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3.2.1 直线的点斜式方程(导学案)


3.2.1

直线的点斜式方程

学习目标 1.了解由斜率公式推导出直线方程的点斜式并掌握由点斜式推导出直线的斜截式方程; 2.初步学会利用直线方程的知识解决有关的实际问题. 学法指导 通过已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素,探讨得出直线的点斜式、斜截式方程;通过 对比理解“截距”与“距离”的区别,体会直线的斜截式方程与一次函数的关系,

进一步培养学生 数形结合的思想. 一 复习 问题 1 已知两点 A(x1,y1)、B(x2,y2),如何求直线 AB 的斜率?

问题 2 在直角坐标系内确定一条直线,应知道哪些条件?

二 新课 问题探究点一 直线的点斜式方程 问题 1 求直线的方程指的是求什么?

问题 2 直线 l 经过点 P0(x0,y0),且斜率为 k,设点 P(x,y)是直线 l 上的任意一点, (1)怎样建立 x,y 与 k,x0,y0 之间的关系?

(2)过点 P0(x0,y0),斜率是 k 的直线 l 上的点,其坐标都满足(1)中的方程 吗?为什么?

(3)坐标满足方程 y-y0=k(x-x0)的点都在过点 P0(x0,y0),斜率为 k 的直线上吗?为什么?

小结 上述(2),(3)两条都成立,所以方程①就是过点 P0(x0,y0),斜率为 k 的直线的方程.方程①由 直线上一点及其斜率确定,把这个方程叫做直线的点斜式方程,简称点斜式. 问题 3 如何求 x 轴所在的直线方程?

问题 4 由 x 轴的方程你能猜出 y 轴所在的直线方程吗?

问题 5 如何求出经过点 P0(x0,y0)且平行于 x 轴(即垂直于 y 轴)的直线方程是什么?

问题 6 如何求过点 P0(x0,y0)且平行于 y 轴(即垂直于 x 轴)的直线方程?

例 1 直线 l 经过点 P0(-2,3),且倾斜角 α=45° ,求直线 l 的点斜式方程,并画出直线 l.

小结

1.求直线的点斜式方程:

2.点斜式方程 y-y0=k(x-x0)可表示过点 P(x0,y0)的所有直线,但 x=x0 除外. 跟踪训练 1 写出下列直线的点斜式方程. (1)经过点 A(2,5),且与直线 y=2x+7 平行;

(2)经过点 D(1,1),且与 x 轴垂直.

问题探究点二 直线的斜截式方程 问题 1 已知直线 l 的斜率为 k,且与 y 轴的交点为(0,b),得到的直线 l 的方程是什么?

小结 我们把直线与 y 轴交点的纵坐标 b 叫做直线 l 在 y 轴上的截距.方程 y=kx+b 由直线的斜率 k 与它在 y 轴上的截距 b 确定,所以该方程叫做直线的斜截式方程,简称斜截式. 问题 2 直线 y=kx+b 在 x 轴上的截距是什么?它是直线与 x 轴的交点到原点的距离吗?截距的值 一定是正数吗?

问题 3 观察方程 y=kx+b,它的形式具有什么特点?

问题 4 你如何从直线方程的角度认识一次函数 y=kx+b?一次函数中 k 和 b 的几何意义是什么?

例 2 已知直线 l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2, 试讨论: (1)l1∥l2 的条件是什么? (2)l1⊥l2 的条件是什么?

小结 已知 l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则 l1∥l2?k1=k2,且 b1≠b2;l1⊥l2?k1k2=-1. 跟踪训练 2 已知直线 l 过点 P(2,1),且直线 l 的斜率为直线 x-4y+3=0 的斜率的 2 倍,求直线 l 的方程.

三 本课小结 1.已知直线 l 经过的一个点和直线斜率就可用点斜式写出直线的方程.用点斜式求直线方程时,必须 保证该直线斜率存在.而过点 P(x0,y0),斜率不存在的直线方程为 x=x0.直线的斜截式方程 y=kx +b 是点斜式的特例. 2.求直线方程时常常使用待定系数法,即根据直线满足的一个条件,设出其点斜式方程或斜截式方 程,再根据另一条件确定待定常数的值,从而达到求出直线方程的目的.但在求解时仍然需要讨 论斜率不存在的情形.


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