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圆锥曲线第一轮复习知识点分类指导高考数学宝典


高考数学宝典 第一轮复习知识点分类指导
圆锥曲线
A.圆锥曲线的两个定义:
(1)第一定义中要重视“括号”内的限制条件: 1.已知定点 F1(-3,0),F2(3, 在满足下列条件的平面上动点 P 的轨迹中是椭圆的是( 0), A. | PF1 | ? | PF2 |? 4 C. | PF1 | ? | PF 2 ? 10 2.方程 ( x ? 6)

2 ? y 2 ? (2)第二定义 3.已知点 Q(2 2 ,0) 及抛物线 y ? B. | PF1 | ? | PF2 |? 6 D. | PF1 | 2 ? | PF2 | 2 ? 12 )

( x ? 6) 2 ? y 2 ? 8 表示的曲线是___________

x2 上一动点 P(x,y),则 y? | PQ | 的最小值是_________ 4

B.圆锥曲线的标准方程
4.已知方程

y2 x2 ? ? 1 表示椭圆,则 k 的取值范围为___________; 3?k 2?k

5.若 x,y∈R,且 3x 2 ? 2 y 2 ? 6 ,则 x+y 的最大值是____, x 2 ? y 2 的最小值是___________ 6. 双曲线的离心率等于

x2 y2 5 , 且与椭圆 则该双曲线的方程是_____ ? ? 1 有公共焦点, 2 9 4

7. 设中心在坐标原点 O, 焦点 F1、 2 在坐标轴上, F 离心率 e ? 2 的双曲线 C 过点 P(4,? 10 ) , 则 C 的方程为_____________

C.圆锥曲线焦点位置的判断:
8.已知方程

y2 x2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 m 的取值范围是____ |m|?1 2 ? m

D.圆锥曲线的几何性质:
(1)椭圆 9.若椭圆

x ?2 y 2 10 ,则 m 的值是____, ? m ? 1 的离心率 e ? 5 5

10.以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为 1 时,则椭圆长轴的最小值 为_________ (2)双曲线 11.双曲线的渐近线方程是 3 ? 2 y ? 0 ,则该双曲线的离心率等于____________; 12.双曲线 ax 2 ? by 2 ? 1 的离心率为 5 ,则 a:b=_____: 13.设双曲线

x2 y2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 中,离心率 e ?[ 2 ,2] ,则两条渐近线夹角θ 的取值 a2 b2

范围是____________;

1

(3)抛物线; 14.设 a ? 0, a ? R ,则抛物线 y ? 4ax 2 的焦点坐标为________; ?

E.直线与圆锥曲线的位置关系:
15.若直线 y=kx+2 与双曲线 x 2 ? y 2 ? 6 的右支有两个不同的交点,则 k 的取值范围是____; 16.直线 y-kx-1=0 与椭圆 17.过双曲线 线有____条; 结论:过双曲线

x2 y2 ? ? 1 恒有公共点,则 m 的取值范围是____; 5 m

x2 y2 ? ? 1 的右焦点直线交双曲线于 A、B 两点,若 | AB |? 4 ,则这样的直 1 2

x2 y2 ? ? 1 外一点 P( x 0 , y 0 ) 的直线与双曲线只有一个公共点的情况如 a2 b2

下:①P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和分别 与双曲线两支相切的两条切线, 共四条; 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时, ②P 有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线,共四条:③P 在两条渐近线 上但非原点,只有两条:一条是与另一渐近线平行的直线,一条是切线:④P 为原点时不存 在这样的直线; 结论: 过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点: 两条切线和一条平 行于对称轴的直线。 18.过点(2,4)作直线与抛物线 y 2 ? 8x 只有一个公共点,这样的直线有____; 19.过点(0,2)与双曲线 20.过双曲线 x 2 ?

x2 y2 ? ? 1 有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为____; 9 16

y2 ? 1 的右焦点作直线 l 交双曲线于 A、B 两点,若 | AB |? 4 ,则满足条 2

件的直线 l 有__条:
2 21.对于抛物线 C : y 2 ? 4 x ,我们称满足 y 0 ? 4x0 的点 M ( x0 , y 0 ) 在抛物线的内部,若点

M ( x0 , y 0 ) 在抛物线的内部,则直线 l : y 0 y ? 2( x ? x0 ) 与抛物线 C 的位置关系是_______;
22.过抛物线 y 2 ? 4x 的焦点,作一直线交抛物线于 P、Q 西点,若线段 PF 与 FQ 的长分别 是 p,q,则

