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函数的概念


第二章 一、函数的概念和图像 (一)函数的概念(要会背)

函数概念

设 A,B 是两个非空的数集,如果按照某种对应法则 f ,对于集合 A 中的每 一个元素 x ,在集合 B 中都有唯一的元素 y 和它对应,这样的对应叫做从 A 到 B 的一个函数,通常记为

y ? f ( x), x ? A.
此概念共

涉及到 4 个知识点, 分别是函数的判定、 定义域、 值域、 对应法则。 下面分别讲解: 1、函数的判定 函数判定的最重要的依据是集合 B 中有且只有唯一的元素 y 和自变量 x 相对 应。 如函数 y=2x+3,x=1 时,y=5;x=2 时,y=7.每给 x 一个值,都有唯一的 y 值与之相对应。这是典型的一对一对应,即每一个 x 对应一个 y 值。 函数 y=x2,x=1 时,y=1;x=-1 时,y=1;x=2 时,y=4;x=-2 时,y=4,这 是典型的多对一对应,即多个 x 对应一个 y 值。 y2=x,x=1 时,y=1 或者 y=-1;x=4 时,y=2 或者 y=-2.此时,每给 x 一个值, 都有两个 y 值与之相对应,这就不符合只有唯一 y 值与之相对应的要求,这是典 型的一对多,这个就不能称为函数。 2、定义域 所有输入值 x 组成的集合 A 叫做函数 y ? f ( x) 的定义域, 即所有自变量 x 的取 值范围。

定义域是考试的重点,要养成良好的做题习惯,只要见到函数,首先要计算 出函数的定义域。一般求定义域主要涉及到以下几大类(要牢记) :
f ( x) ? 1 , x ? 0; x

f ( x) ? x , x ? 0 ;
f ( x) ? log x , x ? 0 。 (后面会学到)
a

当然,考试时不会这么简单,一般都考扩展形式,形式如下:
f ( x) ? 1 , g ( x) ? 0 ; g ( x)

? x|x ? ?3 , g ( x) ? 0 ;

f ( x) ? log

g ( x)

? ( x) , ? ( x ) ? 0 , g ( x ) ? 0 且 g ( x) ? 1 。

例题: ① f ( x) ?
1 ,求函数的定义域。 x ?4
2

? x2 ? 4 ? 0

? x ? ?2 ,所以该函数的定义域为 {x|x ? ?2} 。

② f ( x) ? x ? 3 ,求函数的定义域。
? x+3 ? 0 ? x ? ?3 ,所以该函数的定义域为{ x|x ? ?3 }。

练习题: 求下列函数的定义域 ① f ( x) ?
1 x?4

② f ( x) ?

1 x ? x?6
2

③ f ( x) ?

1 1 ?4 x
1 x

④ f ( x) ? x-5 ⑦ f ( x) ?
1 x?4

⑤ f ( x) ? x 2 +x-6
? x2 ? 2 x ? 8 ⑧ f ( x) ? x

⑥ f ( x) ?

参考答案:

① {x|x ? 4} ④ {x|x ? 5} ⑦ {x|x ? 4}

② {x|x ? 3且x ? ?2} ⑤ {x|x ? 2或x ? ?3} ⑧ {x|-2 ? x ? 4且x ? 0}

③{ x | x | x ? 且x ? 0 } ⑥ {x|x ? 0}

1 4

求定义域要从外往内算,即从大往小算,以第③题为例: 解析:首先看整体,该题是一个分式,分式分母不能为 0,所以得出方程
1 1 ? 4 ? 0 ,再看分母上,有 x x

,所以得出方程 x ? 0 ,所以可得方程组如下:

{x ?0

1 ? 4? 0 x

解之得 x ? 且x ? 0

1 4

任何题目只要这样解析就可以了,绝对不能省步骤,从外往内分解肯定不会 出现问题,不然会遗漏。下面做几道高考真题练习一下,很简单,只不过需要多 列几个方程而已,思路是一样的,考点也是一样的。 高考真题练习: ①函数 y = ②函数 y ? A. [?4, 1]
1 6 - x - x2

的定义域是(



.

? x 2 ? 3x ? 4 的定义域为 x B. [?4, 0) C. (0, 1]

D. [?4, 0) ? (0, 1]

③函数 y ? 1 ? x ? x 的定义域为( A. {x | x ≤1} C. {x | x ≥1或x ≤ 0} 参考答案: ① (-3,2) 3、值域 ②D ③D



B. {x | x ≥ 0} D. {x | 0 ≤ x ≤1}

将所有输出值 y 组成的集合称为函数的值域。 由于求函数的值域主要涉及到以后需要学习的函数,需要用到函数的单调 性、周期性、函数的图像等知识,所以在此不展开讲了。仅举一个简单例子。 已知函数 y ? x ? 1 x ? ?1, 2? ,求函数的值域。 解析:此函数为一次函数,单调递增,因为 x ? ?1, 2? ,所以其值域为 ? 2,3? 。 4、对应法则 f 对应法则 f 指的是自变量 x 和因变量 y 之间的关系。 比如函数 y=f(x)=2x, 这里的对应法则 f 指的就是因变量 y 等于 x 的两倍。 由 此可知,f(t)=2t,f(a)=2a, f(b)=2b. 例题:已知 f ( x) ? x2 ? x ,求 f (2), f (4), f (n), f (n ? 1), f (n2 ? n), f ( f (x)) 解: f (2) ? 22 ? 2 ? 6
f (n) ? n2 ? n f (4) ? 42 ? 4 ? 20 f (n ? 1) ? (n ? 1)2 ? (n ? 1) ? n2 ? 3n ? 2

