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高三一轮复习资料


高中三年级一轮复习资料

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集合的概念 ......................................................... 1 集合的运算 ......................................................... 3 命题及其关系 ....................................................... 5 逻辑连接词与量词 ................................................... 7 充要条件 ........................................................... 9 推理与证明(一) .................................................. 11 推理与证明(二) .................................................. 13 函数的概念(映射、定义、函数的解析式) ............................ 15 函数的性质—定义域、值域 .......................................... 17 函数的性质(二) ................................................. 19 函数的图象 ....................................................... 21 指数函数 ......................................................... 23 对数函数 ......................................................... 25 幂函数 ........................................................... 27 二次函数 ......................................................... 28 函数与方程 ....................................................... 30 函数的模及其应用 ................................................. 32 函数的综合应用 ................................................... 34 导数的概念及其运算 ............................................... 36 导数在研究函数性质方面的应用 ..................................... 38 几个常见初等函数(1) ............................................ 40 几个常见初等函数(2) ............................................ 42 导数在解决实际方面的应用 ......................................... 44 任意角的三角函数. ................................................ 46 同角的三角函数关系和诱导公式 ..................................... 48 三角函数的图象与性质(一) ....................................... 50 三角函数的图象与性质(二) ....................................... 52 函数 y=Asin(?x+?)的图象 ....................................... 54 三角恒等变换(一) ............................................... 56 三角恒等变换 (二) .............................................. 58 三角函数的应用 ................................................... 60 正、余弦定理 ..................................................... 63 三角形中的有关问题 ............................................... 65 数列的概念 ....................................................... 67 等差数列的概念和性质 ............................................. 68 等比数列的概念和性质 ............................................. 71 数列的求和 ....................................................... 73 数列的通项 ....................................................... 75 数列应用问题 ..................................................... 77

第 40 课 第 41 课 第 42 课 第 43 课 第 44 课 第 45 课 第 46 课 第 47 课 第 48 课 第 49 课 第 50 课 第 51 课 第 52 课 第 53 课 第 54 课 第 55 课 第 56 课 第 57 课 第 58 课 第 59 课 第 60 课 第 61 课 第 62 课 第 63 课 第 64 课 第 65 课 第 66 课 第 67 课 第 68 课 第 69 课 第 70 课 第 71 课 第 72 课 第 73 课 第 74 课 第 75 课 第 76 课 第 77 课 第 78 课

不等式的解法(1) .................................................. 79 不等式的解法(2) ................................................ 81 简单线性规划问题(1) .............................................. 83 简单线性规划问题(2) .............................................. 85 基本不等式 ....................................................... 87 基本不等式(2) .................................................... 89 不等式的应用学案 ................................................. 91 平面向量的基本概念及几何运算 ..................................... 93 平面向量的坐标表示 ............................................... 95 向量的平行与垂直 ................................................. 97 向量综合应用 ..................................................... 99 平面的基本性质及两直线的关系 .................................... 101 线面平行及面面平行关系 .......................................... 104 线面垂直关系 .................................................... 106 面面垂直关系 .................................................... 108 柱、锥、台、球的表面积和体积 .................................... 110 立体几何的综合应用 .............................................. 112 求直线方程 ...................................................... 115 两条直线的位置关系 .............................................. 117 圆的方程 ........................................................ 119 直线与圆、圆与圆的位置关系 ...................................... 121 椭圆 ............................................................ 123 双曲线 .......................................................... 125 抛物线 .......................................................... 127 解析几何的综合应用 .............................................. 129 算法与流程图 ................................................... 131 基本算法语句(一) .............................................. 134 基本算法语句(2) ............................................... 136 复数的概念及其运算 .............................................. 138 复数的几何意义 .................................................. 140 古典概型 ........................................................ 142 几何概型 ........................................................ 144 互斥事件及其发生的概率 .......................................... 146 抽样方法 ........................................................ 148 总体分布的估计与总体特征数的估计 ................................ 150 统计案例 ........................................................ 152 排列与组合(一) ................................................ 154 排列与组合(二) ................................................ 156 二项式定理 ...................................................... 158

第1课
一、课前预习

集合的概念

1.知识与考试要求: (1)判断元素与集合,集合与集合之间关系(空集,端点值的取舍) ; (2)表示集合(列举法、描述法) ,判断有限集、无限集 ; (3)写出有限集的子集、真子集 。 子集、相等、真子集 及其符号表示. 2.基础题回顾 (1)设 M={x≤7},a=4 3,则 它们的关系表示为 . 1 n 1 p 1 (2)若集合 M={x|x=m+ ,m ∈Z},N={x|x= - ,n∈Z},P={x|x= + ,p∈Z},则 M、N、 6 2 3 2 6

P 的关系是

. 条

(3)设集合 M={x|0<x≤3},N={x|0<x≤2},那么“a∈M”是“a∈N”的 件

(4)下面四个命题:①集合 N 中最小的数是 1;②0 不是自然数;③若 a ? N , b ? N , 则

6 ab ? 0 ;④若 x ? Q 且 ? Z , 则 x ? N . 其中正确命题的个数是 . x (5) 设集合 I={x||x|<3, x∈Z}, A={1, 2}, B={-2, -1, 2}, 则 A∪(?IB) =



二.典型例题
例1.(1)已知集合 A 是方程 ax 2 ? 4x ? 2 ? 0,(a ? R, x ? R) 的解集. ①若 A 中只有一个元素,求 a 的值并写出 A. ②若 A 中至多只有一个元素, 求 a 的取值范围.

-1-

例 2.已知集合 A={x|-x +3x+10≥0},B={x|m+1≤x≤2m-1},若 B?A,求实数 m 的取 值范围.
2

例 3.已知集合 A={x,xy,lgxy},B={0,|x|,y},若A=B,试求实数 x,y.

三.课堂测试:
1.填空:(1) 实数集 ?1, x, 2 x? 中,元素 x 应满足 (2) 方程 x ? 2 x ? 3 ? 0 的解集是
2

. .

(3) 若 m ? N? , 集合 A 是由数 m 2 ? 1 组成的集合,若 y ? (4) 若 x ? N? , 则不等式 2 x ? 3 ? 5 的解集是 (5) 已知集合A={x,y},则集合 A 的所有子集为: 真子集: 2. 已知{a, ,1}={a ,a+b,0}则 a .

1 ,则 y 2 ?1

A.

, 。

b a

2

2004

+b

2005

=____________.

-2-

第2课
一、课前预习:

集合的运算

1.知识与考试要求: (1).理解交集,并集与补集的概念,符号之间的区别与联系,回正确表示一些集合的运算; (2).交集,并集,补集的有关概念,会用文氏图与数轴表示交集,并集与补集的运算问题; (3).处理交集,并集与补集的运算问题时,数形结合(文氏图,数轴)是常用的方法。 2.基础题回顾: (1) .已知 U=A∪B={1,3,5,7,9}且 A∩(?UB)={3,7},(?UA)∩B={9}, 则 A∩B= (2) .已知集合 M ? {0,1,2}, N ? {x | x ? 2a, a ? M } ,则集合 M ? N = (3) .已知集合 M={x| 3≥0},N={y|y=3x +1,x∈R},则 M∩N= (x-1) (4) .如果 M={x|1≤x≤15,x∈R},N={x|x=4n +1, n∈N+},则 M∩N 中所有元素之和 为 __

x

2

(5) .设集合 A={(x,y)|x,y,1-x-y 是三角形的三边长},则作出 A 所表示的平面区 域的面积是________________.

二、典型例题
例1.已知全集 U={x|x -3x+2≥0},A={x||x-2|>1},B={x| ∩B.
2

x-1 ≥0},求?UA 和(?UA) x-2

12 2 2 例2.已知全集 I=R,A={x|x +px+12=0},B={x|x -5x+q=0},且 A∪B={0,5, }, 5 求 A∩?IB
-3-

例 3.设全集 U=R(1)解关于 x 的不等式|x-1|+a-1>0(a∈R); (2)记 A 为(1)中不 等式的解集,集合 B={x|sin(?x- )+ 3 cos(?x- )=0},若(?UA)∩B 恰有 3 个元素, 3 3 求 a 的取值范围.

?

?

三.课堂测试:
1.已知集合 M={x| y=x +1,x?R}, N={y| y=-x +1,x?R},则 M?N 是
2 2

2.定义集合运算:A⊙B={z|z=xy(x+y),x∈A,y∈B},设集合 A? {0,1},B?{2, 3}.则集合 A⊙B 的所有元素之和为

3.设集合 A={1,2},则满足 A∪B={1,2,3}的集合 B 的个数是

4.对任意实数 x,若不等式|x+1|-|x-2|>k 恒成立,则 k 的取值范围.

-4-

第3课
一、课前预习:

命题及其关系

1.知识与考试要求: 知识:命题、复合命题的真假、命题的四种形式. 原命题: 逆命题: 否命题: 逆否命题: 技能:判断命题的形式及其真假,能用命题之间关系解决问题. 与 同真同假。 方法:反证法. 2.基础题回顾 (1) .对任意实数 a,b,c,给出下列命题: ①“a=b”是“ac=bc”的充要条件; ②“a+5 是无理数”是“a 是无理数”的充要条件; 2 2 ③“a>b”是“a >b ”的充分条件; ④“a<5”是“a<3”的必要条件. 其中真命题的个数是: (2) .已知命题“p:|x-1|≥2”,命题“q:x∈Z”,如果“p 且 q”与“非 q”同时为 假命题,则满足条件的 x 为: (3) .命题“若 a>b,则 2 >2 -1”的否命题为______ a b 命题“若 a>b,则 2 >2 -1”的否定形式为________ (4) . “A ? B”是“sinA ? sinB”的
a b

____. __. 条件.

(5).写出下面两个命题的逆命题,否命题,逆否命题,并判断它们的真假: a.若 x<y,则 y>x; b.若 a=0,则 ab=0。

二.典型例题
例 1.已知 a、b、c 是一组勾股数,求证: a、b、c 不可能都是奇数

-5-

例 2.已知原命题为“若 A=C 且 B=D,则 A∪B=C∪D”,试写出它的逆命题、否命题、逆否 命题.并判断其真假.

1 2 例 3.设命题 p:函数 f(x)=lg(ax -x+ a)的值域为 R;命题 q:不等式 2x+1<1+ax 16 对一切正实数均成立.如果命题 p 或 q 为真命题,命题 p 且 q 为假命题,求实数 a 的取值 范围.

三、课堂测试:
? {0} , q :{l} ∈ {1 , 2} ,由它们构成的“ p 或 q ”、“ p 且 q ”和“非 1. 已知 p : ? ≠

p ”形式的命题中,真命题有
2. 设α 、 β 表示平面, l 表示不在 α 内, 也不在 β 内的直线, 现有三个命题: ①l ? ? ; ② ? ? ? ;③ l ∥ ? ;若以其中两个作为条件,另一个作为结论,则可以构成三个命题, 这三个命题中,正确命题的个数为 3.用反证法证明:如果 a>b>0,那么 a ? b

4 .把下列命题改写成“若 p 则 q”的形式,并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题:(1) 负数的平方是正数; (2)正方形的四条边相等.

-6-

第4课
一、课前预习:

逻辑连接词与量词

1.知识与考试要求: (1).逻辑连接词“或” “并” “补”;复合命题的真假判断。 (2). 全称量词与存在量词. 2.基础题回顾 (1)判断下列命题是全称命题: 存在性命题: 1)任何实数的平方都是非负数; 2)任何数与 0 相乘,都等于 0; 3)任何一个实 数都有相反数;4)△ABC 的内角中有锐角. (2).判断下列命题是真命题的是: : 1)中国的所有的江河都流入太平洋 2)有的四边形既是矩形,又是菱形;3)实系数 方程都有实数解; 4)有的数比它的倒数小; 3.写出命题 “中学生的年龄都在 15 以上” 的否定: ; 2 4.写出命题” ? x∈R,x >x”的否定: 5. 写出命题” 6 是 2 的倍数也是 4 的倍数”的否命题:

二、典型例题:
例 1.分别指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题,并判断其真假. (1)相似三角形周长相等或对应角相等; (2)9 的算术平方根不是 3; (3)垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.

例 2. 写出下列命题的否定: (1)所有人都晨练; 2 (2) ? x∈R,x +x+1>0; (3)平行四边形的对边相等; 2 (4) ? x∈R,x -x+1=0

-7-

例 3. p:关于 x 的不等式 a x ? 1 ?x | x ? 0?, q:函数 y ? lg(ax2 ? x ? a) 的定义域 的解集是 为 R , 如果P和Q有且只有一个正确,求a的取值范围。

三.课堂测试:
1. 写出命题” 有的三角形中,有一个内角是直角”的否定: 2. 写出命题” 锐角都相等”的否定: 3.写出下列命题的否定并判断下列命题的真假: 2 (1) ? x∈R,x +x+1≤0; 2 (2) ? x∈R,x +2x-1≤0 (3)实系数一元二次方程有实数解; (4)有的实数没有平方根

4. 已知命题“p:|x-1|≥2”,命题“q:x∈Z”,如果“p 且 q”与“非 q”同时为假命 题,则满足条件的 x 组成的集合

-8-

第5课
一、课前预习:

充要条件

1.知识与考试要求: 知识:充分条件、必要条件、充要条件. 技能:用定义或集合判断两个条件之间关系. 方法:等价转化. 2.基础题回顾: (1) .已知 p:|2x-3|<1,q:x(x-3)<0,则 p 是 q 的 ? B 是(?UA)∪B=U 的 (2) .设集合 A,B 是全集 U 的两个子集,则 A≠ 1 >0,则?p 是?q 的__________________条件. x -x-2
2

(3) .已知 p:|3x-4|>2,q:

(4) .Δ ABC 中,sinA=sinB 是∠A=∠B 成立的 (5) .若 x,y∈R, 则 cosx≠cosy 是 x≠y 成立的

条件 条件

二.典型例题
例 1.已知 p:x -8x-20>0,q:x -2x-a +1>0,若 p 是 q 的充分而不必要条件,求 实数 a 的取值范围.
2 2 2

例2.已知函数 f ( x) ? ax ? bx , a >0, 0 ? b ? 1 ,证明:对任意 x ? ?0,1? , f ( x ) ? 1 的
2

充要条件是 a ? b ? 1

-9-

例 3. (1)是否存在实数 m ,使得 2 x ? m ? 0 是 x ? 2 x ? 3 ? 0 的充分条件?
2

(2)是否存在实数 m ,使得 2 x ? m ? 0 是 x ? 2 x ? 3 ? 0 的必要条件?
2

三.课堂测试:
1.若 A,B 都是 C 的充要条件,?D 是?A 的充分条件,B 是 D 的必要条件,则 D 是 C 的 2.对于实数 x, y , p : x ? y ? 8 , q : x ? 2 或 y ? 6 ,则 p 是 q 的 条件 2 3. 已知关于 x 的方程(1-a)x +(a+2)x-4=0, a?R,求: (1) 方程有两个正根的充要条件; ( 2) 方程至少有一个正根的充要条件。

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第6课
一、课前预习:

推理与证明(一)

1.知识与考试要求: (1). 合情推理(归纳推理和类比推理)(2). 演绎推理. (三段论) 2.基础题回顾: (2)1=12, 观察下列等式,从中归纳出一般性法则: 2+3+4=32, 2 (1)16=4 , 3+4+5+6+7=52, 2 1156=34 , 4+5+6+7+8+9+10=72, 2 111556=334 , …… 2 11115556=3334 , 结论: . ?? 结论: . (4)sin230?+sin290?+sin2150?=3, 2 2 2 (3)(a+b)(a-b)=a -b , 2 2 3 3 (a-b)(a +ab+b )=a -b , 3 2 2 3 4 4 3 (a-b)(a +a b+ab +b )=a -b , sin260?+sin2120?+sin2180?= , 2 ?? 结论: . 3 sin245?+sin2105?+sin2165?= , 2 (5) 如图:它满足:1)第 n 行首尾两数为 2n-1;2)表中的递推关系类似于杨辉三角, 则第 n 行(n ? 2)的第二个数是: 1 3 4 3 5 7 7 5 7 12 14 12 7 9 19 26 26 19 9 3 1 sin215?+sin275?+sin2135?= , 2 ……. 结论:



二、典型例题精析
例1. (1)平面上 n 条直线,它们任何两条不平行,任何三条不共点,它们将平面分成 多少个区域? (2)平面上 n 个圆,它们任何两个都相交,且任何三个不共点,它们将平面分成多少个区 域 (3)空间 n 个球,它们最多将空间分成多少个部分?

-11-

例 2.计算

2 2+ , 3

3 3+ , 8

4 4+ , 15

5 5+ ,??,由此可得什么猜想? 24

1 1 例 3.已知数列{an}中,an>0,Sn 为数列的前 n 项的和,且 Sn= (an+ ),求通项 an. 2 an

三.课堂测试:
1 1.根据 S△= aha,联想 S 扇形 AOB=__________, 2 1 2.根据 V 圆锥= Sh,联想凸锥型球扇形体积 V=____________. 3 3. 有限数列 A=( a1 , a2 ,...an ) , S n 为其前项和,定义

S1 ? S 2 ? ...S n 为 A 的“凯森和” , n

如有 99 项的数列( a1 , a2 ,...a99 )的凯森和为 1000,则有 100 项的数列(1. a1 , a2 ,...a99 ) 的凯森和. 4. _定义:同一顶点上的三条棱两两垂直的四面体称为直四面体.在直四面体中,含有直 角的面称为直角面,不含直角的面称为斜面.类比直角三角形的性质,你能猜出直四面 体有哪些性质? 2 2 2 (1)勾股定理:a +b =c ?三个直角面面积的平方之和等于斜面的平方. 1 2 1 2 2 2 2 (2)外接圆半径 R= a +b ?外接球半径 R= a +b +c . 2 2 (3)内切圆半径 r=

a+b-c
2

?内切球半径 r=

S1+S2+S3-S斜 . a+b+c

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第7课
一、课前预习:

推理与证明(二)

1.知识与考试要求: (1). 了解直接证明的方法----分析法和综合法; 知道分析法和综合法的思考过程和特点. (2).了解间接证明的一种基本方法----反证法.,理解反证法的思想. 2.基础题回顾: 1.若函数 f ( x) ? x 3 ? ax ? 2 在区间 (1,??) 内是增函数,则实数 a 的取值范围是 2. 已知 a1 ? 1, (an?1 ? an ) 2 ? 2(an?1 ? an ) ? 1 ? 0 ,则通项 公式 an 为: 3. 若定义在实数集上的奇函数 f ? x ? 满足 f (4 ? x) ? ? f ?x ? ,则 f (20) 的值: 4.k ? R,当 k 变化时,直线(2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0 有什么不变的性质 : ?? → → ?? → → ?? → → 5. 在四边形 ABCD 中, AB = a +2 b , BC ==-4 a - b , CD =-5 a -3 b , → → 其中 a 、 b 不共线,则四边形 ABCD 是

二.典型例题
例 1.设 a,b 为互不相等的两个正数,且 a+b=1,分别用分析法和综合法证明:

1 1 ? ? 4. a b

例 2.证明:1, 2 ,3 不可能是同一个等差数列中的三项。

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例 3. 已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的图象与 x 轴有两个不同的交点,若 f (c) ? 0, 当 0 ? x ? c, f ( x) ? 0 (1)求证: x ? (2)比较

1 是 f ( x) ? 0 的一个根; a

1 与c的大小; a (3)求证: ? 2 ? b ? ?1

三.课堂测试:
1、用反证法证明结论“a,b,c 中至少有一个大于 0”应假设的内容是 2、用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于 60 ? 时,应假设的内容是 3、设 a,b,c 都是正数,求证: a ?

1 1 1 ,b ? ,c ? 至少有一个大于等于 2 b c a

4.如果 a,b 是正数,求证: a ? b ?

1 ab

? 2 2。

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第8课

函数的概念(映射、定义、函数的解析式)

一、课前预习
1.基础题回顾 * (1)设集合 A 和 B 都是自然数集合 N ,映射 f:A?B 把集合 A 中的元素 n 映射到集合 B n 中的元素 2 +n,则在映射 f 下,1 的象、象 20 的原象分别是 . (2)函数 y ? f ?x ? 的图象与直线 x ? 1 的交点个数 (3)已知 f ( x) ? ? .

