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山东省淄博市2010届高三上学期期末考试(文科数学)


文科数学试卷

第Ⅰ卷(共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1. 设全集 I 是实数集 R, M ? { x | x ? 2}与 N ? { x | 阴影部分所表示的集合为 A. ? x x ? 2 ? C. ? x 1 ? x ? 2 ? B. ?

x ? 2 ? x ? 1? D. ? x ? 2 ? x ? 2?
x?3 x ?1

, ? 0} 都是 I 的子集(如图所示) 则

2.下列函数中既不是奇函数,又不是偶函数的是 A. y ? 2 C.
x

B.
x ?x

y ? lg x ?

?

x ?1
2

?

y?2 ?2

D. y ? lg

1 x ?1

3.若曲线 f ( x ) ? x 4 ? x 在点 P 处的切线平行于直线 3 x ? y ? 0 ,则点 P 的坐标为 A. (1,0) B. (1,5) C. (1,-3) D. (-1,2)

4.在 ? ABC 中, a、 b 分别是角 A、 B 所对的边,条件“ a ? b ”是使 “ cos A ? cos B ”成 立的 A.充分不必要条件
2

B.必要不充分条件 C.充要条件
x
2

D.既不充分也不必要条件

5. 若抛物线 y ? 2 px 的焦点与椭圆 A.-4 B.4

?

y

2

6

2

? 1 的右焦点重合,则 p 的值为

C.-2
) cos( x ?

D.2

6. 已知函数 f ( x ) ? sin( x ?

?
6

?
6

), 则下列判断正确的是

A. f ( x ) 的最小正周期为 2? ,其图象的一条对称轴为 x ? B. f ( x ) 的最小正周期为 2? ,其图象的一条对称轴为 x ? C. f ( x ) 的最小正周期为 ? ,其图象的一条对称轴为 x ? D. f ( x ) 的最小正周期为 ? ,其图象的一条对称轴为 x ?

?
12

?
6

?
12

?
6

-1-

7. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 A. 2? ? 2 3 C. 6? ? 2 7 B. 4? ? 2 3 ? 2 D. 6? ? 2 7 ? 2 2 8. 若直线 l : ax ? by ? 1 ? 0 始终平分圆 M : 则 x ? y ? 4 x ? 2 y ? 1 ? 0 的周长, ? a ? 2 ? ? ? b ? 2 ? 的最小
2 2
2 2

2

2

2 2 正视图 2 侧视图

值为 A. 5 C. 2 5 B.5 俯视图 D.10 (第 7 题图)

9. 设 b、 c 表示两条直线, ? 、 ? 表示两个平面,下列命题中真命题是 A.若 c ∥ ? , c ⊥ ? ,则 ? ? ? C.若 b ? ? , c ∥ ? ,则 b ∥ c B.若 b ? ? , b ∥ c ,则 c ∥ ? D.若 c ∥ ? , ? ? ? ,则 c ? ?
?

10. 已 知 数 列 { x n } 满 足 x n ? 3 ? x n , x n ? 2 ? | x n ? 1 ? x n | ( n ? N ) , 若 x1 ? 1 ,
x 2 ? a ( a ? 1, a ? 0) ,则数列 { x n } 的前 2010 项的和 S 2010 为

A. 669

B. 670

C. 1338

D. 1340

11. 在平面直角坐标系中,O 为坐标原点, 设向量 OA ? a , OB ? b , 其中 a ? ( 3,1), b ? (1,3 ). 若
OC ? ? a ? ? b , 且 0 ? ? ? ? ? 1 , C 点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是

A. 12.已知点 F 是双曲线
x a
2 2

B.
? y b
2 2

C.

D.

? 1( a ? 0 , b ? 0 ) 的左焦点,点 E 是该双曲线的右顶点,过 F

且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A、 B 两点,若 ? A B E 是锐角三角形,则该双曲线的 离心率 e 的取值范围是 A. ? 1, ?? ? B. ?1, 2 ? C. 1,1 ?

?

2

?

D. 2,1 ?

?

2

?

-2-

第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13. 对任意非零实数 a、 b ,若 a ? b 的运算原理如图所
?1? 示,则 ? log 2 8 ? ? ? ? ?2?
?2

开始 输入 a、b 是 否

? ______.

14.在 ? ABC 中,已知 A B ? 4,A C ? 1 ,
S ? ABC ? ??? ???? ? 3 , 则 AB ? AC 的值为

??? ?

