak ?1 ? Ak A,

即, Ak ? ?? A? A , A? ? ??
k 个

A k 为 A 的 k 次幂. 称

§4.2 矩阵的运算
2013-8-8

数学与计算科学学院

性质

(1) Ak Al ? Ak ? l , k , l ? Z ? (2) ( Ak )l ? Akl , k , l ? Z ? ( AB)k ? Ak Bk ; (3) 一般地 , ( AB)k ? Ak Bk ? AB ? BA.
k

k ? Z?

0 ? ? a1k 0? ? a1 ?, k ? Z? . ? ?? (4) ? ? ? k ?0 an ? ? 0 an ? ? ? ? ?
§4.2 矩阵的运算
2013-8-8 数学与计算科学学院

?? 1 0? 例5.设 A ? ? 0 ? 1 ? , 求 Ak . ?0 0 ?? ? ?
解:

? ? 1 0 ?? ? 1 0 ? ? ? 2 2? 1 ? ? ?? ? ? 2 A ? ? 0 ? 1 ?? 0 ? 1 ? ? 0 ? 2 2? ? ? 0 0 ? ?? 0 0 ? ? ? 0 0 ? 2 ? ? ? ?? ? ?
2?

? ?2 ? 3 2 A ? A A?? 0 ?0 ?
§4.2 矩阵的运算
2013-8-8

?2
0

1 ?? ? ?? 2? ? ? 0 ?2 ?? 0 ??

1

?
0

0 ? ? ?3 ? ? 1 ?? ? 0 ? ? ? ?0 ?

3? 2

?3
0

3? ? ? 2 3? ? ?3 ? ?

数学与计算科学学院

由此归纳出
? k ?? ? k A ?? 0 ? 0 ? ? k?
k ?1

?k
0

k ? k ? 1? k ? 2 ? ? ? 2 ? k ?1 k? ? ? ?k ? ?

?k ? 2 ?

用数学归纳法证明之. 当 k ? 2 时,显然成立. 假设 k ? n 时成立,则 k ? n ? 1 时,
§4.2 矩阵的运算
2013-8-8 数学与计算科学学院

n?n ? 1? n? 2 ? ? n n ?1 ? ? ?? 1 0? ? ? n? 2 ? ? ?? n ?1 n n n ?1 A ? A A?? 0 ? n? ? ? 0 ? 1 ?, ?0 ??0 0 ?? 0 ?n ? ? ?? ? ? ?n ? 1?n n?1 ? ? n ?1 ? n n ? 1?? ? ? ?? 2 ? ? n ?1 n ?n ? 1?? ? , ?? 0 ? ? 0 ? 0 ?n ? 1 ? ? ? ? k ?k ? 1? k ? 2 ? ? k k ?1 ? ? ? ? k? 2 ? ? k k k ?1 故对于任意 k 都有 A ? ? 0 ? k? ?. ?0 ? 0 ?k ? ? ? ?
§4.2 矩阵的运算
2013-8-8 数学与计算科学学院

三、数量乘法
1.定义 设 A ? ? aij ? s?n , k ? P , 则矩阵

? ka ?

ij s?n

称为矩阵 A 与数 k 的数量乘积.记作:kA.



? ka11 ? ka21 kA ? ? ? ? ka ? s1

ka12 ka22 ? ka s 2

? ? ? ?

ka1n ? ka2 n ? ?. ? ka sn ? ?

§4.2 矩阵的运算
2013-8-8

数学与计算科学学院

2.性质
(1) (?? ) A ? ? ( ? A) ; (2) (3) (? ? ? ) A ? ? A ? ? A ;

? ( A ? B) ? ? A ? ? B ;

(4) 1 ? A ? A ; (5) k ( AB ) ? ( kA) B ? A( kB ) ;

注: 矩阵的加法与数量乘法合起来,统称为矩阵的

线性运算.
§4.2 矩阵的运算
2013-8-8 数学与计算科学学院

kA ? k n A ; (6) 若 A 为 n 级方阵,
(7) kA ? ( kE ) A ? A( kE ) ;

(数量矩阵与任意矩阵可交换)
(8) kE ? lE ? ( k ? l ) E ; (9) ( kE )( lE ) ? ( kl ) E .

(数量矩阵加法与乘法可归结为数的加法与乘法)

§4.2 矩阵的运算
2013-8-8

数学与计算科学学院

四、转置
1.定义
设 A ? aij

? ?

s?n

, A 的转置矩阵是指矩阵
? ? ? ? a s1 ? as 2 ? ?? a sn ? ?

