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三角函数与向量的交汇


三角函数与向量的交汇题型分析及解题策略
【考点透视】 向量具有代数运算性与几何直观性的“双重身份”,即可以象数一样满足“运算性质”进行代 数形式的运算,又可以利用它的几何意义进行几何形式的变换.而三角函数是以“角”为自变量 的函数,函数值体现为实数,因此平面向量与三角函数在“角”之间存在着密切的联系.同时在 平面向量与三角函数的交汇处设计考题,其形式多样,解法灵活,极富

思维性和挑战性.主要 考点如下: 1.考查三角式化简、求值、证明及求角问题. 2.考查三角函数的性质与图像,特别是 y=Asin(?x+?)的性质和图像及其图像变换. 3.考查平面向量的基本概念,向量的加减运算及几何意义,此类题一般难度不大,主要 用以解决有关长度、夹角、垂直、平行问题等. 4.考查向量的坐标表示,向量的线性运算,并能正确地进行运算. 5.考查平面向量的数量积及运算律(包括坐标形式及非坐标形式),两向量平行与垂直的 充要条件等问题. 6.考查利用正弦定理、余弦定理解三角形问题. 【典例分析】 题型一 三角函数平移与向量平移的综合 三角函数与平面向量中都涉及到平移问题,虽然平移在两个知识系统中讲法不尽相同, 但它们实质是一样的,它们都统一于同一坐标系的变化前后的两个图象中.解答平移问题主要 注意两个方面的确定:(1)平移的方向;(2)平移的单位.这两个方面就是体现为在平移过程中对 应的向量坐标. ? 【例 1】 把函数 y=sin2x 的图象按向量→ a =(-6,-3)平移后,得到函数 y=Asin(ωx+ ?)+B ? (A>0,ω>0,|?|=2)的图象,则?和 B 的值依次为 ? A.12,-3 ? B.3,3 ? C.3,-3 ? D.-12,3 ( )

【点评】 此类题型将三角函数平移与向量平移有机地结合在一起,主要考查分析问题、 解决问题的综合应用能力,同时考查方程的思想及转化的思想.本题解答的关键,也是易出错 的地方是确定平移的方向及平移的大小. 题型二 三角函数与平面向量平行(共线)的综合 此题型的解答一般是从向量平行(共线)条件入手,将向量问题转化为三角问题,然后再利 用三角函数的相关知识再对三角式进行化简,或结合三角函数的图象与民性质进行求解.此类 试题综合性相对较强,有利于考查学生的基础掌握情况,因此在高考中常有考查. 【例 2】 已知 A、B、C 为三个锐角,且 A+B+C=π.若向量→ p =(2-2sinA,cosA+sinA) 与向量→ q =(cosA-sinA,1+sinA)是共线向量. (Ⅰ)求角 A; C-3B (Ⅱ)求函数 y=2sin2B+cos 2 的最大值.

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【点评】 本题主要考查向量共线(平行)的充要条件、三角恒等变换公式及三角函数的有 界性.本题解答有两个关键: (1)利用向量共线的充要条件将向量问题转化为三角函数问题; (2)根据条件确定 B 角的范围.一般地,由于在三角函数中角是自变量,因此解决三角函数问 题确定角的范围就显得至关重要了. 题型三 三角函数与平面向量垂直的综合 此题型在高考中是一个热点问题,解答时与题型二的解法差不多,也是首先利用向量垂 直的充要条件将向量问题转化为三角问题,再利用三角函数的相关知识进行求解.此类题型解 答主要体现函数与方程的思想、转化的思想等. 【例 3】 3? 已知向量→ a =(3sinα,cosα),→ b =(2sinα,5sinα-4cosα),α∈( 2 ,2π),且→ a ⊥→ b. α ? (Ⅱ)求 cos(2+3)的值.

(Ⅰ)求 tanα 的值;

题型四 三角函数与平面向量的模的综合 2 【例 4】已知向量→ a =(cosα,sinα),→ b =(cosβ,sinβ),|→ a -→ b |=5 5. 5 ? ? (Ⅱ)若-2<β<0<α<2,且 sinβ=-13,求 sinα 的值. 2 0 0 9 0 3 1 8 题型五 三角函数与平面向量数量积的综合 此类题型主要表现为两种综合方式:(1)三角函数与向量的积直接联系;(2)利用三角函数 与向量的夹角交汇,达到与数量积的综合.解答时也主要是利用向量首先进行转化,再利用三 角函数知识求解. (Ⅰ)求 cos(α-β)的值; ? → 【例 5】 设函数 f(x)=→ a· b .其中向量→ a =(m,cosx),→ b =(1+sinx,1),x∈R,且 f(2)= 2.(Ⅰ)求实数 m 的值; (Ⅱ)求函数 f(x)的最小值.

