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习题2005年普通高等学校招生全国统一考试数学试题精析详解湖南文史类


第 1 页 共 9 页

2005 年普通高等学校招生全国统一考试 数学(湖南文史类)试题精析详解
一、选择题(5 分 ? 10=50 分) 1.设全集 U={-2,-1,0,1,2},A={-2,-1,0},B={0,1,2},则( CUA)∩B= ( ) A.{0} B.{-2,-1} C.{1,2} D.{0,1,2} 【思路点拨】本题涉及集合

的简单运算. 【正确解答】 C U A ? {1, 2} , ( C U A ) ? B ? {1 .2} ,选 C 【解后反思】这是一道考查集合的简单题目,可用画出它的韦恩图,用数形结合的方法解答. 2.tan600°的值是 ( ) A. ?
3 3

B.

3 3

C. ?

3

D. 3

【思路点拨】本题涉及任意角的三角的函数值. 【正确解答】 tan 6 0 0 ? ? tan (3 6 0 ? ? 2 ? 1 2 0 ? ) ? tan ( ? 1 2 0 ? ) ? tan 6 0 ? ?
3 .选 D.

【解后反思】 这是一道求值题,运用数学思想中的化归方法,将一个未知的角转化成一个特殊 角,达到解决的目的,即将一个未知的知识转化成已知的知识的过程,这种方法在许多题目中 都有所涉及.
x 3.函数 f(x)= 1 ? 2 的定义域是

( C. (-∞,0) D. (-∞,+∞)
D1



A. ( -∞,0] 见理工农医类 2.

B.[0,+∞ )

4.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,E 是 A1B1 的中点,则 E 到平面 AB C1D1 的距离为( A.
3 2
1 2

C1


A1 E

O B1

B.

2 2

C.

D.

3 3
D C

见理工农医类 5. 5. 已知数列 { a n } 满足 a 1 ? 0 , a n ? 1 ? 则 a 20 =
an ? 3
A B

3a n ? 1

(n ? N ) ,
*




3 2

A.0

B. ?

3

C. 3

D.

第 2 页 共 9 页 【思路点拨】本题涉及数列的相关知识与三角间的周期关系.,
ta n ? n ? ta n 1 ? ta n ? n ta n

?
3 ? y ? ta n (? ? ? ) , n ? 3 3

【正确解答】设 a n ? tan ? n ,则 a n ? 1 ?
?
3

则 ? n+ 1 ? ? n ?

,由 a 1 ? 0 可知, ? 0 ? 0 ,故数列{ ? n }是以零为首项,公差为 ?
?
3 ) , a 2 0 ? ta n ? 2 0 ? ta n ( ? 1 9? 3 )? ? 3 .选 B

?
3

的等

差数列, ? 2 0 ? ? 0 ? 1 9 ? ( ?

【解后反思】这是一道综合利用数列内部之间递推关系进行求解的题目.当我们看到有递推 式存在时,不要急于通过代入,达到一个个来求解的目的, 如此这般, 既显得过于复杂,同时 破坏了数学的逻辑性,而要通过化简,找到最直接的途径.本题中巧妙的逆用了两角和与差的 正切公式,得出此数列为等差数列的结论,顺利达到求解的目的. 6. 设集合 A= x| {
x ?1 x ?1

<0 } , {x || x -1|<a } , “a=1” “A∩B≠ B= 则 是 B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

” ( 的



A.充分不必要条件 C.充要条件 见理工农医类 8.

