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2、等比数列试题含答案


基 础 巩 固 一、选择题 1.(文)已知等比数列{an}的公比为正数,且 a3· a9=2a2 5,a2=2, 则 a1=( A.2 [答案] B a6 2 [解析] ∵a3· a9=(a6)2=2a5 ,∴(a )2=2,又{an}的公比为正数,
5

) B. 2 2 C. 2 1 D.2

a6 a2 ∴q=a = 2.∴a1= q = 2.
5

2、(2013· 唐山一中第一学期第二次月考)已知各项均为正数的等 比数列{an},a1a2a3=5,a7a8a9=10,则 a4a5a6=( A.5 2 B.7 C.6 D.4 2 [答案] A [解析] ∵{an}为正项等比数列, ∴a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9 成等比数列,且 a4a5a6>0, ∴a4a5a6= ?a1a2a3?· ?a7a8a9?=5 2,故选 A. an+1 1 3.已知{an}满足:a1=1, a =2,则数列{an}是( n A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 [答案] B a n +1 1 [解析] ∵a1=1,q= a =2,∴0<q<1,故{an}为递减数列. n 4.(2012· 新课标理,5)已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6= -8,则 a1+a10=( A.7 B.5 ) C.-5 D.-7 ) )

D.无法确定

[答案] D [解析] 本题考查了等比数列的性质及分类讨论思想. a4+a7=2,a5a6=a4a7=-8?a4=4,a7=-2 或 a4=-2,a7=4, a4=4,a7=-2?a1=-8,a10=1?a1+a10=-7, a4=-2,a7=4?a10=-8,a1=1?a1+a10=-7. 5.(文)一个等比数列前三项的积为 2,最后三项的积为 4,且所 有项的积为 64,则该数列有( A.13 项 [答案] B [解析] 设前三项分别为 a1,a1q,a1q2,后三项分别为 a1qn-3,
3 3 3 n -6 a1qn-2,a1qn-1,所以前三项之积 a3 =4.所以 1q =2,后三项之积 a1q 3(n-1) n-1 两式相乘,得 a6 =8,即 a2 =2.又 a1· a1q· a1q2· …· a1qn-1=64, 1q 1q

) C.11 项 D.10 项

B.12 项

n a1 q

n?(n-1)? 2

n-1 n =64,即(a2 ) =642,即 2n=642.所以 n=12,本题利 1q

用通项公式转化为基本量 a1,q 的关系加以解决,利用基本量沟通已 知和所求是常用的方法,注意体会. 6、设数列{xn}满足 log2xn+1=1+log2xn(n∈N+),且 x1+x2+…+ x10=10,记{xn}的前 n 项和为 Sn,则 S20=( A.1 025 [答案] C [解析] ∵log2xn+1=1+log2xn(n∈N+),∴log2xn+1=log2(2xn), xn+1 ∴xn+1=2xn, x =2(n∈N+), n 又 xn>0(n∈N+),所以数列{xn}是公比为 2 的等比数列,由 x1+x2 +…+x10=10 得到 x1= 10 , 2 -1
10

) D.10 240

B.1 024

C.10 250

x1?1-220? 所以 S20= =10×(210+1)=10 250. 1-2 7.各项均为正数的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 Sn=2,S3n =14,则 S4n 等于( A.80 [答案] B [解析] 据等比数列性质: Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n 成等比数列, 则(S2n-Sn)2=Sn· (S3n-S2n),∵Sn=2,S3n=14, ∴(S2n-2)2=2×(14-S2n).又 S2n>0 得 S2n=6, 又(S3n-S2n)2=(S2n-Sn)(S4n-S3n), ∴(14-6)2=(6-2)· (S4n-14).解得 S4n=30. 8.在数列{an}中,an+1=can(c 为非零常数),且前 n 项和为 Sn= 3n+k,则实数 k 的值为( A.0 [答案] C [解析] 据题意知数列为等比数列,又当公比 q≠1 时,等比数 a1?1-qn? a1 a1 n a1 列前 n 项和公式为 Sn= = - q ,令 =a,则有 1-q 1-q 1-q 1-q Sn=a-aqn,故若 Sn=k+3n,则 k=-1,此外本题可由已知得数列 前 3 项,利用 3 项为等比数列即可求得 k 值. 二、填空题 9.(2012· 江西文,13)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,公比不为 1. 若 a1=1,且对任意的 n∈ N +都有 an +2+an +1 -2an=0 ,则 S5 = ________. [答案] 11 B.1 ) C.-1 D.2 B.30 ) C.26 D.16

[解析] 本题考查了等比数列通项公式,求和公式等, 设{an}公比为 q, 则 an+2+an+1 -2an=a1qn+1+a1qn-2a1qn-1=0, 1-?-2?5 所以 q +q-2=0,即 q=-2,q=1(舍去),∴S5= =11. 1-?-2?
2

10.在等比数列{an}中,已知对任意正整数 n,a1+a2+a3+…+
2 2 an=2n-1,则 a1 +a2 2+…+an等于________.

