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高二数学理科答案天津市五区县2015~2016学年度第一学期期末考试


天津市五区县 2015~2016 学年度第一学期期末考试 高二数学(理)试卷参考答案
选择题: 1.C 2.D 3.D 4.A 5.B 6.A 7.B 8.C 9.B 10.A 填空题 11.

3 2

12.(4,1)

13. 2

14. 8

15.

10

解答题 16. (Ⅰ)由题意,过 P 点且与 CP 垂直的弦长最短, ∵圆心 C 点坐标为 (3,4) ,∴ k PC ? (1 分) (3 分) (4 分) (6 分)

4?5 ? ?1 , 3?2

∴ 所求直线的斜率 k ? 1 ,代入点斜式方程得

y ? 5 ? x ? 2 ,即 x ? y ? 3 ? 0 .

(Ⅱ)当直线垂直 x 轴时,即 x ? 5 ,圆心 C 到直线的距离为 2,此时直线 x ? 5 与圆 C 相 切; (8 分) 当直线不垂直 x 轴时,设直线方程为 y ? k ( x ? 5) ,即 kx ? y ? 5k ? 0 , 圆心 C 到直线的距离 d ?

| 3k ? 4 ? 5k | k 2 ?1

?2

(10 分)

解得 k ? ?

3 , 4
(12 分)

∴ 所求切线方程为 3x ? 4 y ? 15 ? 0 ,或 x ? 5 .

17. (Ⅰ)设 AB 中点为 D ,连结 PD , CD , ∵侧面 PAB 为等边三角形, AP = BP , ∴ PD ? AB , 又 AC = BC ,∴ CD ? AB . ∵ PD ? CD ? D , ∴ AB ? 平面 P C D . ∵ PC ? 平面 PCD ,∴ PC ? AB .
高二数学(理)参考答案

( 1 分)

(2 分) (3 分) (5 分) (6 分)
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? (Ⅱ)由已知 ?ACB ? 90 , AC = BC = 2 ,

∴ AD = BD = CD =

2 , AB = 2 2 .

(7 分)

又 ? PAB 为正三角形,且 PD ? AB ,∴ PD = ∵ PC = 2 2 ,∴ PC = CD + PD .
? ∴ ?CDP ? 90 ,∴ CD ? PD

6.

(8 分)

2

2

2

(9 分) (11 分) (12 分)

∵ CD ? AB ,∴ CD ? 平面 PAB , ∵ CD ? 平面 ABC ,∴平面 PAB ? 平面 ABC .

18. (Ⅰ)设 C 的坐标为 ( x, y ) ,则 直线 AC 的斜率 k AC ? 直线 BC 的斜率 k BC ? 由已知有

y ( x ? ?2) , x?2 y ( x ? 2) , x?2
(2 分)

y y 1 ? ?? x?2 x?2 4

( x ? ?2) ,化简得顶点 C 的轨迹方程,
(5 分)

x2 ? y 2 ? 1 ( x ? ?2) . 4

(Ⅱ)设直线 l 的方程为 y ? x ? m , M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y 2 ) ,由题意

? x2 ? ? y2 ? 1 2 2 ,解得 5 x ? 8m x ? 4m ? 4 ? 0 , ?4 ?y ? x ? m ?

(7 分)

? ? 64m 2 ? 20(4m 2 ? 4) ? 0 ,解得 ? 5 ? m ? 5

(8 分)

8 ? x1 ? x 2 ? ? m ? 8 2 ? 5 2 , | MN |? (1 ? 1)[(x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ] ? ? 2 5 ? x x ? 4m ? 4 1 2 ? 5 ?
2 代入解得 m ? 1 , m ? ?1 ,

(10 分)

∴直线 l 的方程为 y ? x ? 1 .

(12 分)

高二数学(理)参考答案

第 2 页(共 4 页)

2, 0) , P (0, 0, 1) , 19. 解:建立如图所示空间直角坐标系 A ? xyz ,设 B(1,0,0) ,则 D(0,

4 1 1 1 C (1,2,0) E (0, , ) , F ( ,1, ) 2 2 3 3

(2 分)

z P E A B x F C D y

(Ⅰ)设平面 AEC 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ) ,

? 4 1 ? n ? AE ? 0 ∵ AE ? (0, , ) , AC ? (1,2,0) ∴由 ? 3 3 ? ? n ? AC ? 0
1 ?4 ? y? z?0 得 ?3 ,令 y ? ?1 ,得 n ? (2,?1,4) 3 ? x ? 2 y ? 0 ?
又 BF ? (? ,1, ) ∴ BF ? n ? 2 ? (? ) ? (?1) ? 1 ? 4 ?

(4 分)

1 2

1 2

1 2

1 ? 0, 2

(6 分) (8 分)

BF ? n , BF ? 平面 AEC,

∴ BF // 平面 AEC

(Ⅱ)由(Ⅰ)知平面 AEC 的一个法向量为 n ? (2,?1,4) , 又 AP ? (0,0,1) 为平面 ACD 的法向量, 而 cos ? n, AP ?? (9 分)

n ? AP n AP

?

4 21 , 21
4 21 . 21
(12 分)

故二面角 E ? AC ? D 的余弦值为

20. (Ⅰ)由题意设椭圆 M 的标准方程为

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) a2 b2
(2 分) (4 分)

2 ∵抛物线 y ? 8x 的焦点为 ( 2,0) ,∴ a ? 2 ,

又e ?

1 2 ,∴ c ? 1 ,∴ b ? 3 2

x2 y2 ? ?1 ∴椭圆 M 的标准方程为 4 3

(5 分)

(Ⅱ)设 A?x1 , y1 ? , B?x2 , y2 ? , l : x ? my ? 1 ?m ? R, m ? 0?

? x ? m y?1 ? 2 ? 3m 2 ? 4 y 2 ? 6my ? 9 ? 0 y2 ?x ? ? 1 ? 3 ?4

?

?

高二数学(理)参考答案

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由韦达定理得 y1 ? y 2 ? ?

6m 3m 2 ? 4



(8 分)

( NA ? NB) ? AB ? NA ? NB ?

?x1 ? x2 ??x1 ? x2 ? 2t ? ? ?y12 ? y2 2 ? ? 0
将 x1 ? my1 ? 1, x2 ? my2 ? 1代入上式整理得:

?x1 ? t ?2 ? y12 ? ?x2 ? t ?2 ? y2 2 ?

? y1 ? y2 ???m2 ? 1?? y1 ? y2 ? ? m?2 ? 2t ?? ? 0 ,由 y1 ? y 2 知

?m

2

? 1 ? y1 ? y2 ? ? m?2 ? 2t ? ? 0 ,将①代入得 t ?
? ? 1? 4?

?

1 3m ? 4
2

(10 分)

所以实数 t ? ? 0, ? .

(12 分)

高二数学(理)参考答案

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