7.设直线的方程是 Ax ? By ? 0 ,从 1,2,3,4,5 这五个数中每次取两个不同的数作为 A、 B 的值,则所得不同直线的条数是 A.20 B.19 C.18 D.16 ( )

【思路点拨】本题涉及直线的位置关系与排列组合知识. 【正确解答】要得到不同的直线,则要使斜率不同,因此不同的直线条数是 P5 ? 2 ? 1 8 ,
2

选 C. 【解后反思】;这是一道比较复杂的综合题,因为本题用直接法所要情况过于繁琐,此时用间 接法就显得很有必要.在求此类题目时,一般来说,有两种方法,(1)留纯,将符合题目要求可 能性一一列出,再将每种情况的种数求出,最后将所有数字相加,可以求的正确答案(2)去杂, 将题目的所有可能性都求出不,去掉不符合题目要求的种数,就得到正确答案.这两种方法, 各有优劣,根据题目要求,作适当选择. 8.已知双曲线
x a
2 2



y b

2 2

=1(a>0,b>0)的右焦点为 F,右准线与一条渐近线交于点 A,

△OAF 的面积为

a

2

(O 为原点) ,则两条渐近线的夹角为





2

第 3 页 共 9 页 A.30? 见理工农医类 7. 9.P 是△ABC 所在平面上一点,若 PA ? PB ? PB ? PC ? PC ? PA ,则 P 是△ABC 的( A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 ) B.45? C.60? D.90?

【思路点拨】本题涉及在三角形中的向量运算. 【正确解答】特例法,将△ABC 变成一个直角三角形,可得到答案.选 C. 【解后反思】 本题是一道复杂的综合题,题目中存在用向量去解决有关三角形的性质,有许多 同学会失去方向,手足无措,其实向量与三角形有密切联系,向量可以证明许多有关三角形的 定理,例如正弦定理,余弦定理的证明,而三角形也对向量有很大的影响,如向量的三角形法 则等.充分发挥多种数学知识的联系,可以让我们在解决问题的过程中,多一种解决思路. 10.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为 L1=5.06x-0.15 x 和 L2=2 x,其中 x 为销售量(单位:辆).若该公司在这两地共销售 15 辆车,则能获得的最 大利润为 ( ) A.45.606 B.45.6 C.45.56 D.45.51 【思路点拨】本题涉及线性函数的最值问题. 【正确解答】 设甲、 乙两种品牌车分别售出 x 、y 辆, 则总的利润为 z ? 5 .0 6 x ? 0 .1 5 x ? 2 y ,
2

2

且 x ? y ? 1 5 , z ? ? 0 .1 5 x ? 3 .0 6 x ? 3 0 ? ? 0 .1 5( x ? 1 0 .2 ) ? 4 5 .6 0 6 ,因为 x , y 均为正整
2 2

数,故 x ? 1 0, y ? 5 时利润最大,为 45.6.选 B. 【解后反思】这是一道实际应用题.我们要有求这种题目的一般思路,例如本题,在解决的过 程中,要想求利润的最大值,同学们应首先根据题目的条件,求出此利润的线性目标函数,然 后在根据题目的要求,列出线性约束条件,根据线性约束条件,画出可行域,,根据可行域,找 出最优解.在一些题目中,还要求最优解是整数,那么比较好的方法是在整个可行域中,描出 一个整数点. 当然在作图的过程中,一定要精确. 二、填空题(4 分 ? 5=20 分) (第 15 小题每空 2 分) 11.设直线 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 和圆 x ? y ? 2 x ? 3 ? 0 相交于点 A、B,则弦 AB 的垂直平分
2 2

线方程是

.

【思路点拨】本题涉及直线与圆的有关知识. 【正确解答】由题意可知,弦 AB 的斜率为 ? 圆心 (1, 0 ) ,所求直线方程为 y ?
3 2 2 3 ( x ? 1) ,即 3 x ? 2 y ? 3 ? 0 .