? x ? 1, ( x ? 1) 5 ,则 f [ f ( )] 的值为 2 ?? x ? 3,( x ? 1)



二、典型例题
例 1. (1)设集合 A={1,2,3,4,5},B={1,3,7,15,31,33},下面的对应法则能构 成从 A 到 B 的映射有 . 2 2 x-1 x ①f :x?x -x+1 ② f:x?x+(x-1) ③f:x?2 -1 ④f:x?2 -1 (2)从集合 A={a,b}到集合 B={x,y}可以建立的映射的个数是 . 例 2. (1)以下四组函数中,表示同一函数的有 . ①f(x)=|x|,g(x)= x x2-1 ③f(x)= ,g(x)=x-1 x-1
x
2

②f(x)= x ,g(x)=( x)

2

2

④f(x)= x+1? x-1,g(x)= x -1
2

?2 ,(x≥4), (2)已知函数 f(x)= ? .则 f(log 1 3)=___________ ?f(x+2), (x<4)
2

1 (3) 设函数 f(x)(x∈R)为奇函数, f(1)= , f(x+2)=f(x)+f(2), 则 f(5)= 2 例 3. (1) 如果 f(x+1)=x -5x+4,那么 f(x)等于 (2)已知 f(x)是一次函数,且 f[f(x)]=4x-1,求 f(x).
2



(3)已知定义在 R 上的函数满足 f(x)+3f(-x)=3x-1,求 f(x). 例 4.如图,梯形 OABC 各顶点的坐标分别为 O(0, 0),A(6,0),B(4,2),C(2,2).一条与 y 轴 平行的动直线 l 从 O 点开始作平行移动,到 A
-15x O l M l l A

y C B

点为止.设直线 l 与 x 轴的交点为 M,OM=x, 记梯形被直线 l 截得的在 l 左侧的图形的 7 面积为 y.求①函数 y=f(x)的解析式,定义域;②求 f[f( )]的值;③求值域;④画出 2 函数的图象.

三、课堂测试
1.设函数 y=f(x)图象如图所示,则函数 f(x)的解析式为 ① x -2x+1 ③|x -1|
2 2

y
1


2

x2-2|x|+1

x
-1

O

1

④x -2|x|+1

1 1 2 2.已知 f(x- )=x + 2,则 f(x)=___________.

x

x

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第9课
一、课前预习

函数的性质—定义域、值域

1.知识点及考试要求 函数的性质(B) (定义域、值域) 2.基础题回顾 2 3x (1)函数 f(x)= +lg(3x+1)的定义域是 1-x 1 (2)函数 f(x)= 2 (x∈R)的值域是 1+ x

? x ? 1, x ? 0 ? (3)已知 f ( x) ? ? ? , x ? 0 ,则 f{f[f(-1)]}= ? 0, x ? 0 ?
(4)下列函数:①y=2x+5;②y=



x x +1
2

;③y=

?2x , x<0, |x|-x ;④y = ? ? x+4,x≥0.

其中定义域为 R 的函数共有 m 个,则 m 的值为

二、典型例题
例 1(1)函数 y= log1(3x-2)的定义域是 2

(2)已知 f(x)的定义域为[0,1],求函数 y ? f ( x2 ) 及 f (2 x) ? f ( x ? ) 的定义域.

2 3

例 2 已知 f ( x) ? lg[(a ?1) x ? (a ?1) x ? a ? 1] 的定义域为 R,求 a 的取值范围.
2 2 2

-17-

例 3 求下列函数的值域: (1)y=

5 x ? 4x ? 5
2

(2) y ? log 1 ( x 2 ? 2 x ? 2)
3

(3) y ?

2x ?1 3x ? 2

(4) y ?

1? x2 1? x2

a 1 2 例 4.已知函数 y=-x +ax- + 在区间[0,1]上的最大值为 2,求实数 a 的值. 4 2

三、课堂测试
1.定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 的定义域为[a,b],则函数 y ? f ( x ? a) 的定义域为 5x 2.函数 f ( x) ? 的值域是 5x ? 1 3.函数 y ? log0.3 ( x 2 ? 4x ? 5) 的值域是
?2x +1,x≤0, 4.已知函数 f(x) = ? 当 f(x) = 33 时,x = ?-2x, x>0,
2



-18-

第 10 课
一、课前预习

函数的性质(二)

1.知识点及考试要求 函数的基本性质(B) (奇偶性、单调性、对称性、周期性) 2.基础题回顾 (1)f(x)是定义在 R 上的奇函数,下列结论中,正确的有 ①f(x)+f(-x)=0 ②f(x)-f(-x)=2f(x) ③f(x)?f(-x)≤0 ④

f(x) =-1 f(-x)

(2)下列函数中,在区间(-∞,0)上不是增函数的有 ①f(x)=x -4x+8 ③h(x)=- 2
2

②g(x)=ax+3(a≥0) ④s(x)=log1(-x) 2
2

x+1

(3)函数 y= 5-4x-x 的单调递减区间是 (4)给出下列四个函数:①f(x)=1-x ;②f(x)= -3x+1;③f(x)= 中既是奇函数又是定义域上的减函数的函数个数是
2

2 x ? x2 ;④f(x)= .其 x x ?1

二、典型例题
例 1 判断下列函数的奇偶性: (1+2 ) 2 (1)f(x)= ; (2)f(x)=lg(x+ x +1); (3)f(x)=(1-x) x 2
?x(1-x) (x<0), f(x)=? ?x(1+x)(x>0).
x 2

1+x ; (4) 1-x

例 2. (1)若 f(x)是 R 上的奇函数,且当 x≥0 时,f(x)=x(1+ x),那么当 x<0 时,

3

f(x) =

(2)若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,在(-∞,0]上是减函数,且 f ? 2? ? 0 ,则使 得 f ? x ? ? 0 的 x 的取值范围是 (3)设 f(x)是 R 上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当 0≤x≤1 时,f(x)=x,则 f(7.5)=

-19-

例 3. (1)证明函数 f(x)= x ?

2 在区间(0, 2 )上是减函数. x

(2)设函数 f(x)=

ax+1 在区间(-2,+∞)上是增函数,求实数 a 的取值范围. x+2

例 4.设 f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,f(2)=1,且 f(xy)=f(x)+f(y),求满足不 等式 f(x)+f(x-3)≤2 的 x 的取值范围.

三、课堂测试
1.下列函数中,在(-∞,0)内是增函数的有 ①y=-2x+3 ②y=-(1-x)
2


*

③y= x(x∈N )
2

④y=

x x-1


2.若 f(x)是奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x +sinx,则当 x∈R 时,f(x) 为 7 3.设 f(x)=ax -bx+2,且 f(-5)=17,则 f(5)=________.

-20-

第 11 课
一、课前预习

函数的图象

1.知识点及考试要求 函数的图象(B) 2.基础题回顾 (1) 某人去上班,先跑步,后步行,如果 y 表示该人离单位的距离,x 表示出发后的时间, 则下列图象中符合此人走法的是
y
y

y

y

o

x

o

x

o

x

o

x









(2)函数 f ( x) ? a x?b 的图象如图,其中 a、b 为常数,则下列结论正确的是 ① a ? 1, b ? 0 ② a ? 1, b ? 0 ③ 0 ? a ? 1, b ? 0 ④ 0 ? a ? 1, b ? 0

(3)函数 y =

3x ? 1 的图象关于点 x?2
2x

对称.

(4)把函数 y=2 +3 的图象上各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变) ,再向左平 移 2 个单位,所得图象的函数解析式是 .

二、典型例题
例 1(1)为了得到函数 y ? 2 平移 个单位,再向
x ?3

? 1 的图像,只需要把函数 y ? 2 x 的图像上所有的点向
平移 个单位。

(2)将函数 y ? ln( x ? 1) 向右平移 3 个单位得到函数的解析式是
-21-

1 3

例 2 利用图像变换法画出下列函数的图象, (1) y ?

x?2 (2) y ? log2 x x ?1

?1? (3) y ? ? ? (4) y ? sin 2 x (一个周期) ?2?

x

例 3 已知 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 的图象如图, 则函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 的图象可以是
y

y

y

y=f(x)
yO
x

y=g(x)
yO

y

x

O

x

O

x

O

x

O

x









例 4 利用图像求当 m 为怎样的实数时,方程 1 ? x 2 ? x ? m 满足: (1)有两个实根; (2)只有一个实根; (3)没有实根。

三、课堂测试
1.画出下列函数的图象: (1) y ? x ? 3 (2) y ? x ? 6 | x | ?9
2

2.把函数 y ? log2 (2 x ? 1) 的图像向左平移 析式为
x

1 个单位,再向下平移 1 个单位,所得函数 2
对称


?x

3.函数 y=-e 的图象与 y ? e

的图象关于
-22-

第 12 课
一、课前预习

指数函数

1.知识点及考试要求 指数(B) ,指数函数的图象与性质(B) 2.基础题回顾 2 3 (1)(-a ) 可化简为 (2)某种细胞分裂时,由 1 个分裂成 2 个,2 个分裂成 4 个,?,现有 2 个这样的细胞分 裂 x 次后得到细胞个数为 y,则 y 与 x 的函数关系为 (3)已知 3 =2,3 =
|x|

a

b

1 2 a ?b ,则 3 = 5



(4)y=0.5 的值域是

二、典型例题
1 1 3

例 1 (1)化简: (124 ? 22 3 ) 2 ? 27 6 ? 16 4 ? 2 ? (8

?

2 3

) ?1 .

(2)已知 x ? x

1 2

?

1 2

? 3 ,求

x 2 ? x ?2 ? 2 x ?x
3 2 ? 3 2

的值.

?3

例 2. 已知函数 f (x)= 求 x 的值。

e x ? e ?x , (1)证明 f (x)是定义域上的奇函数; (2)若 f (x)=2, 2

-23-

例 3.定义在 R 上的奇函数 f ( x) 有最小正周期为 2,且 x ? (0,1) 时, f ( x) ? (1)求 f ( x) 在[-1,1]上的解析式; (2)判断 f ( x) 在(0,1)上的单调性; (3)当 ? 为何值时,方程 f ( x) = ? 在 x ? [?1,1] 上有实数解.

2x 4 x ?1

例 4.已知 9 -10.3 +9≤0,求函数 y=(

x

x

1 x-1 1 x ) -4·( ) +2 的最大值和最小值 4 2

三、课堂测试
1.将 3 ? 2 2 化为分数指数幂的形式是 2.若函数 f(x) = (a -3a+3)a 是指数函数,则 a= 3.如果 a ? 1, b ? ?1, 那么函数 f ?x ? ? a ? b 的图象在第
x
2

x

. 象限. .

4.函数 y= 3

? x2 ? x

的单调增区间

,值域

-24-

第 13 课
一、课前预习

对数函数

1.知识点及考试要求 对数(B) ,对数函数的图象和性质(B) 2.基础题回顾 0.3 2 (1)log2 0.3,2 ,0.3 大小关系是 p q (2)若 8 =7, 7 =5,则用 p, q 表示 lg5 等于 (3)在 ?? ?,0? 上为减函数的有 ①y?

x x ?1

② y ? log0.5 ?? x ?

③ y ? 1+x 2

④ y ? x2 ? 2x

2 (4)函数 y ? log 3 5x ? 3 x ? 2 的定义域是__________________________.

?

?

二、典型例题
例 1.计算:(log2125+log425+log85)(log52+log254+log1258) .

例 2.已知函数 y=f(x)= loga (1 ? a x ) (a>0 且 a≠1). (1)求 f(x)的定义域、值域; (2)证明 f(x)在定义域上是减函数;

-25-

例 3.已知函数 f (x)=log a 2 ?1 (2x+1)在区间(-

1 , 0)上恒有 f (x)>0, 2

(1) 求 a 的取值范围; (2) 判断 f (x)的单调性。

三、课堂测试
1.设 lg2=a,lg3=b,则 log512 = 2.函数 y= log 1 ( x ? 3x ? 2) 的递增区间是
2 2



3.若 0<a<1,则函数 y=log 4.已知 log
a

a

(x +1)在区间(-∞, 0)内单调性为

2

1 <1,则 a 的取值范围____________________________. 2

-26-

第 14 课
一、课前预习
1.知识点及考试要求 幂函数(A) 2.基础题回顾
2

幂函数

(1)函数 y= x 5 的单调递减区间为(



2 3 (2)函数 y= (15+2 x-x ) 的定义域是

二、典型例题
例 1.图为幂函数 y=x 在第一象限的图象, 判断 C1,C2,C3,C4 的大小关系.
n

例2

比较下列各组数的大小:
1 3 1 3

(1)1.5 ,1.7 ,1; (2) ? 2

?

? ,?? 3? ,?? 5 ?

3 7

3 7

3 7

4 ? 2 ? 3 ? 10 ? 3 ? ; (3) ? ? , ? , ? 11 ?3 ? ? ? 2 ? ? ? 7 ? ? ? ?

?

2

2

三、课堂测试
1.函数 y=(x -2x)
2 2



1 2

的定义域是

2.函数 y=(1-x ) 的值域是
-27-

1 2

第 15 课
一、课前预习
1.知识点及考试要求 函数与方程(A) 2.基础题回顾 (1)函数 y=x -x+1 (x∈R)的值域是
2

二次函数

(2)函数 f ( x ) =2x -mx+3 当 x∈(-∞,-1)时是减函数,当 x∈(-1,+∞)时是增函数, 则 f(2)= . 2 3.函数 f(x)=x +4ax+2 在(-∞,6)内递减,则 a 的取值范围是

2

二、典型例题
例 1.已知二次函数 f ( x ) 满足条件 f (2 ? x) ? f (? x) 且 f ( x)max =15,又 f ( x) ? 0 两根立 方和等于 17,求 f ( x ) 的解析式。

例 2. (1)已知 f(x)=x +3x-5,x∈[t,t+1] ,若 f(x)的最小值为 h(t),写出 h(t)的表达式.

2

(2)已知 f(x)=-x +ax+6,x∈[2,3] ,求 f(x)的最大值.

2

(3)已知 y ? x ? 2x ? 3 在区间[0, a ]上的最大值为 3,最小值为 2,求 a 的取值范围。
2

-28-

例 3.某商品在近 30 天内每件的销售价格 P(元)与时间( t )天的函数关系为 P= ?

0 ? t ? 25,t ? N ?t ? 20   ,该商品的日销售量 Q(件)与时间( t )天的函数 25 ? t ? 30,t ? N ?? t ? 100  

关系是 Q=- t +40( 0<t ? 30, t ? N ) ,求这种商品的日销售金额的最大值,并指出该 最大值出现在 30 天中的第几天?

例 4 .设二次函数 f ? x? ? ax 2 ? bx ? c? a ? 0? ,方程 f ? x ? ? x ? 0 的两个根 x1 , x 2 满足

0 ? x1 ? x 2 ?

1 . 当 x ? 0, x1 时,证明 x ? f ? x? ? x1 . a

?

?

三、课堂测试
1.函数 y=x +bx+c(x≥0)是单调函数的充要条件是
2 2

. )

2.关于 x 的不等式-mx -8mx-21>0 的解为{x|-7<x<-1},则 m 的值为( 3.二次函数 f ( x ) 的顶点为(4,0)且过点(0,2),则 f(x)= 。

-29-

第 16 课
一、课前预习
1.知识点及考试要求 函数与方程(A) 2.基础题回顾 (1)下列函数中,没有零点的是 ①f(x) = x
2

函数与方程

②f(x) = x2

③f(x) =

1 x2

④f(x) = x +x

2

(2) 函数 f ( x) ? x ?
2

1 的零点是 x

(3)若函数 f(x)= x ? mx ? n ,若 f(a)>0,f(b)>0.则函数 y=f(x)在 区间(a,b)内 正确的是 . ①一定有零点 ②一定没有零点 ③可能有两个零点 ④至多有一个零点

( 4 )若函数 y ? f ( x) 在区间 [a,b] 上的图象为连续不断的一条曲线,则下列说法正确 的 .

①若 f (a) f (b) ? 0 ,不存在实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0 ; ②若 f (a) f (b) ? 0 ,存在且只存在一个实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0 ; ③若 f (a) f (b) ? 0 ,有可能存在实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0 ; ④若 f (a) f (b) ? 0 ,有可能不存在实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0

二、典型例题
例1. 已知:方程 x ? (a ?1) x ? (a ? 2) ? 0 的一个根比 1 大,一个根比 1 小,则 a 的
2

取值范围.

例2. 若函数 f(x)= mx ? (m ? 3) x ? 1 的图象与轴的交点至少有一个在原点右侧, 则m
2

的取值范围.

-30-

例 3.已知二次函数 y ? f1 ( x) 的图象以原点为顶点且过(1,1) ,反比例函数 f 2 ( x) ?

8 , x

f ( x) ? f1 ( x) ? f 2 ( x)
求: (1)求函数 f(x)的解析式 ; (2)证明:当 a>3 时.关于 x 的方程 f(x)=f(a)有三个实数根.

三、课堂测试
1.方程 lg x ? x ? 0 根的个数 2.已知:方程 ax ? 2x ? 1 ? 0(a ? 0) 的一个正根, 一个负根,则 a 的范围
2

3. 关于 x 的不等式 ax +bx+2<0 的解集是 (-∞, -

2

1 1 )?( , +∞) , 则 ab 等于 2 3



-31-

第 17 课
一、课前预习

函数的模及其应用

1.知识点及考试要求 函数模型及其应用(B) 2.基础题回顾 (1) .在本埠投寄平信,每封信不超过 20g 时付邮资 0.80 元,超过 20g 而不超过 40g 付 邮资 1.60 元,依次类推,每增加 20g 须增加邮资 0.80 元(信重在 100g 以内) .如果某 人所寄一封信的质量为 82.5g,那么他应付邮资 (2)某商品 2002 年零售价比 2001 年上涨 25%,欲控制 2003 年比 2001 年只上涨 10%, 则 2003 年应比 2002 年降价 (3)某工厂八年来某种产品总产量 C(单位)与时间 t(年)的函数关系如图所示.下列 说法:①前三年中产量增长的速度越来越快;②前三年中产量增长的速度保持稳定;③ 第三年后产品增长的速度保持稳定;④第三年后,年产量保持不变;⑤第三年后,这种 产品停止生产.其中说法正确的是 . (4)弹簧原长 15cm,在 20kg 内其长度与所挂的重量成一次函数关系,现测得当挂重 4kg 时,其长度为 17cm,则当长度为 22cm 时,挂重为 kg.

二、典型例题
例 1.某市的一家报刊摊点,从报社买进《晚报》的价格是每份 0.20 元,卖出价是每份 0.30 元,卖不掉的报纸可以以每份 0.05 元价格退回报社.在一个月(以 30 天计)里,有 20 天每天可卖出 400 份,其余 10 天每天只能卖出 250 份,但每天从报社买进的份数必须 相同,这个摊主每天从报社买进多少份,才能使每月所获的利润最大?并计算他一个月最 多可赚得多少元?

例 2.乘出租汽车,行程 4km 以内,车费为 10.40 元(即就是起步价) ;行程大于 4km 而不 超过 15km 时,超出 4km 的部分,每 km 车费 1.60 元;行程大于 15km 以后,超出 15km 的 部分, 每 km2.40 元 (含返程费) ; 途中因红灯等原因而停车等候, 每等候 5 分钟收车费 1.60 元.又计价器每半 km 里计一次价,例如:当行程 x(km)满足 12≤x<12.5 时,按 12.5km 计价;当 12.5≤x<13 时,按 13km 计价.等候时间每 2.5 分钟计价一次,例如:等候时 间 t(分钟)满足 2.5≤x<3 时,按 2.5 分钟计价,当 5≤x<7.5 时,按 5 分钟计价目.请 回答下列问题:
-32-

(1)若行驶 12km,停车等候 3 分钟,应付多少车费? (2)若行驶 23.7km,停车等候 7 分钟,应付多少车费? (3)若停车等候 8.5 分钟,所付车费为 54.4 元,那么所行驶的实际路程为 km? (4)若途中没有停车等候,所付车费 y(元)是行程 x(km)的函数 y=f(x),画出 0 <x<6 的图象.

例 3.甲、乙两地相距 S 千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过 C 千米/时.已 知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度 v (千米/时)的平方成正比,比例系数为 b;固定部分为 a 元. (1)把全部运输成本 y(元)表示成 v(千米/时)的函数,并指出它的定义域; (2)为使 y 最小,汽车应以多大速度行驶?

三、课堂测试
1.已知镭经过 100 年剩留原来质量的 95.76%,设质量为 1 的镭经过 x 年后的剩留量为 y, 那么 x 与 y 之间的关系为 2.在测量某物理量的过程中,因仪器和观察的误差,使得 n 次测量分别得到 a1,a2,?, an,共 n 个数据.我们规定所测量物理量的“最佳近似值 a”是这样一个量:与其他近似 值比较,a 与各数据的差的平方和最小.依此规定,从 a1,a2,?,an 推出的 a = . 3. 从盛满 20 升纯酒精的容器里倒出 1 升, 然后用水填满, 再倒出 1 升混合溶液又用水填满, 这样继续下去,如果倒第 n(n ? 1) 次时共倒出纯酒精 x 升,倒第 n ? 1 次时共倒出纯酒精 f ( x) 升,则 f ( x) 的表达式是 .

-33-

第 18 课
一、课前预习

函数的综合应用

1.基础题回顾 (1)下列函数中,值域为(0,+∞)的有 ①

y?5

1 2? x

②y?( )
2

1 3

1? x

③ y?

