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贵州省贵阳市2013届高三适应性监测考试(一)数学理试题(扫描版)


贵阳市 2013 年高三适应性监测考试(一)

理科数学参考答案与评分建议
2013 年 2 月 一、选择题 题号 答案 1 D 2 A 3 C 4 A 5 C 6 B 7 C 8 D 9 D 10 B 11 B 12 C

二、填空题 (13) 52 三、解答题 (17)解: (Ⅰ)设 ?an ? 的公差为 d , (1

4)

8 3

(15)

2 ?1

(16)

2

?b2 ? S 2 ? 12, ?q ? 6 ? d ? 12, ? ? S2 6?d 因为 ? 所以 ? ··········· ······ 2 分 ··········· ······ ·········· ······· q? . q? , ? ? q b2 ? ? 解得 q ? 3 或 q ? ?4 (舍) d ? 3 . , ················4分 ··········· ····· ·········· ·····
故 an ? 3 ? 3(n ?1) ? 3n (Ⅱ )因要 S n ? 故 Tn ? , bn ? 3n?1 . ··········· ······ 6 分 ··········· ······ ·········· ·······

n(3 ? 3n) 1 2 2 1 1 c ? ? ? ( ? ) ········ 8 分 ,所以 n S ········ 2 n(3 ? 3n) 3 n n ? 1 ········· n

2? 1 1 1 1 1 ? 2 1 2n ?(1 ? 2 ) ? ( 2 ? 3) ? ? ? ( n ? n ? 1) ? ? 3 (1 ? n ? 1) ? 3 ? n ? 1? ···12 分 ··· ·· 3? ?

(18)解: 解: (Ⅰ)由条形统计图可知,空气质量类别为良的天数为 16 天,所以此次监测结果中空气质量 类别为良的概率为

16 8 ? ·························6 分 ··········· ·········· ···· ·········· ··········· ··· 30 15

(Ⅱ )随机变量 X 的可能取值为 0,1, 2 ,则

P( X ? 0) ?

2 C22 231 C1 ?C1 176 C2 28 ? , P( X ? 1) ? 8 2 22 ? , P( X ? 2) ? 82 ? 2 C30 435 C30 435 C30 435



随机变量 X 的分布列为:

0 1 2 231 176 28 P 435 435 435 231 176 28 232 ? 1? ? 2? ? ∴ EX ? 0 ? ··················12 分 ··········· ······· ·········· ······· 435 435 435 435
X
(19)解: (Ⅰ)解法 1:因为平面 ABE ? 平面 ABCD ,且 AB ? BC 所以 BC⊥平面 ABE 则 ?CEB 即为直线 EC 与平面 ABE 所成的角 由 AB ? 2CD ? 2 BC ? 2 得 BE ? 2 ,所以 CE ? 3 则直角三角形 CBE 中, sin ?CEB ?

CB 1 3 ? ? CE 3 3
3 . 3
··········· ··· 分 ··········· ·· 6 ·········· ···

即直线 EC 与平面 ABE 所成角的正弦值为 解法 2: 设 O 为 AB 中点, 因 为 平 面 ABE ? 平 面 A B C D 且 , EO ? AB , D 所 以 EO ? 平 面 A B C , 所 以 EO ? OD .在直角梯形 ABCD 中,CD ? OB , CD // OB 可得 OD ? AB . 由 OB, OD, OE 两两垂直,建立如图所示 角坐标系 O ? xyz .

的空间直

因为三角形 EAB 为等腰直角三角形,所以 OA ? OB ? OD ? OE =1, 由 AB ? 2CD ? 2 BC ? 2 得

O(0,0,0), A(?1,0,0), B(1,0,0), C(1,1,0), D(0,1,0), E (0,0,1) .
所以 EC ? (1,1,?1) ,平面 ABE 的一个法向量为 OD ? (0,1,0) . 设直线 EC 与平面 ABE 所成的角为 ? , 所以

??? ?

??? ???? ? ??? ???? ? | EC ? OD | 3 ? , sin ? ? | cos? EC, OD? | ? ??? ???? ? | EC || OD | 3
即直线 EC 与平面 ABE 所成角的正弦值为 (Ⅱ)解:存在点 F ,且

3 . ··········· ····· 分 ··········· ···· 6 ·········· ····· 3

EF 1 ? 时,有 EC // 平面 FBD . EA 3 1 1 1 1 2 4 2 证明如下:由 EF ? EA ? (? ,0,? ) , F (? ,0, ) ,所以 FB ? ( ,0,? ) . 3 3 3 3 3 3 3

??? ? ?n ? BD ? 0 ? 设平面 FBD 的法向量为 n ? (a, b, c) ,则有 ? ??? ? ?n ? FB ? 0 ?