,则弦 AB 的垂直平分线 l 斜率为

3 2

,且 l 过

【解后反思】直线与圆的位置关系一共有三种位置关系.分别为(1) 相离 (2)相切(3)相交, 本题是三种位置中的第三种,也是我们常考到的一种位置关系,在这种位置关系,同学一定要 注意多构造直角三角形,即连接圆的圆心与弦的中点,构造出一条直线,那么直线垂直平分所

第 4 页 共 9 页 在的弦.同时也构造出直角三角形,也求边长或距离作好准备. 12.一工厂生产了某种产品 16800 件,它们来自甲、乙、丙 3 条生产线.为检查这批产品的 质量,决定采用分层抽样的方法进行抽样.已知从甲、乙、丙 3 条生产线抽取的个体数 组成一个等差数列,则乙生产线生产了 见理工农医类 11 13.在(1+x)+(1+x) +?+(1+x) 的展开式中,x 项的系数是 字作答) 见理工农医类 12. 14.设函数 f(x)的图象关于点(1,2)对称,且存在反函数 f (x),f (4)=0,则 f (4) = .
-1 -1 2 6 2

件产品.

.(用数

见理工农医类 14. 15. 已知平面 ? , ? 和直线, 给出条件: m // ? ; m ? ? ; m ? ? ; ? ? ? ; ? // ? . ① ② ③ ④ ⑤ (i) 当满足条件 (填所选条件的序号) 【思路点拨】本题涉及立体几何线面平行与面面平行以及线面垂直与面面垂直的有关知识. 【正确解答】 (i)由两个平面平行,其中一个平面内的任一条直线都平行于另一平面,所以 , ? // ? , m ? ? ,可得 m // ? ,选③⑤ (ii)由若一条直线与两个平行平面中的一个 时, m // ? ; 有 (ii) 当满足条件 时, m ? ? . 有

垂直,则它也必垂直于另一个平面,因此由 ? // ? , m ? ? ,可得 m ? ? ,选②⑤. 【解后反思】本题是数学试卷中的多项选择题,本题是属于概念题,要想做对此类问题,必须 要对立体几何各知识点的定义,性质,判定都非常了解,性质定理:指的是关于线面处于某种 几何关系,它所具有的几何性质的定理,往往是为了挖掘题目中隐含条件.而判定定理:为了 证明线面处于某种几何关系,它所需要的条件的定理,这些条件缺一不可,往往判定定理成为 证明题和判断判定题的重要依据.如在解决的过程中,多通过画图验证结果,就可以达到事半 功倍的效果. 三、解答题(共 80 分.) 16. (本小题满分 12 分) 已知数列 {log
2

( a n ? 1)} n ? N ) 为等差数列,且 a 1 ? 3 , a 3 ? 9 .
*

(Ⅰ)求数列 { a n } 的通项公式;

第 5 页 共 9 页

(Ⅱ)证明

1 a 2 ? a1

?

1 a3 ? a2

?? ?

1 a n ?1 ? a n

? 1.

【思路点拨】本题涉及等差数列性质的有关知识 【正确解答】 (I)解:设等差数列 {log 由 a 1 ? 3 , a 3 ? 9 得 2 (log
2

( a n ? 1)} 的公差为 d. 2 ? log 8 , 即 d=1.

2

2 ? d ) ? log

2

2

所以 log 2 ( a n ? 1) ? 1 ? ( n ? 1)? ? n , 即 a n ? 2 n ? 1 . (II)证明因为
1 a n ?1 ? a n 1 a3 ? a2 ? a 1
n ?1

? 2

n

?

1 2
n



所以

1 a 2 ? a1

?

?? ?

1 a n ?1 ? a n

?

1 2
1

?

1 2
2

?

1 2
3

?? ?

1 2
n

1 ? 2

? 1?

1 2
n

?

1 2 ?1? 1 2
n

1 2

? 1.