????

a≤b



输出 b ? 1
a

输出 a ? 1
b

15. 设 S n 表示等差数列 ? a n ? 的前 n 项和,且 S 9 ? 18 ,
S n ? 240 ,若 a n ? 4 ? 30 ? n ? 9 ? ,则 n =



结束 (第 13 题图)

16. 已知两个不相等的实数 a、 b 满足以下关系式: ? 2 a ? sin ? ? a ? cos ? ? ? 0, 4 ? 2 b ? sin ? ? b ? cos ? ? ?0, 4
2 2

则连接 A ? a , a ? 、 B ? b ,b ? 两点的直线与圆心在原点的单位圆的位置关系是 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 74 分. 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? sin x cos x ? (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期;
? ? ? ? , ? 上的最大值和最小值. ? 6 2?
3 cos x .
2



(Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 ? ?

-3-

18.. (本小题满分 12 分) 为了了解某工厂开展群众体育活动的情况,拟采用分层抽样的方法从 A,B,C 三个区中抽 取 7 个工厂进行调查,已知 A,B,C 区中分别有 18,27,18 个工厂 (Ⅰ)求从 A,B,C 区中分别抽取的工厂个数; (Ⅱ)若从抽取的 7 个工厂中随机抽取 2 个进行调查结果的对比,用列举法计算这 2 个 工厂中至少有 1 个来自 A 区的概率。

19.本小题满分 12 分) 如图,已知 A B ⊥平面 AC D , D E ∥ A B , ? ACD 是 正三角形, A D ? D E ? 2 A B ,且 F 是 C D 的中点. (Ⅰ)求证: A F ∥平面 BCE ; (Ⅱ)求证:平面 BCE⊥平面 C D E . C A F (第 18 题图) B

E

D

-4-

20. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?a n ? 的首项 a1 ? 5 ,前 n 项和为 S n ,且 S n ?1 ? 2 S n ? n ? 5 ( n ? N ? ) . (Ⅰ)设 bn ? a n ? 1 ,求数列 ?b n ? 的通项公式; (Ⅱ)求数列 ?a n ? 的前 n 项和 S n .

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? ln x ? a 2 x 2 ? ax ( a ? R ) . (Ⅰ)当 a ? 1 时,证明函数 f ( x ) 只有一个零点; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 在区间 ? 1, ?? ? 上是减函数,求实数 a 的取值范围.

-5-

22. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C:
x a
2 2

?

y b

2 2

3 1 ? 1 ? a ? b ? 0 ? 过点 A (1, ) ,且离心率 e ? . 2 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ) 若直线 l : y ? kx ? m ? k ? 0 ? 与椭圆交于不同的两点 M 、 N , 且线段 M N 的
1 垂直平分线过定点 G ( , 0) ,求 k 的取值范围. 8
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

-6-

文科数学试卷参考答案
第Ⅰ卷(共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1. 设全集 I 是实数集 R, M ? { x | x ? 2}与 N ? { x | 阴影部分所表示的集合为 A. ? x x ? 2 ? C. ? x 1 ? x ? 2 ? B. ? x ? 2 ? x ? 1? D. ? x ? 2 ? x ? 2?
x?3 x ?1

, ? 0} 都是 I 的子集(如图所示) 则

2.下列函数中既不是奇函数,又不是偶函数的是 A. y ? 2 C.
x

B.
x ?x

y ? lg x ?

?

x ?1
2

?

y?2 ?2

D. y ? lg

1 x ?1

3.若曲线 f ( x ) ? x 4 ? x 在点 P 处的切线平行于直线 3 x ? y ? 0 ,则点 P 的坐标为 A. (1,0) B. (1,5) C. (1,-3) D. (-1,2)

4.在 ? ABC 中, a、 b 分别是角 A、 B 所对的边,条件“ a ? b ”是使 “ cos A ? cos B ”成 立的 A.充分不必要条件 C.充要条件
2

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
x
2

5. 若抛物线 y ? 2 px 的焦点与椭圆 A.-4 B.4

?

y

2

6

2

? 1 的右焦点重合,则 p 的值为

C.-2
) cos( x ?

D.2

6. 已知函数 f ( x ) ? sin( x ?

