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1.6高三数学文科限时训练420份


精英 SXST——高三数学一轮复习 得数学者得天下

高三数学文科组 19. 解: (1)由题可知:

命题人董金臣 1 月 6 日

山 西 省 运 城 市 康 杰 中 学 2013 届 高 三 上 学 期 第 二 次 四 校 联 考

2(a3 ? 2) ? a2 ? a4

数 学 (文 )试 题
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 题号 答数 1 C 2 A 3 C 4 B 5 D 6 D 7 A 8 D 9 B 10 A 11 B 12 C

? a2 ? a4 ? 28 ? a3 ,
? 2(a3 ? 2) ? 28 ? a3 ,? a3 ? 8
……………2 分

? a2 ? a4 ? 20 ?
? an ? a3 q
n ?3

a3 1 ? a3 q ? 8( ? q ) ? 20,? q ? 2 q q
n ?3

q?


1 2 (舍去) ……5 分
…………6 分

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分 13.m>1 14. ?

? 8? 2

?2

n

1 3

15.

? 4

16.

?1 ? ? ,4? ?4 ?

(2)

? an ? 2n ,? an?5 ? 2n?5 , bn ? log2 2n?5 ? n ? 5 ,?b1 ? 6

?? ? ,1? 17. 解: (1)? 函数 f ( x) ? m sin x ? cos x( x ? R) 的图象过点 ? 2 ? ? ? m sin ? cos ? 1, f ( x) ? m sin x ? cos x( x ? R) m ? 1, 2 2
f ( x) ? sin x ? cos x ? 2 sin( x ?

所以数列

?bn ? 是以 6 为首项 1 为公差的等差数列,

? Sn ?
……………3 分 ………5 分

(b1 ? bn )n (n ? 11)n ? 2 2 ……………8 分
……………10 分

?
4

?

)

Sn n ? 11 1 11 ? ? n? n 2 2 2

? 函数的最小正周期 T ? 2?

(2)

? f ( ) ? 2 sin A f ( ) ? 2 sin ? 2 sin A ? sin A ? sin , 12 , 12 3 3
……………8 分

?

?

?

?

? Sn ? 1 ? ? 所以数列 ? n ? 是以 6 为首项, 2 为公差的等差数列,
所以

3 3 ? ∵A 是面积为 2 的锐角 ?ABC 的内角, A ? , 3
1 3 3 ? S ? ? AB ? AC ? sin A ? 2 2 ? AC ? 3

1 11 (6 ? n ? )n 2 2 2 ? n ? 23n Tn ? 2 4

……………10 分

20. 解: (1)由于圆 M 与 ?BOA 的两边相切,故 M 到 OA 及 OB 的距离均为圆 M 的半径, ……………10 分 …6 分 则 M 在 ?BOA 的角平分线上,同理, N 也在 ?BOA 的角平分线上, 即 O、M、N 三点共线,且 OMN 为 ?BOA 的角平分线,

72 48 24 18. 解: (I)依题意, ? ? ,解得 x ? 2, y ? 4 ,研究团队的总人数为 12 人 6 y x

? M 的坐标为 M ( 3,1) ,? M 到 x 轴的距离为 1,即:圆 M 的半径为 1,

(II)设研究小组中心理专家为 a1 、 a2 ,核专家为 b1 、 b2 、 b3 、 b4 ,从中随机选 2 人,不 同的结果有: a1 a2 、 a1 b1 、 a1 b2 、 a1 b3 、 a1 b4 、 a2 b1 、 a2 b2 、 a2 b3 、 a2 b4 、

? 圆 M 的方程为 ( x ? 3)2 ? ( y ?1)2 ? 1 ;
2 1 ? ? r ? 3 , OC ? 3 3 , 3? r r

……………3 分

设圆 N 的半径为 r ,由 Rt ?OAM ~ Rt ?OCN ,得: OM : ON ? MA : NC , 即

b1 b2 、 b1 b3 、 b1 b4 、 b2 b3 、 b2 b4 、 b3 b4 ,共 15 种. a2 b4 共 8 种. …………10 分
所以恰好有 1 人来自心理专家的概率为 P ?
第1页

……………8 分

其中恰好有 1 位来自心理专家的结果有: a1 b1 、 a1 b2 、 a1 b3 、 a1 b4 、 a2 b1 、 a2 b2 、 a2 b3 、

? 圆 N 的方程为: ( x ? 3 3)2 ? ( y ? 3)2 ? 9 ;

……………3 分

(2)由对称性可知,所求弦长等于过 A 点的 MN 的平行线被圆 N 截得的弦长,

8 . 15

……………12 分 用思考历练自己

此弦所在直线方程为 y ? 用智慧塑造人生

3 ( x ? 3 ) ,即 x ? 3 y ? 3 ? 0 , …………9 分 3
第2页

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高三数学文科组 (Ⅱ) h( x) ? x ?

