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山东省武城县第二中学2015-2016学年高二数学上学期第三次月考试题 文


高二数学上学期(文科)月考试题
2016.1.16 一、选择题 1.在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对应的边分别为 a、b、c ,则“ A ? B ”是 sin A ? sin B 的( ) A .充分必要条件 C.必要不充分条件 B.充分不必要条件 D.不充分不必要条件

2.已知 m, n 表示两条不同直线, ? 表示平面,下列说法正确的是( ) A.若 m / /? , n / /? ,则 m / / n B.若 m ? ? , n ? ? ,则 m ? n C.若 m ? ? , m ? n ,则 n / /? D.若 m / /? , m ? n ,则 n ? ? 3.直线 3ax ? y ? 1 ? 0 与 (a ? ) x ? y ? 1 ? 0 垂直,则 a 值是( A.-1 或

2 3



1 1 1 C. ? 或-1 D. ? 或 1 3 3 3 4.过点 P(-2,4)作圆 ( x ? 2)2 ? ( y ?1)2 ? 25 的切线 l ,直线 m : ax ? 3 y ? 0 与 l 平行,则 l 与 m 的
B.1 或 距离 为( ) A.4 B.2 C.

1 3

8 5

D.

12 5

5.已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线平行于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 ,则该双曲线的离心率为 ( ) A.5 或

5 5 3 C. 3 或 D.5 或 3 2 2 ? x ? y ? 2 ? 0, ? 6.在平面直角坐标系中,不等式组 ? x ? y ? 2 ? 0, 表示的平面区域的面积是( ) ? x ? 2. ?
B. 5 或 A. 4 2 B.4 C. 2 2 ) D.2 7.下列求导运算正确的是(

5 4

1 1 A. ( x ? )? ? 1 ? x 2x2 C. (3x )? ? 3x log3 e
2

1 x ln 2 2 ? D. ( x ? cos x) ? ?2 x sin x
B. (log 2 x)? ?

8.设抛物线 x ? 12 y 的焦点为 F ,经过点 P(2,1) 的直线 l 与抛物线相交于 A、B 两点,又知点 P 恰 为 AB 的中点,则 | AF | ? | BF |? ( ) A.6 值是( ) A.-37 10.已知椭圆 E : B.-29
2 2

B.7
3 2

C.8

D.9

9.已知 f ( x) ? 2 x ? 6 x ? m ( m 为常数)在 [?2, 2] 上有最大值 3,那么此函数在 [?2, 2] 上的最小 C.-5 D.以上都不正确

x y ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的右焦点 F , 短轴的一个端点为 M , 直线 l : 3x ? 4 y ? 0 交 2 a b

1

椭圆 E 于 A, B 两点,若 | AF | ? | BF |? 4 ,点 M 到直线 l 距离不小于 值范围是( ) A. (0, 二、填空题 11.命题“若 xy ? 0 ,则 x2 ? y 2 ? 0 ”与它的逆命题、否命题、逆否 中,真命题的个数为 .

4 ,则椭圆 E 的离心率 的取 5

3 ] 2

B. (0, ]

3 4

C. [

3 ,1) 2

D. [ ,1)

3 4

命题 2 3 2 3 2 交 于 A, B 两

12.右图是一个几何体的三视图,其表面积是 13.以 (1, ?1) 为中点的抛物线 y 2 ? 8x 的弦所在直线方程为 . 14.已知直线 ax ? y ? 2 ? 0 与圆心为 C 的圆 ( x ?1) ? ( y ? a) ? 4 相
2 2

点,且 ?ABC 为等边三角形,则实数 a ? . 15.已知点 F1 , F2 是双曲线 C 的两个焦点,过点 F2 的直线交双曲线 C 的 一支于 A, B 两点,若 ?ABF1 为等边三角形,则双曲线 C 的离心率为 三、解 答题 16.已知两条直线 l1 : mx ? 8 y ? n ? 0 和 l2 : 2 x ? my ? 1 ? 0 确定 m, n 的值使 (1) l1 / / l2 ; (2) l1 ? l2 ,且 l1 在 y 轴上的截距为-1. .

17. 设命题 P : 实数 x 满足 x ? 4ax ? 3a ? 0 其中 a ? 0 ,命题 q : 实数 x 满足 x ? 2 x ? 8 ? 0 且 ? p
2 2 2

是 ? q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围.