点评:平面向量与三角函数交汇点较多,向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可 以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题,其解法都差不多,首先 都是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系”, 再利用三角函数的相关知识进行 求解.
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六、解斜三角形与向量的综合 在三角形的正弦定理与余弦定理在教材中是利用向量知识来推导的,说明正弦定理、余 弦定理与向量有着密切的联系.解斜三角形与向量的综合主要体现为以三角形的角对应的三角 函数值为向量的坐标,要求根据向量的关系解答相关的问题. A A 【例 6】 已知角 A、 B、 C 为△ ABC 的三个内角, 其对边分别为 a、 b、 c, 若→ m =(-cos2 , sin 2), A A 1 → → n =(cos 2 ,sin2 ),a=2 3,且→ m· n =2. (Ⅰ)若△ ABC 的面积 S= 3,求 b+c 的值; (Ⅱ)求 b+c 的取值范围。

【专题训练】 一、选择题 π π π 1.将函数 y=2sin2x-2的图象按向量(2,2)平移后得到图象对应的解析式是 A.2cos2x B.-2cos2x C.2sin2x D.-2sin2x ( D.任意三角形 ) ) ( )

→ → → → →→ 2.已知△ ABC 中,AB= a ,AC= b ,若 a ·b <0,则△ ABC 是 A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形

3? 3.已知→ a =(sinθ, 1+cosθ),→ b =(1, 1-cosθ),其中 θ∈(π, ),则一定有 ( 2 → → → → → → A. a ∥ b B. a ⊥ b C. a 与 b 夹角为 45° D.|→ a |=|→ b|

π 4.已知向量→ a =(6,-4),→ b =(0,2),→ c =→ a +?→ b ,若 C 点在函数 y=sin12x 的图象上,实数? = 5 A.2 3 B.2 5 C.-2 3 D.-2 ( )

5? 5.由向量把函数 y=sin(x+ 6 )的图象按向量→ a =(m,0)(m>0)平移所得的图象关于 y 轴对称, 则 m 的最小值为 ? A. 6 ? B. 3 2? C. 3 5? D. 6 ( )

→ =OA → +?(AB → 6.O 是平面上一定点,A、B、C 是该平面上不共线的 3 个点,一动点 P 满足:OP → ,?∈(0,+∞),则直线 AP 一定通过△ ABC 的 +AC) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 ( )

7.对于非零向量→ a 我们可以用它与直角坐标轴的夹角?,?(0≤?≤?,0≤?≤?)来表示它的方向,称
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2 0 0

?,?为非零向量→ a 的方向角,称 cos?,cos?为向量→ a 的方向余弦,则 cos2?+cos2?=( A.1 二、填空题 3 B. 2 1 C.2 D.0



→ =(2cos?,2sin?),OB → =(5cos?,5sin?),若OA· → OB → =-5,则 8.已知在△ OAB(O 为原点)中,OA
S△ AOB 的值为_____________. ? 9.将函数 f(x)=tan(2x+3)+1 按向量 a 平移得到奇函数 g(x),要使|a|最小,则 a= ____________. 3π → → → →→ → 10.已知向量 m =(1,1)向量 n 与向量 m 夹角为 4 ,且 m ·n =-1.则向量 n =__________. 三、解答题 → AC → =BA· → BC → =k(k∈R). 11.在△ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若AB· (Ⅰ)判断△ ABC 的形状; (Ⅱ)若 c= 2,求 k 的值.

12.在△ ABC 中,A、B、C 所对边的长分别为 a、b、c,已知向量→ m =(1,2sinA),→ n =(sinA, ? 1+cosA),满足→ m ∥→ n ,b+c= 3a.(Ⅰ)求 A 的大小;(Ⅱ)求 sin(B+6)的值.

13.已知→ a =(cosx+sinx,sinx),→ b =(cosx-sinx,2cosx), (Ⅰ)求证:向量→ a 与向量→ b 不可能平行; ?? → (Ⅱ)若 f(x)=→ a· b ,且 x∈[-4,4]时,求函数 f(x)的最大值及最小值.