??a ? b ? 0 ? 所以 ? 4 2 ?3 a ? 3 c ? 0 ?

取 a ? 1 ,得 n ? (1,1, 2) .

因为 EC ? n ? (1,1,?1) ? (1,1,2) ? 0 ,且 EC ? 平面 FBD ,所以 EC // 平面 FBD . 即点 F 满足 (20)解: (Ⅰ)由题意设椭圆的标准方程为

EF 1 ? 时,有 EC // 平面 FBD . ··············· 12 分 ··········· ···· ·········· ····· EA 3

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) , a 2 b2

由已知得: a ? c ? 3, a ? c ? 1 解得 a ? 2, c ? 1 ,

x2 y 2 ? ? 1 ············6 分 所以 b ? a ? c ? 3 所以椭圆的标准方程为 ··········· · ·········· · 4 3
2 2 2

? y ? kx ? m ? (Ⅱ)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,联立 ? x 2 y 2 得 ? ?1 ?4 3 ?
··········· ·········· ·· ·········· ··········· · (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8mkx ? 4(m2 ? 3) ? 0 ·······················7 分

? ? ? ? 64m2 k 2 ? 16(3 ? 4k 2 )(m 2 ? 3) ? 0即3 ? 4k 2 ? m 2 ? 0 ? 8mk ? 则 ? x1 ? x2 ? ? ········ 8 分 ········ ········ 3 ? 4k 2 ? 4(m2 ? 3) ? ? x1 x2 ? 3 ? 4k 2 ?
又 y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k x1 x2 ? mk ( x1 ? x2 ) ? m ?
2 2

3(m 2 ? 4k 2 ) ····9 分 ···· ··· 3 ? 4k 2

因为以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2, , 0) ∴ k AD kBD ? ?1, 即

y1 y ? 2 ? ?1 x1 ? 2 x2 ? 2

∴ y1 y2 ? x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0

3(m 2 ? 4k 2 ) 4(m 2 ? 3) 16mk ? ? ?4?0 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 2 2 ∴ 7m ? 16km ? 4k ? 0


解得: m1 ? ?2k , m2 ? ?

2k 2 2 ,且均满足 3 ? 4k ? m ? 0 ··············· 分 ·············· 10 ·········· ···· 7

当 m1 ? ?2k 时, l 的方程 y ? k ( x ? 2) ,直线过点 (2, ,与已知矛盾; 0)

当 m2 ? ?

2k 2? ? ?2 ? 时, l 的方程为 y ? k ? x ? ? ,直线过定点 ? ,? 0 7 7? ? ?7 ?

所以,直线 l 过定点,定点坐标为 ? ,? 0 (21)解:

?2 ?7

? ?

····················12 分 ··········· ········· ·········· ·········

(Ⅰ)函数 f ( x ) 的定义域为 (?1, ??) .························· 1 分 ··········· ·········· ···· ·········· ··········· ····

对 f ( x ) 求导数,得 f '( x) ?

1 ? a .······················· 分 ··········· ·········· · 2 ·········· ··········· · 1? x 1 1 由已知,得 f '(? ) ? 1 ,即 ·········· 3 ·········· ? a ? 1 ,所以 a ? 1 . ··········· 分 1 2 1 ? (? ) 2 1 ?x ?1 ? 此时 f ( x) ? ln(1 ? x) ? x , f '( x) ? , 1? x 1? x
当 ?1 ? x ? 0 时, f '( x) ? 0 ; ·························· 分 ··········· ·········· ···· 4 ·········· ··········· ···· 当 x ? 0 时, f '( x) ? 0 . ·····························5 分 ··········· ·········· ········ ·········· ··········· ······· 所以当 x ? 0 时, f ( x ) 取得极大值,该极大值即为最大值

f ( x)max ? f (0) ? 0 .

