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普宁二中2011-2012学年高一上学期11月月考(数学)


普宁二中 2011~2012 学年高一上学期 11 月月考 数学试题
本试卷共 3 页,22 题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答题前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将字迹的姓名和考生号、试室号、座位号 填写在答题卡上。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再填涂其他答案

,答案不能写在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内 相应位置上,如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂 改液。不安以上要求作答的答案无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将答题卡交回。 5.参考公式:锥体体积公式 V ? 柱体体积公式 V ? S h 台体体积公式 V ? 球的体积公式
1 1 3 S h 其中 S 为底面面积, h 为高

其中 S 为底面面积, h 为高
'

?S 3
4 3

?
3

SS ? S h
'

?

其中 S , S 分别为上、下底面积, h 为高

'

V ?

?R

其中 R 为球的半径

圆锥的侧面积 S ? ? rl 其中 r 为底面半径,母线长为 l ' ' 圆台的侧面积 S ? ? ? r ? r ? l 其中 r , r 是上下底面半径,母线长为 l 2 球的表面积源 S ? 4 ? R

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集 I={0,1,2,3,4} ,集合 M={1,2,3} ,N={0,3,4} , 则 ? C I M ? ? N =( ) A. ? B.{3,4} C.{1,2} D. {0,4} 2 2.如果函数 f ( x ) ? x ? 2 ( a ? 1) x ? 2 在区间 ? ? ? , 4 ? 上是减函数,那么实数 a 的取值范围是 A、 a ? ? 3 B、 a ? ? 3 C、 a ? 5 D、 a ? 5 3.平行于同一平面的两条直线的位置关系 A.平行 B.相交 C.异面 D.平行、相交或异面 4.空间四边形 ABCD 中,E,F,G,H 分别是 AB,BC,CD,DA 的中点,且 AC⊥BD,则四边形 EFGH 是 A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 5.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( ). A. y ? x B. y ? ? x
3

C. y ?

1 x

D. y ? ( )
2

1

x

6. .如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为 45°,腰和上底均为 1 的等腰梯 形,那么原平面图形的面积是

1

A.

2? 2

2

B.

1? 2

2

C. 2 ?

2

D. 1 ?

2

7.如图所示,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1 的正方 形,俯视图是一个直径为 1 的圆,那么这个几何体的全面积为

3
A.

π

2

B. 2 π

C. 3 π

D. 4 π

8.函数 f(x)=lnx+2x-6 的零点一定位于区间 A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(4,5) 9、如图是一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图,如果主视图、左视图 所对应的三角形皆为边长为 2 的正三角形,俯视图对应的四边形为正方形, 那么这个几何体的体积为 A.
4 3 2

B.

4 5 3
ax
2

C.

4 3 3

D.不确定

10.如果函数 f ( x ) ?

? ax ? 1

的定义域为全体实数集 R,那么实数 a 的取值范围

是 A.[0,4] B.[0,4) C.[4,+∞) D. (0,4) 11、如图,正三棱柱 ABC-A1B1C1 的各棱长(包括底面边长) 都是 2,E,F 分别是 AB,A1C1 的中点,则 EF 与侧棱 C1C 所成的角的余弦值是 A. B. C. 1 D.2 5 2 5

2 5 5 f ( x) ? f (? x) ? 0 的解 ? 12.设奇函数 f ( x ) 在 (0, ? ) 上为增函数,且 f (1) ? 0 ,则不等式
x

集为
0 ? A. ( ? 1,) ? (1, ? ) ? ? C. ( ? ? , 1) ? (1, ? ) ? 1) B. ( ? ? , 1) ? (0, 0 1) D. ( ? 1,) ? (0,

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.
13.若两球半径比为 1:2,则这两球表面积之比为 . 14、右图的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,异面直线 A1B 与 C1C 所成角的大小是 . 15.半径为 R 的半圆卷成一个圆锥,则它的体积为_________. 16、已知两条不同直线 m 、 l ,两个不同平面 ? 、 ? ,给出下列命题: ①若 l 垂直于 ? 内的两条相交直线,则 l ⊥ ? ; ②若 l ∥ ? ,则 l 平行于 ? 内的所有直线; ③若 m ? ? , l ? ? 且 l ⊥ m ,则 ? ⊥ ? ; ④若 l ? ? , l ? ? ,则 ? ⊥ ? ; ⑤若 m ? ? , l ? ? 且 ? ∥ ? ,则 m ∥ l . 其中正确命题的序号是 . (把你认为正确命题的序号都填上)

三、解答题:本大题 6 小题,满分 70 分.解答须写出文字说明、证明过程和演
2

算步骤.
17、 (本题满分 10 分)
1 ? 1 2

(1) 化简

(a 2b (a b
3

) )

3

1 ?3 2

(4 分)

1

(2) 求函数 y ? 5

x ?1

的定义域和值域.(6 分)