【解后反思】 这是一道数列极限的综合题,解决此类问题,一般都要找出数列中前后项暗含的 关系,当然如果是等比数列和等差数列就更好啦,如果不是,就要求出它们之间存在的递推关 系,并将这个等式代入所要求的式子,进行初步化简,最后再利用极限的运算法则,就可以得 到正确的答案. 数列的题目其实很简单,为什么有人不会做呢,许多人都做了许多遍啦,所以 今后请同学们一定要改善我们的解题过程,因为重要的不是解题的数量,要认真的读题,分 析题,增加我们对题目的认识,逐渐形成重视思路中的反思. 17. (本小题满分 12 分) 已知在△ABC 中,sinA(sinB+cosB)-sinC=0,sinB+cos2C=0,求角 A、B、C 的 大小. 见理工农医类 16. 18. (本小题满分 14 分) 如图 1,已知 ABCD 是上.下底边长分别为 2 和 6,高为 3 的等腰梯形,将它沿对称轴 OO1 折成直二面角,如图 2. (Ⅰ)证明:AC⊥BO1; (Ⅱ)求二面角 O-AC-O1 的大小.

第 6 页 共 9 页

见理工农医类 17. 19. (本小题满分 14 分) 设 t ? 0 ,点 P( t ,0)是函数 f ( x ) ? x ? ax 与 g ( x ) ? bx
3 2

? c 的图象的一个公共点,

两函数的图象在点 P 处有相同的切线. (Ⅰ)用 t 表示 a,b,c; (Ⅱ)若函数 y ? f ( x ) ? g ( x ) 在(-1,3)上单调递减,求 t 的取值范围. 【思路点拨】本题考查导数的基础知识和几何应用.涉及函数的交点问题,可根据交点的含 义用 t 表示 a, c, (Ⅱ) b, 第 问实质上是研究 y ? f ( x ) ? g ( x ) 的导数 y ? 在 (-1, 上 y ? ? 0 3) 或 y ? ? 0 恒成立来求 t 的取值范围. 【正确解答】 (I)因为函数 f ( x ) , g ( x ) 的图象都过点( t ,0) ,所以 f ( t ) ? 0 ,
3 2 即 t ? at ? 0 .因为 t ? 0 , 所以 a ? ? t .

g ( t ) ? 0 , 即 bt

2

? c ? 0 , 所以 c ? ab .

又因为 f ( x ) , g ( x ) 在点( t ,0)处有相同的切线,所以 f ? ( t ) ? g ? ( t ).
2 2 而 f ? ( x ) ? 3 x ? a , g ? ( x ) ? 2 bx , 所以 3 t ? a ? 2 bt .

2 将 a ? ? t 代入上式得 b ? t .

3 2 3 因此 c ? ab ? ? t . 故 a ? ? t , b ? t , c ? ? t .

(II)解法一 y ? f ( x ) ? g ( x ) ? x ? t x ? tx
3 2

2

? t , y? ? 3x
3

2

? 2 tx ? t

2

? ( 3 x ? t )( x ? t ) .

当 y ? ? ( 3 x ? t )( x ? t ) ? 0 时,函数 y ? f ( x ) ? g ( x ) 单调递减. 由 y ? ? 0 ,若 t ? 0 , 则 ?
t 3 ? x ? t ;若 t ? 0 , 则 t ? x ? ? t 3 .

由题意,函数 y ? f ( x ) ? g ( x ) 在(-1,3)上单调递减,则
( ? 1, 3 ) ? ( ? t 3 , t ) 或 ( ? 1, 3 ) ? ( t , ? t 3 t 3 ? 3 .即 t ? ? 9 或 t ? 3 . ).

所以 t ? 3 或 ?

又当 ? 9 ? t ? 3 时,函数 y ? f ( x ) ? g ( x ) 在(-1,3)上单调递减. 所以 t 的取值范围为 ( ?? , ? 9 ] ? [ 3 , ?? ). 解法二: y ? f ( x ) ? g ( x ) ? x ? t x ? tx
3 2 2

? t , y? ? 3x
3

2

? 2 tx ? t

2

? ( 3 x ? t )( x ? t )

第 7 页 共 9 页 因为函数 y ? f ( x ) ? g ( x ) 在(-1,3)上单调递减,且 y ? ? ( 3 x ? t )( x ? t ) 是(-1, 3) 上的抛物线, 所以 ?
? y ? | x ? ?1 ? 0 , ? y ? |x?3 ? 0.
? ( ? 3 ? t )( ? 1 ? t ) ? 0 . ? ( 9 ? t )( 3 ? t ) ? 0 .

