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湛江一中2013届高三数学(理科)试题


湛 江 一 中 2013 届 高 三 数 学 ( 理 科 ) 试 题
一 、 选 择 题 : 本 大 题 共 8 小 题 ,每 小 题 5 分 , 共 40 分 。在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 , 只 有 一 项 符 合题目要求。 1.复 数

2i 等于 1? i
B . ?1 ? i C . ?1 ? i D . 1

?i

A . 1 ?i

2 . 函 数 y ? 2? x 的 图 象 大 致 是

y 1 O A. x

y 1 O B. x C.

y

y

O 1

x

O D.

1

x

3 . 命题 p : “任意非零向量 a, b ,都有 | a | ? | b |?| a ? b | ” ,则 A. p 是假命题; ? p :任意非零向量 a, b ,都有 | a | ? | b |?| a ? b | B. p 是假命题; ? p :存在非零向量 a, b ,使 | a | ? | b |?| a ? b | C. p 是真命题; ? p :任意非零向量 a, b ,都有 | a | ? | b |?| a ? b | D. p 是真 命题; ? p :存在非零向量 a, b ,使 | a | ? | b |?| a ? b | 9 4. .函数 y=lgx- 的零点所在的大致区间是 x A.(6,7) B.(7,8) C.(8,9) D.(9,10)

5. 已知两个非零向量 a 与 b , 定义 a ? b ? a b sin ? , 其中 ? 为 a 与 b 的夹角. 若 a = ? ?3, 4? , b = ? 0,2? , 则 a?b 的值为 A. ? 8 B. ? 6 C. 6 D. 8

6 . 已知函数 f ( x) ? A sin( 等于 A. 1 B. 2

?

x ? ) ( A ? 0) 在它的一个最小正周期内的图象上,最高点与最低点的距离是 5 ,则 A 3 6
C. 4 D. 8

?

7 . 若 函 数 y ? f ( 2 x? 1) 是 偶 函 数 , 则 y ? f (2 x) 图 象 的 对 称 轴 是 A. x ? ?

1 2

B. x ?

1 2

C . x ? ?1

D. x ?1

...,n 按一定的顺序排成一个数列 a1 , a2 ,...,an ,若满足 | a1 ? 1 | ? | a2 ? 2 | ?...? | an ? n |? 4 ,则称数列 8.自然数 1,2,3,
,当 n ? 6 时, “优数列”共有 a1 , a2 ,...,an 是一个“优数列” A . 24 B . 23 C . 18 D . 16
[ 来 源 : Z § x x § k . C o m ]

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 9. 若 log

a ? 2 ,则 [cos(? 3

10 ? )]a ? ______ . 3

10 . 集 合 A 为 函 数 y ?

2x ?1 1 x ( x ? 0) 的 值 域 , 集 合 B 为 函 数 y ? ( ) ? 1 x( ? R 的 )值域,则 x 3

A ? B ? _____________ .
11 . 等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 S2 ? 6, S4 ? 30 ,则 S6 ? .

12. 已知正方形 ABCD , M 是 DC 的中点,由 AM ? m AB ? n AC 确定 m, n 的值,计算定积分

? ? cos xdx ? ______.
m

n?

13. 在锐角 ?ABC 中, AC ? 1 , B ? 2 A ,则 BC 的取值范围是 ______ . 14. 两千多年前,古希腊毕达哥拉 斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题,他们在沙滩上画点或用小石子来表 示数,按照 点或小石子能排列的形状对数进行分类,如图2中的实心点个数1,5,12,22,?,被称为五角形数,其 中第 1 个五角形数记作 a1 ? 1 ,第 2 个五角形数记作 a2 ? 5 ,第 3 个五角形数记作 a3 ? 12 ,第 4 个五角形数记作

a4 ? 22 ,?,若按此规律继续下去,得数列 {an } ,则 an

? an?1 ? _______(n ? 2) ;对 n ? N

*



an ? _____ .

1

5

12

22
题 14

三、解答题:本小题共 6 小题,满分 80 分,须写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤。 图2 15. (12 分)已知向量 a ? (cos (1)求 tan ? 的值;

r

?

r r r ? ,sin ) , b ? (2,1) ,且 a ? b . 2 2

(2 )求

cos 2? 2 cos( ? ? ) ?sin ? 4

?

的值.

[来源:学科网 ZXXK]

16. (12 分)已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 S n ? 2an ? 2 , ( n =1,2,3?) (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)记 Sn ? 1? a1 ? 3 ? a2 ? .... ? (2n ?1)an ,求 S n .