18、 (本题满分 12 分) 如图,在正方体 A B C D ? A1 B1C 1 D 1 中, E 是 A A1 的中点, 求证: (Ⅰ) A1 C // 平面 B D E ; (Ⅱ)平面 A1 A C ? 平面 B D E 。 19、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? lo g a ( x ? 1) ,函数 g ( x ) ? lo g a ( 4 ? 2 x ) ( a ? 0 ,且 a ? 1 ) . (Ⅰ)求函数 y ? f ( x ) ? g ( x ) 的定义域; (Ⅱ)求使函数 y ? f ( x ) ? g ( x ) 的值为正数的 x 的取值范围. 20、 (本题满分 12 分) 某公司通过报纸和电视两种方式做销售某种商品的广告,根据统计资料,销售收入 R(万元) 与报纸广告费用 x1(万元)及电视广告费用 x2(万元)之间的关系有如下经验公式:R=-2x12 -x22+13x1+11x2-28. (1)若提供的广告费用共为 5 万元,求最优广告策略.(即收益最大的策略,其中收益= 销售收入-广告费用) (2)在广告费用不限的情况下,求最优广告策略. 21、 (本题满分 12 分) 如图,正四棱锥 S-ABCD 的底面是边长为 a 正方形, O 为底面 对角线交点,侧棱长是底面边长的 2 倍,P 为侧棱 SD 上的点. (Ⅰ)求证:AC⊥SD; (Ⅱ)若 SD⊥平面 PAC, F 为 S D 中点,求证: B F ∥平面 PAC; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,侧棱 SC 上是否存在一点 E, 使得 BE∥平面 PAC.若存在,求 SE:EC 的值; 若不存在,试说明理由。 22. (本题满分 12 分) 2 已知二次函数 f ? x ? ? a x ? b x ? c . (1)若 f ? ? 1 ? ? 0 ,试判断函数 f ? x ? 零点个数; 1 (2) 若对 x1 , x 2 ? R , 且 x1 ? x 2 , f ? x1 ? ? f ? x 2 ? ,证明方程 f ? x ? ? ? f ? x1 ? ? f ? x 2 ? ? ? ? 2 必有一个实数根属于 ? x1 , x 2 ? 。 (3)是否存在 a , b , c ? R ,使 f ( x ) 同时满足以下条件①当 x ? ? 1 时, 函数 f ( x ) 有最小值 1 2 0; ;②对 ? x ? R ,都有 0 ? f ( x ) ? x ? ( x ? 1) 。若存在,求出 a , b , c 的值,若不存 2 在,请说明理由。

3

参考答案
1-5 DADCB 13、1:4 6-10 CABCA 15、
3 2 ? 3 2 3

11-12
3 24

BD
?R
3

14、45°
3 ?

16、①④

17.解:(1) 原式= a 2 ? a

?b

? b 2 ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (4 分)

(2) 由 x ? 1 ? 0 得 x ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (2 分)
? 1 x ?1
1

? 0

?5

x ?1

?1

1

又? 5

x ?1

? 0 ? ? ? ? ? (2 分)

1

? 函数 y ? 5 x ? 1 的定义域是 ( ? ? ,1) ? (1, ? ? ) ,值域是 (0,1) ? (1, ? ? ) ? ? (2 分)

18.(12 分)证明: (Ⅰ)连接 A C 交 B D 于 O ,连接 E O , ∵ E 为 A A1 的中点, O 为 A C 的中点 ∴ E O 为三角形 A1 A C 的中位线 ∴ E O // A1C 又 E O ? 在平面 B D E , A1 C ? 在平面 B D E ∴ A1 C // 平面 B D E 。……………6 分 (Ⅱ)? A1 A ? 平面 A B C D ? A1 A ? B D 又? 四 边 形 A B C D 为 正 方 形 ? A C ? B D ? B D ? 平 面 A1 A C 再? B D ? 平 面 B D E ∴平面 A1 A C // 平面 B D E 。………12 分 19、解: (Ⅰ)由题意可知, y ? f ( x ) ? g ( x ) ? lo g a ( x ? 1) ? lo g a ( 4 ? 2 x ) , …1 分 由?
?x ?1 ? 0 ?4 ? 2x ? 0

, 解得 ?

? x ? ?1 ?x ? 2



……………3 分

∴ ?1 ? x ? 2 , ……………4 分 ∴函数 y ? f ( x ) ? g ( x ) 的定义域是 ( ? 1, 2 ) .……………5 分 ) (Ⅱ)由 f ( x ) ? g ( x ) ? 0 ,得 f ( x ) ? g ( x, 即 lo g a ( x ? 1) ? lo g a ( 4 ? 2 x ) , ① ……………6 分 当 a ? 1 时,由①可得 x ? 1 ? 4 ? 2 x ,解得 x ? 1 , 又 ? 1 ? x ? 2 ,∴ 1 ? x ? 2 ; ……………8 分 当 0 ? a ? 1 时,由①可得 x ? 1 ? 4 ? 2 x ,解得 x ? 1 , 又 ? 1 ? x ? 2 ,∴ ? 1 ? x ? 1 .……………10 分 综上所述:当 a ? 1 时, x 的取值范围是 (1, 2 ) ; 当 0 ? a ? 1 时, x 的取值范围是 ( ? 1,1) .…………12 分 20.(12 分) (1)依题意 x1+x2=5, ∴x2=5-x1, ∴R=-2x12-x22+13x1+11x2-28 =-2x12-(5-x1)2+13x1+11(5-x1)-28
4