··········· ··········· ········ 分 ··········· ·········· ········ 6 ·········· ··········· ········

(Ⅱ)由(Ⅰ) ,得 ln(1 ? x) ? x ≤ 0 , 即 ln(1 ? x) ≤ x ,当且仅当 x ? 0 时,等号成立. ················ 分 ··········· ···· 7 ·········· ·····

1 1 1 (k ? N *) ,则 ? ln(1 ? ) ), ····················· 分 ··········· ········· 8 ·········· ·········· k k k 1 k ?1 ? ln(k ? 1) ? ln k (k ? 1, 2,...n) . ·················· 分 即 ? ln ··········· ······ 9 ·········· ······· k k
令x? 将上述 n 个不等式依次相加,得

1?

1 1 1 ? ? ... ? ? (ln 2 ? ln1) ? (ln 3 ? ln 2) ? ... ? [ln( n ? 1) ? ln n] ? ln( n ? 1) ·· ·· · 2 3 n

·········································· 11 分 ··········· ·········· ··········· ·········· ·········· ··········· ··········· ··········

所以 1 ? (22)解:

1 1 1 ? ? ... ? ? ln( n ? 1) (n ? N *) 2 3 n

················12 分 ··········· ····· ·········· ·····

(Ⅰ )连接 OC ,因为 OA ? OC ,所以 ?OAC ? ?OCA , ·············· 分 ··········· ·· 2 ·········· ···

AD 因为 CD 为半圆的切线,所以 OC ? CD ,又因为 AD ? CD ,所以 OC ∥ ,
所以 ?OCA ? ?CAD , ?OAC ? ?CAD ,所以 AC 平分 ? BAD . ····· 分 ···· 5 ···· (Ⅱ )由 ?OAC ? ?CAD 知 BC ? CE ,························6 分 ··········· ·········· ··· ·········· ··········· ·· 连结 CE ,因为 ABCE 四点共圆, ?B ? ?CED ,所以 cos B ? cos ?CED , ··········· ··········· ·········· ··········· 8 分 ··········· ·········· ··········· ··········· ·········· ··········· ··········· ·········· · 所以

DE CB ? ,所以 BC ? 2 . ························ 10 分 ··········· ·········· ··· ·········· ··········· ··· CE AB

(23)解: (Ⅰ ? )

? x ? 2cos ? , 且参数 ? ??0,2? ? , ? y ? 2sin ? ? 2.
所以点 P 的轨迹方程为 x ? ( y ? 2) ? 4 . ·················· 5 分 ··········· ······· ·········· ········
2 2

(Ⅱ )因为 ? ?

10

2 sin(? ? ) 4 所以 ? sin ? ? ? cos ? ? 10 ,所以直线 l 的直角坐标方程为 x ? y ? 10 ? 0 . ·· 分 ·7 ·
2 2

?

,所以 ? 2 sin(? ?

?
4

) ? 10 ,

法一:由(Ⅰ 点 P 的轨迹方程为 x ? ( y ? 2) ? 4 ,圆心为 (0, 2) ,半径为 2. )

? 圆心到直线的距离 d ?

1? 0 ? 1? 2 ? 10 12 ? 12 ? 2

? 4 2 ,所以点 P 到直线 l 距离的最大值 4 2 ? 2 .

··········· ··········· ·········· ·········· 分 ········································· 10 ·········· ··········· ··········· ········· 法二: d ?

2cos ? ? 2sin ? ? 2 ? 10 12 ? 12

7? ? , 2 cos(? ? ) ? 4 ,当 ? ? 4 4

·········· ·········· dmax ? 4 2 ? 2 ,即点 P 到直线 l 距离的最大值 4 2 ? 2 . ·········· 10 分 (24)解:

a (Ⅰ )由 2x ? a ? a ≤ 6 得 2x ? a ≤ 6 ? a ,∴ ? 6 ≤ 2 x ? a ≤ 6 ? a , a a 即 a ? 3 ≤ x ≤ 3 ,∴ ? 3 ? ?2 ,∴ ? 1 . ···················· 5 分 ··········· ········· ·········· ··········
(Ⅱ )由(Ⅰ )知 f ? x ? ? 2x ?1 ? 1,令 ? ? n? ? f ? n? ? f ? ?n? ,

1 ? ?2 ? 4n, n ≤ ? 2 ? 1 1 ? ? ? n≤ 则 ? ? n ? ? 2n ? 1 ? 2n ? 1 ? 2 ? ?4, 2 2 ? 1 ? n? ?2 ? 4n, 2 ?
∴ ? n ? 的最小值为 4,故实数 m 的取值范围是 ?4,??? . ············10 分 ··········· · ·········· · ?


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