1 1 ? =_______; p q

23.设双曲线

x2 y2 ? ? 1 的右焦点为 F,右准线为 l,设某直线 m 交其左支、右支和右准 16 9

线分别于 P,Q,R,则∠PFR 和∠QFR 的大小关系为____(填大于、小于或等于) ; 24.求椭圆 7 x 2 ? 4 y 2 ? 28 上的点到直线 3x ? 2 y ? 16 ? 0 的最短距离

25.直线 y ? ax ? 1 与双曲线 3x 2 ? y 2 ? 1 交于 A、B 两点。①当 a 为何值时,A、B 分别在
2

双曲线的两支上?②当 a 为何值时,以 AB 为直径的圆过坐标原点?

F、焦半径
26.已知椭圆 _______ 27.已知抛物线方程为 y 2 ? 8x ,若抛物线上一点到 y 轴的距离等于 5,则它到抛物线的焦点 的距离等于____;若该抛物线上的点 M 到焦点的距离是 4,则点 M 的坐标为_______ 28.点 P 在椭圆

x2 y2 ? ? 1 上一点 P 到椭圆左焦点的距离为 3,则点 P 到右准线的距离为 25 16

x2 y2 ? ? 1 上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,则点 P 的横坐 25 9

标为__________ 29.抛物线 y 2 ? 2x 上的两点 A、B 到焦点的距离和是 5,则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 30. 椭圆

x2 y2 -1), 为右焦点, F 在椭圆上有一点 M, | M P ? 2 | MF | 使 ? ? 1 内有一点 P(1, 4 3

之值最小,则点 M 的坐标为____;

G、焦点三角形
31.短轴长为 5 ,离心率 e ?

2 的椭圆的两焦点为 F1、F2,过 F1 作直线交椭圆于 A、B 两 3

点,则△ABF2 的周长为________ 32.设 P 是等轴双曲线 x 2 ? y 2 ? a 2 (a ? 0) 右支上一点, 1、 2 是左右焦点, PF2 ? F1 F2 ? 0 , F F 若

| PF1 |? 6 ,则该双曲线的方程为______;
33.椭圆

x2 y2 ? ? 1 的焦点为 F1、F2,点 P 为椭圆上的动点,当 PF 2 ? PF 1 ? 0 时,点 P 的 9 4
6 ,F1、F2 是它的左右焦点,若过 F1 的直线与双曲线 2

横坐标的取值范围是____: 34.双曲线的虚轴长为 4,离心率 e ?

的左支交于 A、B 两点,且 | AB | 是 | AF2 | 与 | BF2 | 等差中项,则 | AB | =_______________; 35.已知双曲线的离心率为 2,F1、F2 是左右焦点,P 为双曲线上一点,且 ?F1 PF2 ? 60? ,

S ?PFi F2 ? 12 3 .求该双曲线的标准方程;

H、弦长公式:
36.过抛物线 y 2 ? 4x 的焦点作直线交抛物线于 A( x1 , y1 ) , B( x 2 , y 2 ) 两点,若 x1 ? x 2 ? 6 , 那么 | AB | 等于____; 37.过抛物线 y 2 ? 2x 焦点的直线交抛物线于 A、B 两点,己知 | AB |? 10 ,O 为坐标原点,则

3

△ABC 重心的横坐标为_____;

I、圆锥曲线的中点弦问题:
38.如果椭圆

x2 y2 ? ? 1 弦被点 A(4,2)平分,那么这条弦所在的直线方程是_________; 36 9 x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 相交于 A、B 两点,且线段 AB 的中点在直 a 2 b2 x2 y2 ? ? 1 上有不同的两点关于直线 y=4x+m 对称: 4 3

39.己知直线 y=-x+1 与椭圆

线 L:x-2y=0 上,则此椭圆的离心率为____; 40.试确定 m 的取值范围,使得椭圆

特别提醒:因为△>0 是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件,故在求解有关弦长、 对称问题时,务必别忘了检验△>0!