17. (14 分)如右图,简单组合体 ABCDPE,其底面 ABCD 为 平面 ABCD,EC∥PD,且 PD=2EC= 2 . (1)若 N 为线段 PB 的中点,求证:EN//平面 ABCD; (2)求点 D 到平面 PBE 的距离.

边长为 2 的正方形, PD⊥

18.(14 分)如图,ABCD 是正方形空地,边长为 30m,电源在点 P 处,点 P 到边 AD,AB 距离分别为 9 m, 3 m.某 广告公司计划在此空地上竖一块长方形液晶广告屏幕 MNEF , MN : NE ? 16 : 9 .线段 MN 必须过点 P,端点 M,N 分别在边 AD,AB 上,设 AN=x(m) ,液晶广告屏幕 M NEF 的面积为 S(m2). (1) 求 S 关于 x 的函数关系式及该函数的定义域; (2)当 x 取何值时,液晶 广告屏幕 MNEF 的面积 S 最小?

F E D P N
(第 18 题图)

C

M A

B

19. (14 分)已知数列 {an } 中, a1 ? 3 , an?1 ? 2an ?1 ( n ? 1, n ? N ) (1)求数列 {an } 的通项公式;

1 2n (2)设 bn ? ,数列 {bn } 的前 n 项和为 Sn ,求证: S n ? . 3 an an?1

20.(14 分)已知函数 f ( x ) ? x 2 ? (a ? 2) x ? a ln x ,其中常数 a ? 0 。 (1)当 a ? 2 时,求函数 f ( x ) 的单调递增区间; (2)当 a ? 4 时,是否存在实数 m ,使得直线 6 x ? y ? m ? 0 恰为曲线 y ? f ( x ) 的切线?若存在,求出 m 的值; 若不存在,说明理由; ( 3 )设定义在 D 上的函数 y ? h( x ) 的图象在点 P( x0 , h( x0 )) 处的切线方程为 l : y ? g( x ) ,当 x ? x 0 时,若

h( x ) ? g( x ) 。当 a ? 4 ,试问 y ? f ( x ) 是否存在“类 ? 0 在 D 内恒成立,则称 P 为函数 y ? h( x ) 的“类对称点 ” x ? x0
对称点”?若存在,请至少求出一个“类对称点”的横坐标;若不存在,说明理由.

参考答案
一、选择题 题号 答案 二、填空题 9、 ? 1 A 2 B 3 B 4 D 5 C 6 B 7 A 8 A

1 8

10、 { y | ?1 ? y ? 2或y ? 2} 或 ( ?1,2) ? ( 2,??)

11、126

12、 1

13、 (

3 2 , ) 3 2

14、 3n ? 2;

1 n( 3n ? 1) 2

三、解答题 15、 (12 分)解: (1) a ? b ,得 a ? b ? 0 即 2 cos

r

r

r r

?
2

? sin

?
2

? 0 , ? tan

?
2

? ?2

? tan ? ?

2 ? 2 ? (?2) ? 4 . ? 1 ? (?2)2 3 1 ? tan 2 2

2 tan

?

?????5 分

(2) 原式=

cos 2 ? ? sin 2 ? 2 2 2( cos ? ? sin ? ) sin ? 2 2
(cos ? ? sin ? )(cos ? ? sin ? ) cos ? ? sin ? ? ???????10 分 sin ? (cos ? ? sin ? )sin ?
? 1 ?1 tan ?
???????12 分

?

?

3 7 ?1 ? . 4 4

16、 (12 分)解: (1)∵ S n ? 2an ? 2 ∴ 当 n ? 2 时, an ? S n ? S n?1 ? 2an ? 2 ? (2an?1 ? 2) ………………..2 分 即 an ? 2an ? 2an?1 ∵ a1 ? S1 ∵ an ? 0 ∴

an ? 2 (n ? 2, n ? N * ) ……………4 分 a n ?1
∴ an ? 2 n ………………6 分

∴ a1 ? 2a1 ? 2

,即 a1 ? 2

(2) Sn ? 1? a1 ? 3 ? a2 ? .... ? (2n ?1)an

? 1? 2 ? 3 ? 2 2 ? 5 ? 23 ? ? ? (2n ? 1) ? 2 n ①…………………7 分
∴ 2S n ? 1? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? (2n ? 3) ? 2n ? (2n ? 1) ? 2 n?1 ②………………8 分