ABC 中,?C ? 90? ,D, E 分别为 AC, AB 的中点,点 F 为线段 CD 上的一点, 18.如图(1)在 Rt ?
将 ?ADE 沿 DE 折起到 ?A1 DE 的位置,使 A1F ? CD ,如图(2).
2

(1)求证 : DE / / 平面 A1CB ; (2)求证: A1F ? BE ;

19.设 f ( x) ? x3 ? 3ax2 ? 3bx 的图像与直线 12 x ? y ? 1 ? 0 相切于点(1,-11) , (1)求 a , b 的值; (2)讨论 f ( x ) 的单调性

20.已知定点 F (0,1) 和直线 l1 : y ? ?1 ,过定点 F 且与直线 l1 相切的动圆的圆心为点 C . (1)求动点 C 的轨迹方程; 直线 l2 的方 程. (2)过点 F 的直线 l2 交轨迹于两点 P, Q ,交直线 l1 于点 R ,求 RP ? RQ 最小值,并求此时的

??? ?

x2 y 2 2 21.如图,已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,F 1 、 F2 为其左、右焦点,过 F 1 的直线 a b 2 l 交椭圆于 A 、 B 两点, ?F1 AF2 的周长为 2( 2 ?1) .
(1)求椭圆的标准方程; (2)求 ?AOB 面积的最大值( O 为坐标原点) ;
3

C 、D 两点,且 l ? m ,设线段 AB 、CD 的中点分别为 M 、 (3)直线 m 也过 F 1 且与椭圆交于 N 两点,试问:直线 MN 是否过定点?若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由.

高二数学上学期(文科)月考试题 201 6.1.16 一、选择题 1-5 A 二、填空题 11、2 个 14、 4 ? 15 三、解答题 16、解: (1 ) m ? 0 时易得 l1 ? l2 , m ? 0 时,若 l1 / / l2 ,则 12、 12? 15、 3 13、 4 x ? y ? 3 ? 0 B D A B 6-10 B B C A A

m 8 n ? ? (3 分) 2 m ?1

?m ? 4 ?m ? ?4 或? ???????????? ??????????(6 分) ?? ?n ? ?2 ?n ? 2 l ? l2 ? 2m ? 8m ? 0 (2) 1 ??????????????????? ?(9 分)     ? m=0 n l : y ? ? ? ?1 此时 1 8    ?n?8 ∴ m ? 0, n ? 8 ?????????????????????????(12 分) (a ? 0) ????(3 分) 17、解: p : ( x ? 3a)( x ? a) ? 0 ,即 p : 3a ? x ? a   q : ( x ? 2)( x ? 4) ? 0 ,即 q : x ? 2 或 x ? ?4 ???? ????????(6 分) ∵ ? p 是 ? q 的必要不充分条件,即 q 是 p 的必要不充分条件。????(9 分)
3a

a

-4

2

∴ a ? ?4 ???????????????????????????(12 分) 18、证明: (1)易知 DE//C B DE ? 平面 A1CB CB ? 平面 A1CB ∴DE//平面 A1CB??????????????????? ???(5 分) (2)易知 DE ? A 1D, DE ? DC, A 1D ? DC ? D ∴DE⊥平面 A1CD,??????????????????(8 分) 又∵A1F ? 平面 A1CD
4

∴DE ⊥A1F,又∵A1F⊥CD 且 CD ? DE=D ∴A1F⊥平面 DCBE,??????????????????(10 分) 又∵BE ? 平面 DCBE 19、解: (1) ? ∴A1F⊥BE??????????(12 分)

? f (1) ? ?11 ?a ? 1 ????????????(6 分) ?? ? f ?(1) ? ?12 ?b ? ?3 (2) f ( x) ? x3 ? 3x2 ? 9x ? f ?( x) ? 3x2 ? 6x ? 9 ??????????(8 分) f ?( x) ? 0 ? x ? ?1 或 x ? 3 , f ?( x) ? 0 ? ?1 ? x ? 3 ????????(10 分)
∴ f ( x ) 在 (??, ?1) 和( 3, ?? )上是增函数, f ( x ) 在(-1,3)上是减函数。 (12 分) 20、解: (1)易知 C 的轨迹为以 F 为焦点 l1 为准线的抛物线??????(3 分)