发现规律了吧,其实很简单,只需要把括号内的自变量带进去就可以,记住 中间的步骤如 f (n ? 1) ? (n ? 1)2 ? (n ?1) 一定不能省。
f (n2 ? n) ? (n2 ? n)2 ? (n2 ? n) ? n4 ? 2n3 ? 2n2 ? n

仔细观察,其实 f (n2 ? n) ? f ( f (n))
f ( f ( x)) ? f ( x2 ? x) ? ( x2 ? x)2 ? ( x2 ? x) ? x4 ? 2x3 ? 2x2 ? x

练习题: ①已知 f ( x) ? x ? x2 , f (0), f (1), f ( ), f (n ? 1) ? f (n) ②已知, f ( x) ? x ? x2 , g ( x) ? x ? 5 ,求 f (n), f (n ? 5), f ( g ( x)), f ( g ( x ? 5)) 参考答案: ① f (0) ? 0
f (1) ? 0
1 1 f( )? 2 4 1 2

f (n ? 1) ? f (n) ? (n ? 1) ? (n ? 1)2 ? (n ? n2 ) = ?2n

② f (n) ? n ? n2

f (n ? 5) ? n ? 5 ? (n ? 5)2 ? ?n2 ? 9n ? 20

f ( g ( x)) ? f ( x ? 5) ? x ? 5 ? ( x ? 5)2 ? ? x2 ? 9x ? 20 f ( g ( x ? 5)) ? f (( x ? 5) ? 5) ? f ( x ? 10) ? ( x ? 10) ? ( x ? 10)2 ? ? x2 ?19x ? 90

该知识点是重点,学函数就要适应表达式的计算,而不是仅仅学会数字的计 算。 (二)函数的图像 函数的图像是非常重要的内容,许多题目都是围绕数形结合来展开的,掌握 了函数的图像对做题很有帮助。这里主要简单回顾并深化三类函数的图像:一次 函数;二次函数;反比例函数。 1、一次函数 通常表示为 y ? kx ? b
(k ? 0)

根据 k 的正负,可以简单地分为两大类,即
4 3 2 1

y

4

y

y=kx+b(k>0)
x

3 2 1

y=kx+b(k<0)
x

–4

–3

–2

–1

O
–1 –2 –3 –4

1

2

3

4

5

–4

–3

–2

–1

O
–1 –2 –3 –4

1

2

3

4

5

一次函数的图形容易,找到两个点即( ? ,0)和(0,b)就行了,这两个 点是函数与 x 轴和 y 轴的交点。如画出函数 y=x-2 的图形,两个点分别为(1,0)

b k

和(0,-2) 。
4 3 2 1

y

y=2x-2
x

–4

–3

–2

–1 O –1 –2 –3 –4

1

2

3

4

5

一次函数的运算,这个应该是初中掌握的,在这里简单叙述一下,以求一次 函数方程为例: 已知函数 f ( x) ? ax ? b ,且 f (3) ? 7 , f (5) ? ?1 ,求 f (0) , f (1) 的值。 解:由题意可列方程组

a ?b ? 7 {3 5 a ?b ??1
a ??4 { 解之得: b ?19
f ( x) ? ?4 x ? 19 ? f (0) ? 19, f (1) ? 15

有两类特殊的图像要注意: y ? a; x ? a ,这里 a 是常数。

5 4 3 2 1

y

5
x=2

y

4 3 2 1
x

y=2

x

–4 –3 –2 –1

O

1

2

3

4

5

6

–4 –3 –2 –1

O

1

2

3

4

5

6

–1 –2 –3 –4

–1 –2 –3 –4

2、二次函数 二次函数永远都是高中数学的重点, 大的题目的计算基本都是以二次函数为 基础的,这里简单列出几种二次函数的图形,在以后的学习中可以通过逐渐的练 习慢慢熟悉。 二次函数的一般形式: y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 二次函数主要考察以下几点: (1) a 的正负决定函数的开口方向; (2) ? 值 的正负决定了函数与 x 轴的交点个数; (3) x ? ? 点坐标 (?
b 4ac ? b2 , )。 2a 4a
b 决定了对称轴的正负; (4)顶 2a

(1) a 的值
a 的正负决定函数的开口方向: a ? 0 时开口向下, a ? 0 时开口向上。

(2) ? 值( ? ? b2 ? 4ac )
? 值的正负决定了函数与 x 轴的交点个数。

? ? ? ,与 x 轴没有交点,如函数 y ? x2 ? x ? 1 , ? ? 1 ? 4 ? ?3 ? 0 ,函数图像如下:

? ? ? ,与 x 轴有一个交点,如函数 y ? x2 ? 2 x ? 1, ? ? ? ? ? ? ? ,函数图像如下:

? ? ? ,与 x 轴有两个交点,如函数 y ? x2 ? x ? 6 , ? ??? ?????? ? ?? ,函数图像

如下:

(3) x ? ?
x??

?1 1 ? ,其图像见下图: 2 2

b 是 二 次 函 数 的 对 称 轴 , 如 函 数 y ? x2 ? x ?6 , 其 对 称 轴 为 2a

(4)顶点坐标 (?

b 4ac ? b2 , ) 2a 4a

只需要记住顶点坐标的方程式就行了。 只要涉及到二次函数,一定要想到这几个知识点,且这几个知识点分开记就 是了,没必要分那么多情况记,还要记象限之类的,那样会更乱。 3、反比例函数 反比例函数的一般形式是 y ? (k ? 0) ,也根据 k 的正负分两类情况:
k ? 0 时,函数在一、三象限; k ? 0 ,函数在二、四象限。

k x


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