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定积分应用题附答案


《定积分的应用》复习题 一.填空: 1.曲线 y ? ln x, y ? ln a, y ? ln b(0 ? a ? b)及y轴 所围成的平面图形的面积 为 A= 2.

?

ln b

ln a

e y dy =b-a______
____

曲线y ? x 2和

y ? x所围成的平面图形的面积是

1 ____ 3

二.计算题: 1.求由抛物线 y2 = 2x 与直线 2x + y – 2 = 0 所围成的图形的面积。 解: (1)确定积分变量为 y,解方程组

? y2 ? 2x ? x1 ? 1/ 2 ? x2 ? 2 得? , ? ? y1 ? 1 y ? ?2 x ? 2 ? ? y2 ? ?2 ?
即抛物线与直线的交点为(

1 ,1)和( 2 , - 2 ).故所求图形在直线 y = 1 和 2

y = - 2 之间,即积分区间为[-2,1 ] 。 (2)在区间[-2,1]上,任取一小区间为[ y , y + dy ],对应的窄条面积 近似于高为[(1-

1 1 y)- y2 ],底为 dy 的矩形面积,从而得到面积元素 2 2

dA = [(1-

1 1 2 y)y ]dy 2 2

(3)所求图形面积 A =

?

1 ?2

[(1-

9 1 1 1 2 1 3 1 y)- y2 ]dy = [y y – y ] ?2 = 6 2 2 4 4

2.求抛物线 y = - x2 + 4x - 3 及其在点(0,- 3)和(3,0)处的切线所围 成的图形的面积。 解:由 y = - x2 + 4x – 3 得

y ' ? ?2x ? 4 , y '(0) ? 4, y '(3) ? ?2 。
3 2

抛物线在点(0,- 3)处的切线方程为 y = 4x – 3 ;在点(3,0)处的切线方程为 y = - 2x + 6 ; 两切线的交点坐标为 ( 故 面积 A = ,3 ) 。

?

3 2 0

[(4 x ? 3) ? ( x 2 ? 4 x ? 3)] dx ? ?3 [(?2 x ? 6) ? ( x 2 ? 4 x ? 3)] dx ?
2

3

9 4

3.求由摆线 x = a (t – sint) , y = a( 1- cost) 的一拱( 0 ? t 横轴所围成的图形的面积。 解: A ?
2?

? 2? )与

?

2? a

0

y ( x)dx ? ? a(1 ? cos t ) ? a(1 ? cos t )dt
0

2?

? a 2 ? (1 ? 2cos t ?
0

1 ? cos 2t )dt ? 3? a 2 2

4. 求由下列曲线所围成的图形的公共部分的面积:r = 3 cos ? 及 r = 1 + cos ?

解:两曲线的交点由 ?

? r ? 3cos? ?r ? 1 ? cos?

? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? 3 ? 3 , 解得 ? 及? ?r ? 3 ? r ? 3 ? 2 ? 2 ? ?

? ? ?1 ? 1 2 3 (1 ? cos ? ) d? ? ??2 (3cos ? ) 2 d? ? 故 A = 2 ?? 0 3 2 ? 2 ?

? ? ? 5? 1 ? cos 2? 9 ? 3 ) d? ? ??2 (1 ? cos 2? ) d? ? ? = ? ? (1 ? 2cos ? ? 0 2 2 3 ? ? 4
5.计算由摆线 x = a (t – sint ) , y = a ( 1- cost) 的一拱( 0 ? t

? 2? ) ,

直线 y = 0 所围成的图形分别绕 X 轴、Y 轴旋转而成的旋转体的体积。 解:

Vx ? ?
2? 0

2? a

0

? y 2 ( x)dx ? ? ? a 2 (1 ? cos t )2 ? a(1 ? cos t )dt
0

2?

? ? a3 ? (1 ? 3cos t ? 3cos 2 t ? cos3 t )dt ? 5? 2 a3
2 Vy ? ? ? x2 ( y )dy ? ? ? x12 ( y )dy 0 0 2a 2a

=

? ? a 2 (t ? sin t )2 ? a sin tdt ? ? ? a 2 (t ? sin t )2 ? a sin tdt
2? 0 2? 0

?

?

? ? ? a3 ? (t ? sin t )2 sin tdt ? 6? 3a3
6.求由 x2 + y 2 = 2 和 y = x2 所围成的图形绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积。 解: (1)取积分变量为 x,为求积分区间,解方程组:

{

x2 ? y2 ? 2 y ? x2



得圆与抛物线的两个交点为

{ y ? 1 ,{

x ?1

x ? ?1 y ?1


所以积分区间为 [-1,1]。

(2)在区间[-1,1]上任取一小区间[x, x+dx],与它对应的薄片体积近似于 [ ? (2 - x2)- ? x4] dx ,从而得到体积元素 2 4 2 4 dV = ? [(2 - x )- x ]dx = ? (2 - x - x )dx. (3)故 Vx =

?