J.你了解下列结论吗?
41.与双曲线

x2 y2 ? ? 1 有共同的渐近线,且过点 (?3,2 3 ) 的双曲线方程为___________ 9 16

K.动点轨迹方程:
42.已知动点 P 划定点 F(1,0)和直线 x=3 的距离之和等于 4,求 P 的轨迹方程. 43.线段 AB 过 x 轴正半轴上一点 M(m,0)(m>0),端点 A、B 到 x 轴距离之积为 2m,以 x 轴为 对称轴,过 A、O、B 三点作抛物线,则此抛物线方程为_____________ 44.(1)由动点 P 向圆 x 2 ? y 2 ? 1 作两条切线 PA、PB,切点分别为 A、B, ?APB ? 60? ,则 动点 P 的轨迹方程为________; (2)点 M 与点 F(4,0)的距离比它到直线 l:x+5=0 的距离小于 1,则点 M 的轨迹方程是____; (3)一动圆与两圆⊙M: x 2 ? y 2 ? 1 和⊙N: x 2 ? y 2 ? 8x ? 12 ? 0 都外切,则动圆圆心的轨迹 为_____________, 45.动点 P 是抛物线 y ? 2 x 2 ? 1 上任一点,定点为 A(0,-1),点 M 分 PA 所成的比为 2,则 M 的轨迹方程为________; (1)AB 是圆 O 的直径,且 AB ? 2a :M 为圆上一动点,作 MN⊥AB,垂足为 N,在 OM 上取点 P, 使 | OP ? | MN | ,求点 P 的轨迹。

(2)若点 P( x1 , y1 ) 在圆 x 2 ? y 2 ? 1 上运动,则点 Q( x1 y1 , x1 ? y1 ) 的轨迹方程是____, (3)过抛物线 x =4y 的焦点 F 作直线 l 交抛物线于 A、B 两点,则弦 AB 的中点 M 的轨迹方程 是__________; 46.已知椭圆
2

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1 (?c,0) 、 F2 (c,0) ,Q 是椭圆外 a2 b2
4

的动点,满足 | F1Q |? 2a .点 P 是线段 F1Q 与该椭圆的交点,点 T 在线段 F2Q 上,并且满足

PT ?TF2 ? 0 , | TF2 |? 0 .(1)设 x 为点 P 的横坐标,证明 | F1 P |? a ? ?

c x ;(2)求点 T 的轨 a
2

迹 C 的方程;(3)试问:在点 T 的轨迹 C 上,是否存在点 M,使 ?F1 MF2 的面积 S=b .若存 在,求∠F1MF2 的正切值;若不存在,请说明理由.

5

参考答案
1 答:C 6 答: 2 答:双曲线的左支 3 答:2 4 答: (?3,? )

1 2

?(? 2 ,2)
3 2

1

5 答: 5 ,2

x2 ? y2 ?1 4

7 答: x 2 ? y 2 ? 6

8 答: (??,?1) ? (1, )

9 答:3 或

25 3

10 答:2 2 15 答: (? 20 答:3

11 答:

13 13 或 2 3

12 答: 或 4

15 ,?1) 3

16 答: [1,5)

?(5,??)
26 答:

1 ) 3 2 16a 4 4 5 } 17 答:3 18 答:2 19 答: {? ,? 3 3
13 答:[ , ] 14 答:(0,

1 4

? ?

21 答:相离 22 答:1 23 答:等于 24 答:

8 13 13
28 答:

25 答:① (? 3, 3) ;② a ? ?1 29 答:2 33 答: (? 30 答: (

35 3

27 答: 7, (2,?4) 32 答: x 2 ? y 2 ? 4

25 12

2 6 ,?1) 3

31 答:6

3 5 3 5 , ) 5 5

34 答: 8 2 39 答:

35 答:

x2 y2 ? ?1 4 12

36 答:8 37 答:3 41 答:

38 答:x ? 2 y ? 8 ? 0

2 2

40 答:(?

2. 13 2 13 , ) 13 13

4x 2 y 2 ? ?1 9 4

42 答: y 2 ? ?12( x ? 4) (3 ? x ? 4) 或 y 2 ? 4x(0 ? x ? 3) 44 答:(1)答: x 2 ? y 2 ? 4 45 答: y ? 6x 2 ? (2)答: y 2 ? 16x

43 答: y 2 ? 2x

(3)答:双曲线的一支 (2)答: y 2 ? 2x ? 1(| x |? )

1 3

(1)答: x 2 ? y 2 ? a | y |

1 2

(3)答: x 2 ? 2 y ? 2 46 答:(1)略;(2) x 2 ? y 2 ? a 2 ,

b2 b2 (3)当 c ? a 时不存在;当 c ? a 时存在,此时

?F1 MF2 ? 2

6


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