1 ( )2 ?1 2

④ y ? 1? 2x

(2)已知二次函数 y=3x -2 在区间[a,b]上有最小值-2,则下列关系式中不一定成立的是 ①0<a<b 或 a<b<0 ②a<0<b ③a<b<0 或 a<0<b ④a≤0≤b 2 (3)已知 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且 f(x)-g(x)=x +2x+3,则 f(x)+g(x)等于 (4)函数 f(x)= (1 ? x)

1? x 的奇偶性是 1? x

二、典型例题
例 1.已知函数 y=f(x)=

ax2 ? 1 (a,b,c∈R,a>0,b>0)是奇函数,当 x>0 时,f(x)有最小 bx ? c
5 2
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值 2,其中 b∈N 且 f(1)<

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(1)试求函数 f(x)的解析式; (2)问函数 f(x)图象上是否存在关于点(1,0)对称的两点,若存在,求出点的坐标;若 不存在,说明理由
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例 2.已知函数 f(x)定义域为[0,1],且同时满足 (1)对于任意 x∈[0,1],且同时满足; (2)f(1)=4;

(3)若 x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,则有 f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)-3. (Ⅰ)试求 f(0)的值; (Ⅱ)试求函数 f(x)的最大值;

-34-

例 3 . 已 知 a, b, c ? R ,且 a ? b ? c , 函 数 f ( x) ? ax2 ? 2bx ? c 满 足 f ( 1 ) ?

, 0

f (t ) ? ?a (t ? R且t ? 1),(Ⅰ)求证:

a ? 0, c ? 0 ;(Ⅱ)求证: 0 ?

b ? 1 ;(Ⅲ)若不等 a

式: f ( x) ? ?a 恒成立,求 x 的取值范围.

例 4.设两函数的图像交于点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,且 x1 ? x2 . (Ⅰ)请指出示意图中曲线 C1 , C2 分别对应哪一个函数? (Ⅱ)若 x1 ?[a, a ?1] , x2 ?[b, b ? 1] ,且 a , b ??1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 ? ,指出 a , b 的值,并说明理由; (Ⅲ)结合函数图像的示意图,判断 f (6) , g (6) , f (2007) , g (2007) 的大小,并按 从小到大的顺序排列.

三、课堂测试
1.设 a=log0.34,b=log43,c=0.3 2.函数 y ? (log 1 x ) ? log 2
2 4
–2

,则 a、b、c 的大小关系为

x ? 5 在区间[2,4]上的最大值是

3.某债券市场发行三种债券,A 种面值为 100 元,一年到期本息和为 103 元;B 种面值为 50 元,半年到期本息和为 51.4 元,C 种面值为 100 元,但买入价为 97 元,一年到期本息 和为 100 元.作为购买者,分析这三种债券的收益,从小到大排列依次为 2 4.函数 logx-2(x -4)的定义域为 .
-35-

第 19 课
一、课前预习

导数的概念及其运算

1.知识及考试要求 导数的概念(A) (平均变化率,切线与割线,瞬时速度,导数) ;导数的几何意义(B) . 导数的运算(B) (常见函数的导数,和、差、积、商的导数) . 2.基础题回顾 (1)在曲线 y=2x -1 的图象上取一点(1,1)及邻近一点(1+△x,1+△y),则 ________. (2)偶函数 f(x)在 x=0 处可导,则 f ?(0)=_______________. x (3)函数 y=e 在 x=0 处的切线方程是______________. 1 (4)若直线 y=-x+b 是函数 y= 图象的切线,则 b=__________.
2

△y = △x

x

(5)函数 y=xsinx 的导数是_______________.

二、典型例题
1 2 例 1.自由落体运动的位移 S(m)与时间 t(s)的关系为 S= gt . 2 (1)求 t 在 1s 到 2s 内的平均速度; (2)求 t=3s 时的瞬时速度; (3)求 t=3s 时的 瞬时加速度.

例 2.求证:双曲线 xy=1 上任意一点处的切线与两坐标轴构成的三角形面积等于常数.

-36-

例 3.求下列函数的导数 (1)y=8x -4x +3x +5; (2)y=e sinx; (3)y=
6 4 2

x

(a>0 且 a≠1); (4)y=tanx. logax

ax

三、课堂测试
1.函数 y=kx+b 在区间[m,n]上的平均变化率=_______________. 1 4 3 2 2.一沿直线运动的质点的运动方程是 S= t -4t +16t (位移单位:m,时间单位:s), 4 则速度为 0 的时刻是________.

? 1 3.求过曲线 y=cosx 上点 P( , )且与曲线此点处的切线垂直的直线方程. 3 2

4.用两种方法函数 y=

x2+a2 的导数 x

-37-

第 20 课
一、课前预习

导数在研究函数性质方面的应用

1.知识点及考试要求 利用导数研究函数的单调性和极大(小)值(B) (导数与单调性,极值定义、求法,最 值定义、求法) 2.基础题回顾 2 (1)当 x>0 时,f(x)=x+ ,则 f(x)的单调递减区间是______________.

x

(2)给出四个函数, ①y=x ;②y=x +1;③y=|x|;④y= x.在 x=0 处取得极值的 所有函数的序号是____________. 3 2 (3) 函数 f(x)=x +ax +3x-9, 已知 f(x)在 x=-3 时取得极值, 则 a 的值是_________. (4)函数 f(x)=x-lnx,x∈[1,3]的最大值是_________,最小值是______. 4 2 (5)函数 f(x)=x -2x +5 在区间[-2,2]上的最大值与最小值的差为___________.

3

4

二、典型例题
例 1.求下列函数的单调区间: 3 2 (1)f(x)=x2+ x; (2)f(x)=2x -lnx.

例 2.求下列函数的极值: 1 3 1 2 (1)y= x - x -2x+2; 3 2 (2)y=

x2+3x . x-1

-38-

例 3.求下列函数在所给区间上的最大值和最小值: (1)f(x)=x -5x +5x +1,x∈[-1,2]; (2)f(x)=
5 4 3

x- 1 ,x∈[0,4]. x2+1

三、课堂测试
1.f(x)=3x-x +2 为递增函数的区间是_______________.
3

2.函数 f(x)=sinx-x,x∈[- , ],当 x=______,函数 f(x)有最大值是________. 2 2 3.已知函数 y=x +ax +bx+27 在 x=-1 和 x=3 时有极值,求实数 a,b 的值.
3 2

? ?

4.若不等式 x -4x >2-a 对任意实数 x 都成立,求实数 a 的取值范围.

4

3

-39-

第 21 课
一、课前预习

几个常见初等函数(1)

1.知识点及考试要求 (1)三次、四次多项式函数的图象性质; (2)分式函数的图象性质. 2.基础题回顾 3 2 (1)若函数 y=x +mx +nx+1 的单调递减区间是[-1,2],则 mn=______; 3 (2)若函数 f(x)=-x +ax(a≥3)在(-1,1)上的单调性是________. 3 3 , ),则 a 的取值范围是____________. 3 3 3 (4)函数 f(x)=x -3x+1 在区间[-3,0]上的最大值是_________,最小值是______. (3)若函数 y=a(x -x)的递减区间是(-
3

1 3 2 (5)若 a>2,则方程 x -ax +1=0 在(0,2)上实数根的个数是____________. 3

二、典型例题
例 1.已知函数 f(x)=x + (x≠0,a∈R) . (1)判断 f(x)的奇偶性;(2)若 f(x)在[2, +∞)是增函数,求实数 a 的范围
2

a x

4 3 例 2.若函数 f(x)=ax -bx+4,当 x=2 时,函数 f(x)有极值- . (1)求函数 f(x)的解析 3 式; (2)解不等式 f? (x)+x+a≤0; (3)若函数 g(x)=f(x)-k 有三个零点,求实数 k 的 取值范围.

-40-

例 3.设函数 f(x)=-x(x-a) (x∈R) ,其中 a∈R. (1)当 a=1 时,求曲线 y= f(x)在点 (2,f(2))处的切线方程; (2)当 a≠0 时,求函数 f(x)的极大值和极小值; (3)当 a>3 时,证明存在 k∈[-1,0],使得不等式 f(k-cosx)≥f(k -cos x)对任意的 x∈R 恒成 立.
2 2

2

三、课堂测试
1.函数 y=x -2x 在[-2,3]上的最大值与最小值的乘积为_____________. 2.如果函数 f(x)=ax -x +x-5 在(-∞,+∞)上单调递增,则实数 a 的取值范围是 ___________. 3 3.求曲线 y=x 的过点(-1,-1)的切线方程.
3 2 4 3

4.求函数 f(x)=2x +3x -12x-1 在(-∞,2]上的最大值与最小值.

3

2

-41-

第 22 课
一、课前预习

几个常见初等函数(2)

1.知识点及考试要求 (1)含绝对值的函数的图象性质; (2)指数函数、对数函数、三角函数的图象性质. 2.基础题回顾 1 (1)(sinx+cosx- )?=_____________________.

x

(2)[5 -ln(1-x)+e ]?=__________.
x
2

lnx (3)函数 f(x)= 的单调增区间是______________.

x

(4)已知 x>1,则 x 与 ln(x+1)的大小关系是 x____________ln(x+1). (5)函数 y=|x -x-6|取到极小值时的 x 的值是_____________.
2

二、典型例题
例 1.已知 a∈R,讨论函数 f(x)=e (x +ax+a+1)的极值点的个数.
x
2

例 2.已知函数 f(x)=x|x -a|,a∈R. (1)当 a≤0 时,求证函数 f(x)在(-∞,+∞) 上是增函数; (2)当 a=3 时,求函数 f(x)在区间[0,b]上的最大值.

2

-42-

1 2 例 3.已知函数 f(x)=lnx,g(x)= ax +bx,a≠0. (1)若 b=2,且 h(x)=f(x)-g(x) 2 存在单调递减区间,求 a 的取值范围; (2)设函数 f(x)的图象 C1 与函数 g(x)图象 C2 交 于点 P、Q,过线段 PQ 的中点作 x 轴的垂线分别交 C1,C2 于点 M、N,证明 C1 在点 M 处的 切线与 C2 在点 N 处的切线不平行.

三、课堂测试
1.函数 f(x)的定义域为(a,b),其导函数 f ?(x)在(a,b)内的图象如图所示, 则函数 f(x)在区间(a,b)内极小值点的个数是__________. y

a

x1

x2

O x3

x4

b x

2.函数 y=lg(10x)-x 取极大值时的 x 的值是___________ 3.求函数 f(x)=sinx(1+cosx),x∈(0, )的最大值. 2

?

4.证明函数 f(x)= xlnx-x 在[1,2]上为减函数.

-43-

第 23 课
一、课前预习

导数在解决实际方面的应用

1.知识点及考试要求 导数在实际问题中的应用(B) . 2.基础题回顾 (1)将 8 分为两部分,则此立方和最小值是_________. 3 (2)若 x, y∈[0,1]且 x+y=1,则使 x y 取到最大值时,x=_____,y=______. (3)把一个周长为 12cm 的长方形围成一个圆柱,当圆柱的体积最大时,该圆柱的底面周 长与高的比为_________________. (4)用边长为 48cm 的正方形铁皮做一无盖的铁盒时,在铁皮的四个角各截去一个面积相 等的小正方形,然后把四边折起,就能焊成铁盒,所做的铁盒容器容积最大时,在四角 截去的正方形的边长是__________. (5)有根铁线长 72cm,截成十二段,搭成一个正四棱柱的模型,要求占空间最大,则此 正四棱柱的底面边长是_________.

二、典型例题
例 1.烟囱向其周围地区散落烟尘造成环境污染 . 已知 A, B 两座烟囱相距 20km,其中 B 烟囱喷出的烟尘量是 A 烟囱的 8 倍,经环境检测表明:落在地面某处的烟尘浓度与 该处到烟囱距离的平方成反比,而与烟囱喷出的烟尘量成正比 .(比例系数为 k) . 若 C 是 AB 连线上的点,设 AC= x km, C 点的烟尘浓度记为 y.( 1)写出 y 关于 x 的 函数表达式; ( 2)是否存在这样的点 C,使该点的烟尘浓度最低?若存在,求出 AC 的距离;若不存在,说明理由 .

例 2.某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为 3 元,并且每件产品需向总公司交

a 元(3≤a≤5)的管理费,预计当每件产品的售价为 x 元(9≤x≤11)时,一年的销售
量为(12-x) 万件. (1)求分公司一年的利润 L(万元)与每件产品的售价 x 的函数关 系式; (2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润 L 最大,并求出 L 的最大值 Q(a).
2

-44-

例 3.要设计一容积为 V 的下端为圆柱形、上端为半球形的密闭储油罐,已知圆柱侧面的 单位面积造价是下底面的单位面积造价的一半,而顶部半球面的单位面积造价又是圆 柱侧面的单位面积的造价的一半,问储油罐的下部圆柱的底面半径 R 为何值时造价最 低?

三、课堂测试
1.将长为 l 的铁丝剪成两段,各围成长与宽之比为 2∶1 及 3∶2 的矩形,那么面积之和 最小值为__________. 2.做一个容积为 256 升的方底无盖水箱,则它的高为__________时,最省材料. 3.一轮船以 v 公里/小时的速度航行,每小时用煤 0.3+0.001v 吨重,问 v 取什么值时, 才能使轮船每公里用煤量最少?
3

4.已知水渠在过水断面面积为定值的情况下,过水湿周越小,其流量越大.如图过水断面 为等腰梯形 ABCD,AB=CD,AD∥BC,∠BAD=60?,过水湿周 l=AB+BC+CD.若梯形 ABCD 的面积都为 3 3m ,为使流量最大,请给出最佳设计方案.
2

A

D

B

C

-45-

第 24 课
一、课前预习

任意角的三角函数.

1.知识点及考试要求 角的概念及表示(A)(终边相同的角);角的度量(A) (角度制,弧度制,角度与弧度的 转化) ;弧长公式、扇形面积公式(A) ;三角函数的定义(A) (三角函数在各个象限内的 符号) ; 三角函数线(A) (正弦线,余弦线,正切线) 2.基础题回顾 (1)与-420°终边相同的角的集合是 (2)若?是第二象限角,则 ,其中最小正角是 象限角, 2? 的范围是 . ;

?
2

? 是 2

?? 是

象限角.

(3)

sin

25? 25? 25? 7? 13? 5? 5? ? cos ? tg( ? ) ? sin( ? ) cos( ? ) ? sin( ? ) cos( ? )= 6 3 4 3 6 6 3


(4)已知角?的终边经过点 P(-4k,3k) (k?0)则 cos?的值为 (5)一个扇形 OAB 的面积是 1 cm ,它的周长为 4cm,则中心角的弧度数 弦长 AB= .
2

. ,

二、典型例题
例 1. (1)若 cos?>0 且 sin2?<0,则角?的终边落在第 (2)tan600°= . (3)若?是第一象限角,则 2?的终边在 , 象限.

? 是第 2

象限角.

例 2.已知角? 终边上一点 P(- 3 ,y) ,且 sin?=

2 y,求 cos? 和 tan?的值. 4

-46-

例 3.已知:一扇形的圆心角是?,所在圆的半径是 R. (1)若? =135°,R=5cm,求扇形的弧长 l 及面积 S. (2)若扇形的周长为定值 L,则圆心角? 取什么值时扇形的面积 S 最大?

三、课堂测试
1.下列四个命题中: (1) 如果?≠?,那么 sin?≠ sin?; (2)如果 sin?≠ sin?,那么?≠?; (3) 如果 sin?>0,那么?是第一或第二象限角; (4)如果?是第一或第二象限角,那么 sin?>0. 真命题有 个.

2.已知角?的终边经过点 P(-x,-6) ,cos?=-

5 ,则 x= 13



3.如果? 为小于 360?的正角,且角? 的 7 倍数的角的终边与这个角的终边重合,求? 的 值.

4、一个半径为 r 的扇形,它的周长等于弧所在的半圆的弧长,求该扇形的圆心角度数和 面积 S.

-47-

第 25 课
一、课前预习

同角的三角函数关系和诱导公式

1.知识点及考试要求 同角三角函数的基本关系(B) ;正弦、余弦的诱导公式(B) . 2.基础题回顾

4 ,其中? 是第二象限角,则 cos(2?-?)= 5 4 (2)已知 sin(540°+?)=- ,则 cos(?-270°)= . 5 1 3 3 (3)若 sin?+cos? = ,则 sin ?+cos ?= . 2
(1)若 sin(?+?)=- (4) 若??[0, 2?) , 且 1 ? cos2 ? + 1 ? sin 2 ? =sin?-cos?, 则?的取值范围是 (5)若??(





? ? 1 , ) ,sin?·cos? = ,则 sin?-cos? = 8 4 2



二、典型例题
例 1.已知 sin? =

1? a 3a ? 1 ,cos? = ,若? 是第二象限角,求实数 a 的值. 1? a 1? a

例 2.已知 tan? =2,求下列各式的值: (1)

2 cos ? ? 3 sin ? 2 ; (2) sin ?-2sin?cos?+2. 3 cos ? ? sin ?

-48-

例 3.已知 sin? ,cos? 是方程 4x -4mx+2m-1=0 的两个根,
2

3? <?<2?,求角?. 2

三、课堂测试
1.已知 sin110°=a,则 cos20°= 2.若 cos? =- . ,tan?=

1 ,且? 是第三象限角,则 sin?= 3



3.设 f(sin?+cos?)= sin? cos?,求 f(cos

? )的值. 6

4.已知 cos?=-

8 ,求 sin?,tan ?. 17

-49-

第 26 课
一、课前预习

三角函数的图象与性质(一)

1.知识点及考试要求 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质(B) . 2.基础题回顾 (1)若 3 +2cosx<0,则 x 的范围是 π (2)当 x?R 时,函数 y=2sin(2x+ )的最大值为 12 5π π 当 x?(- , )时,函数 y 的最大值为 24 24 (3) 函数 y=2cosx-1 的值域为 (4)函数 y=sinx- 3 cosx 的最大值为 (5)函数 y=tanx+ . ,最小值为 ,最小值为
2

; . .

; 函数 y= (2sinx-1)+3 的值域为 ,最小值为 . .

1 的定义域为 tan x

二、典型例题
例 1.求下列函数的定义域. (1)y= 1 ? 2 sin x ; (3)y=lg(1-tanx) ; (2)y=lg(2cosx-1) ; (4) y ?

25 ? x 2 ? lg cos x .

π 2π 2 例 2. (1)设 x ?[- , ] ,求函数 y=4sin x-12cosx-1 的最大值与最小值. 6 3

(2)求函数 y=sin x+ 3sinxcosx -1 的值域.

2

(3)求函数 y=

2 cos x ? 1 的定义域和值域. 2 cos x ? 1
-50-

(4)求函数 y=sinx+cosx+2sinxcosx+2(x? [0,π ])的最大值和最小值.

例 3.已知函数 y=2asin x-acos2x+a+b 的定义域是[0, 数 a,b 的值.

2

π ],值域是[-5,1],求常 2

三、课堂测试
1.函数 y= sin
2

x 的定义域为 3




2.函数 y=cosx 的值域为

? ? 3.求函数 y=sinx+ 3 cosx(- ≤x≤ )的最大值. 2 2

4.求函数 y=cos x+sinx+1 的值域.

2

-51-

第 27 课
一、课前预习

三角函数的图象与性质(二)

1.知识点及考试要求 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质(B) . 2.基础题回顾 (1)比较大小:①sin140° (2)判断函数的奇偶性:①y=xsinx

sin50°;②tan

15? 8

tan(-

;②y=cos(

3? +x) 2

? ) . 7


(3)函数 y=1+cosx 关于直线 对称. (4) 函数 y=sinx 和 y=cosx 在 x?[0, 2?]上都是减函数, 则 x 的取值范围是 (5)函数 y=sin



x x +cos 的递增区间是 2 2



二、典型例题
例 1.判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=|sin2x|-xtanx; (2)f(x)=

cos x( 1 ? sin x ) tan x ? 1 ; (3)f(x)=lg . 1 ? sin x tan x ? 1

例 2.已知函数 f(x)=5sinxcosx-5 3 cos x+
2

5 3 (x?R) . 2

(1)求函数 f(x)的周期和单调增区间; (2)求函数 f(x)图象的对称轴、对称中心.

-52-

例 3.已知函数 f(x)=sin(ω x+φ ) (ω >0,0≤φ ≤π )是 R 上的偶函数,其图象关 于点

M(

3π π ,0)对称,且在区间[0, ]上是单调函数,求 φ 和 ω 的值. 4 2

三、课堂测试
1.函数 y=sin x+cos x 的周期为
6 6



2.已知函数 f ? x ? ? a tan3x ? b sin x ? 7 ,且 f ? π 3.求函数 y=3sin( -2x)的单调区间. 4

?? ? ? ? 11 ,则 ?3?

? ?? f ?? ? ? ? 3?



4.已知 a?R,函数 f(x)= sinx-|a|(x?R)为奇函数,求 a 的值.