? a11 ? a12 ?? ?a ? 1n

a21 a22 ? a2 n

A? 或 AT . 记作
§4.2 矩阵的运算
2013-8-8 数学与计算科学学院

2.性质
(1) ( A?)? ? A ; (2) (3) ( A ? B )? ? A? ? B? ; ( AB )? ? B?A? ; ( A ? B )? ? A? ? B? ;

(4) ( kA)? ? kA? ;

(5)

若 A为方阵,则 A? ? A ;

(6) R( A) ? R( A?) .
§4.2 矩阵的运算
2013-8-8 数学与计算科学学院

(3)证:

? a11 ? a21 设 A?? ? ?a ? s1

a12 a22 ? as 2

? ? ? ?

a1 s ? ? b11 ? b21 a2 s ? ?, B ? ? ? ? ?b a sn ? ? ? n1
n

b12 b22 ? bn 2

? ? ? ?

b1m ? b2 m ? ?, ? bnm ? ?

? a jk bki , k ?1 n 从而( AB )? 中 ( i , j ) 的元素为 ? a jk bki , k ?1
AB 中 ( j , i ) 的元素为

又 B? 的第 i 行元素为 b1i , b2 i ,?, bni ,
? B?A? 中的 ( i , j )元素为
§4.2 矩阵的运算
2013-8-8

A? 的第 j 列元素为 a j 1 , a j 2 ,?, a jn ,
数学与计算科学学院

? bki a jk ? ? a jk bki . k ?1 k ?1

n

n

3.对称矩阵 反对称矩阵 定义 设 n 级方阵 A ? ? aij ? ,
(1) 若 A 满足 A? ? A, 即
? a11 ? a12 ?? ?a ? 1n a12 a22 ? a2 n ? ? ? ? a n? 1 a n? 2 ?? ann ? ?

a ji ? aij , i , j ? 1,2, ? n ,
则称 A 为对称矩阵; (2) 若 A 满足 A? ? ? A, 即

a ji ? ? aij , i , j ? 1,2, ? n ,
则称 A 为反对称矩阵.
§4.2 矩阵的运算
2013-8-8 数学与计算科学学院

a12 ? 0 ? ? a12 0 ? ? ? ? ?a ?a 2n ? 1n

? ? ? ?

a1 n ? a2 n ? ?? 0 ? ?

性质
(1) A, B 对称 ? A ? B, A ? B 对称 ;

A, B 反对称 ? A ? B, A ? B 反对称.
k (2) A 对称, ? P ? kA 对称 ;
A 反对称, ? P ? kA 反对称. k

(3) 奇数级反对称矩阵的行列式等于零.

? ? ? ?

? A? ? ? A ? A ? A? ? ? A ? ( ?1)n A ,

? n 为奇数时, A ? ? A ? A ? 0.
§4.2 矩阵的运算
2013-8-8 数学与计算科学学院

? ? ? ?

想一想

A, B 皆为 n 级对称矩阵,

i) A, B 对称,积 AB对称吗? ii)

A, B 反对称,积 AB 反对称吗?

例7 已知 A, B 皆为 n 级对称矩阵,证明:
AB 对称 ? AB ? BA.

证: 若AB对称,则有 AB ? ( AB )? ? B?A? ? BA . 反过来,若AB=BA,则有 ( AB )? ? B?A? ? BA ? AB. 所以 AB 对称.
§4.2 矩阵的运算
2013-8-8 数学与计算科学学院

A2 ? 0,证明: 例8 设 A 为 n 级实对称矩阵,且
A ? 0.

证: 设 A ? aij

? ?

, ? A? ? A , n?n
a12 a22 ? an 2 ? ? ? ? a1n ?? a11 a2 n ?? a12 ? ?? ? ann ?? a1n ?? a21 a22 ? a2 n ? ? ? ? a s1 ? as 2 ? ?? a sn ? ?

? a11 ? a21 2 ? A ? AA? ? ? ? ?a ? n1
? n 2 ? ? a 1k ? k ?1 ?? ? ? * ? ?
§4.2 矩阵的运算
2013-8-8

? * ? ? ? 0. ? n a 2 nk ? ? ? k ?1 ?
数学与计算科学学院

? ?a
k ?1

n

2 ik

? 0, i ? 1,2,? , n.

又 aik 皆为实数 , i , k ? 1,2,?, n

? aik ? 0, i ? 1,2,?, n, k ? 1,2,?, n
? A ? 0.