即?

解得 t ? ? 9 或 t ? 3 .

所以 t 的取值范围为 ( ?? , ? 9 ] ? [ 3 , ?? ). 【解后反思】函数是高中数学最重要的内容之一,相关的知识点多面广,运动与变换、数形 结合、分类讨论等数学思想方法体现既有深度又有广度,是历年数学高考的重点,做这类问 题一般要把题目多读几遍,争取吃透题目中所包含的种种意思,最后根据要求,将条件转化成 一道道等式,当发现条件不够时或解不下去时,要回到题目本身,看有没有漏条件或隐含条件 还没有挖掘出来的. 20. (本小题满分 14 分) 某单位组织 4 个部门的职工旅游,规定每个部门只能在韶山、衡山、张家界 3 个景区中 任选一个,假设各部门选择每个景区是等可能的. (Ⅰ)求 3 个景区都有部门选择的概率; (Ⅱ)求恰有 2 个景区有部门选择的概率. 【思路点拨】本题涉及关于概率的有关知识. 4 【正确解答】某单位的 4 个部门选择 3 个景区可能出现的结果数为 3 .由于是任意选择,这 些结果出现的可能性都相等. (I)3 个景区都有部门选择可能出现的结果数为 C 4 ? 3!(从 4 个部门中任选 2 个作为 1 组,
2

另外 2 个部门各作为 1 组,共 3 组,共有 C 4 ? 6 种分法,每组选择不同的景区,共有
2

3!种选法) ,记“3 个景区都有部门选择”为事件 A1,那么事件 A1 的概率为 P(A1)=
C 4 ? 3!
2

3

4

?

4 9

.

(II)解法一:分别记“恰有 2 个景区有部门选择”和“4 个部门都选择同一个景区”为事 件 A2 和 A3,则事件 A3 的概率为 P(A3)= P(A2)=1-P(A1)-P(A3)= 1 ?
4 9 ? 1 27 3 3
4

? 14 27

1 27 .
1

,事件 A2 的概率为

?

解法二:恰有 2 个景区有部门选择可能的结果为 3 ( C 4 ? 2!? C 4 ). (先从 3 个景区任意选定 2
2
2 个,共有 C 3 ? 3 种选法,再让 4 个部门来选择这 2 个景区,分两种情况:第一种情况,从

4 个部门中任取 1 个作为 1 组, 另外 3 个部门作为 1 组, 2 组, 共 每组选择 2 个不同的景区, 共有 C 4 ? 2! 种不同选法.第二种情况,从 4 个部门中任选 2 个部门到 1 个景区,另外 2 个部
1

门在另 1 个景区,共有 C 4 种不同选法).所以 P(A2)=

2

3 ( C 4 ? 2 !? C 4 )
2 2

3

4

?

14 27

.

第 8 页 共 9 页 【解后反思】概率是一种新型题目,具体掌握情况如下(1)了解随机事件的发生存在着规 律性和随机事件概率的定义(统计定义)(2)了解等可能事件的概率的定义及计算公式, ; 会用排列组合的基本公式计算一些等可能事件的概率; (3)了解互斥事件、相互独立事件的 意义,会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件概率的乘法公式计算一些事件的概率; (4)会计算事件在 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率。 21. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C:
x a
2 2



y b

2 2

=1(a>b>0)的左.右焦点为 F1、F2,离心率为 e. 直线

l:y=ex+a 与 x 轴.y 轴分别交于点 A、B,M 是直线 l 与椭圆 C 的一个公共点,P 是点 F1
关于直线 l 的对称点,设 AM =λ AB . (Ⅰ)证明:λ =1-e ; (Ⅱ)若 ? ?
3 4
2

,△PF1F2 的周长为 6;写出椭圆 C 的方程;

(Ⅲ)确定λ 的值,使得△PF1F2 是等腰三角形. 【思路点拨】见理工农医类 21. 【正确解答】 (Ⅰ)证法一:因为 A、B 分别是直线 l: y ? ex ? a 与 x 轴、y 轴的交点,所
? y ? ex ? a , ? x ? ?c, ? 2 ? 2 2 得? 以 A、B 的坐标分别是 ( ? , 0 ), ( 0 , a ).由 ? x y b 这里 c ? e ? 2 ? 1, ? y ? . ? 2 a b ? ?a a
b
2 2

a

2

?b

2

.