-53-

第 28 课
一、课前预习

函数 y=Asin(?x+?)的图象

1.知识点及考试要求 函数 y=Asin(?x+?)的图象和性质 2.基础题回顾 (1)将函数 y=sinx(x?R)的图象向左平移

? 个单位,得到函数 f(x)的图象,则 f(x) 6

的解析式为 . (2)将函数 y=sinx(x?R)的图象上所有点的纵坐标变为原来的 8 倍,横坐标不变,得 到得到函数 f(x)的图象,则 f(x)的解析式为 . (3) 要得到函数 y= sin (2x- (4)函数 y=3 sin(2x+

? )与 y 轴最近的对称轴是直线 . 6 ? (5)设函数 y= f(x)sinx 的图象为 C1,将 C1 向右平移 个单位,可得到曲线 C2,若曲 4
线 C2 与函数 y= cos2x 的图象关于 x 轴对称,那么 f(x)可以是 .

? ) 的图象, 只需要将函数 y= sin2x 的图象 3



二、典型例题
例 1.已知函数 y=2 sin(2x+

? ) . 3

(1)用五点法作出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图; (2)说明 y=2sin(2x+

? )的图象可由 y=sinx 的图象经怎样变换得到. 3

例 2.已知函数 y=Asin(?x+?) (A>0,?>0,|?|< 之差为 3,且图象经过点(

? )的周期是 1,最大值与最小值 2

1 3 , ) ,求此函数的表达式. 8 4

-54-

例 3.设函数 f(x)=Asin(?x+?) (A>0,?>0,|?|<

? )的图象在 y 轴上的截距为 2

1,在 y 轴右侧的第一个最大点和最小点为(x0,2)和(x0+3?,-2) . (1)求 f(x)的解析式; (2)将 y= f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的 沿 x 轴正方向平移

? 个单位,得到函数 y= g(x)的图象,写出 y= g(x)的解析式,并 3

1 (纵坐标不变) ,再将所得图象 3

列表画出长度为一个周期的简图.

三、课堂测试
1.要得到函数 y=3cos(2x+

? )的图象,可将函数 y=3sin2x 的图象向 3

平移

单位. 2.将函数 y=sinx 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变) ,然后再将 图象向右平移?个单位,所得图象的解析式为 . 3.若函数 f(x)=sin2x+acos2x 的图象关于直线 x=-

? 对称,求 a 的值. 8

4.函数 y=sin(?x+?) (x?R,?>0,0≤?≤2?)的部分图象如图,求函数的解析式. y 1 O 1 3 x

-55-

第 29 课
一、课前预习

三角恒等变换(一)

1.知识点及考试要求 两角和(差)的正弦、余弦和正切(C) ;二倍角的正弦、余弦和正切(B) ;几个三角恒等 式(A) . 2.基础题回顾 (1)化简 sin119°sin181°-sin91°sin29°= . (2)已知 sin(?+?)=

1 1 tan? ,sin(?-?)= ,则 = 2 3 tan ?
. . .



(3)化简 tan10°+ 3 tan10°tan50°+tan50°=

? ? ? ? +sin ) (cos -sin )= 12 12 12 12 ? ? ? (5)化简 4sin cos cos cos?= 4 4 2
(4)化简(cos

二、典型例题
例 1.已知?,?均为钝角,且 cos(?+?)=-

1 5 ,cos2?=- ,求 sin(?-?)的值. 4 13

例 2.求值:

2 sin 50? ? sin 80? ( 1 ? 3 tan10? ) 1 ? cos10?



-56-

sin(? ? ) 15 4 例 3.已知?为第二象限角,且 sin?= ,求 的值. 4 sin 2? ? cos 2? ? 1

?

三、课堂测试
1.若 tan?=

1 ? ,则 tan(?+ )= 2 4

. .

2.若 A,B 是?ABC 的两内角,且 cosAcosB>sinAsinB,则?ABC 的形状是 3.已知 sin(

? 4 3? ? +?)=- ,??(?, ) ,求 cos( -?)的值. 5 2 2 3

4.已知锐角?,? 满足 cos?=

4 3 ,cos(?+?)= ,求 sin? 的值. 5 5

-57-

第 30 课
一、课前预习

三角恒等变换 (二)

1.知识点及考试要求 两角和(差)的正弦、余弦和正切(C) ;二倍角的正弦、余弦和正切(B) ;几个三角恒等 式(A) . 2.基础题回顾 2 2 (1)sin 15°的值为 ,cos 15°的值为 . (2)若?ABC 的内角 A 满足 sin2A=

2 ,则 sinA+cosA= 3
. .



(3)计算:sin50°(1+ 3 tan10°)= (4)计算:

1 (cos15°+ 3 sin15°)= 2

(5)计算: (1+tan1°) (1+tan2°)?(1+tan43°) (1+tan44°)=



二、典型例题
例 1.已知 tan(

? 1 +?)= . 2 4

sin 2? ? cos2 ? (1)求 tan?的值; (2)求 的值. 1 ? cos 2?

? 3 17? 7? sin 2 x ? 2 sin 2 x 例 2.已知 cos( +x)= , <x< ,求 的值. 5 4 4 12 1 ? tan x

-58-

例 3.已知 tan(?-?)=

1 1 ,tan?=- ,且?,??(0,?) ,求 2?-? 的值. 2 7

三、课堂测试
1.化简:

1 ? cos 4 = 2



2 ? 1 ? ,tan(?- )= ,则 tan(?+ )= 5 4 4 4 1 1 1 3.已知?,?,? 均为锐角,且 tan?= ,tan?= ,tan? = ,求?+?+?. 2 5 8
2.已知 tan(?+?)=



4.已知 sin(?+?)=

2 1 tan? ,sin(?-?)= ,求 的值. 3 5 tan ?

-59-

第 31 课
一、课前预习

三角函数的应用

1.知识点及考试要求:三角函数的概念、图象和性质(B) . 2.基础题回顾 (1)单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置的距离 s(厘米)和时间 t(秒)的函数关 系式是 s=6sin(2?t+

? ) ,则从单摆开始摆动时,离开平衡位置的距离为 3

厘米;

单摆来回摆动一次的时间为 秒;单摆在最左边时离开平衡位置的距离为 厘米. (2)发电厂发出的是三相交流电, 它的三根导线上的电流分别是时间 t 的函数: IA=Isin? t,IB=Isin(? t+120°) ,IC=Isin(? t+240°) ,则 IA+IB+IC= . (3) 设函数 y=cos 则 A50 的坐标为

? x 的图象位于 y 轴右侧所有的对称中心从左依次为 A1, A2, ?, An, ?, 2
. I

(4)已知简谐运动 f(x)=2sin(

? ? x+?) (|?|< ) 3 2

3
O

1 20

的图象经过点(0,1) ,则该简谐运动的最小正周期 t= ,初相?= . (5)如图,它表示电流 I=Asin(?t+?) (A>0,?>0) 在一个周期内的图象,则其解析式为 .

1 50

t

3

二、典型例题
例 1.如图,一段半径为 R 的圆木锯成横截面为矩形的木料,怎样锯才能使截面的面积 S 最大? A D · B C

-60-

例 2.在自然条件下,一年中 10 次测量的某种细菌一天内存活时间的统计表(时间近似到 0.1 小时)如下表所示: 日期 日期位置 序号 x 存活时间 y(小时) 1月 2日 1 5.6 2月 28 日 59 10.2 3月 21 日 80 12.3 4月 27 日 117 16.4 5月 6日 126 17.3 6月 21 日 172 19.4 8月 13 日 225 16.4 9月 20 日 263 12.5 10 月 25 日 298 8.5 12 月 21 日 355 5.4

(1)以日期在 365 天中的位置序号 x 为横坐标,一天内存活时间 y 为纵坐标,在给定坐 标系中画出这些数据的散点图; y
20 15 10 5

O

30

60

90

120

150

180

210 240

270

300

330

360

x

(2)试选用一个形如 y=Asin(?x+?)+t(A>0,?>0)的函数来近似描述一年中该细 菌存活时间 y 与日期位置序号 x 之间的函数关系(注:①求出所选用的函数关系式;②一 年按 365 天计算) ;

(3)用(2)中的函数模型估计该种细菌一年中大约有多少天的存活时间都大于 15.9 小时.

-61-

例 3.如图为游览车的示意图,该游览车半径为 4.8 米,圆上最低点与地面距离为 0.8 米, 60 秒转动一圈,图中 OA 与地面垂直,以 OA 为始边,逆时针转动? 角到 OB,设 B 点与地 面的距离是 h. (1)求 h 与? 间的函数关系式; (2)设从 OA 开始转动,经过 t 秒后到达 OB,求 h 与 t 之间的函数关系式.
B

O · A

?

h

三、课堂测试
1.已知方程 x +
2

x 1 2 - =0 有两个不等实根 a 和 b,那么过点 A(a,a ) ,B(b, tan ? sin ?


b2)的直线与圆 x2+y2=1 的位置关系是
2.把函数 y=cos(x+

? )的图象向左平移 m 个单位(m>0) ,所得图象关于 y 轴对称, 3

则 m 的最小值是 . 3.已知一物体相对某固定位置的位移 y(cm)和时间 t(s)之间的一组对应值如下表所 示:

t y

0 -4.0

0.1 -2.8

0.2 0.0

0.3 2.8

0.4 4.0

0.5 2.8

0.6 0.0

0.7 -2.8

0.8 -4.0

求可以近似地描述该物体的位移 y 和时间 t 之间关系的一个三角函数.

4.如图,一段半径为 R 的半圆形圆木锯成横截面为矩形的木料,使其一边落在半圆的直 径上,另两点落在半圆的圆周上,怎样锯才能使截面的面积 S 最大?A D

B

· O

C

-62-

第 32 课
一、课前预习

正、余弦定理

1.知识点及考试要求 正弦定理、余弦定理(B) . 2.基础题回顾 2 2 2 (1)△ABC 中,sin A=sin B+sin C,则△ABC 的形状为 . (2)在△ABC 中,sinA>sinB 是 A>B 的 条件. (填“充分不必要”或“必 要不充分”或“充要”或“既不充分也不必要” ) (3)在△ABC 中,bcosA=acosB,则△ABC 的形状为 . 2 2 2 2 2 2 (4)在△ABC 中,若 a >b +c ,则△ABC 为 三角形;若 a =b +c ,则△ABC 2 2 2 2 2 2 2 2 2 为 三角形;若 a <b +c 且 b <a +c 且 c <a +b ,则△ABC 为 三角形. (5)在△ABC 中,BC=3,AB=2,且

sin C 2 ? ( 6 ? 1 ) ,则 A= sin B 5

.

二、典型例题
例 1. (1)在△ABC 中,c=10,A=45°,C=30°,求 a,b 和 B; (2)在△ABC 中,b= 3 ,B=60°,c=1,求 a 和 A,C; (3)在△ABC 中,c= 6 ,A=45°,a=2,求 b 和 B,C.

例 2.有一道解三角形的题因纸张破损造成一个条件不清,具体如下:在△ABC 中,已知

A?C a= 3 ,2cos 2 =( 2 -1)cosB,
2

,求角 A.

经推断破损处的条件为三角形一边的长度,且答案提示为 A=60°,试将条件补充完整,并 写出详细的推导过程.

-63-

例 3.在△ABC 中,设内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,向量 m=(cosA,sinA) ,向量

n=( 2 -sinA,cosA) ,且|m+n|=2.
(1)求角 A 的大小; (2)若 b=4 2 ,c= 2 a,求△ABC 的面积.

三、课堂测试
1.在△ABC 中,sinA=2cosBsinC,则△ABC 的形状为 2.在△ABC 中,已知 sinA∶sinB∶sinC=6∶5∶4,则 cosA= 3. 在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 试判断△ABC 的形状. .? .?

a2 ? b2 ? c2 =c,且 acosB=bcosA, a?b?c

4. 在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,A=60°,

c 4 = ,求 sinC. b 3

-64-

第 33 课
一、课前预习

三角形中的有关问题

1.知识点及考试要求 正弦定理、余弦定理(B) . 2.基础题回顾 (1)根据下列条件判断△ABC 解的个数: ①a=80,b=100,A=30° ; ②a=50,b=100,A=30° ; ③a=40,b=100,A=30° . (2)三角形的三边之比为 3∶5∶7,则其最大角的度数为 (3)若三角形的一个内角 A 满足 sinA+cosA= (4)在△ABC 中,

. 三角形.

7 ,则这个三角形一定是 12
.? .?

tan A sin A ? ,则△ABC 的形状为 tan B sin B

(5)在△ABC 中,若 a= 5 ,b= 15 ,A=30°,则 c=

二、典型例题
例 1.在△ABC 中,若 sinA=2sinBcosC,sin A=sin B+sin C,试判断△ABC 的形状.
2 2 2

例 2.设锐角△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a=2bsinA. (1)求角 B; (2)若 a=3 3 ,c=5,求 b; (3)求 cosA+sinC 的取值范围.

-65-

例 3. 已知⊙O 的半径为 R, 若它的内接△ABC 中满足 2R (sin A-sin C) = ( 2 a-b) sinB.
2 2

求: (1)∠C 的大小; (2)△ABC 面积的最大值.

三、课堂测试
1.在△ABC 中,tanA+tanB+ 3 = 3 tanAtanB,且 sinBcosB= 为 . 解:直角三角形或等边三角形. 2. 关于 x 的方程 x -xcosAcosB-cos
2 2

3 ,则△ABC 的形状 4

C =0 有一个根为 1, 则△ABC 的形状为 2

.

解:等腰三角形. 2 3.在△ABC 中,C=2B,A≠B,求证:c =b(a+b).

4.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a+c=10,C=2A,cosA= 求: (1)

3 . 4

c 的值; (2)b 的值. a

-66-

第 34 课
一、课前预习

数列的概念

1.知识点及考试要求 数列的有关概念(A) (数列,项,首项,有穷数列,无穷数列,通项公式) . 2.基础题回顾 (1)已知数列{an}通项公式为 an=n(n+1),则 a31=___________,a2n=___________. (2)设数列{an}满足 an=
2

1 1 1 * + +?+ (n∈N ) ,那么 an+1-an=______________. n+1 n+2 2n

9n -9n+2 1 2 (3)已知数列{ },则数列中在区间( , )内的项是__________. 2 9n -1 3 3 (4)已知数列{an}的通项公式为 an= 项最小,第_____项是最大项. 2n-3 3 (5)已知数列{an}的通项公式为an= ,则 是这个数列中的第_____项. 3n+1 10

n- 62 , (n∈N+) ,则在数列{an}的前 50 项中第_____ n- 63

二、典型例题
例 1.写出下列数列的一个通项公式 (1)0,-2,-4,-6;an=_______________. 1 1 1 1 (2)- , ,- , ;an=_________________. 2 4 8 16 (3)1,-4,9,-16;an=________________. (4)1,1+2,1+2+3,1+2+3+4;an=__________.

例 2.在数列{an}中,a1=3,an+1=2an+1, (n∈N+)写出这个数列的前 4 项,并猜想出它 的一个通项公式.

-67-

例 3.已知数列{an}的通项公式是 an=(n- ) +2. (1)若 a=5,当 n 为何值时,an 取最 3 小值?(2)若数列{an}为递增数列,求实数 a 的取值范围.

a

2

三、课堂测试
1.已知数列通项公式为 an=n(n+1),若 an=420,则 n=___________. 2. 已知数列{an}的通项公式为 an=-2n +29n+3, 则当 n=______时, an 有最大值_______. 3.在数列{an}中,an=1+2+?+n,求满足不等式 an-1<2004<an 的自然数 n 值.
2

第 35 课
一、课前预习

等差数列的概念和性质

1.知识点及考试要求 等差数列(C) (定义(文字、符号、等价) 、通项公式、等差中项、前 n 项和、常用性
-68-

质) 2.基础题回顾 (1)在等差数列{an}中, ①若 a5=-1,a8=2,则 a1=___,d=_____,an=_______________. ②若 a1=20,an=54,Sn=999,则 d=__________,n=___________. ③若 d=2,n=15,an=-10,则 a1=______,Sn=__________. (2)在等差数列{an}中,a3+a4+a6+a7=450,则 a2+a8=_________. (3)在等差数列{an}中,若 S15=90,则 a8= . (4)在等差数列{a n }中,S 4 =1,S 8 =4,则 a17 +a18 +a 19+a 20=__________. (5)在小于 100 的正整数中共有_______个数被 3 除余 2,这些数的和是_______.

二、典型例题
例 1. 数列{an}的通项为 an=2n+1, 且 bn=

a1+a2+?+an * (n∈N ), 求证数列{bn}是等差数列. n

1 1 1 1 例 2.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S3 与 S4 的等差中项为 1,而 S3 与 S4 的等比中 3 4 3 4 1 项是 S5,求 an 的表达式. 5

例 3.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S13>S6>S14,a2=24. (1)求公差 d 的取值范 围; (2)问数列{Sn}是否成存在最大项,若存在,求出最大时的 n,若不存在,请说明 理由.

-69-

三、课堂测试
1.在等差数列{an}中,若 a12=21,a45=153,则数 225 是数列的第_____项.

a5 5 S9 2.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 = ,则 =________. a3 9 S5
3.等差数列{an}中,前 10 项之和为 100,前 100 项之和为 10,求前 110 项之和.

4.已知等差数列{an}的首项 a1>0,且 S9=S17,问 n 为何值时,此等差数列前 n 项的和最 大?最大值是多少?

-70-

第 36 课
一、课前预习

等比数列的概念和性质

1.知识点及考试要求 等比数列(C) (定义(文字、符号、等价) 、通项公式、等比中项、前 n 项和、常用性 质) . 2.基础题回顾 (1)在等比数列{an}中, ①若 a2=18,a4=8,则 a1,q 的值分别是________________________________. 3 9 ②若 a3= ,S3= ,则 an=__________________________. 2 2 1 1 ③若 a1=-4,q=- ,an=- ,则 n=______,Sn=__________. 2 64 (2)数列{an}是等比数列,m,n,p成等差数列,若am=4,an=6,则ap的值是 ?????????. (3)已知 a1,a2,?,a8 是各项为正数的等比数列,公比 q≠1,则 a1+ a8 与 a4+ a5 的大 小关系是 a1+ a8______________a4+ a5.

(4)已知数列-1,a1,a2,-4 成等差数列,-1,b1,b2,b3,-4 成等比数列,则 =___________.

a2-a1 b2

(5)画一个边长为 2cm 的正方形,再以这个正方形的对角线为边长画第二个正方形,以 第二个正方形的对角线为边画第三个正方形,这样一共画了 10 个正方形,则第 10 个正 方形的面积为__________,这 10 个正方形的面积的和为_________.

二、典型例题
例 1.在等比数列{an}中, 已知:q=2,an=96,Sn=189,求 a1 与 n.

-71-

例 2.已知一个等比数列的前 10 项和为 10,前 20 项和为 30,求前 50 项的和.

例 3.三个数成等比数列,若将第三项减去 32,则成等差数列,若再将所得的等差数列的 第二项减去 4,又成等比数列,求这等差数列.

三、课堂测试
1.等比数列{an}中,若 a1=1,an=-512,前 n 项的和 Sn=-341,则公比 q=_____,项 数 n=_______. 2.等比数列{an}中,已知 a6-a4=24,a3?a5=64,则数列{an}的前 8 项的和 S8=________.

3.等比数列 {an } 的前 n 项和为 2,紧接着后面的 2n 项和为 12,再紧接其后面的 3n 和为

S,求 S.

4.有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列并且第一个数与第四个数 的和是 16,第二个数与第三个数的和是 12,求这四个数.

-72-

第 37 课
一、课前预习

数列的求和

1.知识点及考试要求 公式法,错位相减法,倒写相加法,分组求和法,裂项相消法. 2.基础题回顾 (1)一个等差数列共有 15 项,第 8 项是 3,则该数列的奇数项之和为



(2)在公差为-2 的等差数列{an}中,已知 a1+a4+a7+?+a97=50,那么 a3+a6+a9+? +a99 等于___________. (3)已知数列{log2(an-1)}(n∈N )为等差数列,且 a1=3,a3=9.则数列{an}的通项公式 为 an=_________; 1
*

a2-a1 a3-a2



1

+?+

1

an+1-an

=______________.

(4)设首项为正数的等比数列,它的前 n 项之和为 80,前 2n 项之和为 6560,且前 n 项 中 数值最大的项为 54,则此数列的通项公式为___________. 1 1 1 1 1 (5)数列 1 ,2 ,3 ,4 ,?,(n+ n),?,前 n 项和为 Sn=__________________. 2 4 8 16 2

二、典型例题
例 1.已知数列{an}是各项不为零的等差数列,Sn 为数列 { = 1

an?an+1

}的前 n 项和,求证:Sn

n . a1an+1

-73-

例 2.求和 Sn=1 -2 +3 -4 +5 -6 +?+(2n-1) -(2n) .

2

2

2

2

2

2

2

2

例 3.求数列 1,-5x,9x ,-13x ,?,(-1) (4n-3)x

2

3

n-1

n-1

,?,的前 n 项的和 Sn.