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三角函数与向量的交汇题型分析及解题策略
【考点透视】 向量具有代数运算性与几何直观性的“双重身份”,即可以象数一样满足“运算性质”进行代 数形式的运算,又可以利用它的几何意义进行几何形式的变换.而三角函数是以“角”为自变量 的函数,函数值体现为实数,因此平面向量与三角函数在“角”之间存在着密切的联系.同时在 平面向量与三角函数的交汇处设计考题,其形式多样,解法灵活,极富思维性和挑战性.主要 考点如下: 1.考查三角式化简、求值、证明及求角问题. 2.考查三角函数的性质与图像,特别是 y=Asin(?x+?)的性质和图像及其图像变换. 3.考查平面向量的基本概念,向量的加减运算及几何意义,此类题一般难度不大,主要 用以解决有关长度、夹角、垂直、平行问题等. 4.考查向量的坐标表示,向量的线性运算,并能正确地进行运算. 5.考查平面向量的数量积及运算律(包括坐标形式及非坐标形式),两向量平行与垂直的 充要条件等问题. 6.考查利用正弦定理、余弦定理解三角形问题. 【典例分析】 题型一 三角函数平移与向量平移的综合 三角函数与平面向量中都涉及到平移问题,虽然平移在两个知识系统中讲法不尽相同, 但它们实质是一样的,它们都统一于同一坐标系的变化前后的两个图象中.解答平移问题主要 注意两个方面的确定:(1)平移的方向;(2)平移的单位.这两个方面就是体现为在平移过程中对 应的向量坐标. ? 【例 1】 把函数 y=sin2x 的图象按向量→ a =(-6,-3)平移后,得到函数 y=Asin(ωx+ ?)+B ? (A>0,ω>0,|?|=2)的图象,则?和 B 的值依次为 ? A.12,-3 ? B.3,3 ? C.3,-3 ? ? D.-12,3 ( )

? x=x?+6 【分析】 根据向量的坐标确定平行公式为? ,再代入已知解析式可得.还可以由 ? y=y?+3
向量的坐标得图象的两个平移过程,由此确定平移后的函数解析式,经对照即可作出选择. 【解析 1】 由平移向量知向量平移公式?

? x?=x-6 ? x=x?+6 ,即? ,代入 y=sin2x 得 y?+3 ? y?=y-3 ? y=y?+3

?

?

π ? ? =sin2(x?+6),即到 y=sin(2x+3)-3,由此知?=3,B=-3,故选 C. ? 【解析 2】 由向量→ a =(-6,-3),知图象平移的两个过程,即将原函数的图象整体向 ? ? 左平移6个单位, 再向下平移 3 个单位, 由此可得函数的图象为 y=sin2(x+6)-3, 即 y=sin(2x π ? +3)-3,由此知?=3,B=-3,故选 C.

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【点评】 此类题型将三角函数平移与向量平移有机地结合在一起,主要考查分析问题、 解决问题的综合应用能力,同时考查方程的思想及转化的思想.本题解答的关键,也是易出错 的地方是确定平移的方向及平移的大小. 题型二 三角函数与平面向量平行(共线)的综合 此题型的解答一般是从向量平行(共线)条件入手,将向量问题转化为三角问题,然后再利 用三角函数的相关知识再对三角式进行化简,或结合三角函数的图象与民性质进行求解.此类 试题综合性相对较强,有利于考查学生的基础掌握情况,因此在高考中常有考查. 【例 2】 已知 A、B、C 为三个锐角,且 A+B+C=π.若向量→ p =(2-2sinA,cosA+sinA) 与向量→ q =(cosA-sinA,1+sinA)是共线向量. (Ⅰ)求角 A; C-3B (Ⅱ)求函数 y=2sin2B+cos 2 的最大值.