=-3x12+12x1+2(0≤x1≤5),…………………………3 分 ∴收益 y=R-5=-3x12+12x1-3 =-3(x1-2)2+9≤9, 当且仅当 x1=2 时取等号. ∴最优广告策略是报纸广告费用为 2 万元,电视广告费用为 3 万元.…6 分 (2)收益 y=R-(x1+x2) =-2x12-x22+13x1+11x2-28-(x1+x2) =-2(x1-3)2-(x2-5)2+15≤15, 当且仅当 x1=3,x2=5 时取等号. ∴最优广告策略是报纸广告费用为 3 万元,电视广告费用为 5 万元.…12 分 21、证明: (Ⅰ)连接 SO
? 四边形 ABCD 为正方形 ? AC ? BD 且 O 为 AC 中点 ? SO ? AC 又? SA ? SC 又? SO ? BD ? O ? AC ? 平面 SBD 又? SD ? 平面 SBD ? AC ? SD

1分 2分 3分 4分

(Ⅱ)连接 OP
? SD ? 平面 ACP , OP ? 平面 A C P ? OP ? SD 5分 又 ? SBD 中, BD ? 2 a ? SB ,且 F 为 SD 中点 因为 OP 、 BF ? 平面 BDF ; 所以 OP ∥ B F 又? OP ? 平面 ACP , BD ? 平面 ACP ? B F ∥平面 PAC

? BF ? SD

6分 7分 8分

(Ⅲ)解:存在 E, 使得 BE∥平面 PAC. 过 F 作 FE ∥ PC 交 PC 与 E ,连接 BE ,则 E 为所要求点. ? FE ∥ PC , FE ? 平面 ACP , PC ? 平面 ACP ? FE ∥平面 PAC 由(Ⅱ)知: B F ∥平面 PAC,而 FE ? BF ? F ? 平面 BEF ∥平面 PAC ? BE ∥平面 PAC ? OP ∥ B F , O 为 BD 中点,? P 为 FD 中点 又因为 F 为 S D 中点
? SE EC ? SF FP ? 2 1

10 分

12 分

所以,在侧棱 SC 上存在点 E ,当 SE : EC ? 2 : 1 时, BE ∥平面 PAC . 22.解: (1)? f ? ? 1 ? ? 0,? a ? b ? c ? 0,
b ? a? c 2 2 2 ? ? ? b ? 4 a c ? ( a ? c ) ? 4 a c ? ( a ? c ) ---------------2 分 当 a ? c 时 ? ? 0 ,函数 f ? x ? 有一个零点;--------------3 分 当 a ? c 时, ? ? 0 ,函数 f ? x ? 有两个零点。------------4 分
1 2
1 2

(2)令 g ? x ? ? f ? x ? ?
g ? x1 ? ? f

?f ?

? x1 ? ?

f

? x 2 ? ? ,则 ?

? x1 ? ?

?f ?

? x1 ? ?

f

? x2 ?? ?

?

f

? x1 ? ?
2

f

? x2 ?

5

g ? x2

?

? f

? x2 ? ?
? ? 1 4

1 2

?f ?

? x1 ? ?
f

f

? x2 ?? ?
2

?

f

? x2 ? ?
2

f

? x1 ?



? g ? x1 ? ? g ? x 2

?
1 2

?f ?

? x1 ? ?

? x2 ?? ?

? 0 , ?? f

? x1 ?

? f

? x2 ? ?

? g ? x ? ? 0 在 ? x1 , x 2 ? 内必有一个实根。

即方程 f ? x ? ?

?f ?

? x1 ? ?

f

? x 2 ? ? 必有一个实数根属于 ? x1 , x 2 ? 。------------8 分 ?
b 2a ? ? 1, 4ac ? b 4a
2

(3)假设 a , b , c 存在,由①得 ?
?
2

? 0

b ? 2a, b ? 4ac ? 4a ? 4ac ? a ? c
2

由②知对 ? x ? R ,都有 0 ? f ( x ) ? x ?

1 2

( x ? 1)

2

令 x ? 1 得 0 ? f (1) ? 1 ? 0 ? f (1) ? 1 ? 0 ? f (1) ? 1 ? a ? b ? c ? 1
?a ? b ? c ? 1 1 1 ? 由 ?b ? 2a 得a ? c ? ,b ? , 4 2 ?a ? c ?

当a ? c ?

1 4

,b ?

1 2

时, f ( x ) ?
1 4
2

1 4

x ?
2

1 2

x?

1 4

?

1 4

( x ? 1) ,其顶点为(-1,0)满足条件
2

①,又 f ( x ) ? x ?

( x ? 1) ? 对 ? x ? R ,都有 0 ? f ( x ) ? x ?

1 2

( x ? 1) ,满足条件②。
2

∴存在 a , b , c ? R ,使 f ( x ) 同时满足条件①、②。------------------------------12 分

6


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