?
6

?
6

), 则下列判断正确的是

A. f ( x ) 的最小正周期为 2? ,其图象的一条对称轴为 x ? B. f ( x ) 的最小正周期为 2? ,其图象的一条对称轴为 x ? C. f ( x ) 的最小正周期为 ? ,其图象的一条对称轴为 x ? D. f ( x ) 的最小正周期为 ? ,其图象的一条对称轴为 x ? 7. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为

?
12

?
6

2

2

?
12

?
6

2 2 正视图

2 2 侧视图

-7-

俯视图

(第 7 题图)

A. 2? ? 2 3 C. 6? ? 2 7

B. 4? ? 2 3 ? 2 D. 6? ? 2 7 ? 2

8. 若直线 l : ax ? by ? 1 ? 0 始终平分圆 M :
x ? y ? 4 x ? 2 y ? 1 ? 0 的周长,则 ? a ? 2 ? ? ? b ? 2 ? 的最小值为
2 2
2 2

A. 5

B.5

C. 2 5

D.10

9. 设 b、 c 表示两条直线, ? 、 ? 表示两个平面,下列命题中真命题是 A.若 c ∥ ? , c ⊥ ? ,则 ? ? ? C.若 b ? ? , c ∥ ? ,则 b ∥ c B.若 b ? ? , b ∥ c ,则 c ∥ ? D.若 c ∥ ? , ? ? ? ,则 c ? ?
?

10. 已 知 数 列 { x n } 满 足 x n ? 3 ? x n , x n ? 2 ? | x n ? 1 ? x n | ( n ? N ) , 若 x1 ? 1 ,
x 2 ? a ( a ? 1, a ? 0) ,则数列 { x n } 的前 2010 项的和 S 2010 为

A. 669

B. 670

C. 1338

D. 1340

11. 在平面直角坐标系中,O 为坐标原点, 设向量 OA ? a , OB ? b , 其中 a ? ( 3,1), b ? (1,3 ). 若
OC ? ? a ? ? b , 且 0 ? ? ? ? ? 1 , C 点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是

A. 12.已知点 F 是双曲线
x a
2 2

B.
? y b
2 2

C.

D.

? 1( a ? 0 , b ? 0 ) 的左焦点,点 E 是该双曲线的右顶点,过 F

且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A、 B 两点,若 ? A B E 是锐角三角形,则该双曲线的离心 率 e 的取值范围是 A. ? 1, ?? ? B. ?1, 2 ? C. 1,1 ?

?

2

?

D. 2,1 ?

?

2

?

第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.

-8-

13. 对任意非零实数 a、 b ,若 a ? b 的运算原理如图所 示,则 ? log 2 8 ? ? ?
?1? ? ?2?
?2

开始 输入 a、b 是 否

? ___1___.

14.在 ? ABC 中,已知 A B ? 4,A C ? 1 ,
S ? ABC ? ??? ???? ? 3 , 则 AB ? AC 的值为

??? ?

????

a≤b

±2



输出 b ? 1
a

输出 a ? 1
b

15. 设 S n 表示等差数列 ? a n ? 的前 n 项和,且 S 9 ? 18 ,
S n ? 240 ,若 a n ? 4 ? 30 ? n ? 9 ? ,则 n =

15



结束 (第 13 题图)

16. 已知两个不相等的实数 a、 b 满足以下关系式: ? 2 a ? sin ? ? a ? cos ? ? ? 0, 4 ? 2 b ? sin ? ? b ? cos ? ? ?0, 4
2 2

则连接 A ? a , a ? 、 B ? b ,b ? 两点的直线与圆心在原点的单位圆的位置关系是 相交 . 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 74 分. 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? sin x cos x ? (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期;
? ? ? ? , ? 上的最大值和最小值. ? 6 2?
3 cos x
2

3 cos x .

2

(Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 ? ?

解: (Ⅰ)∵ f ( x ) ? sin x cos x ?
1 2 1 2 3 2

?

? 2 sin x cos x ?

3 2

? cos 2 x ? 1 ?
3 2

?

sin 2 x ?

co s 2 x ?

?????3 分

? ? 3 ? ? sin ? 2 x ? ? ? 3? 2 ?
∴ 函数 f ( x ) 的最小正周期 T ? (Ⅱ)∵ ?
2? 2 4? 3 ?? .

?????5 分

?????6 分

?
6

? x?

?
2

,0 ? 2x ?

?
3

?

-9-



?