【分析】 首先利用向量共线的充要条件建立三角函数等式,由于可求得 A 角的正弦值, 再根据角的范围即可解决第(Ⅰ)小题;而第(Ⅱ)小题根据第(Ⅰ)小题的结果及 A、B、C 三个角的 关系,结合三角民恒等变换公式将函数转化为关于角 B 的表达式,再根据 B 的范围求最值. 【解】 (Ⅰ)∵→ p 、→ q 共线,∴(2-2sinA)(1+sinA)=(cosA+sinA)(cosA-sinA),则 sin2A 3 =4, 3 ? 又 A 为锐角,所以 sinA= 2 ,则 A=3. ? (π-3-B)-3B C-3B (Ⅱ)y=2sin2B+cos 2 =2sin2B+cos 2 1 3 ? =2sin2B+cos(3-2B)=1-cos2B+2cos2B+ 2 sin2B 3 1 ? = 2 sin2B-2cos2B+1=sin(2B-6)+1. ? ? ? 5? ? ? ? ∵B∈(0,2),∴2B-6∈(-6, 6 ),∴2B-6=2,解得 B=3,ymax=2. 【点评】 本题主要考查向量共线(平行)的充要条件、三角恒等变换公式及三角函数的有 界性.本题解答有两个关键: (1)利用向量共线的充要条件将向量问题转化为三角函数问题; (2)根据条件确定 B 角的范围.一般地,由于在三角函数中角是自变量,因此解决三角函数问 题确定角的范围就显得至关重要了. 题型三 三角函数与平面向量垂直的综合 此题型在高考中是一个热点问题,解答时与题型二的解法差不多,也是首先利用向量垂 直的充要条件将向量问题转化为三角问题,再利用三角函数的相关知识进行求解.此类题型解 答主要体现函数与方程的思想、转化的思想等. 【例 3】 3? 已知向量→ a =(3sinα,cosα),→ b =(2sinα,5sinα-4cosα),α∈( 2 ,2π),且→ a ⊥→ b. α ? (Ⅱ)求 cos(2+3)的值.

(Ⅰ)求 tanα 的值;

【分析】 第(Ⅰ)小题从向量垂直条件入手,建立关于 α 的三角方程,再利用同角三角函 数的基本关系可求得 tanα 的值;第(Ⅱ)小题根据所求得的 tanα 的结果,利用二倍角公式求得
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α tan 2的值,再利用两角和与差的三角公式求得最后的结果. → 【解】 (Ⅰ)∵→ a ⊥→ b ,∴→ a· b =0.而→ a =(3sinα,cosα) ,→ b =(2sinα, 5sinα-4cosα), → → 2 2 故 a ·b =6sin α+5sinαcosα-4cos α=0. 4 1 由于 cosα≠0,∴6tan2α+5tanα-4=0.解之,得 tanα=-3,或 tanα=2. 3? 1 4 ∵α∈( 2 ,2π) ,tanα<0,故 tanα=2(舍去) .∴tanα=-3. 3? α 3? (Ⅱ)∵α∈( 2 ,2π) ,∴2∈( 4 ,π) . 4 α 1 α α 5 α 2 5 由 tanα=-3,求得 tan2=-2,tan2=2(舍去) .∴sin2= 5 ,cos2=- 5 , 2 5+ 15 α ? α ? α ? 2 5 1 5 3 ∴cos( 2+3)=cos2cos3-sin2sin3=- 5 ×2- 5 × 2 =- 10 【点评】 本题主要考查向量垂直的充要条件、同角三角函数的基本关系、二倍角公式 及两角和与差的三角函数.同时本题两个小题的解答都涉及到角的范围的确定,再一次说明了 在解答三角函数问题中确定角的范围的重要性.同时还可以看到第(Ⅰ)小题的解答中用到“弦 化切”的思想方法,这是解决在一道试题中同时出现“切函数与弦函数”关系问题常用方法. 题型四 三角函数与平面向量的模的综合 此类题型主要是利用向量模的性质|→ a |2=→ a 2,如果涉及到向量的坐标解答时可利用两种 方法: (1)先进行向量运算,再代入向量的坐标进行求解; (2)先将向量的坐标代入向量的 坐标,再利用向量的坐标运算进行求解. 2 【例 4】已知向量→ a =(cosα,sinα),→ b =(cosβ,sinβ),|→ a -→ b |=5 5. (Ⅰ)求 cos(α-β)的值; 5 ? ? (Ⅱ)若-2<β<0<α<2,且 sinβ=-13,求 sinα 的值.

