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南昌市高中数学竞赛


南昌市高中数学竞赛试卷
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题号 得分

(7 月 2 日上午 8:30-11:30) 13 一.选择 二.填空 14

15

总分

姓名______ 考号___

__ (此线内请勿答题)

(注意:题号后凡标有“高一”的,为高一学生解答题;凡标有“高二”的,为高
二学生解答题:凡未作以上标志的,则为高一、高二学生共同解答题) 一、 选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1、 (高一)设集合 A ? { a ? 8 a ? N } , B ? { b ? 2 9 b ? N } , (i)
2 2

若 A ? B ? P ,则 P 中元素个数为(
A 、0 B 、1
C 、2



D 、至少 3 个 (ii) (高二)三个互不重合的平面,能把空间分成 n 部分,则 n 的所有可能 的值是( ) A 、4,6,8 ; B 、4,6,7 ; C 、4,5,7,8 ; D 、4,6,7,8 2、 (高一)若三角形的三条高线长分别为 12,15,20,则此三角形的形状 (i) 为( ) A 、锐角三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、形状不确定 (ii) (高二)抛物线顶点在原点,对称轴为 x 轴,焦点在直线 3x-4y=12 上,则 抛物线方程为( ) A 、 y ? ?12 x
2

B 、 y ? 12 x
2

C 、 y ? ?16 x
2

D 、 y ? 16 x
2

学校_____ 年级______

3、(i)(高一)设 f ( x )=
f 2006 ( x )= (
A 、x

1? x 1? x

,记 f 1 ? x ? ? f ? x? ,若 f n ? 1 ( x ) ? f ( f n ( x )) , 则


B 、-

1 x

C 、

1? x 1? x

D、

x ?1 x ?1

(ii) (高二) 四棱锥 P ? A B C D 的底面 A B C D 是单位正方形( A , B , C , D 按反时针 方向排列),侧棱 P B 垂直于底面,且 P B = 3 ,记 ? A P D ? ? ,则 s i n ? = (
A、


2 2
B 、

3 3

C 、

5 5

D、

6 6

4、若 a ? sin ? ? tan ? , b ? cos ? ? cot ? ,则以下诸式中错误的是(
ab ? 1 b ?1
B 、 co s ? ?



A 、 sin ? =

1 ? ab a ?1

C 、 tan ? ? cot ? =

( a ? b ? 1) ? 1 ? 2 ab
2

( a ? 1)( b ? 1)



D 、 tan ? ? cot ? =

( a ? b )( a ? b ? 2 ) ( a ? 1)( b ? 1)

5、 1 0 0 3

2006

的末位数字是(
B 、3
?


C 、7

A 、1

D 、9

6、设 a , b , c ? R ,且 ab ? bc ? ca ? 108 ,则
A 、6 B 、12
C 、18

ab c

?

bc a

?

ca b

的最小值是(



D 、36

二、填空题(每小题 9 分,共 54 分) 7、(i)(高一)设 M ={1,2,?,100}, A 是 M 的子集,且 A 中至少含有一个立方数,则这 种子集 A 的个数是______. (ii) (高二)甲、 乙两人进行乒乓球单打决赛,采用五局三胜制(即先胜三局者获冠军) , 对于每局比赛,甲获胜的概率为 概率为_____. 8、(i)(高一)等腰直角三角形的直角顶点 A 对应的向量为 A ? 1, 0 ? ,重心 G 对应的向量为
G ? 2, 0 ? ,则三角形另二个顶点 B 、 C 对应的向量为_______。
2 3

,乙获胜的概率为

1 3

,则爆出冷门(乙获冠军)的

(ii)(高二)棱长为 1 的正四面体在水平面上的正投影面积为 s ,则 s 的最大值为__ ____. 9、(i)(高一)已知 sin ? ? cos ? = (ii)(高二)函数 f ( x ) ?
2

2 5

,(

?
2

<θ <π ),则 tan ? ? cot ? =_______. , (0 ? x ?
x

1 sin
2

? x

2 cos
2

?
2

) 的最小值是______.

10、若曲线 y ? x ? 2 与直线 y ? 3 x ? k 恰有三个公共点,则 k 的值为______. 11、数列 ? a n ? 的各项为正数,其前 n 项和 S n 满足 S n ?
1 2 (a n ? 1 an

) ,则 a n =___.

12、在一次晚会上,9 位舞星共上演 n 个“三人舞”节目,若在这些节目中,任二人都曾合 作过一次,且仅合作一次,则 n =_____. 三、解答题: 13、 (20 分)(i)(高一)将等差数列{ a n }: a n ? 4 n ? 1 ( n ? N ) 中所有能被 3 或 5 整除的数
*

删去后,剩下的数自小到大排成一个数列{ b n },求 b 2 0 0 6 的值. (ii)(高二)给定圆 P: x ? y ? 2 x 及抛物线 S: y ? 4 x ,过圆心 P 作直线 l ,此直
2 2 2

线与上述两曲线的四个交点,自上而下顺次记为 A , B , C , D ,如果线段
A B , B C , C D 的长按此顺序构成一个等差数列,求直线 l 的方程.

14、 (20 分)如图,四边形 A B C D 内接于圆, P 是 A B 的中点, P E ? A D , P F ? B C ,
PG ? CD ,

M 是线段 P G 和 E F 的交点,

求证: M E ? M F .

15、 (20 分)若正整数 m , n , k 满足: m n ? k ? 1 ,证明,存在 a , b , c , d ? N ,
2

使以下三式: m ? a ? b , n ? c ? d , k ? a c ? b d 同时成立.
2 2 2 2


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