①-②得 ? S n ? 1? 2 ? (2 ? 2 2 ? 2 ? 23 ? ? ? 2 ? 2n ) ? (2n ? 1) ? 2n?1 ………9 分 即 ? S n ? 1? 2 ? (23 ? 2 4 ? ? ? 2 n?1 ) ? (2n ? 1) ? 2 n?1 ∴ S n ? (2n ? 3) ? 2 n?1 ? 6 …………………10 分

…………………………..12 分

[来源:学科网]

17、 (14 分)(1)解法 1:连结 AC 与 BD 交于点 F,连结 NF,…………………..1 分 1 ∵F 为 BD 的中点,∴NF∥PD 且 NF= PD……………………………………………….3f 2 1 又 EC∥PD,且 EC= PD, 2 ∴NF∥EC,且 NF=EC,∴四边形 NFCE 为平行四边形,…………………. …………4f ∴NE∥FC. …………………. …………………. …………………. ………….5f ∵NE ? 平面 ABCD,且 FC ? 平面 ABCD
[来源 :学科网]

所以 EN//平面 ABCD;………………….6f

(2)(体积法)连结 DE,由题 PD ? BC ,且 DC ? BC ,故 BC 是三棱锥 B ? PDE 的高, …………………. …………………. …………………. …………………. ……………7f 在直角梯形 PDCE 中,可求得 PD ? 5 ,且 BE ? 5 由( 1)所以 EN ? PB

…………………. …………………. …………………. …………………. ……………9f

1 1 4 VB ? PDE ? S?PDE ? BC ? ? 2 ? 2 ? ,…………………. …………………. ………11f 3 3 3
又 S ?PBE ? 设 所

1 ? 2 ? (2 3) ? 6 ,…………………. …………………. ………………12f 2
求 的 距 离 为

d





d?

3VB ? PDE 2 6 …………………. …………………. …..14f ? S?PBE 3
直角坐标系如图所

解法 2:(1)以点 D 为坐标原点,以 AD 所在的直线为 x 轴建立空间 示:………………… . ………………1f, 则 B(2,2,0),C(0,2,0),P(0,0,2),E(0,2,1),N(1,1,1), ……………… …. …………………. …………………. ………2f ∴ EN =(1,-1,0), DB ? (0 , 0, 2) ……………………..3f

EN ? DP ? 0 ? 0 ? 0 ? 0 EN ? PD ,…… ……………. …………………. ……………4f
又 DP 是平面 ABCD 的法向量 ∵NE ? 平面 ABCD 所以 EN//平面 ABCD;……………………………….6f

(2)由(1)可知 PB ? (2 , 2, ? 2), PE ? (0, 2, ? 1) ,……………….8f 设平面 PBE 的法向量为 n ? ( x, y, z ) [来源:学&科&网] 由 n ? PB ? 0, n ? PE ? 0 得 ?
[来源:学科网]

?2 x ? 2 y ? 2 z ? 0 …………………. ……………10f ?2 y ? z ? 0

解得其中一个法向量为 n ? (1,1,2) ………………………………………………..11f 点 D 到平面 PBE 的距离为 d , 则d ?

DP ? n |n|

?

(0,0,2) ? (1,1,2) 1?1? 4

?

2 6 ……14f 3

18(14 分)解: (1) AM ?

3x (10 ≤ x ≤ 30) . ?????????????2 分 x?9

MN 2 ? AN 2 ? AM 2 ? x 2 ?

9 x2 . ( x ? 9) 2

??????????4 分

∵ MN : NE ? 16 : 9 , ∴ NE ? ∴ S ? MN ? NE ?

9 MN . 16
???????6 分 ???????????7 分 ???9 分

9 9 9 x2 MN 2 ? [ x 2 ? ]. 16 16 ( x ? 9) 2

定义域为 [10,30] . (2) S ? ?

9 18 x( x ? 9) 2 ? 9 x 2 (2 x ? 18) 9 x[( x ? 9)3 ? 81] [2 x ? ]= ? , 16 ( x ? 9) 4 8 ( x ? 9)3

令 S ? ? 0 ,得 x ? 0 (舍) , x ? 9 ? 33 3 . 当 10 ≤ x ? 9 ? 3 3 3 时, S ? ? 0, S 关于 x 为减函数; 当 9 ? 3 3 3 ? x ≤ 30 时, S ? ? 0, S 关于 x 为增函数; ∴当 x ? 9 ? 3 3 3 时, S 取得最小值.