p ? 1 ? 2 p ? 2 ? 2 ? 4 ,∴方程为 x2 ? 4 y ?????????????(6 分) 2 2 (2)设 l2 : y ? kx ? 1, p ( x1, y1 ), Q( x 2 , y 2 ) R( ? , ?1) k ? y ? kx ? 1 ? x 2 ? 4kx ? 4 ? 0, x1 ? x2 ? 4k , x1 x2 ? ?4 , ? 2 ?x ? 4 y x 2 x 2 ( x x )2 y1 y2 ? 1 ? 2 ? 1 2 ? 1, y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2 ? 4k 2 ? 2 ?????(9 分) 4 4 16 ??? ? ??? ? 2 2 1 2 ∴ RP ? RQ ? ( x1 ? , y1 ? 1) ? ( x2 ? , y2 ? 1) ? ? ? 8 ? 4( k ? 2 ) ? 16 ?(11 分) k k k ??? ? ??? ? 2 当 k ? 1 即 k ? ?1 时, RP ? RQ 取最小值,此时 l2 : y ? ? x ? 1 ????(13 分)

?c 2 ?a ? 2 ? ? ? ?? 21、解: (1) ? a ,∴ a2 ? 2, b2 ? a2 ? c2 ? 1 , 2 ?c ? 1 ?2a ? 2c ? 2( 2 ? 1) ? ? x2 ? y 2 ? 1???????????????????????(4 分) ∴方程为 2 ? x ? ky ? 1 ? (2)可设 l : x ? ky ? 1 , ? x 2 ? (k 2 ? 2) y 2 ? 2ky ? 1 ? 0 2 ? ? y ?1 ?2

? y1 ?

2k ? 8k 2 ? 8 2k ? 8k 2 ? 8 ?????????????(6 分) , y ? 2 2(k 2 ? 1) 2(k 2 ? 1)
1 1 8k 2 ? 8 k 2 ?1 | OF1 | ? | y1 ? y2 |? ? 2 2 , 2 2 k2 ? 2 k ?2 k 2 ?1 k 2 ?1 k 2 ?1 = 2 ? 2 ? 2 (k 2 ? 2)2 [(k 2 ? 1) ? 1]2 (k 2 ? 1) 2 ? 2(k 2 ? 1) ? 1
1 1 (k 2 ? 1) ? 2 ?2 k ?1 ? 2 1 2 ? 2?2 2

∴S△AOB= S?AOF1 ? S?BOF1 ?

= 2

5

( 当 且 仅 当 k ?1 ?
2

1 ,即 k ? 0 时等号成立) , 所 以 △ AOB 面 积 的 最 大 值 为 k ?1
2

2 ??????????????????????????(10 分) 2 2 (3)过定点 (? , 0) 可通过特殊情形猜想,若有定点,则在 x 轴上。在 k ? 0, k ? ?1 的情况下, 3 1 设直线 l 的方程为: x ? ky ? 1 ,直线 m 的方程为: x ? ? y ? 1 。 k y ? y2 k ? 2 由(Ⅱ)得, yM ? 1 , 2 k ?2 k ?2 ?2 k ?1 ? 2 ,即M( 2 , 2 ), 故 xM ? k 2 k ?2 k ?2 k ?2 k ?2 ?2k 2 ?k , 2 ) ??????????????????????(12 分) 则 N( 2 2k ? 1 2k ? 1 k ?k ? 2 2 2 k k ? 2 2k ? 1 ( x ? 2k ), 可得直线 MN 的方程: y ? ? ?2 ?2k 2 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1 ? k 2 ? 2 2k 2 ? 1 k 3k 2k 2 3k 2k 2 k 即 y? 2 ,则 ? ( x ? ) y ? ( x ? )? 2 2 2 2 2 2k ? 1 2(k ? 1) 2k ? 1 2(k ? 1) 2k ? 1 2k ? 1 2 2 3k 2 3k 2k k 2(k ? 1) (x ? ) , y? [x ? 2 ? 2 ? ] ,即 y ? 2 2 2(k ? 1) 3 2(k ? 1) 2k ? 1 2k ? 1 3k 2 2 故直线 MN 过定点 (? , 0) (或令 y ? 0 ,即得 x ? ? ) 3 3 易验证当 k ? 0, k ? ?1时,结论仍成立。 2 综上,直线 MN 过定点 (? , 0) ????????????????(14 分) 3

6


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