1 [答案] 3(4n-1) [解析] 由 a1+a2+a3+…+an=2n-1,∴a1=1,a2=2,q=2 又∵{an}是等比数列∴{a2 n}也是等比数列,首项为 1,公比为 4 1-4 2 2 ∴a1 +a2 2+…+an= 三、解答题 11.成等差数列的三个正数的和等于 15,并且这三个数分别加 上 2、5、13 后成为等比数列{bn}中的 b3、b4、b5. (1)求数列{bn}的通项公式; 5 (2)若数列{bn}的前 n 项和为 Sn,求证:数列{Sn+4}是等比数列. [解析] (1)设成等差数列的三个正数分别为 a-d,a,a+d. 依题意,得 a-d+a+a+d=15,解得 a=5. 所以{bn}中的 b3,b4,b5 依次为 7-d,10,18+d. 依题意,有(7-d)(18+d)=100,解得 d=2 或 d=-13(舍去). 5 故{bn}的第 3 项为 5,公比为 2.由 b3=b1· 22,即 5=b1· 22,解得 b1=4. 5 所以{bn}是以4为首项,2 为公比的等比数列,其通项公式为 bn 5 n-1 =4· 2 =5· 2n-3. 1 =3(4n-1). 1-4
n

5 n ? 1 - 2 ? 4 5 5 (2)数列{bn}的前 n 项和 Sn= =5· 2n-2-4,即 Sn+4=5· 2n-2, 1-2 5 5 所以 S1+4=2, 5 Sn+1+4 5· 2n-1 =2, 5 =5· 2n-2 Sn+4 5 5 因此{Sn+4}是以2为首项,公比为 2 的等比数列. 能 力 提 升 一、选择题 1.(文)在正项等比数列{an}中,若 a2· a4· a6· a8· a10=32,则 log2a7 1 -2log2a8=( 1 A.8 [答案]D [解析] ∵a2· a4· a6· a8· a10=32,∴a6=2, 1 a7 a6a8 1 ∴log2a7-2log2a8=log2 =log2 =log2 a6=log2 2=2. a8 a8 1 2、在各项均为正数的等比数列{an}中,a2,2a3,a1 成等差数列, a4+a5 则 的值为( a3+a4 A. 5-1 2 B. ) 5+1 2 C. 1- 5 2 D. 5-1 5+1 或 2 2 1 B.6 ) 1 C.4 1 D.2

[答案] B 1 [解析] 设{an}的公比为 q,则 q>0.∵a2,2a3,a1 成等差数列,

∴a3=a1+a2,∴a1q2=a1+a1q,∵a1≠0,∴1+q=q2, 又∵q>0,∴q= 5+1 a4+a5 5+1 ,∴ = q = 2 2 . a3+a4

3.(2012· 北京文,6)已知数列{an}为等比数列,下面结论中正确 的是( )
2 2 B.a2 1+a3≥2a2

A.a1+a3≥2a2 C.若 a1=a3,则 a1=a2 [答案] B

D.若 a3>a1,则 a4>a2

[解析] 本题考查了等比数列、 均值不等式等知识, 可用排除法求解. 当 a1<0,q<0 时,a1<0,a2>0,a3<0,所以 A 错误;而当 q=-1 时,C 错误;当 q<0 时由 a3>a1 得 a3q<a1q,即 a4<a2,与 D 项矛盾, 所以 B 项正确. 二、填空题 4.若数列{an}满足 a1,a2-a1,a3-a2,…,an-an-1,…,是首 项为 1,公比为 2 的等比数列,则 an 等于________. [答案] 2n-1 [解析] an-an-1=a1qn-1=2n-1, a -a =2 ? ?a -a =2 即? … ? ?a -a =2
2 3 1 2 2 n n-1

相加:an-a1=2+22+…+2n-1=2n-2,
n-1

∴an=2n-2+a1=2n-1. 5.(2012· 辽宁文,14)已知等比数列{an}为递增数列,若 a1>0, 且 2(an+an+2)=5an+1,则数列{an}的公比 q=________. [答案] 2 [解析] 本题考查了等比数列的通项公式.

