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等差数列求和公式及性质教案习题


南博教育备课本
学生姓名 教学时间 教学内容 刘琼 2013/8/23
等差数列求和及公式

年级 教学科目 任课教师

高二 数学 葛老师

1、等差数列{an}前 n 项和公式: S n =

a 1 ? an n(n ? 1) n(n ? 1) n = a1n ? d = n

an ? d。 2 2 2
d 2 d d d n ? (a1 ? )n ,若令 A= ,B=a1- ,则 S n =An2+Bn. 2 2 2 2

等差数列的前 n 项之和公式可变形为 S n ?

在解决等差数列问题时,如已知,a1,an,d, S n ,n 中任意三个,可求其余两个。 2、等差数列{an}前 n 项和的性质 性质 1:Sn,S2n-Sn,S3n-S2n, …也在等差数列,公差为 n2d 性质 2:(1)若项数为偶数 2n,则 S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1) 性质 3:(2)若项数为奇数 2n-1,则 S2n-1=(2n- 1)an

(an,an+1 为中间两项),此时有:S 偶-S 奇= nd

,

(an 为中间项), 此时有:S 奇-S 偶= an ,

s奇 s偶

?

n n -1

性质 4:数列{

sn }为等差数列 n
S n a 2 n ?1 ? Tn b2 n ?1

性质 5:若数列{an}与{bn}都是等差数列,且前 n 项的和分别为 Sn 和 Tn,则 典型例题:

热点考向 1:等差数列的基本量(a1,an,d, S n ,n 中任意三个,可求其余两个) 例 1、在等差数列{ an }中,已知 S8 ? 48, S12 ? 168 ,求 a1, 和 d 已知 a6 ? 10, S5 ? 5 ,求 a8 和 S8

训练: 1、在等差数列 {an } 中,已知 a10 ? 30, a20 ? 50 .(1)求通项公式 {an } ; (2)若 Sn ? 242 ,求 n . 2.在等差数列 ?an ? 中, S n 为数列 ?an ? 的前 n 项和,已知 S7 ? 7, S15 ? 75 , Tn 为数列{ 3、已知等差数列 ?an ? 的前 n 项之和记为 Sn,S10=10 ,S30=70,则 S40 等于

Sn }的前 n 项和,求 Tn n



4. 已知 ?a n ?是等差数列,且满足 a m ? n, a n ? m(m ? n) ,则 a m ? n 等于________。在等差数列{an}中,设前 m 项和 为 Sm,前 n 项和为 Sn,且 Sm=Sn,m≠n,求 Sm+n. 5、 已知等差数列{an}的公差是正数,且 a3·a7=-12,a4+a6=-4,求它的前 20 项的和 S20 的值.

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热点考向 2:求等差数列前 n 项和最值 例 2、 已知: 1 等差数列{an}中, n=33-3n, Sn 的最大值. 在等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n (1) a1 ? 20 , a 求 2、 . 若 并且 S10 ? S15 ,求当 n 取何值时, S n 最大,并求出最大值; (2)若 a1 ? 0 , S9 ? S12 ,则该数列前多少项的和最 小? 训练:1、已知: a n ? 1024 ? lg 21? n ( lg 2 ? 0.3010 ) n ? N ? 和的绝对值最小? 2.设等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,已知 a3 ? 12, S12 ? 0, S13 ? 0. (I)求公差 d 的取值范围; (II)指出 (1) 问前多少项之和为最大?(2)前多少项之

S1 , S 2 , S 3 ,?, S12 中哪一个最大,并说明理由。
3、 在等差数列{an}中,已知 a1=25,S9=S17,问数列前多少项和最大,并求出最大值. 热点考向 3:求等差数列各项的绝对值之和.

| 例 3、已知一个等差数列 ?an ? 的通项公式 an=25-5n,求数列 ? a n |? 的前 n 项和;
训练:1、 已知等差数列{an}中,S3=21,S6=64,求数列{|an|}的前 n 项和 Tn. 2.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? 12n ? n2 ,求数列{ an }的前 n 项和 Tn 。 热点考向 4:.等差数列{an}前 n 项和的性质的应用 例 4.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3=9,S6=36,则 a7+a8+a9=( )A.63 B.45 C.36 D.27 1.在等差数列{an}中,已知公差 d=1/2,且 a1+a3+a5+…+a99=60,a2+a4+a6+…+a100=( )A.85 B.145 C.110 2.两等差数列{an} 、{bn}的前 n 项和分别是 Sn 和 Tn,且

D.90 个

S n 2n ? 7 a ? ,则 10 ? Tn n?3 b10

an 为整数的 n 值有 bn

训练:1、已知等差数列 an}的前 10 项之和为 140,其中奇数项之和为 125 ,则 a6= 。 2. 一个等差数列的前 12 项之和为 354,前 12 项中偶数项与奇数项之比为 32:27,求公差。 3、已知一个等差数列的总项数为奇数, 且奇数项之和为 77,偶数项之和为 66,则中间项= 总项数为 。 4.等差数列{an}的前 n 项的和为 Sn,已知 am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38,则 m= . 热点考向 5:知识的融合与等差数列的综合应用 例 4.已知二次函数 y=f(x)的图象经过坐标原点, 其导函数为 f′(x)=6x-2, 数列{an}的前 n 项和为 Sn, 点列(n,n)(n∈N*) S 3 m 均在函数 y=f(x)的图象上.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设 bn= ,T 是数列{bn}的前 n 项和,求使得 Tn< 对所 20 anan+1 n 有 n∈N*都成立的最小正整数 m. 2 、项 数是 2n 的等 差数列 ,中 间两项 为 a n 和a n ?1 是方 程 x ? px ? q ? 0 的两根 ,求证 此数列 的和 S 2 n 是方 程
2

lg 2 x ? (lg n 2 ? lg p 2 ) lg x ? (lg n ? lg p) 2 ? 0 的根。 ( S 2 n ? 0 )

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