三、课堂测试
1 1 1 1 1.求和:Sn= + + +?+ =____________. 1 1+2 1+2+3 1+2+?+n 2.数列{an}的前 n 项和 Sn=1-5+9-13+17-21+?+(-1) S15+S22-S31 的值是__________. 3.求数列 21,211,2111,?,的前 n 项的和.
n-1

(4n-3),则

9 1 2 3 2006 4.设 f(x)= x ,求 f( )+f( )+f( )+?+f( )的值. 9 +3 2007 2007 2007 2007

x

-74-

第 38 课
一、课前预习

数列的通项

1.知识点及考试要求 归纳法,公式法,由 Sn 求 an、由 Sn 与 an 关系求 an. 2.基础题回顾 (1)数列-1,1,-2,2,-3,3,??的一个通项公式是____________. (2)已知数列{an}的前 n 项和公式为 Sn=5n +3n,则 an=_________. (3)在数列{an}中,已知 a1=0,an+1=an+(2n-1),n∈N ,则通项公式 an=_________. (4)在数列{an}中,已知 a1=1,nan+1=(n+1)an,n∈N ,则通项公式 an=_________.
* * 2

(5)已知数列{an}满足 a1=0,an+1=

an- 3 * (n∈N ),则 a20=_______. 3an+1

二、典型例题
32 例 1.等比数列{an}同时满足下列三个条件: (1)a1+a6=11; (2)a3?a4= ; (3)三个数 9 2 4 a2,a32,a4+ 依次成等差数列,试求数列{an}的通项公式. 3 9

例 2.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 an=5Sn-3 (n∈N ),{bn}是{an}的奇数项构成的 数列,求数列{bn} 的通项公式.

*

-75-

1 1 例 3.已知数列{an}中,an>0,Sn 为数列的前 n 项的和,且 Sn= (an+ ),求通项 an. 2 an

三、课堂测试
1.已知数列{an}的前n项和公式为Sn=2n -3n-1,则通项公式为an= _______________. 2.若{an}是等比数列,且前 n 项和为 Sn=3
n-1
2

+t,则 t=____________.
*

3.已知数列{an}中,Sn 是它的前 n 项的和,并满足 Sn=4an-3, (n∈N ),求通项 an.

4.在数列{an}中,若 a1=1,an+1=2an+3(n≥1),求数列的通项 an.

-76-

第 39 课
一、课前预习

数列应用问题

1.知识点及考试要求 构造数列将实际问题转化为数列问题,并能用等差数列,等比数列,简单递推数列等知 识解决这些数列问题. 2.基础题回顾 (1)利息按单利计算,若本金为 a 元,每期利率为 r,存期为 x,不计利息税,则到期的 本利和为___________________,若利息税率为 m,则到期的本息和为____________. (2)利息按复利计算,若本金为 a 元,每期利率为 r,存期为 x,不计利息税,则到期的 本利和为____________________,若利息税率为 m,则到期的本息和为___________. (3)设某工厂生产总值月平均增长率为 p,则年平均增长率为______________. (4)已知 n 次多项式 Pn(x)=a0x +a1x +?+an-1x+an,如果在一种算法中,计算 x0 (k =2,3,4,?,n)的值需要 k-1 次乘法,计算 P3(x0)的值共需要 9 次运算(6 次乘法, 3 次加法) ,那么计算 Pn(x0)的值共需要 次运算.下面给出一种减少运 算次数的算法:P0(x)=a0,Pk+1(x)=xPk(x)+ak+1,(k=0,1,2,?,n-1).利用该 算法,计算 P3(x0)的值共需要 6 次运算,计算 Pn(x0)的值共需要 次运算. (5)有一塔形几何体由若干个正方体构成,构成方式如图所 示,上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面 各连接中点,已知最底层正方体的棱长为 2,且该塔形 的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过 39,则 该塔形中正方体的个数至少是___________.
n n-1 k

二、典型例题
例 1.在一直线上共插有 9 面小旗,相邻两面间距离都为 5m,在第一面小旗处有某人把小 旗全部集中到一面小旗的位置上,每次只能拿一面小旗,应集中到第几面小旗的位置 上.才能使他走的路最短,最短路程是多少?

-77-

例 2.有 A,B 两个容量都为 500ml 的容器,各装 400ml 的盐水溶液,A 容器中盐水溶液浓 度为 80%,B 容器中盐水溶液浓度为 20%,将 A 中溶液 100ml 倒入 B 中,搅均匀后,再将 B 中溶液倒回 A 中 100ml,这样称为一次操作,如果不计损耗,问: (1)操作一次后 A 容器溶液浓度是多少? (2)至少操作多少次后,A、B 两容器中溶液的浓度相差小于 1%.

例 3.某人年初向建设银行贷款 10 万元用于买房,如果他向建设银行贷款, 年利率为 5%, 且这笔借款分 10 次等额归还(不计复利), 每年一次, 并从借后次年年初开始归还, 问 每年应还多少元(精确到 1 元)?

三、课堂测试
1.某大楼共有 20 层,有 19 人在第一层上了电梯,他们分别要去第 2 层至第 20 层,每层 1 人,而电梯只允许停 1 次,可只使 1 人满意,其余 18 人都要步行上楼或下楼,假设 乘客每向下走 1 层的不满意度为 1,每向上走一层的不满意度为 2,所有人的不满意 度之和为 S,为使 S 最小,电梯应当停在第___________层. 2.一弹性球从 100 米高处自由落下,每次着地后又跳回到原来的高度的一半再落下,则 第 10 次着地时所经过的路程和为_______________. 3.一套共 7 册的书计划每两年出一册,若出完全部各册书公元年代之和为 13958,求出齐 这套书的年份.

4.某银行设立了教育助学贷款,其中规定一年期以上贷款月均等额还本付息.如果贷款 10000 元,两年还清,月利率为 0.457%,那么每月应还多少钱呢?

-78-

第 40 课
一、课前预习

不等式的解法(1)

1.知识及考试要求 一元二次不等式(C)(常见不等式的解法;一元二次不等式与相应函数,方程的联系。) 2.基础题回顾 2 2 (1)关于 x 的方程 ax +bx+c=0 (a>0)的两根为 x1,x2(x1<x2),则不等式 ax +bx+c>0 的 2 为 , 则不等式 ax +bx+c<0 的解集为 . 2 (2)不等式 ax +bx+c>0(a≠0)的解集为 R 的充要条件是 . 2 (3)不等式 2x -5x+2<0 的解集是 . 2 (4)函数 y=lg(x -3x+2)的定义域是 . 1-x (5)不等式 >0 的解集是 2+x .

二、典型例题
例 1.解不等式: (1)-3x +4x+4>0 +2)
2

1 2 (2) x +2x+4>0 4

(3)(2x+1)( x-3)>3(x

2

例 2. 解不等式: 1-x (1) >0 x+1 -2+x (2) ≤2 x+1 1 1+x (3) < <3 3 x

-79-

例 3.解下列不等式(1)lg(x -3)>0;

2

(2)4 -5·2

x

x+

1 2+8≤0

三、课堂测试
1-2x 1.不等式 ≤0 的解集为: x+4 2.不等式的解集 ax +bx-1>0 为解集为{x|3<x<4} ,则实数 a= 1 1 3.解不等式: (1) < x 2
2

.b=

(2)-3x +4x-1>0

2

4.已知 f(x)=(1+a)x -ax+a-1,若 f(x)=0 有实根,则实数 a 的取值范围。

2

-80-

第 41 课
一、课前预习

不等式的解法(2)

1.知识及考试要求 带参数的一元二次不等式的解法 2.基础题回顾 2 (1)不等式 ax +(ab+1)x+b>0 的解为 1<x<2,则 a,b 的值为 ? B,则 a 的取值范围是 (2)设集合 A={x|2<x≤3},B={x|x-a>0},若 A ≠ (3)不等式 x -x -2≥0 的解集 (4)已知 f(x)为奇函数,且在(-∞,0)上是增函数,又 f(-2)=0,则不等式 xf(x)>0 的 解集为 (5)若函数 f(x)= kx -6kx+(k+8)的定义域为 R,那么实数 k 的取值范围是
2 4 2

二、典型例题
1 例 1.已知关于 x 的不等式(a+b)x+(2a-3b)<0 的解集为(-∞,- ),求关于 x 的不等 3 式(a-3b)x+(b-2a)>0 的解集.

例 2.解不等式:x -a(a+1)x+a >0

2

3

-81-

例 3.解不等式:

a(x-1) >1 (a>0) x-2

三、课堂测试
1. .一元二次不等式 ax +bx+c>0 的解集是(-∞,1)∪(3,+∞),则 a:b:c= 3 2 2.设 f(x)=ax +bx +cx+d 的图象如图为, 则方程 f(x)=0 的解集为: 不等式 f(x)>0 的解集为: 不等式 f(x)<0 的解集为: -2 1 5 3.若不等式组?
?x-1>a ,
2 2

?x-4<2a.

有解,则实数 a 的取值范围.

4.解不等式:

2a <1 (a∈R) x-a

-82-

第 42 课
一、课前预习

简单线性规划问题(1)

1.知识及考试要求 线性规划(A) (一元二次不等式及不等式组表示的区域,几何方法解决代数问题的思想。 ) 2.基础题回顾 (1)图中表示的区域满足的不等式是______________________.
y y

O
2x+2y-1=0

x

O

x

? ?x-2y≤12, (2)画出不等式组?3x+y>6, 所表示的平面区域_______________________. ?0≤x<6. ? ?x≥0, ? ( 3 ) 设 点 (a , b) 在 区 域 ?y≥0, 内 , 则 点 (a + b , a - b) 所 在 区 域 的 面 积 为 ?x+y≤2, ?
______________.

? ?x-2≤0, (4)已知点 P(x,y)在不等式组?y-1≤0, 所表示的平面区域上运动,则 z=x-y ? ?x+2y-2≥0.
的取值范围是___________________. (5)某实验室需购某种化工原料 106 千克,现在市场上该原料有两种包装,一种是每袋 35 千克,价格为 140 元;另一种是每袋 24 千克,价格为 120 元。在满足需要的条件 下,最少要花费________元.

二、典型例题
例 1.用三条直线 x-2y=2,3x+y=3,x-3y+3=0 围成一个三角形,则三角形内部(不 包含边界)可用不等式表示为______________.

-83-

?x-4y≤-3 ? 例 2.设 x、y 满足约束条件?3x+5y≤25, 分别求 (1)z=6x+10y (2)z=2x-y 的 ?x≥1. ?
最大值

例 3.制定投资计划时,不仅要考虑可能获得的盈利,而且要考虑可能出现的亏损. 某投资人打算投资甲、乙两个项目. 根据预测,甲、乙项目可能的最大盈利率分别为 100﹪和 50﹪, 可能的最大亏损率分别为 30﹪和 10﹪. 投资人计划投资金额不超过 10 万元,要求确保可能的资金亏损不超过 1.8 万元. 问投资人对甲、乙两个项目各投资 多少万元,才能使可能的盈利最大?

三、课堂测试
1.将大小不同的两种钢板截成 A、B 两种规格的成品,每张钢板可同时截得这两种规格的 成品的块数如下表所示: 规格类型 钢板类型 第一种钢板 第二种钢板

A 规格
2 1

B 规格
1 3

若现在需要 A、B 两种规格的成品分别为 12 块和 10 块,则最少需要这两种类型钢板一 共____________________块.

x+2y≤7, ?3 y-x≤1, 2.已知实数 x,y 满足约束条件? ,求 u=3x+4y 的最大值和最小值. x≥0, ?y≥0.

-84-

第 43 课
一、课前预习

简单线性规划问题(2)

1.知识及考试要求 线性规划(A) (一元二次不等式及不等式组表示的区域,几何方法解决代数问题的思想。 ) 2.基础题回顾

? ?x≥0, (1)设点(a,b)在区域?y≥0, 内,则点(a+b,a-b)所在区域的面积为 ?x+y≤2, ?



(2)某实验室需购某种化工原料 106 千克,现在市场上该原料有两种包装,一种是每袋 35 千克,价格为 140 元;另一种是每袋 24 千克,价格为 120 元。在满足需要的条件 下,最少要花费________元.

? ?x-2≤0, (3)已知点 P(x,y)在不等式组?y-1≤0, 所表示的平面区域上运动,则 z=x-y ? ?x+2y-2≥0.
的取值范围是___________________.

二、典型例题
?x ? y ? 5 ? 例 1.已 知 x 、 y 满 足 以 下 约 束 条 件 ? x ? y ? 5 ? 0 ?x ? 3 ?
小值的最优解有无数个,求 a 的值。 , 使 z = x + a y( a > 0 ) 取 得 最

y x+y=5

x–y+5=0

y
?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 例 2. 已 知 x、 y 满 足 以 下 约 束 条 件 ?x ? 2 y ? 4 ? 0 ?3 x ? y ? 3 ? 0 ?
求 z=x +y 的 最 大 值 和 最 小 值 。
2 2

O

x=3 x A

O x – 2y + 4 = 0 3x – y – 3 = 0

x 2x + y - 2= 0 =5

-85-

y
例 3.满 足 | x | + | y | ≤ 2 的 点 ( x , y ) 中 整 点 ( 横 纵 坐标都是整数)有 个

O

x

三、课堂测试
?x ? y ?1 ? 0 ?2 x ? 3 y ? 6 ? 0 ? (A) ? ?x ? y ?1 ? 0 ? ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?x ? y ?1 ? 0 ?2 x ? 3 y ? 6 ? 0 ? (C) ? ?x ? y ?1 ? 0 ? ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?x ? y ?1 ? 0 ?2 x ? 3 y ? 6 ? 0 ? (B) ? ?x ? y ?1 ? 0 ? ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?x ? y ?1 ? 0 ?2 x ? 3 y ? 6 ? 0 ? (D) ? ?x ? y ?1 ? 0 ? ?x ? 2 y ? 2 ? 0

4

1.如图,图中阴影部分表示的平面区域可用二元一次不等式组表示成( )
3.5 3 2.5

2

1.5

1

0.5

-3

-2

-1 -0.5

1

2

3

4

-1

-1.5

-2

-2.5

? ?x+y-6≥0, y 2.已知实数 x,y 满足?4x-3y+12≥0,求(1) 的最大值与最小值。(2) x 2 ? y 2 的最大值 x ? ?x≤4,
与最小值。

-86-

第 44 课
一、课前预习
1.知识及考试要求 基本不等式(C) (基本不等式 ab≤

基本不等式

a+b
2

(a≥0,b≥0);能用基本不等式证明简单不等式;

能用基本不等式求解简单的最大(小)值的问题。 ) 2.基础题回顾 (1) a+b≥2 ab是 a>0,b>0 的 1 (2)设 x>0,则 y=3-3x- 的最大值为 条件. . .

x

1 1 1 2 (3)设 A= ( + ),B= 2 a b a+b

(a>0,b>0) ,则 A,B 的大小关系为
a b

(4)设 a、b 为实数,且 a+b=3,则 2 +2 的最小值是_____________. 1 5 (5)函数 y=1-4x+ (x< )的最小值是 5-4x 4 .

二、典型例题
1 例 1. (1)已知 0<x< , 求函数 y=x(1-3x)的最值。 3 (2)已知 x>0, 求函数 y=x+ 1

x-3

的最值。

-87-

例 2.求下列函数的最值: x2-2x+2 (1)y= (x<1); 2x-2

(2)y=

x2+5 x2+4

1 9 例 3.已知 x>0,y>0 , 且 + =1,求 x +y 的最小值。

x y

例 4.已知 a>0,b>0,且满足 ab=a+b+3,求 ab 的最小值。

三、课堂测试
1.函数 y=x 1-x 的最大值为 . a +b 2ab 2.a,b 是正数,则 , ab, 三个数的大小顺序是 2 a+b 3.求下列函数的最值: (1)y=
2



x2+x+1 (x>0); x

(2)y=

x2+x+4 (x>0); x+1

4.已知 a>0,b>0,且满足 ab=a+b+3,求 a+b 的最值。

-88-

第 45 课
一、课前预习
1.知识及考试要求 基本不等式(C) (基本不等式 ab≤

基本不等式(2)

a+b
2

(a≥0,b≥0);能用基本不等式证明简单不等式;

能用基本不等式求解简单的最大(小)值的问题。 ) 2.基础题回顾 x y (1)设 x,y∈R,且 x+y=5,则 3 +3 的最小值是 1 4 (2)若 x, y 是正数,且 + =1,则 xy 最小值是

. .
2

x x
3

(3)建造一个容积为 18m , 深为 2m 的长方形无盖水池,如果池底和池壁每 m 的造价为 200 元和 150 元,那么池的最低造价为 元.

(4)某产品的产量第一年的增长率为 p,第二年的增长率为 q,设这两年平均增长率为 x, 则有 x 与

p+q
2

的大小关系是

. .

x2 y2 x y (5)若 x, y 为非零实数,代数式 2+ 2-8( + )+15 的值恒为正,对吗?答 y x y x

二、典型例题
例 1.某村计划建造一个室内面积为 800 的矩形蔬菜温室。在温室内,沿左右两侧与后侧 内墙各保留 1 宽的通道,沿前侧内墙保留 3 宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时? 蔬菜的种植面积最大。最大种植面积是多少?

-89-

例 2. 某种生产设备购买时费用为 10 万元,每年的设备管理费共计 9 千元, 这种生产设备 的维修费各年为:第一年 2 千元,第二年 4 千元,第三年 6 千元,而且以后以每年 2 千元 的增量逐年递增.问这种生产设备最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的年平均费 用最少)?

例 3.甲、乙两地相距 S 千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过 c 千米/时.已 知汽车每小时的运输成本 (以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度 v ........ (千米/时)的平方成正比、比例系数为 b;固定部分为 a 元. (1)把全程运输成本 ......y(元)表示为速度 v(千米/时)的函数,并指出这个函数的定义域 (2)为了使全程运输成本 最小,汽车应以多大速度行驶? ......

三、课堂测试
1. 设 x,y 满足 x+4y=40 且 x,y∈R ,则 lgx+lgy 的最大值是 1 2. 设 0<x<1,则 a= 2x,b=1+x ,c= 中最大的一个是 1-x 3.用长为 4a 的铁丝围成一个矩形,怎样才能使所围矩形的面积最大? .


.

4.若 +y =x,求 x +y 的最值。 4

x2

2

2

2

-90-

第 46 课
一、课前预习

不等式的应用学案

1.知识及考试要求:基本不等式的应用 2.基础题回顾 (1)函数 y=2- -x +4x (x∈[0,4])的值域为 2 (2)函数 y=log1 (x -x-2)的递增区间是 3
3 2



(3)建造一个容积为 8m ,深为 2m 的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价每平方 米分别为 120 元和 80 元,那么水池的最低总造价为 元 1 a a a (4)已知-1<a<0,则 0.2 ,( ) ,2 的大小关系是 2 (5)若-2x +5x-2>0,则 4x -4x+1+2|x-2|等于(
2 2



二、典型例题
例 1.若 a,b,c>0,且 a(a+b+c)+bc=4-2 3,则 2a+b+c 的最小值为

1 2 例 2.已知集合 P=[ ,2],函数 y=log2(ax -2x+2)的定义域为 Q 2 (1)若 P∩Q≠?,求实数 a 的取值范围. 1 2 (2)若方程 log2((ax -2x+2)=2 在[ ,2]内有解,求实数 a 的取值范围. 2

-91-

例 3.已知函数 f(x)=x -(m+1)x+m (m∈R). (1)若 tanA,tanB 是方程 f(x)+4=0 的两根,A、B 是锐角三角形 ABC 的两个内角, 求证:m≥5; (2)对任意实数 α ,恒有 f(2+cosα )≤0,证明:m≥3; (3)在(2)的条件下,若函数 f(sinα )的最大值是 8,求 m 的值.

2

三、课堂测试
1.已知函数 y=x -2x+3 在闭区间[0,m]上有最大值 3,最小值 2,则 m 的取值范围是 2 2. 若关于 x 的不等式 x -4x≥m 对任意 x∈[0,1]恒成立,则 实数 m 的取值范围 是 3.已知:方程 x -2ax+a=0 有两个正实数根;实数 a 的取值范围:
2 2

4.商店经销某商品,年销量为 D 件,每件商品库存费用为 L 元,每批进货量为 Q 件,每 次进货所需的费用为 S 元,现假定商店在卖完该货物时立即进货,使库存量为平均 件, 2 问每批进货量 Q 为多大时,整个费用最省?

Q

-92-

第 47 课
一、课前预习

平面向量的基本概念及几何运算

1.知识及考试要求 平面向量的基本概念(B) ,平面向量的几何运算(B) 2.基础题回顾 → → → → → → → → → (1)已知 a , b , c 为非零的平面向量. 甲: a · b = a · c ,乙: b = c ,则甲是乙 的 _条件. → → → → → 1→ (2)如图,已知向量 a , b , c .试求作向量 a +2 b - c . 2

→ a

→ b

→ c

─→ ─→ → ─→ ─→ (3)在四边形 ABCD 中,若 AB + CD = 0 , AC ? BD =0,则 ABCD 的形状为 → → → → → → → → (4) e1 , e2 是不共线的向量, a = e1 +λ e2 与 b =2 e1 - e2 共线,则实数 λ = → → → → → → → → → → (5)如果向量 a , b 满足| a |=3,| b |=4,( a + b )( a +3 b )=81,则 a 与 b 的夹角 是

二、典型例题
─→ ─→ ─→ ─→ ─→ ─→ ─→ ─→ 例 1:化简以下各式: (1) AB + BC + CA ; (2) AB - AC + BD - CD ; (3) OA - ─→ ─→ ─→ ─→ ─→ ─→ (4) NQ + QP + MN - NP .结果为零向量是 OD + AD ;

→ → ─→ → → ─→ → → ─→ → 例 2: 设两个非零向量 a 与 b 不共线, (Ⅰ) 若 AB = a + b , BC =2 a +8 b , CD =3( a → → → → → - b ),求证:A、B、D 三点共线; (Ⅱ)求实数 k,使 k a + b 与 2 a +k b 共线.