【分析】 利用向量的模的计算与数量积的坐标运算可解决第(Ⅰ)小题;而第(Ⅱ)小题则 可变角 α=(α-β)+β,然后就须求 sin(α-β)与 cosβ 即可. 【解】 2 4 → (Ⅰ)∵|→ a -→ b |=5 5,∴→ a 2-2→ a· b +→ b 2=5,

将向量→ a =(cosα,sinα),→ b =(cosβ,sinβ)代入上式得 4 3 12-2(cosαcosβ+sinαsinβ)+12=5,∴cos(α-β)=-5. ? ? (Ⅱ)∵-2<β<0<α<2,∴0<α-β<π, 3 4 由 cos(α-β)=-5,得 sin(α-β)=5, 5 12 又 sinβ=-13,∴cosβ=13, 33 ∴sinα=sin[(α-β)+β]=sin(α-β)cosβ+cos(α-β)sinβ=65. 点评:本题主要考查向量的模、数量积的坐标运算、和角公式、同角三角函数的基本关
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2 0 0 9 0 → → → 2 → →2 系.本题解答中要注意两点:(1)化|→ a- 3 b |为向量运算| a - b | =( a - b ) ;(2)注意解 α-β 的 1 范围.整个解答过程体现方程的思想及转化的思想 . 8 题型五 三角函数与平面向量数量积的综合 此类题型主要表现为两种综合方式:(1)三角函数与向量的积直接联系;(2)利用三角函数 与向量的夹角交汇,达到与数量积的综合.解答时也主要是利用向量首先进行转化,再利用三 角函数知识求解. ? → 【例 5】 设函数 f(x)=→ a· b .其中向量→ a =(m,cosx),→ b =(1+sinx,1),x∈R,且 f(2)= 2.(Ⅰ)求实数 m 的值; (Ⅱ)求函数 f(x)的最小值. 分析:利用向量内积公式的坐标形式,将题设条件中所涉及的向量内积转化为三角函数 ? 中的“数量关系”,从而,建立函数 f(x)关系式,第(Ⅰ)小题直接利用条件 f(2)=2 可以求得, 而第(Ⅱ)小题利用三角函数函数的有界性就可以求解. → 解: (Ⅰ)f(x)=→ a· b =m(1+sinx)+cosx, ? ? ? 由 f(2)=2,得 m(1+sin2)+cos2=2,解得 m=1. ? (Ⅱ)由(Ⅰ)得 f(x)=sinx+cosx+1= 2sin(x+4)+1, ? 当 sin(x+4)=-1 时,f(x)的最小值为 1- 2. 点评:平面向量与三角函数交汇点较多,向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可 以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题,其解法都差不多,首先 都是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系”, 再利用三角函数的相关知识进行 求解. 六、解斜三角形与向量的综合 在三角形的正弦定理与余弦定理在教材中是利用向量知识来推导的,说明正弦定理、余 弦定理与向量有着密切的联系.解斜三角形与向量的综合主要体现为以三角形的角对应的三角 函数值为向量的坐标,要求根据向量的关系解答相关的问题. A A 【例 6】 已知角 A、 B、 C 为△ ABC 的三个内角, 其对边分别为 a、 b、 c, 若→ m =(-cos2 , sin 2), A A 1 → → n =(cos 2 ,sin2 ),a=2 3,且→ m· n =2. (Ⅰ)若△ ABC 的面积 S= 3,求 b+c 的值. (Ⅱ)求 b+c 的取值范围. 【分析】 第(Ⅰ)小题利用数量积公式建立关于角 A 的三角函数方程,再利用二倍角公式 求得 A 角,然后通过三角形的面积公式及余弦定理建立关于 b、c 的方程组求取 b+c 的值;第 (Ⅱ)小题正弦定理及三角形内角和定理建立关于 B 的三角函数式,进而求得 b+c 的范围. A A A A 1 → 【解】 (Ⅰ)∵→ m =(-cos2 ,sin 2),→ n =(cos 2 ,sin2),且→ m· n =2, A A 1 1 ∴-cos22 +sin2 2 =2,即-cosA=2, 2? 又 A∈(0,π),∴A= 3 .
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1 又由 S△ ABC=2bcsinA= 3,所以 bc=4, 2? 由余弦定理得:a2=b2+c2-2bc· cos 3 =b2+c2+bc,∴16=(b+c)2,故 b+c=4. b c a 2 3 ? (Ⅱ)由正弦定理得:sinB=sinC=sinA= =4,又 B+C=?-A=3, 2? sin 3 ? ? ∴b+c=4sinB+4sinC=4sinB+4sin(3-B)=4sin(B+3), 3 ? ? ? 2? ? ∵0<B<3,则3<B+3< 3 ,则 2 <sin(B+3)≤1,即 b+c 的取值范围是?2 3,4?. [点评] 本题解答主要考查平面向量的数量积、三角恒等变换及三角形中的正弦定理、余 弦定理、面积公式、三角形内角和定理等.解答本题主要有两处要注意:第(Ⅰ)小题中求 b+c 没有利用分别求出 b、c 的值为解,而是利用整体的思想,使问题得到简捷的解答;(2)第(Ⅱ) 小题的求解中特别要注意确定角 B 的范围. 【专题训练】 一、选择题 π π π 1.将函数 y=2sin2x-2的图象按向量(2,2)平移后得到图象对应的解析式是 A.2cos2x B.-2cos2x C.2sin2x D.-2sin2x ( D.任意三角形 ) ) ( )