∵{an}是递增的等比数列,且 a1>0,∴q>1, 又∵2(an+an+2)=5an+1,∴2an+2anq2=5anq, 1 ∵an≠0,∴2q2-5q+2=0,∴q=2 或 q=2(舍去), ∴公比 q 为 2. 6 、 (2012· 辽宁理, 14) 已知等比数列 {an} 为递增数列,且 a 2 5= a10,2(an+an+2)=5an+1,则数列{an}的通项公式 an=________. [答案] 2n [解析] 本题考查等比数列通项公式的求法.
2 由题意,a5 =a10,则(a1q4)2=a1q9,∴a1=q.

又∵2(an+an+2)=5an+1,∴2q2-5q-2=0,∵q>1,∴q=2,a1=2, ∴an=a1· qn-1=2n. 三、解答题 1 7.(2012· 陕西文,16)已知等比数列{an}的公比 q=-2. 1 (1)若 a3=4,求数列{an}的前 n 项和; (2)证明:对任意 k∈N+,ak,ak+2,ak+1 成等差数列. 1 1 [解析] (1)由 a3=a1q2=4及 q=-2,得 a1=1, 1 1 1×[1-?-2?n] 2+?-2?n-1 所以数列{an}的前 n 项和 Sn= = . 1 3 1-?-2? (2)证明:对任意 k∈N+, 2ak+2-(ak+ak+1)=2a1qk+1-(a1qk-1+a1qk)=a1qk-1(2q2-q-1), 1 由 q=-2得 2q2-q-1=0,故 2ak+2-(ak+ak+1)=0. 所以,对任意 k∈N+,ak,ak+2,ak+1 成等差数列.

1 1 8.(文)已知等比数列{an}中,a1=3,公比 q=3. 1-an (1)Sn 为{an}的前 n 项和,证明:Sn= 2 ; (2)设 bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列{bn}的通项公式. 1? 1? 1 ?1- n? 1- n 3? 3 ? 3 1 ?1? 1 [解析] (1)因为 an=3×?3?n-1=3n,Sn= = 1 2 , ? ? 1-3 1-an 所以 Sn= 2 . (2)bn=log3a1+log3a2+…+log3an=-(1+2+…+n)=- 所以{bn}的通项公式为 bn=- n?n+1? 2 . n?n+1? 2 .

9、等比数列{an}的各项均为正数,且 2a1+3a2=1,a2 3=9a2a6. (1)求数列{an}的通项公式; 1 (2)设 bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列{b }的前 n 项和.
n

[解析] (1)设数列{an}的公比为 q. 1 1 2 2 2 由 a2 3=9a2a6 得 a3=9a4,所以 q = .由条件可知 q>0,故 q= , 9 3 1 由 2a1+3a2=1 得 2a1+3a1q=1,所以 a1=3, 1 故数列{an}的通项公式为 an=3n. (2)bn=log3a1+log3a2+…+log3an=-(1+2+…+n)=- 1 2 1 1 故b =- =-2(n- ), n?n+1? n+1 n n?n+1? 2 .

1 1 1 1 1 1 1 1 2n + + … + =- 2[(1 - ) + ( - ) + … + ( - )] =- . b1 b2 bn 2 2 3 n n+1 n+1 1 2n 所以数列{b }的前 n 项和为- . n+1 n 10.已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn=k· 2n+m,k≠0,且 a1=3. (1)求数列{an}的通项公式; n (2)设 bn=a 求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
n

[解析]

3=2k+m, ① ? ? (1)依题意有?3+a2=4k+m, ② ? ?3+a2+a3=8k+m. ③

a3 解得 a2=2k,a3=4k,∴公比为 q=a =2,
2

a2 ∴ 3 =2,∴k=3,代入①得 m=-3,∴an=3· 2n-1. n n (2)解 bn=a = n-1, 3· 2 n 1 2 3 n Tn=3(1+2+22+…+ n-1),④ 2 n-1 n 1 11 2 T n= ( + 2+…+ n-1 + n),⑤ 2 32 2 2 2 1 1 1 1 1 n ④-⑤得2Tn=3(1+2+22+…+ n-1-2n), 2 1 ?1· ? ?1-2n? n? 4 2? 1 n - Tn=3 n = (1- n- n 1). ? 1-1 2 ? 3 2 2 2 ? ?



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