-93-

→ → → → → → → → → → → → 例 3.设平面内有四个向量 a 、 b 、 x 、 y ,满足 a = y - x , b =2 x - y , a ? b , → → → → → → → → | a |=| b |=1.(1)用 a 、 b 表示 x 、 y ;(2)若 x 与 y 的夹角为 θ ,求 cosθ 的值.

三、课堂测试
─→ ─→ 1.如图,四边形 ABCD 中, AB = DC ,写出一组相等的向量是 D C E O A B F

D C B

O A

─→ ─→ 2.如图,在正六边形 ABCDEF 中,图中与 OA 模相等且共线的向量(不包含 OA )有 ___________ 个. → → → → → → → → → → 3.已知 a 、 b 均为非零向量,且 a +3 b 与 7 a -5 b 垂直. a -4 b 与 7 a -2 b 也互相垂 → → 直,求 a 与 b 的夹角.

→ → → 4.三角形 ABC 中, 已知 BD=4DC,用AB,AC分别表示AD.

-94-

第 48 课
一、课前预习

平面向量的坐标表示

1.知识及考试要求:向量与坐标的对应关系,向量四种运算及其运算律的坐标表示 2.基础题回顾 → → → → (1)例 1.已知 a =(3,-1), b =(-1,2).则-3 a -2 b 的坐标分别是 ?? → ?? → ?? →→ → (2) 设 a = OA =(-3, 4), 2), 则a?b、 | b |、 | AB |的值分别是 b = OB =(5, → → → → 2 2 (3)已知向量 a =(x +y ,xy), b =(5,2),若 a = b ,则 x+y=_________. ─→ (4)已知 AB =(3,4),A(-2,-1),则 B 点的坐标是_____________. → → → → → → (5)设 a =(10,-4), b =(3,1), c =(-2,3).用 b 、 c 表示 a 为_____________. . .

二、典型例题
─→ ─→ 例 1.已知 A(1,-2),B(2,1),C(3,2)和 D(-2,3).试以 AB , AC 为一组基底来表 ─→ ─→ ─→ 示 AD + BD + CD .

→ → → → → 例 2.已知 a =(cos?,sin?), b =(cos?,sin?),0<?<?<?. (Ⅰ)求证: a + b 与 a → → → → → - b 互相垂直; (Ⅱ)设|k a + b |=| a -k b |,k∈R,k≠0,求?-?..

-95-

3 → → 1 例 3.已知平面向量 a =( 3,-1), b =( , ). 2 2 → → → → → → → → 2 (1) 若存在实数 k 和 t,便得 x = a +(t -3) b , y =-k a +t b ,且 x ⊥ y ,试 求函数的关系式 k=f(t); (2) 根据(1)的结论,确定 k=f(t)的单调区间.

三、课堂测试
?? 1. 设 AB =(2,3),且点 A 的坐标为(1,2),则点 B 的坐标为 .

?? → 2. 已知 a =(x+3, x2-3x-4)与 AB 相等, 其中 A(1, 2), B(3, 2), 则 x 的值为



3. 已知三点 A(3,6)、B(-5,a)、C(6,b)在一条直线上,求 3a+8b 的值.

→ → → → → → 4. 设 a =(10,-4), b =(3,1), c =(-2,3).用 b 、 c 表示 a .

-96-

第 49 课
一、课前预习

向量的平行与垂直

1.知识及考试要求:平行问题、垂直问题的转化方法及其应用. 2.基础题回顾 (1)若三点 A(1,1),B(2,-4),C(x,-9)三点共线,则 x 的值为 . (2)已知□ABCD 的三个顶点 A,B,C 的坐标分别是(-2,1),(3,4),(-1,3),则第 四个顶点 D 的坐标是( ) → → →→ → → → → (3)若 a , b 为非零向量,则 a ? b =| a |?| b |是 a ∥ b 的_____________条件. → → → → → (4) 已知向量 a =(1, 1), -3), 若 k a -2 b 与 a 垂直, 则实数 k 等于_____________. b =(2, → → → → → → (5)已知 a =(1,2), b =(x,1),若( a +2 b )∥(2 a - b ),则 x 的值是_________.

二、典型例题
→ → → → → → → → 例 1.已知向量 a =(1,2), b =(x,1), u = a +2 b , v =2 a - b , → → → → → → (1)当 u ∥ v 时,求 x 的值; (2)当 u ⊥ v 时,求 x 的值; (3)当 u 与 v 的夹角为锐角 时,求 x 的取值范围.

─→ ─→ 例 2.已知在△ABC 中, AB =(2,3), AC =(1,k),且△ABC 的一个内角为直角,求 k 的值.

-97-

─→ ─→ ─→ ─→ ─→ 例 3.若 O 为△ABC 所在平面内一点,且满足( OB - OC )?( OB + OC -2 OA )=0,则

ABC 的形状为



例 4. △ABC 满足_______________条件,使角 A 的平分线 AT 与 AC 边上的中线 BM 互相垂 直. A M

O T B

C

三、课堂测试
→ → → → → → → → → → 1.已知 a 、 b 是非零向量且满足( a -2 b ) ⊥ a ,( b -2 a ) ⊥ b ,则 a 与 b 的夹角是

→ → → → → → 2.已知| a |=3,| b |=5,如果 a ∥ b ,则 a ? b =



→ → → → → → → → 3. .已知| a |=3、 b =(-2,3), (Ⅰ)若 a ⊥ b ,求 a ; (Ⅱ)若 a ∥ b ,求 a .

4.已知四边形 ABCD 各顶点坐标分别为 A(-7,0)、B(2,-3)、C(5,6)、D(-4,9),判 断这个四边形的形状.

-98-

第 50 课
一、课前预习

向量综合应用

1.知识及考试要求:向量与综合应用. 2.基础题回顾 → → → → → (1)若 a , b 是不共线的向量,则 x a +y b = 0 时, x=_______, y =________. (2)已知 A(-1,-1) ,B(1,3) ,且 C(x,5)在线段 AB 的延长线上, ?? ?? 若 AB =m CB ,则 m=______ ?? ?? (3)给出下列命题:①在Δ ABC 中,若 AB · BC <0,则Δ ABC 是锐角三角形;②在Δ ABC ?? ?? ?? ?? 中,若 AB · BC >0,则Δ ABC 是钝角三角形;③Δ ABC 是直角三角形 ? AB · BC =0; ?? ?? ④Δ ABC 是斜三角形的必要不充分条件是 AB · BC ≠0. 其中正确命题的序号是_____. → → → → → → (4)已知作用于同一物体的两个力 F1 、 F2 ,| F1 |=5N,| F2 |=3N, F1 、 F2 所成的角为 60?, → → 则| F1 + F2 |=_________ 。 ?? ?? x2 y2 (5)设 F1,F2 是双曲线 - =1 (a>0) 的两个焦点,点 P 在双曲线上, PF1 · PF2 =0, 4 a a ?? ?? | PF1 |·| PF2 |=2,则 a=

二、典型例题
例 1.在水流速度为 4 3km/h 的河中,如果要使船以 12km/h 的实际航速与河岸成直角行 驶,求船的航行速度的大小与方向.

→ → → → 例 2.已知向量 m =(cosθ ,sinθ )和 n =( 2-sinθ ,cosθ ),θ ∈(π ,2π )且| m + n | 8 2 = , 5 θ π 求 cos( + )的值。 2 8

-99-

例 3.给定抛物线 C:y =4x,F 是 C 的焦点,过点 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点.设 l ?? ?? 的斜率为 1,求 OA 与 OB 夹角的余弦值的大小.

2

三、课堂测试
→ → → 1.已知作用于 A 点的三个力 F1 =(3,4) , F2 =(2,-5) , F3 =(3,1)且 A(1,1) ,则合 → → → → 力 F = F1 + F2 + F3 的终点坐标为 。

2.设 F1,F2 为曲线 C1: + =1 的焦点,P 是曲线 C2: -y =1 与 C1 的一个交点,则 6 2 3 ?? ?? PF1 · PF2 的值为 ?? ?? | PF1 |·| PF2 | 。

x2 y2

x2

2

?? → ?? → → → 15 → → 3.在△ABC 中, BC = a , AC = b , a · b <0,S△ABC= ,| a |=3,| b |=5,则向量 4 →

a 与 b 的夹角是多少?



?? ?? ?? ?? x2 y2 4.已知 M 是椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)上的一点,F1,F2 是焦点,若 OM · F1F2 = MF1 · MF2 a b =0 其离心率 e= .

-100-

第 51 课
一、课前预习

平面的基本性质及两直线的关系

1.知识点及考试要求 平面的基本性质(A) (三个公理及公理 3 的三个推论;平行公理;等角定理;直线与直 线的位置关系;异面直线;异面直线所成的角) . 2.基础题回顾 (1)空间两两相交三条直线可以确定________________个平面. (2)在下面 4 个平面图形中, 哪些是右面正四面体的展开图,其序号 是 ________________ (把你认为正确的序号都填上) .





③ A?

(3)如图,正方体 ABCD-A?B?C?D?的棱长为 a, (1)与直线 BA?成成异面直线的棱有________; (2)直线 BA?与 CC?所成的角为_________; (3)直线 BA?与 B?C 所成的角为_________; (4)异面直线 BA?与 C?D 所成的角为________.

D?

④ B?

C ?

D A B

C

(4)已知空间四点:A、B、C、D, “其中有且仅有三点共线”是“A、B、C、D 四点共面” 的 条件. a 、 b (5)若 为异面直线,直线 c∥a,则 c 与 b 的位置关系是 .

二、典型例题
例 1.空间四边形 ABCD 中,E,F 分别是 AB,AD 的中点,G,H 分别在 BC,CD 上,且 BG∶ GC=DH∶HC=1∶2. A (Ⅰ)求证:E,F,G,H 四点共面; (Ⅱ)设 EG 与 HF 交于点 P,求证:P,A,C 三点共线. F E D B G H C

-101-

例 2.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是 A1B1 的中点,B1C1 上的点 F,使得 B1F∶FC1=1:2.试 D 判断 AE,CF 的位置关系.并给出证明. F 1 E A1 B1

C
1

D A B

C

例 3.如图,A 是平面 BDC 外的一点,E、F 分别是 BC,AD 的中点, (1)求证:直线 EF 与 BD 是异面直线; (2)若 AC⊥BD,AC=BD,求 EF 与 BD 所成的角; A F B E C G D

三、课堂测试
-102-

1.三点确定一个平面的条件是________;共点的四条直线是多可以确定_______平面;互 不相交的三条直线可以确定________________平面. A 2.如图,画出平面 ABC 与平面 ? 的交线和直线 AB 与平面 ? 的交点. B

?

C

3.已知 A∈?,B∈?,C∈?,E 是 AB 的上一点,求证:CE??.

4.在空间四边形 ABCD 中,E,H 分别是 AB,AD 的中点,F,G 分别 是 CB,CD 上的点,且

CF CG 2 = = , 求证:EF, GH,AC 交于一点. CB CD 3
E

A H D B F

G C

-103-

第 52 课
一、课前预习

线面平行及面面平行关系

1.知识点及考试要求: 直线与平面平行判定与性质(B) (直线与平面的定义、判定定理、性质定理) . 平面与平面平行判定与性质(B) (平面与平面的定义、判定定理、性质定理) . 2.基础题回顾 (1)在长方体六个面中,互相平行的面共有 对. (2)若两直线 a,b 异面,且 a∥平面 α ,则 b 与平面 α 的位置关系是 . (3)已知直线 a∥平面 α ,那么在平面 α 内,与 a 平行的直线有 条;在平 面 α 内与 a 异面的直线有 条. (4)正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,A1B 与截面 AD1C 的位置关系是 . (5)正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,平面 AA1C1C 和平面 BB1D1D 的交线与棱 CC1 的位置关系 是 .

二、典型例题
例 1.已知:α ∥β ,m∥β ,m ? ? ,求证:m∥α

例 2.在正四棱锥 S-ABCD 中,底面 ABCD 的边长为 a,侧棱长为 2a,P、Q 分别在 BD 和 SC 上,且 BP:PD=1:2,PQ∥平面 SAD,求线段 PQ 的长. S

Q D A P B C

-104-

例 3.已知:正方体 ABCD-A1B1C1D1 (1)求证:平面 A1BD∥平面 B1D1C (2)若 E,F 分别是 A1A,C1C 的中点,求证:平面 EB1D1∥平面 BDF D1 A1 B1 C1

F· C

E· D A B

三、课堂测试
1.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 DD1 的中点,则 BD1 与过 A、C、E 的平面的位置关系 是 .

2.过两条平行线中的一条和另一条平行的平面有

个.

3.如图,四边形 PQRS 为四面体 A-BCD 的一个截面,若截面 PQRS 为平行四边形, 求证:BD∥平面 PQRS;AC∥平面 PQRS; A R S D B P Q C

4.已知 a、b 是两条异面直线,平面 α 过 a 且平行于 b,平面 β 过 b 且平行于 a,求证: 平面 α ∥平面 β

-105-

第 53 课
一、课前预习

线面垂直关系

1.知识点及考试要求: 线面垂直关系(B) (线面垂直的定义;线面垂直的判定定理、性质定理;点面距离; 线面距离;直线与平面所成角) . 2.基础题回顾 (1)在正方体中,与正方体的一条对角线垂直的各面的对角线的条数是 . (2)已知直线 m、n 及平面 α ,其中 m∥n,那么在平面 α 内到两条直线 m、n 距离相等 的点的集合可能是: (1)一条直线; (2)一个平面; (3)一个点; (4)空集. 其中正确的是 . (3) 正方形 ABCD 在平面α 的同侧,若 A、B、C 三点到α 的距离分别为 2,3,4,则 BD 所在直线与平面α 的位置关系是 . (4)设 a,b 是两条不同的直线,α ,β 是两个不同的平面,则下面四个命题: ① 若 a⊥b, a⊥? , b ? ? , 则 b∥? ; 若 a∥? , ?⊥ ?, 则 a⊥? ; ③ 若 a⊥?, ?⊥?, 则 a∥? 或 a ? ? ; 若 a⊥b, a⊥?, b⊥ ?, 则?⊥? ; 其中正确的命题是 (5)已知直线 l⊥面 α ,直线 m?面 β ,给出下列命题: ①平面 α ∥平面 β ?l⊥m; ②平面 α ⊥平面 β ? l∥m ③l∥m ?平面 α ⊥平面 β ; ④l⊥m?平面 α ∥平面 β 其中正确的命题个数是 .

二、典型例题
例 1.已知平面 α ∩平面 β =EF,A∈平面 α ,AB⊥平面 α , B∈平面 β ,BC⊥平面 β , C∈平面 α ,求证:EF⊥平面 ABC C A α F E B β

例 2.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M 为棱 CC1 的中点,AC 交 BD 于 O, D1 求证:A1O⊥平面 MBD A1 B1

C1

M· C

D A O B

-106-

例 3.在四棱锥 P—ABCD 中,△PBC 为正三角形,AB⊥平面 PBC,

AB∥CD,AB= DC,DC= 3BC,E 为 PD 中点.
D A E B P C (1)求证:AE∥平面 PBC; (2)求证:AE⊥平面 PDC;

1 2

三、课堂测试
1.三条线段 OA,OB,OC 两两垂直,则 OA 与 BC 的位置关系为 .

2.线段 AB 的两个端点 A、B 到平面 α 的距离分别为 3cm,5cm,则线段 AB 的中点到平面 α 的距离为 . A 3.在四面体 ABCD 中,若 AB⊥CD,AD⊥BC,求证:AC⊥BD

B

D

C

4.如图,在△ABC 中,∠ACB=90?,AB=8,∠BAC=60?,PC⊥平面 ABC,PC=4,M 为 AB 边 上一个动点,求 PM 的最小值. P

B

C M A

-107-

第 54 课
一、课前预习

面面垂直关系

1.知识点及考试要求:面面垂直关系(B) (面面垂直的定义;面面垂直的判定定理、性 质定理;二面角;二面角的平面角) . 2.基础题回顾 (1)已知 a,b 为异面直线,且 a⊥?,b⊥?,则平面?与平面?的位置关系是___________. (2)平面 α ⊥平面 β ,平面 α ∩平面 β =l,点 P∈平面 α ,点 Q∈l,那么 PQ⊥l 是 PQ P ⊥平面 β 的 条件. (3)已知 PA⊥正方形 ABCD 所在的平面,垂足为 A,连结 PB, PC,PD,AC,BD,则图中互相垂直的平面有________对. (4)已知直二面角 α —l—β ,A∈α ,B∈β ,AB⊥l,AB=6,则线段 AB 的 A 中点到 l 的距离为 . (5)已知 α 、β 是两个平面,直线 l?α ,l? β ,设①l⊥α ;②l∥β ; B C ③α ⊥β ;若以其中两个作为条件,另一个作为结论,则真命题的个数 是 .

D

二、典型例题
例 1.如果一个平面与另一个平面的垂面平行,那么这两个平面互相垂直.

例 2.已知 VB⊥平面 ABC,侧面 VAB⊥侧面 VAC,求证:△VAC 是直角三角形. V

B A
-108-

C

例 3.如图,在三棱锥 A—BCD 中,AB=3,AC=AD=2,且∠DAC=∠BAC=∠BAD=60?, 求证:平面 BCD⊥平面 ADC A

B

D

C 三、课堂测试 1.设 P 是 60?的二面角 α —l—β 内一点,PA⊥平面 α ,PB⊥平面 β ,A、B 为垂足, PA=4,PB=2,则 AB 的长为 . 2.已知直线 m⊥平面 α ,直线 n?平面 β ,给出下列四个命题: ①若平面 α ∥平面 β ,则 m⊥n; ②若平面 α ⊥平面 β ,则 m∥n; ③若 m∥n,则平面 α ⊥平面 β ; ④若 m⊥n,则平面 α ∥平面 β ; 其中正确的命题是 . 3.四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,PC⊥平面 ABCD,E 为 PA 的中点,求证: 平面 BDE⊥平面 ABCD

4.过 S 作三条不共面的直线,使∠BSC=90?,∠ASB=∠ASC=60?,截取 SA=SB=SC, 求证:平面 ABC⊥平面 BSC A

C S
-109-

B

第 55 课
一、课前预习

柱、锥、台、球的表面积和体积

1.知识点及考试要求 柱、锥、台、球及简单组合体(A) (柱、锥、台、球有关概念及特点) . 三视图与直观图(A) (中心投影与平行投影,三视图画法,直观图画法) 柱、锥、台、球的表面积和体积(A) (圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图;柱、锥、台、 球的表面积和体积的计算公式) 2.基础题回顾 1.如图,一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形,如果直 角三角形的直角边长为 1,那么这个几何体的体积是___________.

主视图

左视图

俯视图

2.若一个圆锥的轴截面是面积为 3的正三角形,则圆锥的全面积为__________. 3.已知水平放置的平面图形的直观图是边长为 1 的正△ABC,则原来平面图形的面积 是__ _. 4.圆台的母线长是 2a,和底面所成的角为 60?,一个底面半径是另一个底面半径的 2 倍, 则圆台的侧面积是____________. 3 5.正四棱台的体积为 190cm ,上、下底面的边长分别为 2cm,3cm,则它的高为____cm.

二、典型例题
例 1.已知正四棱锥的底面边长为 6cm,体积是 36 3cm ,求此棱锥的全面积.
3

例 2.在母线长为 10cm,底面半径为 5cm 的圆锥中,它的轴截面 SAB 的两腰 SA,SB 上分 别有点 P,Q,且 SP=8cm,SQ=6 cm,求在圆锥侧面上从 P 到 Q 的最短距离.