→ → → → →→ 2.已知△ ABC 中,AB= a ,AC= b ,若 a ·b <0,则△ ABC 是 A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形

3? 3.已知→ a =(sinθ, 1+cosθ),→ b =(1, 1-cosθ),其中 θ∈(π, ),则一定有 ( 2 A.→ a ∥→ b B.→ a ⊥→ b C.→ a 与→ b 夹角为 45° D.|→ a |=|→ b|

π 4.已知向量→ a =(6,-4),→ b =(0,2),→ c =→ a +?→ b ,若 C 点在函数 y=sin12x 的图象上,实数? = 5 A.2 3 B.2 5 C.-2 3 D.-2 ( )

5? 5.由向量把函数 y=sin(x+ 6 )的图象按向量→ a =(m,0)(m>0)平移所得的图象关于 y 轴对称, 则 m 的最小值为 ? A. 6 ? B. 3 2? C. 3 5? D. 6 ( )

→ =OA → +?(AB → 6.O 是平面上一定点,A、B、C 是该平面上不共线的 3 个点,一动点 P 满足:OP → ,?∈(0,+∞),则直线 AP 一定通过△ ABC 的 +AC) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 ( )

7.对于非零向量→ a 我们可以用它与直角坐标轴的夹角?,?(0≤?≤?,0≤?≤?)来表示它的方向,称 ?,?为非零向量→ a 的方向角,称 cos?,cos?为向量→ a 的方向余弦,则 cos2?+cos2?=( 2 0 0 9 0
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A.1 二、填空题

3 B. 2

1 C.2

D.0

→ =(2cos?,2sin?),OB → =(5cos?,5sin?),若OA· → OB → =-5,则 8.已知在△ OAB(O 为原点)中,OA
S△ AOB 的值为_____________. ? 9.将函数 f(x)=tan(2x+3)+1 按向量 a 平移得到奇函数 g(x),要使|a|最小,则 a= ____________. 3π → → → →→ → 10.已知向量 m =(1,1)向量 n 与向量 m 夹角为 4 ,且 m ·n =-1.则向量 n =__________. 三、解答题 → AC → =BA· → BC → =k(k∈R). 11.在△ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若AB· (Ⅰ)判断△ ABC 的形状; (Ⅱ)若 c= 2,求 k 的值.

12.在△ ABC 中,A、B、C 所对边的长分别为 a、b、c,已知向量→ m =(1,2sinA),→ n =(sinA, ? 1+cosA),满足→ m ∥→ n ,b+c= 3a.(Ⅰ)求 A 的大小;(Ⅱ)求 sin(B+6)的值.

13.已知→ a =(cosx+sinx,sinx),→ b =(cosx-sinx,2cosx), (Ⅰ)求证:向量→ a 与向量→ b 不可能平行; ?? → (Ⅱ)若 f(x)=→ a· b ,且 x∈[-4,4]时,求函数 f(x)的最大值及最小值.