所以点 M 的坐标是( ? c ,
a ?a ?c ? ? ?e ? e 即? 2 ? b ? ?a ? a ?

).

由 AM ? ? AB 得 ( ? c ?

a

a b a , ) ? ? ( , a ). e a e

解得 ? ? 1 ? e

2

证法二:因为 A、B 分别是直线 l: y ? ex ? a 与 x 轴、y 轴的交点,所以 A、B 的坐标 分别是 ( ?
a e , 0 ), ( 0 , a ). 设 M 的坐标是 ( x 0 , y 0 ), 由 AM ? ? AB 得 ( x 0 ? a e , y0 ) ? ? ( a e , a ),

a ? ( ? ? 1) ?x0 ? 所以 ? e ? y ? ?a. ? 0
[ a ( ? ? 1 )] a
2 2

因为点 M 在椭圆上,所以

x0 a

2 2

?

y0 b

2

2

? 1,

即 e
e
4

?
2

(? a ) b
2

2

? 1, 所以
2

(1 ? ? ) e
2

2

?
2

?

2 2

1? e

? 1.

? 2 (1 ? ? ) e
3 4

? (1 ? ? )
1 2

? 0,

解得 e ? 1 ? ?

即? ? 1? e .
2

(Ⅱ)当 ? ?

时, c ?

,所以 a ? 2 c .

由△MF1F2 的周长为 6,得 2 a ? 2 c ? 6 .

第 9 页 共 9 页

所以 a ? 2 , c ? 1, b ? a ? c ? 3 .
2 2 2

椭圆方程为

x

2

?

y

2

? 1.

4

3

(Ⅲ)解法一:因为 PF1⊥l,所以∠PF1F2=90°+∠BAF1 为钝角,要使△PF1F2 为等腰三角 形,必有|PF1|=|F1F2|,即
1 2 | PF 1 | ? c .

设点 F1 到 l 的距离为 d,由

1 2

| PF 1 | ? d ?

| e(? c) ? 0 ? a | 1? e
2 3
2

?

| a ? ec | 1? e
2

? c,



1? e

2

? e.
2

所以 e 2 ?

1 3

, 于是 ? ? 1 ? e

2

?

.

1? e

即当 ? ?

2 3

时 , △PF1F2 为等腰三角形.

解法二:因为 PF1⊥l,所以∠PF1F2=90°+∠BAF1 为钝角,要使△PF1F2 为等腰三角形, 必有|PF1|=|F1F2|, 设点 P 的坐标是 ( x 0 , y 0 ) ,
1 ? y0 ? 0 ? ? ? e ?x ?c 则? 0 x0 ? c ? y0 ? 0 ? e ? a. ? 2 2 ?
(e
2 2

? e ?3 c, ? x0 ? 2 ? e ?1 解得 ? 2 2 (1 ? e ) a ? y0 ? . 2 ? e ?1 ?
2

由|PF1|=|F1F2|得 [

? 3)c ?1

? c] ? [
2

2 (1 ? e ) a
2

e

e (e
2 2

2

?1

]

2

? 4c ,
2

两边同时除以 4a ,化简得
2 3

2

? 1) ?1

2

? e .
2

从而 e

2

?

1 3

.

e
2 于是 ? ? 1 ? e ?

.

即当 ? ?

2 3

时,△PF1F2 为等腰三角形.

【解后反思】见理工农医类 21.


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