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唐山一中高三2013年元月调研试题文科数学答案


文科数学答案
一、选择题:DBAC,DCBA,AABD 二、13、 3 ,14、

3 1 ,15、 Sn ? 2n ? n2 ?1 ,16、 。 2 22
……………2 分 ………4 分

三、17(Ⅰ)由正弦定理得:

(2a ? c) cos B ? b cos C ? (2sin A ? si

n C) cos B ? sin B cos C
即: 2sin A cos B ? sin C cos B ? cos C sin B ? sin( B ? C ) ? sin A 在 ?ABC 中, 0 ? A ? ? ? sin A ? 0

1 ? ? cos B ? , 又0 ? B ? ?, B ? . ? 2 3
2 2 ?

…………………………6 分
2

(Ⅱ)由余弦定理得: 12 ? a ? c ? 2ac cos60 ? (a ? c) ? 3ac ……………..8 分 则 ac ? 8 ……..10 分? S?ABC ?

1 1 3 ac sin B ? ? 8 ? ? 2 3 .…..12 分 2 2 2

18. (Ⅰ)∵面 ABC ? 面 ACDE ,面 ABC ? 面 ACDE ? AC , CD ? AC , ??????2 分 ∴ DC ? 面 ABC , 又∵ DC ? 面 BCD ,∴平面 BCD ? 平面 ABC . ????4 分 (Ⅱ)取 BD 的中点 P ,连结 EP 、 FP ,则 FP 又∵ EA

1 DC , 2

1 DC ,∴ EA FP , ??????????6 分 2 ∴四边形 AFPE 是平行四边形,∴ AF ∥ EP , 又∵ EP ? 面 BDE 且 AF ? 面 BDE ,∴ AF ∥面 BDE . ??8 分 (Ⅲ)∵ BA ? AC ,面 ABC ? 面 ACDE = AC , ∴ BA ? 面 ACDE . ∴ BA 就是四面体 B ? CDE 的高,且 BA =2. ??????10 分 ∵ DC = AC =2 AE =2, AE ∥ DC , 1 1 ∴ S梯形ACDE ? (1 ? 2) ? 2 ? 3, S?ACE ? ? 1 ? 2 ? 1, 2 2 1 4 ∴ S?CDE ? 3 ? 1 ? 2, ∴ VE ?CDE ? ? 2 ? 2 ? . ????12 分 3 3
19. 解: (1)由条形图可得,选择 A 、 B 、 C 、 D 四款套餐的学生共有 200 人 其中选 A 款套餐的学生为 40 人

1

40 ?4份 200 4 ? 0 .1 设事件 M: 甲被选中进行调查问卷则 P ( M ) ? 40
由分层抽样可得从 A 款套餐问卷中抽取了 20 ? (2)由图表可知,选 A,B,C,D 四款套餐的学生分别接受调查的人数为 4,5,6,5,其中不满 意的人数分别为 1,1,0,2 个 记对 A 款套餐不满意的学生是 a, 对 B 款套餐不满意的学生是 b, 对 D 款套餐不满意的 学生是 c,d, 设事件 N:从填写不满意的学生中选出 2 人,至少有一人选的是 D 款套餐 从填写不满意的学生中选出 2 人, 共有 C4 ? 6 个基本事件, 而事件 N 有 C2 C2 ? C2
2 1 1 2

个基本事件 则 P( N ) ?

5 6

至少有一人选的是 D 款套餐的概率是

5 6

1

20. (Ⅰ)由题意:一条切线方程为: x ? 2 ,设另一条切线方程为: y ? 4 ? k ( x ? 2) .2

则:

| 4 ? 2k | k ?1
2

? 2 ,解得: k ?

3 3 5 ,此时切线方程为: y ? x ? 4 4 2 6 8 , y ? ,则直线 AB 的方程为 x ? 2 y ? 2 …….4 分 5 5

切线方程与圆方程联立得: x ? ?

令 x ? 0 ,解得 y ? 1 ,∴ b ? 1 ;令 y ? 0 ,得 x ? 2 ,∴ a ? 2

x2 ? y2 ? 1 故所求椭圆方程为 4
? y ? kx ? 3, ? (Ⅱ)联立 ? x 2 整理得 1 ? 4k 2 x 2 ? 8 3kx ? 8 ? 0 , 2 ? ? y ? 1. ?4

……….6 分

?