???????10 分

???????13 分

答:当 AN 长为 9 ? 3 3 3 m 时,液晶广告屏幕 MNEF 的面积 S 最小.??14 分 19、 (14 分)解: (1)由 a n?1 ? 2a n ? 1, 得 a n?1 ? 1 ? 2(a n ? 1) ,………………..3 分 又 a1 ? 1 ? 2 ,所以 {an ?1} 是等到比数列…………………. ………………………..5f

? an ? 1 ? 2n ,即 an ? 2 n ? 1 …………………. …………………. …………………7f
(2) bn ?

2n 2n 1 1 ………………………1 0f ? n ? n ? n?1 n?1 a n a n?1 (2 ? 1)(2 ? 1) 2 ? 1 2 ? 1
1

? Sn ? (

1 1 1 1 1 1 ? 2 )?( 2 ? 3 ) ? ... ? ( n ? n?1 ) 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 1 1 ? ? n?1 3 2 ?1
1 2
n?1

…………………………………………………………………………………………….13f

?

?1

? 0,? S n ?

1 …………………. …………………. …………………. ….1 4f 3

a 2 x 2 ? (a ? 2) x ? a ( 2 x ? a )( x ? 1) ? 20 .( 1 4 分 ) 解 :( 1 ) f ' ( x ) ? 2 x ? (a ? 2) ? ? , 其 中 x x x
x ? 0 ,…………………. …………………. … ………………. …………………2f
令 f '( x) ? 0 得 x ? 1 或 x ? 当0 ? x ? 1及 x ?

a a .? a ? 2,? ? 1 …………………. ……………… 2 2

a a 时, f ' ( x ) ? 0; 当 1 ? x ? 时, f ' ( x ) ? 0; ……………3f 2 2

a ? f ( x ) 的单调递增区间为 (0,1), ( ,? ?) 。…………………. ………………….4f 2
2 (2)当 a ? 4 时, f ( x ) ? x ? 6 x ? 4 ln x , f ' ( x ) ? 2 x ?

4 ? 6 ,其中 x ? 0 , x

令 f '( x) ? 2 x ?

4 ? 6 ? ?6 ,…………………. …………………. ……………5f x

方程无解,……………………………………………………………………………6f

? 不存在实数 m 使得直线 6 x ? y ? m ? 0 恰为曲线 y ? f ( x ) 的切线。………7f

( 3 ) 由 ( 2 ) 知 , 当 a ? 4 时 , 函 数 y ? f ( x ) 在 其 图 象 上 一 点 P ( x 0 , f ( x0 )) 处 的 切 线 方 程 为

y ? m( x ) ? ( 2 x 0 ?


4 2 - 6)( x ? x 0 ) ? x 0 ? 6 x 0 ? 4 ln x 0 , ………………..8f x0
4 2 ? 6)( x ? x 0 ) ? ( x 0 ? 6 x 0 ? 4 ln x 0 ) x0


? ( x ) ? f ( x ) ? m( x ) ? x 2 ? 6 x ? 4 ln x ? (2 x 0 ?

? ( x 0 ) ? 0. …………………………………………………………….9f
? '( x) ? 2 x ?
若 x0 ?

4 4 2 2 2 ? 6 ? (2 x0 ? ? 6) ? 2( x ? x 0 )(1 ? ) ? ( x ? x 0 )( x ? ) x x0 xx0 x x0
2 2 ) 上 单 调 递 减 , ?当x ? ( x 0 , ) 时 , ? ( x ) ? ? ( x0 ) ? 0 , 此 时 x0 x0

2 , ? ( x) 在 ( x 0 ,

? ( x)
x ? x0

? 0; ……………………………………………………………………….

若 x0 ?

2 , ? ( x) 在 (

2 2 , x 0 ) 上 单 调 递 减 , ?当x ? ( , x 0 ) 时 , ? ( x ) ? ? ( x0 ) ? 0 , 此 时 x0 x0

? ( x)
x ? x0

? 0. ………………………………………………………………………

? y ? f ( x ) 在 (0, 2 ) ? ( 2 ,??) 上不存在“类对称点”………………………..11f
若 x0 ?

2 ,? ' ( x) ?

2 ( x ? 2 ) 2 ? 0,? ? ( x ) 在 (0,? ?) 上是增函数, x

当 x ? x 0 时, ? ( x ) ? ? ( x 0 ) ? 0 ,当 x ? x 0 时, ? ( x ) ? ? ( x 0 ) ? 0 ,故 即此时点 P 是 y ? f ( x ) 的“类对称点”

? ( x)
x ? x0

? 0.

综上, y ? f ( x ) 存在“类对称点” , 2 是一个“类对称点”的横坐标。…….14f


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