? ?1 (2
1
2

- x2- x4)dx =

44 ? 15

7.求圆盘 ( x ? 2)

? y 2 ? 1绕 Y 轴旋转而成的旋转体的体积。

解 设旋转体积为 V,则

V ? 2* 2? ? x 1 ? ( x ? 2) 2 dx
1

3

令x ? 2 ? sin t 则 V=4? ? 2? (2 ? sin t ) cos 2 t dt
? 2

?

? ? ? ? 2 ? 4? ? ? ? (1 ? cos 2t )dt ? ? 2? sin t cos 2 tdt ? ? 2 ? ?2 ? ? 1 ? 4? (t ? sin 2t ) | 2? ? 4? 2 ? 2 2

8.设有抛物线 C:y = a – bx2 ( a > 0 , b > 0 ),试确定常数 a , b 的值,使得 C 与 直线 y = x + 1 相切,且 C 与 X 轴所围图形绕 Y 轴旋转所得旋转体的体积达到 最大。 解:设切点坐标为( x , y ) ,由于抛物线与 y = x + 1 相切, 故有 K = - 2bx = 1 , 得

x??

1 2b



1 ? 1 ? a ? b? ? ? ? ? ?1 2b ? 2b ?
a 2 a

2

解得

a?

1 ?1 4b

,即: b ?

1 4(1 ? a )

a? y ? a2 dy ? ? 2? a 2 (1 ? a ) 由 V ( a ) ? ? ? x dy ? ? ? 0 0 b 2b


V '(a) ? 2? a(2 ? 3a) ? 0



a?

2 3 , b? 3 4

? x ? a cos3 t 9.设星形线方程为 ? ( a > 0) ,求: y ? a sin 3 t ?
(1)由星形线所围图形的面积 (2)星形线的长度。 解: (1)由对称性得 A

? 4 ? y ( x)dx ? 4 ?? a sin 3 t ? 3a cos 2 t ( ? sin t )dt
0 2

a

0

? 12a
(2)L =
?

2

?

?

2 0

sin 4 t cos 2 tdt ?
?

3? 2 a 8

4? 2 x '2 (t ) ? y '2 (t ) dt
0

=

4? 2 (?3a cos 2 t sin t) 2 ? (3a sin 2 t cos t) 2 dt
0

=

12a ? 2 sin t cos t dt ? 6a
0

?

10. 计算曲线 x ? 最近点的弧长。

?

t

cos?

1

?

d? , y ? ?

t

sin ?

1

?

d?

自原点到与具有铅直的切线

dy sin t dy dt ? ? t ? tan t 解: dx dx cos t dt t
曲线上具有铅直切线且与原点距离最近的点所对应的参数为 t

?

?
2

, 原点对应的

参数 t = 1 。 故

s=

?

?
2

1

x ' (t ) ? y ' (t ) dt ? ? 2
2 2 1

?

? ? ? cos t ? ? sin t ? ?? dt ? ln t |12 ? ln ? ? ? 2 ? t ? ? t ?
2 2

11.设 S1 为曲线 y = x2 、直线 y = t 2 (t 为参数)及 Y 轴所围图形的面积;S2 为曲线 y = x2 、直线 y = t 2 及 x = 1 所围图形的面积。问 t 为何值时,S = S1+S2 取得最大值、最小值。 解: S (t ) ?
1 4 1 (t 2 ? x2 )dx ? ? ( x2 ? t 2 )dx ? t 3 ? t 2 ? ?0 t 3 3 t



S '(t ) ? 4t 2 ? 2t ? 0 , 解得 t1 ? 0 , t2 ? 1 1 1 2 S (0) ? , S ( ) ? , S (1) ? 3 2 4 3

1 2

于是

故 Smax = S(1) =

2 3

, Smin =

1 1 S( ) ? 2 4

三.证明题: 1.证明:曲线 y = sinx 的一个周期的弧长等于椭圆 2x2+ y2 = 2 的周长。 证明:y = sinx 的一个周期的弧长 L1 =

4? 2 1 ? y ' dx ? 4? 2 1 ? cos2 x dx
2 0 0

?

?

椭 圆

2x +

2

y

2

=

2

即 :

y2 x ? ?1 ( 22 )
2

化 为 参 数 方 程 为

? x ? c ot s ? ( 0 t ? ?2 ? ? y? 2 s t n i ? ?
其弧长为 L2 =

)

4?

?

2 0

x ' (t ) ? y ' (t ) dt ? 4?
2 2

?

2 0

sin t ? 2cos t dt ? 4 ? 2 1 ? cos 2 t dt
2 2 0

?

故 L1 = L2


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