【专题训练】参考答案 一、选择题 π π π ? 1.D 【解析】y=2sin2x-2→y=2sin2(x+2)-2+2,即 y=-2sin2x.
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→ → →→ AB· AC a ·b 2.A 【解析】因为 cos∠BAC= → → = → → <0,∴∠BAC 为钝角. |b| |AB|· |AC| | a |· 3? → → 3.B 【解析】→ a· b =sinθ+|sinθ|,∵θ∈(π, ),∴|sinθ|=-sinθ,∴→ a· b =0,∴→ a ⊥→ b. 2 π ? 4.A 【解析】→ c =→ a +?→ b =(6,-4+2?),代入 y=sin12x 得,-4+2?=sin2=1,解得? 5 =2. 5? 5? 5. B 【解析】 考虑把函数 y=sin(x+ 6 )的图象变换为 y=cosx 的图象, 而 y=sin(x+ 6 )=cos(x ? ? ? ? +3), 即把 y=cos(x+3)的图象变换为 y=cosx 的图象, 只须向右平行3个单位, 所以 m=3, 故选 B. → +AC → =2AD → ,又由OP → =OA → +?(AB → +AC) → ,AP → =2?AD →, 6.C 【解析】设 BC 的中点为 D,则AB → 与AD → 共线,即有直线 AP 与直线 AD 重合,即直线 AP 一定通过△ ABC 的重心. 所以AP 7.A 【解析】设→ a =(x,y),x 轴、y 轴、z 轴方向的单位向量分别为→ i =(1,0),→ j =(0,1),由 → → → → i· a x j· a y 向量知识得 cos?= → → = 2 2,cos?= → → = 2 2,则 cos2?+cos2?=1. x +y x +y | i |· |a| | j |· |a| 二、填空题 5 3 8. 2

→ OB → =-5?10cos?co?s+10sin?sin?=-5?10cos(?-?)=-5?cos(?- 【解析】OA·

1 3 1 3 5 3 → =2,|OB| → =5,∴S ?)=-2,∴sin∠AOB= 2 ,又|OA| △ AOB= ×2×5× 2 2 = 2 . ? ? 9. (6,-1) 【解析】要经过平移得到奇函数 g(x),应将函数 f(x)=tan(2x+3)+1 的图象向 kπ ? kπ ? 下平移 1 个单位, 再向右平移- 2 +6(k∈Z)个单位. 即应按照向量→ a =( - 2 + 6 , -1) (k∈Z) 进行平移.要使|a|最小, → →→ → 10.(-1,0)或(0,-1) 【解析】设 n =(x,y),由 m ·n =-1,有 x+y=-1 ①,由 m 与 3π 3π ? x=﹣1 → →→ → → → n 夹角为 ,有 m ·n =| m |· | n |cos ,∴| n |=1,则 x2+y2=1 ②,由①②解得? 4 4 ? y=0 ? x=0 → → 或? ∴即 n =(-1,0)或 n =(0,-1) . ? y=-1 三、解答题 → AC → =bccosA,BA· → BC → =cacosB, 11. 【解】 (Ⅰ)∵AB· → AC → =BA· → BC → ,∴bccosA=cacosB, 又AB· ∴由正弦定理,得 sinBcosA=sinAcosB,即 sinAcosB-sinBcosA=0,∴sin(A-B)=0 ∵-π<A-B<π,∴A-B=0,即 A=B,∴△ABC 为等腰三角形. b2+c2-a2 c2 → AC → =bccosA=bc· (Ⅱ)由(Ⅰ)知 a ? b ,∴AB· 2bc = 2 ,
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∵c= 2,∴k=1. 1 12. 【解】(Ⅰ)由→ m ∥→ n ,得 2sin2A-1-cosA=0,即 2cos2A+cosA-1=0,∴cosA=2或 cosA =-1. ? ∵A 是△ ABC 内角,cosA=-1 舍去,∴A=3. 3 (Ⅱ)∵b+c= 3a,由正弦定理,sinB+sinC= 3sinA=2, 2? 2? 3 ∵B+C= 3 ,sinB+sin( 3 -B)=2, 3 3 3 3 ? ∴ 2 cosB+2sinB=2,即 sin(B+6)= 2 . 13. 【解】 (Ⅰ)假设→ a ∥→ b ,则 2cosx(cosx+sinx)-sinx(cosx-sinx)=0, 1+cos2x 1 1-cos2x ∴2cos2x+sinxcosx+sin2x=0,2· 2 +2sin2x+ =0 , 2 即 sin2x+cos2x=-3, ? ? ∴ 2(sin2x+4)=-3,与| 2(sin2x+4)|≤ 2矛盾, 故向量→ a 与向量→ b 不可能平行. → (Ⅱ)∵f(x)=→ a· b =(cosx+sinx)· (cosx-sinx)+sinx· 2cosx =cos2x-sin2x+2sinxcosx=cos2x+sin2x 2 2 ? = 2( 2 cos2x+ 2 sin2x)= 2(sin2x+4), ? ? ? ? 3? ? ? ? ∵-4≤x≤4,∴-4≤2x+4≤ 4 ,∴当 2x+4=2,即 x=8时,f(x)有最大值 2; ? ? ? 当 2x+4=-4,即 x=-4时,f(x)有最小值-1.

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