例 3.有一个倒圆锥形容器,它的轴截面是一个正三角形,在容器中放一个半径为 r 的铁 球,并注入水,使水面和球面正好相切,然后将球取出,求这时容器中水的深度.
-110-

A M

D E O N

B

三、课堂测试
1.圆柱的轴截面是边长为 a 的正方形,则圆柱的外接球的体积是___________. 2.正方体的表面积为 6,则它的对角线长为___________. 3.画出正六棱柱的三视图为:

4.圆锥的高与底面半径相等,它的一个内接圆柱的高和圆柱的底面半径也相等,求圆柱 的全面积和圆锥的全面积的比

-111-

第 56 课
一、课前预习

立体几何的综合应用

1.知识点及考试要求 平面及其基本性质(A) (三个公理及三个推论) 直线与平面平行、垂直的判定与性质(B)(线面位置关系;平行、垂直判定与性质) 平面与平面平行、垂直的判定与性质(B)(面面位置关系;平行、垂直判定与性质) 柱、锥、台、球及简单组合体(A) (柱、锥、台、球有关概念及特点) . 三视图与直观图(A) (中心投影与平行投影,三视图画法,直观图画法) 柱、锥、台、球的表面积和体积(A) (圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图;柱、锥、台、 球的表面积和体积的计算公式) 2.基础题回顾 (1)圆台的上、下底面的直径分别是 10cm,20cm,高为 2cm,则圆台的体积为_____. 2 (2)正四棱柱的对角线长为 3cm,它的全面积是 16cm ,则它的体积是____________. (3)如图,一个简单空间几何体的三视图 其主视图与左视图是边长为 2 的 正三角形、 俯视图轮廓为边长为 2 正方形,则其体积是
主视图 左视图 第 3 题图 俯视图

(4)圆锥底面半径为 r,母线长为 3r,底面圆周上一质点沿圆锥侧面运动一周后,又回 到原出发点,这质点运动的最短路程是___________. (5)在直四棱柱 A1B1C1D1—ABCD 中,当底面四边形 ABCD 满足条件 时,有 A1C⊥

B1D1. (注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形)

二、典型例题
例 1.如图,四棱锥 P—ABCD 的底面是边长为 1 的正方形,PA⊥CD,PA=1,PD= 2, (1)求证:PA⊥平面 ABCD; P _ (2)求四棱锥 P—ABCD 的体积.

A _ B _ C _

D _

-112-

例 2.如图,A,B,C,D 为空间四点 在△ABC 中,AB=2,AC=BC= 2 以 AB 为轴运动 (1)当平面 ADB⊥平面 ABC 时,求 CD; (2)当△ADB 转动时,是否总有 AB⊥CD?证明你的结论
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等边三角形 ADB

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D

A B

C

例 3.请您设计一个帐篷.它下部的形状是高为 1m 的正六棱柱,上部的形状是侧棱长为 3m 的正六棱锥(如右图所示) .试问当帐篷的顶点 O 到底面中心 O1 的距离为多少时,帐篷 的体积最大? O

O1

-113-

三、课堂测试
1. 一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 2cm 的球面上. 如果正四棱柱的底面边长为 1cm, 那么该棱柱的表面积为 cm .
2

2.如图,三棱柱的侧棱长为 2,底面是边长为 2 的正三角形,AA1⊥面 ABC,正视图是边长 C 为 2 的正方形,则左视图的面积为( ) .
A _ B _ _ A B _

C1
A_ _ 1 B_ _ A_ 1 _ 1 B_ 正视图 _ 1

俯视图

3.已知矩形 ABCD 中,AB=2AD=4,E 为 CD 的中点,沿 AE 将△AED 折起,使 DB=2 3,O、 H 分别为 AE、AB 的中点. D (1)求证:直线 OH//面 BDE; (2)求证:面 ADE⊥面 ABCE; E D C E A B A O H B C

4.一个多面体的直观图和三视图(主视图、左视图、俯视图)如图所示,M、N 分别为 A1B、 B1C1 的中点。 (1)求证:MN//平面 ACC1A1; (2)求证:MN⊥平面 A1BC; A1 =1 1 M A B C 主视图 左视图 俯视图 C1 B1 N a a a a a a

-114-

第 57 课
一、课前预习

求直线方程

1.知识点及考试要求: 直线的斜率和倾斜角(B) ;直线方程(C) (直线的五种形式的方程及其相互之间的关 系) . 2.基础题回顾

π +y=0 的倾斜角是_________. 7 (2)过两点(-1,1)和(3,9)的直线在 x 轴上的截距是_________.
(1)直线 xtan (3)直线 xcosα + 3 y+2=0 的倾斜角范围是_________. (4)直线 y=1 与直线 y= 3 x+3 的夹角为___________.

二、典型例题
例 1.如果 AC<0 且 BC<0,那么直线 Ax+By+C=0 不通过第________象限. 例 2.过点 A(1,4),且纵横截距相等的直线共有________条. 例 3.请画出方程|x|-|y|=1 的图形.

例 4.已知通过点 P(8,6)的三条直线 l1,l2,l3 的倾斜角之比为 1∶2∶3,又直线 l2 的方 程是 3x-4y=0,求直线 l1,l3 的方程.

-115-

例 5.直线 l 过点 M(-2,1),与 x、y 轴分别交于 A、B 两点. ?? ?? ?? ?? (1)若 AM = MB ,求直线 l 的方程; (2)若| AM |=2| MB |,求直线 l 的方程.

例 6.过点 M(2,1)作直线 l,交 x 轴、y 轴的正半轴于点 A、点 B,求满足下列条件的直 线 l 的方程. (1)Δ ABO 的面积最小; (2)|MA|?|MB|为最小.

三、课堂测试
1. 直线 x-2y+2k=0 与两坐标轴所围成的三角形面积不大于 1, 那么 k 的范围是________. 2.直线 x- 3 y+a=0(a 为实常数)的倾斜角的大小是____________. 3.已知直线 l1:x-2y+3=0,那么直线 l1 的方向向量 a1 为____________(注:只需写出一 个正确答案即可) ;l2 过点(1,1) ,并且 l2 的方向向量 a2 与 a1 满足 a1·a2=0,则 l2 的方程 为____________. 4.已知直线 l 的斜率为 6,且被两坐标轴所截得的线段长为 37 ,求直线 l 的方程.

-116-

第 58 课
一、课前预习

两条直线的位置关系

1.知识点及考试要求 直线的平行关系与垂直关系(B) ;两条直线的交点(B) ;两点间的距离,点到直线的 距离(B) . 2.基础题回顾 (1)点(0,5)到直线 y=2x 的距离为_________. (2)三直线 ax+2y+8=0,4x+3y=10,2x-y=10 相交于一点,则 a 的值是_________. (3)已知点 P 是直线 l 上的一点,将直线 l 绕点 P 逆时针方向旋转角α (0°<α <90°) , 所得直线方程是 x-y-2=0,若将它继续旋转 90°-α 角,所得直线方程是 2x+y-1=0, 则直线 l 的方程是____________. (4)若直线 l1:ax+2y+6=0 与直线 l2:x+(a-1)y+(a -1)=0 平行且不重合,则 a 的 值是____________.
2

二、典型例题
例 1.直线 6x+2y+5=0 与 y=-3x+ 3的位置关系是_________. 例 2.若直线 kx-y+1-k=0 和直线 x-ky+2k=0 的交点在第二象限,则 k 的取值范围 是_________. 例 3.已知两条直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0 垂直的的充要条件是_____. 2 例 4.已知两直线 l1:x+m y+6=0,l2: (m-2)x+3my+2m=0,当 m 为何值时,l1 与 l2(1)相交; (2)平行; (3)重合?

-117-

例 5.已知点 P(2,-1) ,求: (1)过 P 点与原点距离为 2 的直线 l 的方程; (2)过 P 点与原点距离最大的直线 l 的方程,最大距离是多少? ( 3)是否存在过 P 点与原点距离为 6 的直线 ?若存在,求出方程;若不存在,请 说明理由.

例 6.已知 a ? (0,2),直线 l1:ax-2y-2a+4=0 和直线 l2:2x+a y-2a -y-2=0 与坐 标轴围成一个四边形,要使此四边形的面积最小,求 a 的值.
2 2

三、课堂测试
1.过点(-1,3)且垂直于直线 x-2y+3=0 的直线方程为____________. 2.若直线 y=|x|与 y=kx+1 有两个交点,则 k 的取值范围是____________. 3.光线从 A(-3,4)点射出,到 x 轴上的 B 点后,被 x 轴反射到 y 轴上的 C 点,又被 y 轴反射,这时反射线恰好过点 D(-1,6) ,求 BC 所在直线的方程.

-118-

第 59 课
一、课前预习

圆的方程

1.知识点及考试要求: 圆的标准方程和一般方程(C) . 2.基础题回顾 2 2 2 4 (1)方程 x +y -2(t+3)x+2(1-4t )y+16t +9=0(t∈R)表示圆方程,则 t 的取值范围是 ___________. 2 2 (2)点 P(5a+1,12a)在圆(x-1) +y =1 的内部,则 a 的取值范围是___________. 2 2 2 2 (3)将圆 x +y =1 按向量 a 平移得到圆(x+1) +(y-2) =1,则 a 的坐标为___________.

二、典型例题
例 1.若方程 a2 x2 ? (a ? 2) y 2 ? 2ax ? a ? 0 表示圆,则 a 的值为___________.

例 2 . 经 过 点 A(3, ?2) 、 B(2,1) 且 圆 心 在 直 线 x ? 2 y ? 3 ? 0 上 的 圆 的 方 程 是 .

例 3. 已知一圆与 y 轴相切, 在直线 y ? x 上截得的弦长为 2 7 , 圆心在直线 x ? 3 y ? 0 上, 求此圆的方程.

-119-

例 4.设 O 为坐标原点,曲线 x +y +2x-6y+1=0 上有两点 P、Q,满足关于直线 x+my+4=0 对称,又满足 OP · OQ =0. (1)求 m 的值; (2)求直线 PQ 的方程.

2

2

例 5.已知实数 x、y 满足 x +y +2x-2 3 y=0,求 x+y 的最小值.

2

2

三、课堂测试
1.在坐标平面内,与点 A(1,2)距离为 1,且与点 B(3,1)距离为 2 的直线共有 _______条.

2.圆 x +y +x-6y+3=0 上两点 P、Q 关于直线 kx-y+4=0 对称,则 k=___________.

2

2

3 .设 P 为圆 x +y =1 上的动点,则点 P 到直线 3x - 4y - 10=0 的 距离的最小值为 ____________.

2

2

-120-

第 60 课
一、课前预习

直线与圆、圆与圆的位置关系

1.知识点及考试要求 直线与圆、圆与圆的位置关系(B) 2.基础题回顾 (1)直线 y ? ? x ? m 与圆 x 2 ? y 2 ? 1在第一象限内有两个不同交点,则 m 的取值范围是 (2)圆 x +y -2x+4y+3=0 的圆心到直线 x-y=1 的距离为_______. 2 2 (3) 若 P(2, -1)为圆(x-1) +y =25 的弦 AB 的中点, 则直线 AB 的方程是 2 2 (4)直线 x+2y=0 被曲线 x +y -6x-2y-15=0 所截得的弦长等于 .
2 2



二、典型例题
例 1.若两条直线 l1:y=x+2k 与 l2:y=2x+k+1 的交点 P 在圆:x +y =4 的内部,求 k 的取值范 围.
2 2

例 2.已知圆 O1:x +y -4x-2y-4=0,圆 O2:x +y -6x+2y+6=0. (1)求证:圆 O1 与圆 O2 相交; (2)求两圆公共弦所在直线方程及公共弦的长度.

2

2

2

2

例 3.过点 P(?2, ?3) 作圆 C : ( x ? 4) ? ( y ? 2) ? 9 的两条切线,切点分别为 A、B.求:
2 2

(1)经过圆心 C,切点 A、B 这三点圆的方程; (2)直线 AB 的方程; (3)线段 AB 的长.
P

Y

B

C X A

O

-121-

例 4.已知圆 ? C1 : x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 8 ? 0 与 ? C2 : x2 ? y2 ? 2x ? 10 y ? 24 ? 0 相交于 A、B 两点, (1)求公共弦 AB 所在的直线方程; (2)求圆心在直线 y ? ? x 上,且经过 A、 B 两点的圆的方程; (3)求经过 A、B 两点且面积最小的圆的方程.

三、课堂测试
1.两圆为: ( x ? 2)2 ? y 2 ? 16;(x ? 1)2 ? (y ? 4)2 ? 1,则两圆的公共弦所在的直线方程 为 .

2.设 M 是圆 ( x ? 5)2 ? ( y ? 3)2 ? 9 上的点,则 M 点到直线 3x ? 4 y ? 2 ? 0 的最短距离是 . 3.圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 上到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离为 2 的点共有
2 2

个.

4. 若曲线 y ? 1 ? 4 ? x 2 (?2 ? x ? 2) 与直线 y ? k ( x ? 2) ? 4 有两个交点时, 则实数 k 的 取值范围是____________________. 5. 已知点 P( x, y) 是圆 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1上任意一点, 则 x ? 2 y 的最大值为____________,

y?2 的最大值为____________. x ?1
6.已知圆 C: x ? y ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 ,是否存在斜率为 1 的直线 l ,使 l 被圆 C 截得的
2 2

弦 AB 为直径的圆过原点,若存在,求出直线 l 的方程,若不存在,说明理由。

-122-

第 61 课
一、课前预习

椭圆

1.知识点及考试要求 椭圆的标准方程和几何性质(中心在坐标原点)(B) 2.基础题回顾 ( 1 )如果椭圆的两条准线间的距离是这个椭圆的焦距的两倍,那么这个椭圆的离心率 为 .

x2 ? y 2 ? 1 的两个焦点为 F1、F2,过 F1 作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交,一个 (2)椭圆 4
交点为 P,则 | PF2 | = (3)已知椭圆 .

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点分别为 F1、F2,点 P 在椭圆上,若 P、F1、F2 是 16 9


一个直角三角形的三个顶点,则点 P 到 x 轴的距离为

(4)已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点,过 F1 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A、B 两点, 若△ABF2 是正三角形,则这个椭圆的离心率是 .

二、典型例题
例 1.椭圆的对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形,焦点到 椭圆上的点的最短距离是

3 ,求椭圆的方程.

例 2.已知点 M 是椭圆 x 25

2

y ? 13 ? 1上的一点,F 是椭圆的一个焦点,|MF |=4,点 N 是 PF
2

1

1

1

的中点,点 O 为坐标原点,则 ON =



-123-

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的长、短轴端点分别为 A、B,从此椭圆上一点 M a2 b2 向 x 轴作垂线,恰好通过椭圆的左焦点 F1 ,向量 AB 与 OM 是共线向量.
例 3.已知椭圆 (1)求椭圆的离心率 e; (2)设 Q 是椭圆上任意一点, F1 、 F2 分别是左、右焦点,求∠ F1QF2 的取值范围.

例 4.已知椭圆

x2
2

+

y2
4

= 1 与射线 y =

2 x(x≥0)交于点 A,过 A 作倾斜角互补

的两条直线,它们与椭圆的另一个交点分别为点 B 和点 C. (1)求证:直线 BC 的斜率为定值,并求出这个定值; (2)求△ABC 的面积的最大值.

三、课堂测试
1.短轴长为

5 ,离心率为 e ? 2 3 的椭圆的两个焦点分别是 F ,F ,过 F 作直线交椭圆
1 2 1

与 A、B 两点,则三角形 ABF2 的周长为 2.已知方程 3? k 3. 椭圆
x2
2

. .

? 2y?k ? 1 表示椭圆,则 k 的取值范围为

x2 y2 + =1 (a>b>0)上任意一点到两个焦点的距离分别为 d1,d2,焦距为 2c,若 b2 a2
. .

d1, 2c, d2,成等差数列则椭圆的离心率为
2

4.直线 y=kx+2 和椭圆

x 2 +y =1 有且仅有一个公共点,则 k 等于 4
-124-

第 62 课
一、课前预习

双曲线

1.知识点及考试要求 双曲线的标准方程和几何性质(中心在坐标原点)(A) 2.基础题回顾 (1) 中心在原点, 焦点在坐标轴上, 且经过(1, 3)的等轴双曲线的方程是
2 2



(2) 若双曲线与椭圆 x +4y =64 共焦点,它的一条渐近线方程是 x+ 3 y=0,则此双曲 线的标准方程是
2

. . .

y x2 + =1 表示双曲线,则 k 的取值范围是 3? k 2?k 2 2 (4)双曲线 mx -2my =4 的一条准线是 y=1,则 m 的值是
(3)已知方程

二、典型例题
例 1. (1) 双曲线的两个顶点三等分两个焦点间的线段,则离心率 e= (2) 设 e1, e2 分别是双曲线 的大小关系是 (3)设双曲线 .

x 2 y2 x 2 y2 2 2 2 2 ? ? 1 ? 2 ? 1 的离心率, 和 则 e1 +e2 与 e1 ·e2 2 2 2 a b b a


x 2 y2 ? ? 1 (0<a<b)的半焦距为 c,直线 l 过(a, 0), (0, b)两点, a 2 b2

3 c,则双曲线的离心率为 . 4 2 (4)实系数一元二次方程 ax +bx+c=0 的系数 a、b、c 恰为一双曲线的半实轴、半虚 轴、半焦距,且此二次方程无实根,求双曲线离心率 e 的范围.
已知原点到直线 l 的距离为

-125-

例 2. (1) 双曲线实轴长为 2a, 过 F1 交双曲线一支的动弦 AB 长为 b, F2 为另一焦点, 则△AB F2 的周长为 .

(2)设 F1 和 F2 是双曲线 90°,则△F1PF2 的面积是

x2 2 -y =1 的两个焦点,点 P 在双曲线上,且满足∠F1PF2= 4 .

例 3. F1 、 F2 分别是双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 的左右焦点,点 A 的坐标为 ( 在双曲线上,且 F1 A ? AB ? 0 . ⑴求点 B 的坐标; ⑵求证: ?F1 BA ? ?F2 BA .

2 2 ,? ) ,点 B 2 2

三、课堂测试
1. 设双曲线的焦点在 x 轴上, 两条渐近线为 y ? ? 2. 已知|θ |< 则θ =

1 x, 则双曲线的离心率 e ? 2



? 2 2 2 ,直线 y=-tanθ (x-1)和双曲线 y cos θ -x =1 有且仅有一个公共点, 2


3.直线 y=x+3 与曲线 ?

xx 4

?

y2 =1 的交点的个数是 4

个.

4 . 双曲线 为

x 2 y2 ? ? 1 ,渐近线与实轴夹角为 α ,那么通过焦点垂直于实轴的弦长 a 2 b2

2 2

5. 双曲线 x -y =1 的右支上到直线 y=x 的距离为 2 的点的坐标是



-126-

第 63 课
一、课前预习

抛物线

1.知识点及考试要求: 抛物线的标准方程和几何性质(中心在坐标原点)(A) 2.基础题回顾 (1)经过(1,2)点的抛物线的标准方程是 . (2)如果抛物线的顶点为原点,对称轴为 x 轴,焦点在直线 3x-4y-12=0 上,那么抛物 线的方程是 . 2 2 2 ( 3 ) 已 知 圆 (x - 3) + y =16 与 抛 物线 y =2px (p>0) 的 准 线 相切 , 则 抛物线 的 方 程 是 . 2 (4)抛物线 y=ax (a<0)的焦点坐标为 .

二、典型例题
例 1. (1)抛物线 x =4y 的焦点为 F,A 是抛物线上一点,已知|AF|=4+2 2 ,则 AF 所
2

在直线方程是



(2)已知抛物线的顶点为原点,焦点在 y 轴上,抛物线上的点(m, -2),到焦点的 距离为 4,则 m 等于 . 2 例 2. (1)已知定点 A(3, 2),F 是抛物线 y =2x 的焦点,点 P 是抛物线上的动点,当|PA| +|PF|最小时,点 P 的坐标为 . 2 (2)若 AB 为抛物线 y =2px (p>0)的焦点弦, l 是抛物线的准线,则以 AB 为直径的圆与 l 的公共点的个数是 个. (3)若 AB 为抛物线 y =2px (p>0)的焦点弦,且 A1, B1 分别为 A, B 在准线上的射 影,则∠A1FB1 等于 . 例 3. (1)AB 是过抛物线 y =4x 焦点 F 的弦,已知 A,B 两点的横坐标分别是 x1 和 x2,且 x1+x2=6 则|AB|等于 . (2)经过抛物线 y =2px (p>0)的焦点作一条直线 l 交抛物线于 A(x1 , y1)、B(x2, y2),
2 2 2



y1 y 2 的值为 x1x 2



-127-

例 4.抛物线的顶点在原点,焦点在 x 轴的正半轴上,此抛物线的内接正三角形的一个顶 点与抛物线的顶点重合, 已知该正三角形的高为 12,求抛物线上到焦点的距离等于 5 的点 的坐标.

三、课堂测试
1.过抛物线 y =4x 的焦点 F,作倾斜角为 60°的直线,则直线的方程是 2.若抛物线 y=x 与 x=-y 的图象关于直线 l 对称,则 l 的方程是
2 2 2 2

. .

3.已知点 P(4, m)是抛物线 y =2px (p>0)上一点,F 是抛物线焦点,且|PF|=5,则抛 物线方程是 . 4.已知抛物线的顶点为(1, 1),准线方程为 x+y=0,则其焦点坐标为
2



5 . 若 抛 物 线 y =2px 上 横 坐 标 为 6 的 点 的 焦 半 径 为 10 , 则 顶 点 到 准 线 的 距 离 为 .

