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平面向量数量积的坐标表示、模及夹角


平面向量数量积的 坐标表示、模及夹角

一、平面向量的数量积 ? ? 设a、b是非零向量,则 ? ? ? ? ? ? a ? b ?| a || b | cos ? 称为a , b
的数量积.

? b

?

? a

平面向量数量积性质
? ? ? ?

? ? ( 2)当a与b同向时,? b ?| a || b |; a

? ? ? ? (1) | a ? b |?| a || b |

? ? ? ? ? ? 当a与b反向时,? b ? ? | a || b |; a ? ? ? 2 ? ? ? 特别地,a ? a ?| a | 或 | a |? a ? a ? ? ? a ?b (3) cos ? ? ? ? | a || b | ? ? ? ? ( 4)a ? b ? a ? b ? 0

?2 a

向量数量积的运算律

? ? ? 已知向量a, b, c和实数?,则: ? ? ? ? (1)a ? b ? b ? a; ? ? ? ? ? ? (2)(? a) ? b ? ? (a ? b) ? a ? (? b); ? ? ? ? ? ? ? (3)(a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c.

重要结论
? ? 2 ?2 ? ? ?2 1.(a ? b) ? a ? 2a ? b ? b ? ? 2 ?2 ? ? ?2 2.(a ? b) ? a ? 2a ? b ? b ? ? ? ? ? 2 ?2 3.(a ? b)(a ? b) ? a ? b

平面向量数量积的坐标表示、模及夹角

? ? 2 2 2 2 (2)模: ? x1 ? y1 , ? x2 ? y2 a b
(3)夹角: ? ? cos x1 x2 ? y1 y2 x ?y
2 1 2 1

? ? 设a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), 则 ? ? (1)数量积:? b ? x1 x2 ? y1 y2 a

x2 ? y2
2

2

? 一、设 a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ),则:
1.两向量平行(共线) ? 2.两向量垂直

重要结论: ?

? x1 x2 ? y1 y2 ? 0

x1 y2 ? x2 y1 ? 0

二、若A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ),则: ??? ? 1. AB ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 )
??? ? 2 2 2. AB ? ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 )

简单应用

? ? 例1 已知向量a=(4,3),b ? (?1,2), 求: ? ? (1) a ? b; 2 ? ? ? ? (2)( a ? 2b) ? ( a ? b); 17 ?2 ? ? (3) a ? 4a ? b 17

? ? 例2 已知a ? (1, 2), b ? (?3, 2), 求当k为何值时 ? ? ? ? (1)ka ? b与a -3b垂直? 19 ? ? ? ? 1 (2)ka ? b与a -3b平行? ? 3

? 例3. 已知向量a ? (m ? 2, m ? 3), ? b ? (1, 2)的夹角为钝角, 求m 的取值范围. 2 ? ?m ? 2 ? 2(m ? 2) ? 0 ?m ? 解: ?? 3 ? ?m ? 3 ? 2(m ? 2) ?m ? ?7 ? 2 m ? (??, ?7) ? (?7, ) 3

例4 已知A(1,2), B(2,3),C(2,5),

试判断Δ ABC的形状,并给出证明.
C y B A O

x

? ? ? ? ? ? 已知b=(1,1),? b ? 3, a ? b ? 2, 求 a . a 例5.
2 2

? ? ? ? a b 例6 已知︱︱=6,︱︱=4,a 与 b 的 ? ? ? ? ? ? 夹角为60°,求 (a ? 2b) ? (a ? 3b) 和 a ? b .

? ? ? ? ? 2 ? ? ?2 解: ? 2b) ? (a ? 3b) ? a ? a?? b ? 6b (a ? ?
2 2

?2 ? a ? a b cos 60? ? 6 b ? 6 ? 6 ? 4 ? cos 60 ? 6 ? 4 ? ?72
? 2

? ? a ? b ? 28 ? 2 7

? ? ? 例7.已知向量a, b, c两两的夹角都是120?, ? ? ? ? ? ? ? a =1, ? 2, c ? 3,求向量a +b+c与向量a b 的夹角.
1 3 参考数据: cos120? ? ? , cos150? ? ? 2 2

150?

例8. 求证:△ABC的三条高交于一点.
A E F

提示:选取D为坐标系 原点,BC所在直线为X B 轴,设定A、B、C三点 坐标及Y轴上的P点坐标, 由CP与AB垂直,验证 BP与AC垂直。

P D C

例9.?ABC的外接圆的圆心为O,两条边上 ???? ??? ??? ???? ? ? 的高的交点为H, ? m(OA ? OB ? OC ), OH 则实数m ? _____ .
A
F

答案:1
B

H
O

.
E

C

???? ???? ??? ? ??? ? ??? ???? ? AH ? OH ? OA ? (m ? 1)OA ? m(OB ? OC ) ???? ??? ???? ??? ???? ? ? ??? ??? ? ? AH ? CB ? AH ? (OB ? OC ) ? (m ? 1)(OA ? CB) ? 0

例10.在Rt△ABC中,已知斜边BC=2, uuu r 线段PQ以A为中点,且PQ=4,向量 BC 与 uuu uuu r r uuu r CQ . PQ 的夹角为60°,求 BP ×
uuu uuu r r BP g CQ = - 2
C Q

A

B

P


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