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2013高考风向标文科数学一轮课时知能训练:专题4


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专题四

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圆锥曲线的综合及应用问题

x2 y2 1.若双曲线 - 2=1 的一条准线与抛物线 y2=8x 的准线重合,则双曲线离心率为( ) 8 b A. 2 B.2 2 C.4 D.4 2 x2 y2 2.两个正数 1,9 的等差中项

是 a,等比中项是 b,则曲线 + =1 的离心率为( ) a b 10 2 10 A. B. 5 5 4 10 2 10 C. D. 与 5 5 5 2 x 3.与椭圆 +y2=1 共焦点且过点 P(2,1)的双曲线方程是( ) 4 2 2 x x A. -y2=1 B. -y2=1 4 2 x2 y2 y2 C. - =1 D.x2- =1 3 3 2 1 2 4. 过抛物线 y= x 准线上任一点作抛物线的两条切线, 若切点分别为 M, 则直线 MN 过定点( N, ) 4 A.(0,1) B.(1,0) C.(0,-1) D.(-1,0) sinA+sinC x2 y2 5.已知△ABC 的顶点 A(-4,0)和 C(4,0),顶点 B 在椭圆 + =1 上,则 =( ) 25 9 sinB 5 5 4 8 A. B. C. D. 4 8 5 5 y2 |PF1|2 6.已知 F1,F2 分别为双曲线 x2- =1 的左、右焦点,P 为双曲线右支上的任意一点,则 的最 3 |PF2| 小值为( ) A.8 B.5 C.4 D.9 7.已知双曲线的方程是 5x2-4y2=20,填充下列各题: (1)中心坐标是________;(2)顶点坐标是________; (3)焦点坐标是________;(4)准线方程是________; (5)渐近线方程是________;(6)离心率是________. x2 y2 8.对于曲线 C: + =1,给出下面四个命题: 4-k k-1 ①曲线 C 不可能表示椭圆; ②当 1<k<4 时,曲线 C 表示椭圆; ③若曲线 C 表示双曲线,则 k<1 或 k>4; 5 ④若曲线 C 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则 1<k< . 2 其中所有正确命题的序号为________. 9.(2011 年北京)曲线 C 是平面内与两个定点 F1(-1,0)和 F2(1,0)的距离的积等于常数 a2(a>1)的点的轨 迹.给出下列三个结论: ①曲线 C 过坐标原点; ②曲线 C 关于坐标原点对称; 1 ③若点 P 在曲线 C 上,则△F1PF2 的面积不大于 a2. 2 其中,所有正确结论的序号是____________. x2 y2 3 10. (2011 年四川)过点 C(0,1)的椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 , 椭圆与 x 轴交于两点 A(a,0), B(- a b 2 a,0),过点 C 的直线 l 与椭圆交于另一点 D,并与 x 轴交于点 P,直线 AC 与直线 BD 交于点 Q(如图 K4- 1). (1)当直线 l 过椭圆右焦点时,求线段 CD 的长;
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→ → (2)当点 P 异于点 B 时,求证:OP· 为定值. OQ

图 K4-1

11.(2011 年广东揭阳一模)在直角坐标系 xOy 上取两个定点 A1(-2,0),A2(2,0),再取两个动点 N1(0, m),N2(0,n),且 mn=3. (1)求直线 A1N1 与 A2N2 交点的轨迹 M 的方程; (2)已知点 A(1,t)(t>0)是轨迹 M 上的定点,E,F 是轨迹 M 上的两个动点,如果直线 AE 的斜率 kAE 与 直线 AF 的斜率 kAF 满足 kAE+kAF=0,试探究直线 EF 的斜率是否是定值?若是定值,求出这个定值,若不 是,说明理由.

x2 y2 1 12. (2011 年广东广州调研)已知椭圆 E: 2+ =1(a> 3)的离心率 e= .直线 x=t(t>0)与曲线 E 交于不 a 3 2 同的两点 M,N,以线段 MN 为直径作圆 C,圆心为 C. (1)求椭圆 E 的方程; (2)若圆 C 与 y 轴相交于不同的两点 A,B,求△ABC 的面积的最大值.
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圆锥曲线的综合及应用问题

1.A

2.D 3.B

4.A 5.A 6.A

4 7.(1)(0,0) (2)(± 2,0) (3)(± 3,0) (4)x=± 3 5 3 (5)y=± (6) 2 2 8.③④ 9.②③ c 3 10.解:(1)由已知得 b=1, = ,解得 a=2, a 2 x2 所以椭圆方程为 +y2=1. 4 椭圆的右焦点为( 3,0), 3 此时直线 l 的方程为 y=- x+1. 3 代入椭圆方程得 7x2-8 8 3x=0,解得 x1=0,x2= 3 7 .