命题人董金臣 1 月 6 日

圆心 N 到该直线的距离 d ? 则弦长= 2 r ? d ? 33
2 2

3 3 ? 3 ?3 ? 3 1? 3

?

3 , 2
……………12 分

1? a ? a ln x , x
………………………6 分

h?( x) ? 1 ?

1 ? a a x2 ? ax ? (1 ? a) ( x ? 1)[ x ? (1 ? a)] ? ? ? x2 x x2 x2

①当 a ? 1 ? 0 时,即 a ? ?1 时,在 (0,1 ? a) 上 h?( x) ? 0 ,在 (1 ? a, ??) 上 h?( x) ? 0 , 所以 h( x) 在 (0,1 ? a) 上单调递减,在 (1 ? a, ??) 上单调递增; ………………………7 分 ②当 1 ? a ? 0 ,即 a ? ?1 时,在 (0, ??) 上 h?( x) ? 0 , 所以,函数 h( x) 在 (0, ??) 上单调递增. ………8 分

21. 解: (Ⅰ)点 A 代入圆 C 方程,得 (3 ? m) ? 1 ? 5 .∵m<3,∴m=1. ………2 分
2

圆 C : ( x ? 1) ? y ? 5 . 设 直 线 PF1 的 斜 率 为 k , 则 PF1 : y ? k ( x ? 4) ? 4 , 即
2 2

k x? y?4 k ?4 ?0.

∵直线 PF1 与圆 C 相切,∴

| k ? 0 ? 4k ? 4 | k ?1
2

? 5 .解得 k ?

11 1 , 或k ? . ……4 分 2 2

(III)在 1,e 上存在一点 x0 ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,即 在 1,e 上存在一点 x0 ,使得 h( x0 ) ? 0 ,即 函数 h( x) ? x ? 由(Ⅱ)可知
2

? ?

11 36 当 k= 时,直线 PF1 与 x 轴的交点横坐标为 ,不合题意舍去. 2 11
1 当 k= 时,直线 PF1 与 x 轴的交点横坐标为-4, 2

? ?

1? a ? a ln x 在 1,e 上的最小值小于零. x

? ?

…………………9 分

∴c=4.F1(-4,0) 2(4,0) ,F .2a=AF1+AF2= 5 2 ? 2 ? 6 2 , a ? 3 2 ,a =18, b2=2.椭圆 E 的方程为:
x2 y 2 ? ? 1. ………………6 分 18 2 ??? ? ??? ?? ?? (Ⅱ) AP ? (1, 3) ,设 Q(x,y) A A? x? ( ) y ? ? ? y ? , PQ . ? ?( ) x 3 6 33 1 x2 y 2 ? 1 ,即 x2 ? (3 y)2 ? 18 , ∵ ? 18 2

①即 1 ? a ? e ,即 a ? e ? 1 时, h( x) 在 ?1,e? 上单调递减, 所以 h( x) 的最小值为 h(e) ,由 h(e) ? e ? 因为

e2 ? 1 1? a , ? a ? 0 可得 a ? e e ?1
………………………10 分

…………… 9 分

e2 ? 1 e2 ? 1 ; ? e ? 1 ,所以 a ? e ?1 e ?1

②当 1 ? a ? 1 ,即 a ? 0 时, h( x) 在 ?1,e? 上单调递增, 所以 h( x) 最小值为 h(1) ,由 h(1) ? 1 ? 1 ? a ? 0 可得 a ? ?2 ; ③当 1 ? 1 ? a ? e ,即 0 ? a ? e ? 1 时, 可得 h( x) 最小值为 h(1 ? a) , 因为 0 ? ln(1 ? a) ? 1 ,所以, 0 ? a ln(1 ? a) ? a ,故 h(1 ? a) ? 2 ? a ? a ln(1 ? a) ? 2

而 x ? (3 y) ≥2 | x | ? | 3 y | ,∴-18≤6xy≤18.
2 2

则 ( x ? 3 y) ? x ? (3 y) ? 6xy ? 18 ? 6 xy 的取值范围是[0,36].
2 2 2

………………11 分

x ? 3 y 的取值范围是[-6,6]. ??? ???? ? ∴ AP ? AQ ? x ? 3y ? 6 的取值范围是[-12,0].

…………………12 分

此时, h(1 ? a) ? 0 不成立. 综上讨论可得所求 a 的范围是: a ?

22. 解: (Ⅰ) f ( x) 的定义域为 (0, ??) ,当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? ln x ,

1 x ?1 f ?( x) ? 1 ? ? , ……2 分 x x

e2 ? 1 或 a ? ?2 . e ?1

…………………12 分

x
f ?( x ) f ( x)

(0,1) 减函数

1 0 极小

(1,+∞) + 增函数

所以 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极小值 1.

………………………4 分

第3页

用思考历练自己

用智慧塑造人生

第4页


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