§4.2 矩阵的运算
2013-8-8

数学与计算科学学院

练习

X ? ? x1 , x2 ,?, xn ?? 满足 X ?X ? 1, 1 设列矩阵
E 为 n 单位矩阵, H ? E ? 2 XX ?, H 是对称矩阵,且 HH ? ? E . 2 已知 ? ? ? 1, 2,3 ? , 求 An .
? 1 1? ? ? ? 1, , ? , ? 2 3? A ? ? ?? ,

证明:

§4.2 矩阵的运算
2013-8-8

数学与计算科学学院

? ? H ? ? ? E ? 2 XX ? ? ? E ? ? 2 ? XX ? ?? 1 证:
? E ? 2 XX ? ? H ,

? H是对称矩阵.
HH ? ? H
2

? ? E ? 2 XX ? ?

2

? E ? 4 XX ? ? 4 ? XX ? ?? XX ? ? ? E ? 4 XX ? ? 4 X ? X ?X ? X ?
? E ? 4 XX ? ? 4 XX ?

? E.
§4.2 矩阵的运算
2013-8-8 数学与计算科学学院

2 解:

?1 1 1 ? 2 3? ? A ? ? ?? ? ? 2 1 2 ? 3 ?3 3 1 ? 2 ? ?

An ? (? ?? )n ? (? ?? )(? ?? )?(? ?? ) ? ? ?( ?? ?)n?1 ?
? 1? ? ?? ? ? 1, 1 , 1 ? 2 ? ? 3, 2 3 ? 3? ? ?

?

?

? An ? ? ?3n?1 ?

§4.2 矩阵的运算
2013-8-8

?1 1 1 ? 2 3? ? n ?1 n?1 ? 3n?1 ? 2 1 2 ? . ? 3 ? ?? ? 3 A 3 ?3 3 1 ? 2 ? ?
数学与计算科学学院

附: 共轭矩阵
定义 当 A ? ?a ij ? 为复矩阵时,用 a ij 表示 a ij 的共轭 复数, 记 A ? ?a ij ?, A 称为 A 的共轭矩阵. 运算性质

? (设A, B 为复矩阵, 为复数)

(1) A ? B ? A ? B ; (2) (3)
2013-8-8

?A ? ? A;
AB ? A B .
数学与计算科学学院

§4.2 矩阵的运算


更多相关文档:

高等代数 第四章 矩阵练习题参考答案

搜 试试 7 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS ...高等代数 第四章 矩阵练习题参考答案_理学_高等教育...A ? B 2 2 9. ?1?2?3?4 设 , , , 是...

高等代数4章习题

搜 试试 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS ...高等代数第4章矩阵习题课 31页 2财富值 高数习题选...高等代数(北大版第三版)习... 107页 免费 2011高数...

[高等代数(下)课外习题 第四章 矩阵]

搜 试试 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS ...高等代数 第四章 矩阵练习... 12页 2财富值 大学...( 4、 n 阶矩阵 A 可逆,则 A * 也可逆。( ...

《高等代数》试题4 重理工资料库

搜试试 3 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS ...《高等代数》试题4 重理工资料库_院校资料_高等教育...正交矩阵,证明(1)u 的行列等于 1 或-1; (2)u...

高等代数(北大版)第7章习题参考答案

高等代数(北大版)第7章习题参考答案_理学_高等教育...8)是, 因任取二矩阵 X , Y ∈ P n×n , ...4)因为(AB) 2 (a)=(AB)(AB(a))_=AB(z,x...

高等代数期中第四章练习

搜试试 3 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS ...高等代数期中第四章练习_理学_高等教育_教育专区。?...? ? ? X , 2. 设矩阵 A ? ? 3 4 7 ? ...

高等代数第四章

搜 试试 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS ...高数第四章 30页 免费 高等代数第四章2 暂无评价...(4) 它称为二次型(3)的矩阵.因为 a ij = a...

高等代数第三章,第四章

同济大学第五版高数第3章4... 72页 免费 高等代数...北大精品课件高等代数(下) 80页 免费如要投诉违规内容...4矩阵,再通过列初等变换化为行阶梯形或 行最...

高等代数与解析几何1~4章习题答案

搜试试 3 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS ...高等代数与解析几何1~4章习题答案_理学_高等教育_...4 ? 5 矩阵 A 的秩为 2, 则 A 的标准形为_...
更多相关标签:
高等代数第三版第四章 | 高等代数北大第三版 | 高等代数 北大第四版 | 高等代数 北大 | 高等代数 北大 pdf | 高等代数矩阵 | 北大高等代数视频 | 北大高等代数答案 |
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com