?

令 P( x1 , y1 )

, Q( x2 , y 2 ) ,则 x1 ? x 2 ?

8 ? 8 3k , x1 x 2 ? , 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k
………..8 分

? ? (8 3k ) 2 ? 32(1 ? 4k 2 ) ? 0 ,即: 2k 2 ? 1 ? 0
2

原点到直线 l 的距离为 d ?

3 1? k 2



………..10 分

| PQ |? 1 ? k 2 | x1 ? x2 | ,
∴ S?OPQ

1 3 3 2k 2 ? 1 2 ? PQ ? d ? | x1 ? x2 |? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? 2 6? 2 2 2 (1 ? 4k 2 ) 2
?1

2k 2 ? 1 1 ?2 6? =2 6? 2 2 2 4(2k ? 1) ? 12(2k ? 1) ? 9 4(2k 2 ? 1) ? 12 ?
5 时取等号,则 ?OPQ 面积的最大值为 1. 2
x

9 2k 2 ? 1

当且仅当 k ?

………..12 分

21. (Ⅰ) f ( x ) ? e ? 当a ?

1 1 1 x , f '( x) ? e ? , f '(0) ? 1 ? 2 . 2 x?a a ( x ? a)
………..2 分 ………..4 分

1 时, f '(0) ? ?3 .又 f (0) ? ?1 . 2

则 f ( x ) 在 x ? 0 处的切线方程为 y ? ?3x ? 1 . (Ⅱ)函数 f ( x ) 的定义域为 (??, a) ? (a, ??) . 当 x ? (a, ??) 时, e ? 0,
x

1 1 ? 0 ,所以 f ( x) ? e x ? ?0. x?a x?a
………..6 分

即 f ( x ) 在区间 (a, ??) 上没有零点. 当 x ? (??, a) 时, f ( x) ? e ?
x

1 e x ( x ? a) ? 1 ? , x?a x?a
………7 分
x

令 g ( x) ? e ( x ? a) ? 1.
x

只要讨论 g ( x) 的零点即可. g '( x) ? e ( x ? a ? 1) , g '(a ? 1) ? 0 . 当 x ? (??, a ? 1) 时, g '( x) ? 0 , g ( x) 是减函数;

3

当 x ? (a ? 1, a) 时, g '( x) ? 0 , g ( x) 是增函数. 所以 g ( x) 在区间 (??, a) 最小值为 g (a ?1) ? 1 ? ea?1 . 显然,当 a ? 1 时, g (a ? 1) ? 0 ,所以 x ? a ? 1 是 f ( x ) 的唯一的零点; 当 a ? 1 时, g (a ?1) ? 1 ? ea?1 ? 0 ,所以 f ( x ) 没有零点; 23(Ⅰ)曲线 C 的直角坐标方程为 x2 ? 4 x ? y 2 ? 0 . ………..12 分 ………..9 分

…..2 分

? 3 t ? x ? ?2 ? ? 2 代入上式并整理得 t 2 ? 4 3t ? 12 ? 0 .解得 t ? 2 3 .∴点 T 的 将? ?y ? 1 t ? ? 2 ? 坐标为 (1, 3) ..4 分其极坐标为 (2, ) 5分 3 (Ⅱ)设直线 l ? 的方程为 y ? 3 ? k ( x ?1),即kx ? y ? 3 ? k ? 0 . ………..7 分 由(Ⅰ)得曲线 C 是以 (2, 0) 为圆心的圆,且圆心到直线 l ? 的距离为 3 .
则,

3?k k 2 ?1

? 3 .解得 k ? 0 ,或 k ? 3 .
………..9 分

直线 l ? 的方程为 y ? 3 ,或 y ? 3x . 其极坐标方程为 ? sin ? ? 3或? ?

?
3

( ? ? R) .……………………10 分

? ?2 x ? 2, x ? ?3 ? 24. (Ⅰ) f ( x ) ? x ? 1 ? | x ? 3 |? ?4, ?3 ? x ? 1 ? 2 x ? 2, x ? 1 ?
则当 x ?[?3,1] 时, f (x) 为常函数. (Ⅱ)由(1)得函数 f ( x ) 的最小值为 4, 则实数 a 的取值范围为 a ? 4 .

………..4 分

………..5 分 ………..8 分 …..10 分

4


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