? ? ? ? sin ? 2 x ? ? ? 1 , 2 3? ?
3

?????9 分



? ? 3 3 2? 3 ? , 0 ? sin ? 2 x ? ? ? ? 1? ? 3? 2 2 2 ?
2? 3 ? ? ? ? ,最小值为 0 .?????12 分 f ( x ) 在区间 ? ? , ? 上的最大值为 2 ? 6 2?



(1)解: 工厂总数为 18+27+18=63,样本容量与总体中的个体数比为 A,B,C 三个区中应分别抽取的工厂个数为 2,3,2.

7 63

?

1 9

,所以从

C (2) A1 , A 2 为在 A 区中抽得的 2 个工厂, 1 , B 2 , B 3 为在 B 区中抽得的 3 个工厂, 1 , C 2 设 B

为在 C 区中抽得的 2 个工厂,这 7 个工厂中随机的抽取 2 个,全部的可能结果有: C 7 种,随 机 的 抽 取 的 2 个 工 厂 至 少 有 一 个 来 自 A 区 的 结 果 有 ( A1 , A 2 ) ,

2

( A1 , B 2 ) ( A1 , B 1 ) ( A1 , B 3 ) ( A1 , C 2 ) ( A1 , C 1 ) ,同理 A 2 还能组合 5 种,一共有 11 种。所以所求

的概率为

11 C
2 7

?

11 21

19. (本小题满分 12 分) 如图, 已知 A B ⊥平面 AC D ,D E ∥ A B ,? ACD 是正三角形, A D ? D E ? 2 A B ,且 F 是 C D 的中点. (Ⅰ)求证: A F ∥平面 BCE ; (Ⅱ)求证:平面 BCE⊥平面 C D E . 解: (Ⅰ)取 CE 中点 P,连结 FP、BP, ∵F 为 CD 的中点, ∴FP∥DE,且 FP=
1 2 1 2 DE . DE .

E B

A C F (第 18 题图) D

又 AB∥DE,且 AB=

∴AB∥FP,且 AB=FP, ∴ABPF 为平行四边形,∴AF∥BP.????4 分 又∵AF ? 平面 BCE,BP ? 平面 BCE, P A
- 10 -

E B

C

F (第 18 题图)

D

∴AF∥平面 BCE ????6 分 (Ⅱ)∵△ACD 为正三角形,∴AF⊥CD ∵AB⊥平面 ACD,DE//AB ∴DE⊥平面 ACD ∴DE⊥AF 又 AF⊥CD,CD∩DE=D ∴AF⊥平面 CDE 又 BP∥AF ∴BP⊥平面 CDE 又∵BP ? 平面 BCE ∴平面 BCE⊥平面 CDE 20. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?a n ? 的首项 a1 ? 5 ,前 n 项和为 S n ,且 S n ?1 ? 2 S n ? n ? 5 ( n ? N ) .
?

又 AF ? 平面 ACD

????10 分

????12 分

(Ⅰ)设 bn ? a n ? 1 ,求数列 ?b n ? 的通项公式; (Ⅱ)求数列 ?a n ? 的前 n 项和 S n . 解: (Ⅰ)由 S n ?1 ? 2 S n ? n ? 5 ( n ? N )
? 得 S n ? 2 S n ?1 ? ? n ? 1 ? ? 5 ( n ? N , n ? 2) ?

两式相减得 a n ?1 ? 2 a n ? 1 ∴ 即
a n ?1 ? 1 ? 2 ? a n ? 1 ?

???????????? 3 分

? b n ?1 ? 2 b n ( n ? N , n 2 )?????????????? 4 分

?

又 a 2 ? S 2 ? S 1 ? S 1 ? 1 ? 5 ? a 1 ? 6 ? 11 ∴ b 2 ? a 2 ? 1 ? 12 , b1 ? a 1 ? 1 ? 6 ∴ b 2 ? 2b1 ?????????????? 6 分

∴ 数列 ?b n ? 是首项为 6 ,公比为 2 的等比数列 ∴
bn ? 6 ? 2
n ?1

? 3?2

n

????????????? 8 分

(Ⅱ)法一 由(Ⅰ)知 a n ? 3 ? 2 ? 1
n

???????????? 9 分
- 11 -



S n ? a1 ? a 2 ? ? ? ? ? a n ? 3 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? ? ? 3 ? 2 ? n
2 n

? 3?

2 ? 2 ? 1?
n

2 ?1
n

?n
n ?1

? 6?2 ? n ? 6 ? 3?2

?n?6.

