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第四讲:数学归纳法证明不等式


数学归纳法证明不等式
数学归纳法:
关于正整数n的命题(相当于多米诺骨牌),我们可 以采用下面方法来证明其正确性: 1.验证第一个命题成立(即n=n0第一个命题对应的 n的值,如n0=1) (归纳奠基) ; 2.假设当n=k时命题成立,证明当n=k+1时命题也 成立(归纳递推). 用上假设,递推才真 由(1)、(2)知,对于一切n≥n0的自然数n都成立! 注意

:递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉.

练习:用数学归纳法证明不等式 sin n?

≤ n sin ?

练习:用数学归纳法证明不等式 sin n?
证明:⑴当 n
? 1 时,上式左边 sin ? ?

≤ n sin ?

右边,不等式成立.
≤ k sin ?

⑵设当 n ? k ( k ≥ 1) 时,不等式成立,即有 sin k ? 那么,当 n ? k ? 1 时, sin ( k ? 1)? =

.

思考 1:证明贝努利不等式 如果 x 是实数,且 x ? ? 1 , x ? 0 , n 为大于 n 1 的自然数,那么有 (1 ? x ) ? 1 ? n x .
注: 事实上, 把贝努利不等式中的正整数 n 改为实数 ? 仍有 类似不等式成立. 当 ? 是实数,且 ? ? ?或 ? ? 0 时,有 (1 ? x )? ≥ 1 ? ? x ( x ? ? 1) 当 ? 是实数,且 0 ? ? ? 1 时,有 (1 ? x )? ≤ 1 ? ? x ( x ? ? 1)

证明贝努利不等式你有第二种方法吗?

答案

例4、已知x> ?1,且x?0,n?N*,n≥2.

求证:(1+x)n>1+nx.
证明:(1)当n=2时,左=(1+x)2=1+2x+x2

∵ x?0,∴ 1+2x+x2>1+2x=右,∴n=2时不等式成立 (2)假设n=k(k≥2)时,不等式成立,即 (1+x)k>1+kx
当n=k+1时,因为x> ?1 ,所以1+x>0,于是 左边=(1+x)k+1 =(1+x)k(1+x)>(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2; 右边=1+(k+1)x.

因为kx2>0,所以左边>右边,即(1+x)k+1>1+(k+1)x.
这就是说,原不等式当n=k+1时也成立. 根据(1)和(2),原不等式对任何不小于2的自然数n都成立.

思考 2 证明:如果 n ( n 为正整数)个正数 a 1 , a 2 , ? , a n 的 乘积 a 1 a 2 ? a n
? 1 ,那么它们的和 a 1 ? a 2 ? ? ? a n ≥ n .

注:这一命题与均值不等式是等价的.

你能根据上面不等式推出均值不等式吗?

1答案

2答案

思考 2 证明:如果 n ( n 为正整数)个正数 a 1 , a 2 , ? , a n 的 乘积 a 1 a 2 ? a n
? 1 ,那么它们的和 a 1 ? a 2 ? ? ? a n ≥ n .

证明:⑴当 n ? 1 时,有 a 1 ? 1 ,命题成立. ⑵ 设 当 n ? k ( k ≥ 1) 时 , 命 题 成 立 , 即 若 k 个 正数 a 1 , a 2 , ? , a k 的乘积 a 1 a 2 ? a k ? 1 ,那么它们的和 a 1 ? a 2 ? ? ? a k ≥ k . 那么当 n ? k ? 1 时 ,已知 k ? 1 个正 数 a 1 , a 2 , ? , a k , a k ? 1 满 足 a1a 2 ? a k a k ?1 ? 1 .
若 k ? 1 个正数 a 1 , a 2 , ? , a k , a k ? 1 都相等,则它们都是 1. 其和为 k ? 1 ,命题成立.

若这 k ? 1 个 正数 a 1 , a 2 , ? , a k , a k ? 1 不全 相等,则 其中 必有大于 1 的数,也有小于 1 的数(否则与 a 1 a 2 ? a k a k ? 1 ? 1 矛盾).不妨设 a 1 ? 1, a 2 ? 1 .

答案接上见课本(或见板书)

课外训练:
1.求证: 1 ?
1 2
2

?

1 3
2

?? ?
1 2

1 n
2

? 2?
1 3

1 n

( n ? N , n ≥ 2 ).
1 n ? n

2.当 n ≥ 2 时,求证: 1 ?

?

?? ?

n n?1 * ? 1( n ? N ) 3. 用 数学 归纳 法证 明 : A n ? 5 ? 2 ? 3

能被 8 整除.

作业:课本 P

54

6题

答案

明天开始复习不等式(使用发的资料).

1.求证: 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 2 ? 1 ( n ? N , n ≥ 2 ). 2 2 2 2 3 n n 1 3 1 5 证:(1)当n=1时,左边= 1 ? 2 ? ,右边= 2 ? 2 ? 2 ,由于
2 4 5 4 ? 3 2 ,故不等式成立.
1 3
2

(2)假设n=k( k ? N , k ≥ 2)时命题成立,即
1? 1 2
2

?

?? ?

1 k
2

? 2?

1 k

.

则当n=k+1时,
1? 1 2
2

?

1 3
2
2

???

1 k
2

?

1 ( k ? 1)
2

? 2?

1

?

1 ( k ? 1)
2

2?

1 k

?

1

( k ? 1)

? 2?

1 k

?

1

k ( k ? 1)

? 2?

1 k

?(

1 k

k

?

1

k ?1

)? 2?

1 k ?1

.

即当n=k+1时,命题成立. 由(1)、(2)原不等式对一切 n ? N , n ≥ 2 都成立.

2.当 n ≥ 2 时,求证: 1 ?
证明: (1) 当 n ? 2 时 , 左 式
? 当n ? 2时,不等式成立

1 2
?1?

?
1 2

1 3
?1?

?? ?
2 2 ? 1.7 ?

1 n

?

n

2 ? 右式

( 2 ) 假 设 当 n ? k (? 2) 时 , 不 等 式 成 立 , 即 1 ?

1 2

? 1 k ?

1 3

?? ? 1 k?1 ?

1 k k?

? 1

k

则 当 n ? k ? 1时 , 左 式 ? 1 ?

1 2

?

1 3

?? ?

k?1

?

k ( k ? 1) ? 1 k?1

?

k ?k ?1 k?1

?

k?1 k?1

?

k ?1 ? 右式

? 当 n ? k ? 1时 , 不 等 式 成 立 。 由 ( 1) ( 2 ) 可 知 , 对 一 切 n ? N , 且 n ? 2 , 不 等 式 都 成 立 。

3. 用 数学 归 纳法 证明 : A n ? 5 ? 2 ? 3
n

n?1

? 1( n ? N )
*

能被 8 整除.

证:(1)当 n=1 时,A1 =5+2+1=8,命题显然成立. (2)假设当 n=k 时,Ak 能被 8 整除,即 Ak ? 5 k ? 2 ? 3 k ?1 ? 1 是 8 的倍数.那么:
5(5 ? 2 ? 3
k k ?1

Ak ? 1 ? 5
k ?1

k ?1

? 2?3 ?1 ?
k k ?1

? 1) ? 4(3

? 1) ? 5 Ak ? 4(3

? 1)

因为 Ak 是 8 的倍数,3k-1 +1 是偶数即 4(3k-1 +1)也是 8 的倍数,所以 Ak+1 也是 8 的倍数 ,即当 n=k+1 时,命题成立. 由(1)、(2)知对一切正整数 n, An 能被 8 整除.


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