1 代入直线 l 的方程得 y1=1,y2=- , 7 8 3 1? 所以 D? . ? 7 ,-7? ?8 3-0?2+?-1-1?2=16. 故|CD|= ? 7 ? ? 7 ? 7 (2)当直线 l 与 x 轴垂直时与题意不符. 1 设直线 l 的方程为 y=kx+1?k≠0且k≠2?. ? ? 代入椭圆方程得(4k2+1)x2+8kx=0. -8k 解得 x1=0,x2= 2 . 4k +1 1-4k2 代入直线 l 的方程得 y1=1,y2= 2 , 4k +1 2 ? -8k 1-4k ?. 所以 D 点的坐标为? 2 , 2 ? ?4k +1 4k +1? x 又直线 AC 的方程为 +y=1, 2
? ?x=-4k, 1+2k 直线 BD 的方程为 y= (x+2),联立得? 2-4k ? ?y=2k+1. 1 因此 Q(-4k,2k+1),又 P?-k ,0?. ? ? → → ? 1 ? 所以OP· =?-k ,0?· OQ (-4k,2k+1)=4. → → 故OP· 为定值. OQ m 11.解:(1)依题意知直线 A1N1 的方程为:y= (x+2), 2 n 直线 A2N2 的方程为:y=- (x-2). ② 2 设 Q(x,y)是直线 A1N1 与 A2N2 交点, mn ①×②得 y2=- (x2-4). 4 x2 y2 由 mn=3,整理得 + =1. 4 3 ∵N1,N2 不与原点重合, ∴点 A1(-2,0)、A2(2,0)不在轨迹 M 上.



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x2 y2 ∴轨迹 M 的方程为 + =1(x≠± 2). 4 3 (2)∵点 A(1,t)(t>0)在轨迹 M 上, 3 1 t2 3 ∴ + =1 解得 t= .即点 A 的坐标为?1,2?. ? ? 4 3 2 3 设 kAE=k,则直线 AE 方程为:y=k(x-1)+ . 2 x2 y2 代入 + =1, 4 3 3 并整理得(3+4k2)x2+4k(3-2k)x+4?2-k?2-12=0. ? ? 设 E(xE,yE),F(xF,yF). 3 ∵点 A?1,2?在轨迹 M 上, ? ? 3 ?2 4?2-k? -12 ? ∴xE= , ③ 3+4k2 3 yE=kxE+ -k. ④ 2 3 4?2+k?2-12 ? ? 3 又 kAE+kAF=0 得 kAF=-k,将③、④式中的 k 代换成-k,可得,xF= ,yF=-kxF+ + 2 2 3+4k k. yF-yE -k?xF+xE?+2k ∴直线 EF 的斜率 kEF= = . xF-xE xF-xE 8k2-6 24k ∵xE+xF= 2 ,xF-xE= 2 , 4k +3 4k +3 8k2-6 -k· 2 +2k 4k +3 -k?8k2-6?+2k?4k2+3? 1 ∴kEF= = = . 24k 24k 2 2 4k +3 1 即直线 EF 的斜率为定值,其值为 . 2 x2 y2 1 12.解:(1)∵椭圆 E: 2+ =1(a> 3)的离心率 e= , a 3 2 2 a -3 1 ∴ = .解得 a=2. a 2 x2 y2 ∴椭圆 E 的方程为 + =1. 4 3 (2)方法一:依题意,圆心为 C(t,0)(0<t<2). ?x=t, ? 12-3t2 由?x2 y2 得 y2= . 4 ? 4 + 3 =1, ? 12-3t2 . 2 ∵圆 C 与 y 轴相交于不同的两点 A,B,且圆心 C 到 y 轴的距离 d=t, 12-3t2 2 21 ∴0<t< ,即 0<t< . 2 7 12-3t2 2 ∴弦长|AB|=2 r2-d2=2 -t = 12-7t2. 4 1 ∴△ABC 的面积 S= · 12-7t2 t 2 ∴圆 C 的半径为 r=
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= = 1 2 3 7 ×( 7t)· 12-7t2≤ 7 2 7 . 1
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? 7t? +12-7t × 2 7

当且仅当 7t= 12-7t2,即 t= ∴△ABC 的面积的最大值为 3

42 时,等号成立. 7

7 . 7 方法二:依题意,圆心为 C(t,0)(0<t<2). ?x=t, ? 12-3t2 由?x2 y2 得 y2= . 4 ? 4 + 3 =1, ? 12-3t2 . 2 12-3t2 ∴圆 C 的方程为(x-t)2+y2= . 4 ∵圆 C 与 y 轴相交于不同的两点 A,B,且圆心 C 到 y 轴的距离 d=t, 12-3t2 2 21 ∴0<t< ,即 0<t< . 2 7 12-3t2 在圆 C 的方程(x-t)2+y2= 中, 4 12-7t2 令 x=0,得 y=± . 2 ∴弦长|AB|= 12-7t2. 1 ∴△ABC 的面积 S= · 12-7t2 t 2 ? 7t?2+12-7t2 1 1 = ×( 7t)· 12-7t2≤ × 2 2 7 2 7 3 7 = . 7 42 当且仅当 7t= 12-7t2,即 t= 时,等号成立. 7 3 7 ∴△ABC 的面积的最大值为 . 7 ∴圆 C 的半径为 r=

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