????????? 12 分

(Ⅱ)法二 由已知 S n ?1 ? 2 S n ? n ? 5 ( n ? N ? ) 设 S n ?1 ? c ? n ? 1 ? ? d ? 2 ? S n ? cn ? d ? 整理得
S n ?1 ? 2 S n ? cn ? d ? c





对照① 、②,得

c ? 1, d ? 6

??????????????8 分

即①等价于 S n ?1 ? ? n ? 1 ? ? 6 ? 2 ? S n ? n ? 6 ? ∴ 数列 ? S n ? n ? 6? 是等比数列,首项为 S 1 ? 1 ? 6 ? a1 ? 1 ? 6 ? 12 ,公比为 q ? 2 ∴ ∴
S n ? n ? 6 ? 12 ? 2
n ?1

? 3?2

n ?1

Sn ? 3 ? 2

n ?1

?n?6.

?????????????? 12 分

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? ln x ? a 2 x 2 ? ax ( a ? R ) . (Ⅰ)当 a ? 1 时,证明函数 f ( x ) 只有一个零点; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 在区间 ? 1, ?? ? 上是减函数,求实数 a 的取值范围. 解: (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x ) ? ln x ? x 2 ? x ,其定义域是 (0, ?? ) ∴? f ?( x ) ?
1 x ? 2x ?1 ? ?
2

2x ? x ?1
2

????2 分
1 2

x 2x ? x ?1 x ? 0 ,解得 x ? ?

令 f ?( x ) ? 0 ,即 ?

或x ?1.

1 Q x ? 0 ,∴? x ? ? 舍去. 2

当 0 ? x ? 1 时, f ?( x ) ? 0 ;当 x ? 1 时, f ?( x ) ? 0 . ∴ 函数 f ( x ) 在区间 ? 0 ,1 ? 上单调递增,在区间 ? 1, ?? ? 上单调递减 ∴ 当 x =1 时,函数 f ( x ) 取得最大值,其值为 f (1) ? ln 1 ? 1 ? 1 ? 0 .
2

- 12 -

当 x ? 1 时, f ( x ) ? f (1) ,即 f ( x ) ? 0 . ∴ 函数 f ( x ) 只有一个零点. ????????6 分

(Ⅱ)显然函数 f ( x ) ? ln x ? a 2 x 2 ? ax 的定义域为 (0, ?? ) ∴ f ?( x ) ?
1 x ? 2a x ? a ?
2

? 2 a x ? ax ? 1
2 2

?

? (2 ax ? 1)( ax ? 1) x

???7 分

x
1 x

① 当 a ? 0 时, f ?( x ) ?

? 0,? f ( x ) 在区间 ? 1, ?? ? 上为增函数,不合题意??8 分

② 当 a ? 0 时, f ? ? x ? ? 0 ? x ? 0 ? 等价于 ? 2 ax ? 1 ? ? ax ? 1 ? ? 0 ? x ? 0 ? ,即 x ? 此时 f ( x ) 的单调递减区间为 ?
?1 ? ,?? ? . ?a ?

1 a

?1 ? ? 1, 依题意,得 ? a 解之得 a ? 1 . ? a ? 0. ?

???10 分

③ 当 a ? 0 时, f ? ? x ? ? 0 ? x ? 0 ? 等价于 ? 2 ax ? 1 ? ? ax ? 1 ? ? 0 ? x ? 0 ? ,即 x ? ? 此时 f ( x ) 的单调递减区间为 ? ?
? ? 1 2a ? ,?? ? , ?

1 2a

? 1 ?1 ?? ∴ ? 2a ?a ? 0 ?

得a ? ?

1 2 1 2

综上,实数 a 的取值范围是 ( ?? , ? 法二: ①当 a ? 0 时, f ?( x ) ?
1 x

] U [1, ?? )

????12 分

? 0,? f ( x ) 在区间 ? 1, ?? ? 上为增函数,不合题意??8 分

②当 a ? 0 时,要使函数 f ( x ) 在区间 ? 1, ?? ? 上是减函数,只需 f ? ? x ? ? 0 在区间 ? 1, ?? ? 上恒成立,? x ? 0 ? 只要 2 a 2 x 2 ? ax ? 1 ? 0 恒成立,
? a ?1 1 ? 2 ? ? 4a 解得 a ? 1 或 a ? ? 2 ?2a 2 ? a ? 1 ? 0 ?

综上,实数 a 的取值范围是 ( ?? , ? 22. (本小题满分 14 分)

1 2

] U [1, ?? )

????12 分

- 13 -

已知椭圆 C:

x a

2 2

?

y b

2 2

3 1 ? 1 ? a ? b ? 0 ? 过点 A (1, ) ,且离心率 e ? . 2 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ) 若直线 l : y ? kx ? m ? k ? 0 ? 与椭圆交于不同的两点 M 、 N , 且线段 M N 的
1 垂直平分线过定点 G ( , 0) ,求 k 的取值范围. 8 1 c 1 解: (Ⅰ)由题意 e ? ,即 e ? ? , a ? 2 c , 2 a 2

∴ b ? a ? c ? ? 2 c ? ? c ? 3c
2 2 2 2 2

2

∴ 椭圆 C 的方程可设为

x

2 2

?

y

2 2

4c

3c
2

? 1 ????????????? 3 分

?3? ? ? 1 3 ?2? ?1 代入 A (1, ) ,得 2 ? 2 4c 3c 2

解得 c 2 ? 1

∴ 所求椭圆 C 的方程是 (Ⅱ)法一
2 ? x2 y ? 由方程组 ? 4 ? 3 ? 1 ? y ? kx ? m ?

x

2

?

y

2

4

3

? 1 . ??????????????? 6 分

消去 y ,得

?3 ? 4k ? x
2

2

? 8 km x ? 4 m ? 12 ? 0 ??? 4 分
2
2 2

由题意,△ ? ? 8 km ? ? 4 ? 3 ? 4 k
2 2

? ? 4m

2

? 12 ? ? 0

整理得: 3 ? 4 k ? m ? 0 ① ?? 7 分 设 M ? x1 , y1 ? 、 N ? x 2 , y 2 ? , M N 的中点为 P ( x 0 , y 0 ) ,则
x0 ? x1 ? x 2 2 ?? 4 km 3 ? 4k
2

, y 0 ? kx 0 ? m ?

3m 3 ? 4k
2

??????? 8 分

由已知, MN ? GP
3m

即 k MN ? kGP ? ? 1



?0 2 k ? 3 ? 4k ? ?1 4 km 1 ? ? 2 3 ? 4k 8
3 ? 4k 8k
- 14 2

整理得: m ? ?

????????? 10 分

代入①式,并整理得: k 2 ?

1 20





| k |?

5 10

?????????12 分



? ? 5? ? 5 k ? ? ?? , ? , ?? ? ??? ? ? ? 10 ? 10 ? ? ? ?

?????? 14 分

(Ⅱ)法二
2 ? x2 y ? ? ? 1, 由方程组 ? 4 3 ? y ? kx ? m ?

消去 y ,得

?3 ?

4k

2

?

x ? 8 k m x 4 m ? 1 2 ? ??? 4 分 ? 0
2 2
2 2

由题意,△ ? ? 8 km ? ? 4 ? 3 ? 4 k 整理得: 3 ? 4 k 2 ? m 2 ? 0

? ? 4m

2

? 12 ? ? 0

① ?? 7 分

设 M ? x1 , y1 ? 、 N ? x 2 , y 2 ? , M N 的中点为 P ( x 0 , y 0 ) ,则
2 ? x12 y ? 1 ?1 ? 4 3 ? 2 2 x2 y2 ? ? ?1 3 ? 4

整理得:

y0 x0

??

3 1 ? 4 k



又 MN ? GP



y0 x0 ? 1 8

??

1 k



????9 分

由②、③解得

1 ? ? x0 ? 2 ? 3 ? y0 ? ? 8k ?
m ?? 3 ? 4k 8k
2

代入 y ? kx ? m ? k ? 0 ? ,得

????????? 12 分

代入①式,并整理得: k ?
2

1 20





| k |?

5 10

∴ 法三:

? ? 5? ? 5 k ? ? ?? , ? , ?? ? ??? ? ? 10 ? ? 10 ? ? ? ?

?????? 14 分

?1? ? 3 ? ? ? ?? ? ?2? ? 8k ? ? ?1 由 P ( x 0 , y 0 ) 在椭圆内部,得: 4 3

2

2

- 15 -

整理得: k 2 ?

1 20





| k |?

5 10



? ? 5? ? 5 k ? ? ?? , ? , ?? ? ??? ? ? ? 10 ? 10 ? ? ? ?

?????? 14 分

- 16 -


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