-128-

第 64 课
一、课前预习
(1) 过原点的直线 l 与双曲线

解析几何的综合应用

x2 y2 ? ? ?1 交于两点, 则直线 l 的斜率的取值范围____. 4 3

(2) 直线 x ? y ? 1 ? 0 与实轴在 y 轴上的双曲线 x 2 ? y 2 ? m (m ? 0) 的交点在以原点为 中心, 边长为 2 且各边分别平行于坐标轴的正方形的内部, 则 m 的取值范围是________. (3)动直线(m+2)x +(m-1)y +3m=0,无论 m 取何值时,该直线都过定点___________. (4)已知 AB 是抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点弦, A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 则 x1 x2 ? ______, y1 y2 ? ________ (5)已知两点 A (3,0),B (0,4),动点 P (x,y) 在线段 AB 上运动,则 x·y 的最大值为 _______. (6)E,F 是随圆

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点,l 是椭圆的一条准线,点 P 在 l 上,则∠EPF 4 2

的最大值是___________.

二、典型例题
例 1.如图,南北方向的公路 l,A 地在公路的正东 2km 处, B 地在 A 地东偏北 30°方向 2 3 km 处, 河流沿岸 PQ(曲线) 上任一点到公路 l 和到 A 地距离相等.现 要在曲线 PQ 上选一处 M 建一座码头,向 A、B 两地 转运货物,经测算从 M 到 A, M 到 B 修建公路的费 用均为 a 万元/km,那么修建这两条公路的总费用最低 是___________. 2 例2.已知抛物线y =12x上恒有关于直线y=4x+m对称的相异两点, 求实数m的取值范围.

-129-

例 3.已知椭圆

x2 y2
2

+ =1 与射线 y = 4

2 x(x≥0)交于点 A,过 A 作倾斜角互补的两

条直线,它们与椭圆的另一个交点分别为点 B 和点 C.求证:直线 BC 的斜率为定值, 并求出这个定值.

例 4.设抛物线 C: y 2 ? 2 px( p ? 0) 上有两个动点 A,B (AB 不垂直于 x 轴) ,F 为焦点, 且 | AF | ? | BF |? 8 ,又线段 AB 的垂直平分线恒过定点 Q(6,0) . (1)求抛物线 C 方程; (2)求△AQB 的面积的最大值.

三、课堂测试
1.若方程

x2 y2 =1 表示双曲线,则实数 m 的取值范围是___________. ? m?5 m ?2
2

2.设抛物线 y ? 8x 的准线与 x 轴交于点 Q,若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点,则直 线 l 的斜率的取值范围是___________.

x2 m m ? x? 3.已知函数 y ? 的图象无论 m 取何值(m≠0)恒过定点, m ?1 m ?1 m ?1
该定的坐标是___________. 4.过抛物线 y 2 ? 16 x ? 16 的焦点的直线 l 交抛物线于 A、 B 两点,则 OA ? OB 的值为 ___________. 5.抛物线 y ? x ? 2 和圆 ( x ? 4) ? y =1 上最近两点之间的距离是___________.
2 2 2

-130-

第 65 课
一、课前预习:

算法与流程图

1.知识与考试要求: (1).体会算法的思想,了解算法的含义,能说明解决简单问题的算法步骤; (2).理解流程图的顺序结构、条件结构和循环结构这三种基本逻辑结构,能识别和理解简 单的流程图的功能,能运用三种基本逻辑结构设计流程图以解决简单的问题. 2.基础题回顾: (1).下列算法中,输出的结果是: 开 始



开始

S ?0

I ?0
S ?0 `

I ?2
N ?0
N

S<2 1

S ? 100
N ? N ?1

Y

I ? I ?1

S ?S+3 ` 输出 I,S 结束 (第 1 题) (2).下列算法中,输出的结果是: (3).已知一算法如下: S1 min←a; S2 如果 b<min,则 min←b; S3 如果 c<min,则 min←c; S4 输出 min. 如果 a=3,b=6,c=2,则执行这个算法的结果是
-131-

S ? S ? 19
I ? I ?2
输出 S,N,I 。 结束



(4).写出下列流程图(1)和(2)的运行结果: 开始 开始 开始

a←2

输出 R 是
b←

输出 x

b←4

0.5R
y←3-x





S←

a b ? b a



a←2b

输出 S

输出 a

输出 y

结束 (1)S=

结束 (2)若 R=8,则 a=

结束 第5题

(5).已知函数 f(x)=|x-3|,下面的流程图表示的是给定 x 的值,求其相应函数值的算 法,请将该流程图补充完整,其中①处应当填 ,②处应当填 .

二.典型例题:
例 1.已知点 P(x0,y0)和直线 l:Ax+By+C=0,求点 P(x0,y0)到直线 l 的距离 d,并 写出算法,画出流程图.

例 2.在音乐唱片超市里,每张唱片售价 25 元.顾客如果购买 5 张以上(含 5 张)唱片, 则按九折收费;如果顾客买 10 张以上(含 10 张)唱片,则按八五折收费.请设计一个完 成记费工作的算法,并画出流程图.

-132-

例 3.设计一个计算 1-

1 1 1 1 1 + - +?+ - 的算法, 写出伪代码, 并画出流程图. 2 3 4 99 100

三.课堂测试:
1、下图给出的是计算 条件是(2 个) 开始 S ?0

1 1 1 1 ? ? ? ??? ? 的值的一个程序框图,其中判断框内应填入的 2 4 6 100

I ?2

N Y S ? S+1 /I I ?I+2 结束 输出 S (第 2 题)

2、以上算法中,输出的结果为: 3. 写出求 N 个数的平均数的一个算法.

4. 写出求 N 个数的最大数的一个算法.

-133-

第 66 课
一、课前预习:

基本算法语句(一)

1.知识与考试要求: 理解几种基本的算法语句——赋值语句、输入和输出语句、条件语句、循环语句,能 应用这些算法语句编写伪代码. 2.基础题回顾: (1) .执行下列伪代码,输出的结果是: a ?1 Read x b ?2 If x<0 Then c ?3 a ?b+c b ?c+a c ?a+b+c Print a,b,c (第 1 题)

y ? ?1
Else If x>0 Then y ?1 Else y ?0 End If End If (第 2 题)

(2) .下面算法的作用是: (3) .执行下列伪代码,输出的结果是: x ?0 Read n i ?12,sum ?1 While x<=20 S ?1, i ?1 While x ?x+1 sum ?sum*i x ?x*x i ?i+1 i ?i-1 End While End While Print x End While Print sum Print S (第 3 题) (第 4 题) (第 5 题) (4). 请在图中空格处填上合适的语句,使之能完成 S=n!的算法功能; (5).下列伪代码的输出结果为 132,则空格处 应该填 :

二、典型例题
例 1.设计算法,求长度为 l 的细铁丝分别围成一个正方形和一个圆时的面积.要求输入 l 的值,输出正方形和圆的面积.

-134-

?? x ? 1( x ? 0) ? 例 2.已知分段函数 y= ? 0( x ? 0) ,编写伪代码,输入 x 的值,输出其相应的函数值, ? x ? 1( x ? 0) ?
并画出流程图.

例 3. .用 For 语句和 While 语句写出计算 1 ? 流程图.

1 1 1 ? ??? 的伪代码,并画出相应的 2 3 1000

三.课堂测试:
1.下列伪代码:若输入 10,20,30 则输出的为: Read a,b,c Read a a ?b If a>20 Then y ?0 b ?c If a=20 Then y ?a+1 c ?a If a<20 Then y ?a-2 Print a,b,c Print y (第 1 题) (第 2 题) 2.下列伪代码,若输入 24,则输出的为: 3. 设计一个算法,统计全班测试成绩及格和优秀的人数。 4.设计一个算法,求出乘积为 399 的两个相邻的奇数,并用伪代码表示.

-135-

第 67 课
一、课前预习:

基本算法语句(2)

1.知识与考试要求: 理解几种基本的算法语句——赋值语句、输入和输出语句、条件语句、循环语句,能 应用这些算法语句编写伪代码. 2.基础题回顾: (1) .执行下列伪代码,输出的结果是: x ?1 While x<=11 x ?x+2 x ?x*x End While Print x (2) .下面是一个算法的伪代码,按这个伪代码写出的程序在计算机上执行,最后运行的 结果为 S←1 For I from 3 to 98 step 2 S←S+I End for Print S (3) .按所给的程序运行后,变量 y 的值是 : (4) .阅读上面的程序,若 x=6,则 P= ;若 x=18,则 P= . (5) .阅读上面的程序,该程序运行的结果是 . x←3 If x>3 Then y←x2 Else y←2x End If 第3题 Read x If x<10 Then P←x×0.35 Else P←10×0.35+(x-10)×0.7 End If Print P 第4题 t←1 i←2 While i≤3 t←t×i i←i+1 End While Print t End

二、典型例题
例 1.高三(1)班有 52 人,请设计一个算法,计算此次数学考试不及格的人数。

第5题

-136-

例 2. .用 For 语句和 While 语句设计一个伪代码求 100!的值

例 3.利用二分法求方程 x ? 2 ? 0 的近似根,请设计一个算法,写出伪代码并画出相应
3 x

的流程图。

三.课堂测试:
1、下列赋值语句中,正确的是 . (1)x←3 (2)3←x (3)x-3←0 (4)3-x←0 2、 已知变量 a, b 已被赋值, 现要交换 a, b 的值, 应采取的算法是 . 3.给出某班 50 名学生的数学成绩,60 分及以上为及格,要求统计及格人数、及格人数的 平均分、全班同学的平均分,画出流程图,并写出伪代码.

4.给出 30 个数:1,2,4,7,11,?其规律是:第 1 个数 是 1,第 2 个数比第 1 个数大 1,第 3 个数比第 2 个数大 2, 第 4 个数比第 3 个数大 3,依次类推,要计算这 30 个数的和. 现已给出算法的流程图如图. (1)请在图中判断框内①处和执行框内②处填上合适的语句, 使之能完成该题的算法功能; (2)根据流程图写出伪代码.

开始

i←1, p←1, S←0

① Y s←s+p

N

输出 s ② 结束 i←i+1

-137-

第 68 课
一、课前预习

复数的概念及其运算

1.阅读教材相关内容. 2.知识点及考试要求 复数的有关概念(B) ; 复数的四则运算(B) 。 3.基础题回顾 (1)复数的代数形式:_________________;实部:_____________;虚部:____________: 表示实数的条件:______________________;表示虚数的条件:__________________; 表示纯虚数的条件:______________________________________________________. 复数相等的充要条件:___________________________________________________。 (2)复数加法法则:_________________________________________________________; 复数乘法法则:_________________________________________________________. (3)共轭复数:_____________________________________________________________。 (4)设 a, b, c ? R, 则复数 (a ? bi)(c ? di) 为实数的充要条件是:___________________. (5)复数

(1 ? i)10 =____________________. 1? i
2

(6)如果复数 (m ? i)(1 ? mi) 是实数,则实数 m ? _________________.

二、典型例题
例 1.设复数 Z ? lg(m ? 2m ? 2) ? (m ? 3m ? 2)i ,试求 m 取何值时
2 2

(1)Z 是实数;

(2)Z 是纯虚数;

(3)Z 对应的点位于复平面的第一象限

例 2.已知复数 z1=3+4i, z2=t+i,,且 z1· z 2 是实数,则实数 t 是多少?

-138-

例 3.计算 [(1 ? 2i ) ? i

100

1 ? i 5 2 1 ? i 20 ?( ) ] ?( ) 1? i 2

例 4.设 f ( z) ? 1 ? z, z1 ? 2 ? 3i, z2 ? 5 ? i, 则 f ( z1 ? z2 ) ? ?

三、课堂测试
3 1. =_____________________ (1-i)2 2.已知复数 z 满足( 3 +3i)z=3i,则 z=____________ 3.若复数 z 同时满足 z - z =2 i , z = iz ( i 为虚数单位) ,则 z = 4.若复数(m -3m-4)+(m -5m-6) i 是虚数,则实数 m 满足?
2 2

?

?

5.复数

5 的共轭复数是_______________ 3 ? 4i

6.1, a ? bi , b ? ai 是某等比数列的连续三项,则 a , b 的值分别为_________.

-139-

第 69 课
一、课前预习

复数的几何意义

1.看教材相应内容; 2.知识点及考试要求: 复数的几何意义(A) 3.基础题回顾 (1)在复平面内,分别用点和向量表示下列复数: 4,2+i,-i,-1+3i,3-2i (2)已知复数 Z1=3+4i,Z2=-1+5i,试比较它们的模的大小 (3)满足|z|=|3+4i|的复数 z 在复平面上对应的点的轨迹是________ (4)如果复数 Z 满足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+i+1|的最小值是___________ (5)设 Z∈C,满足下列条件的点 Z 的集合是什么图形? ①|Z|=2 ②2<|Z|<3 (6)已知在复平面内,定点 M 与复数 m=1+2i 对应,动点 Z 与复数 Z=x+yi 对应,那么满 足不等式|Z-m|≤2 的点 Z 的集合是什么图形?

二、典型例题
例 1.已知 Z1 , Z2 ? C ,|Z1|=|Z2|=1,|Z1+Z2|= 3 ,求|Z1-Z2|

例 2.设 Z=a+bi 和复平面内的点 Z(a,b)对应,当 b 满足什么条件时,点 Z 位于: (1)实轴上; (2)虚轴上(原点除外)? (3)实轴的上方? (4)虚轴的左侧

-140-

例 3.设虚数 z,w=z+

16 是实数,且?2<w<4, z

(1)求|z|的值及 z 的实部的取值范围 (2)设 u=

4? z ,求证 u 为纯虚数 4? z

例 4、已知 Z∈C,|Z|=1,求 | z ? 1 ? 3i | 的最大值

三、课堂测试
1.已知复平面上两点对应的复数分别为

2 ? i与3-i, 则这两点间的距离等于 __________
2. 在复平面内, 向量 AB 对应的复数是 2 ? i , 向量 CB 对应的复数是 ? 1 ? 3i , 则向量 CA 对应的复数是____________. 3.若复数 z 满足|z+1-2i|≤1,则 z 对应的点在复平面内表示的图形是_____________. 4.若 z ? C ,且 z ? 2 ? 2i ? 1 ,则 z ? 2 ? 2i 的最小值是___________. 5.复平面上的正方形的三个顶点表示的复数有三个为 1 ? 2i,?2 ? i,?1 ? 2i, 那么第四个顶 点对应的复数是________________________ 6.方程 x -4x+m=0 的两根为α ,β ,且|α -β | = 6,求实数 m: (1)当两根为实根; (2)当两根为虚根.
2

-141-

第 70 课
一、课前预习

古典概型

1.知识点及考试要求 随机事件与概率(A) (随机现象,随机事件,概率) ; 古典概型(B) (基本事件,古典概型) . 2.基础题回顾 (1)连续抛掷一颗骰子 2 次,出现点数和为 6 的概率 . (2) 某种产品共 100 件,其中一等品 34 件,二等品 43 件,均为正品,其余为次品,某 人买了一件,他买到一等品的概率 ,正品的概率 ________. (3)要寄两封信,有两个邮箱可选择,则两封信都投到一个信箱的概率 . (4)从甲、乙、丙三人中任选两名,其中甲被选到的概率 . (5)袋中有红、白球各一个,有放回地抽三次, ①三次颜色恰有两次同色的概率 ; ②三次颜色全同的概率 ; ③三次抽取的红球多于白球的概率 .

二、典型例题
例 1.甲、乙、丙三人在三天节日值班,每人值一天.求: (1)甲排在乙前面值班概率; (2)甲、乙相邻值日的概率; (3)甲、乙不是相邻值日的概率.

例 2. 一口袋中有 4 个红球,3 个白球,2 个黄球从中取两个,求: (1) 都是红球的概率;(2) 都是白球的概率;(3)一红一白的概率.

-142-

例 3.现有一批产品,其中正品 5 个,次品 2 个,求: (1)从中取出 1 件,然后放回,再取 1 件,求连续 2 次取出的都是正品的概率; (2)如果从中连续抽 2 件,求 2 件都是正品的概率; (3) 如果从中连续抽 2 件,求 2 件一件正品一件次品的概率;

三、课堂测试
1.从标有 1 到 5 的卡片中任取 2 张,则积为偶数的概率 率 。 ; 和为偶数的概

2.有红,黄,蓝三种颜色的小旗各两面,任取两面,则两面都是红的概率 有一面红的概率 . 3.A,B,C,D 四位同学按任意次序站成一排,求: (1)A 在边上的概率; (2)A,B 都在边上的概率; (3)A,B 排在一起的概率; (4)A,B 不相邻的概率;

;恰

4.连续抛掷一颗骰子 2 次,求: (1)出现点数和为 8 的概率; (2)出现点数差为 4 的概率; (3)和为偶数的概率;

-143-

第 71 课
一、课前预习

几何概型

1.知识点及考试要求 几何概型(A) (几何概型) . 2.基础题回顾 (1)如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称 这样的概率模型为__________概率模型。 (2)几何概型概率的计算公式为____________________。 (3)在区间[20,80]上随机取实数 a,则实数 a 在区间[50,75]的概率是__________。 (4)已知实数 x,y 可以在 0<x<2,0<y<2 的条件下随机取数,那么取出的数对(x, y)满足(x-1)2+(y-1)2<1 的概率是_________________。 ( 5 ) 在 面 积 为 S 的 ?ABC 内 任 选 一 点 P , 则 ?P B C 的 面 积 小 于 是 。

S 的概率 2

二、典型例题
例 1.设点 M(x,y)在|x|≤1,|y|≤1 时按均匀分布出现,试求满足: 2 2 (1)x+y≥0 的概率; (2)x+y<1 的概率; (3)x +y ≥1 的概率。

π 例 2.如图,在等腰三角形 ABC 中,?B=?C= ,试分别求下列事件的概率. 4 (1)在底边 BC 上任取一点 P,使 BP<AB; (2)在?BAC 的内部分任作射线 AP 交线段 BC 于 P,使 BP<AB;

-144-

例 3.(1)如图,假如你向每个图形随机地投点,分别计算它落在阴影部分的概率。 A (a) D (b) O B O C B D C A

(ABCD 为半圆 O 的内接正方形)

(2) 在等腰直角三角形 ABC 中,在线段 AB 上任取一点 M,求 AM 的长小于 AC 的长的概率.

三、课堂测试
1.取一根长为 3 米的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长都不少于 1 米的 概率为 . 2.在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中随机取点 M,则点 M 落在四棱锥 O-ABCD(O 是长方体对角线 的交点)内的概率是___________________. 3.一海豚在水池中自由游弋,水池为长 30 米,宽 20 米的长方形,求此刻海豚嘴尖离岸边不 超过 2 米的概率.

4.小红家的晚报在下午 5:00~6:30 之间的任何一个时间随机地被送到,小红一家人在 下午 6:00~7:00 之间的任何一个时间随机地开始晚餐, (1)你估算一下:晚报在晚餐开始之前被送到和在晚餐开始之后被送到哪种可能性更大些? (2)晚报在晚餐开始之前被送到的概率是多少?

-145-

第 72 课
一、课前预习

互斥事件及其发生的概率

1.知识点及考试要求 互斥事件及其发生的概率(A) (互斥事件;互斥事件概率的计算) . 2.基础题回顾 (1)给出下列命题:①互斥事件一定是对立事件;②对立事件一定是互斥事件; ③互斥事件不一定是对立事件;④任何两个事件之和的概率等于事件概率之和, 其中的真命题是 . (2)甲、乙两人下棋,甲获胜的概率为 0.4,甲不输的概率为 0.9,则甲、乙两人下成和 棋的概率为 . (3)某射手在一次射击中,射中 10 环,9 环,8 环的概率分别是 0.24,0.28,0.19,计 算这个射手在一次射击中,射中 10 环或 9 环的概率是 ;不够 8 环 的概率是 .

(4)一个箱子内有 9 张票,其号数分别为 1,2,3,?,9,从中任取两张,其号数至少 有一个奇数的概率是 . (5)某产品分甲、乙、丙三个等级,其中乙、丙两等级为次品,若产品中出现乙级品的 概率为 0.03,出现丙级品的概率为 0.01,则在成品中任意抽取一件抽得正品的概 率为 .

二、典型例题
例 1.黄种人群中各种血型的人所占的比例如下表所示: 血型

A

B B

A

O

该血型的人所占比例 2 2 8 3 (%) 8 9 5 已知同种血型的人可以输血,O 型血可以输给任一种血型的人,任何人的血都可以输给 AB 型血的人,其他不同血型的人不能相互输血,小明是 B 型血,若小明因病需要输血, 问: (1)任找一个人,其血可以输给小明的概率是多少? (2)任找一个人,其血不能输给小明的概率是多少?

-146-

例 2.从写有 1,2,3,4,5 五个数字的 5 张卡片中,有放回地随机抽取 3 第卡片,求: (1)所抽得的 3 张卡片上的数字完全不同的概率; (2)所抽得的 3 张卡片上的数字 5 恰好出现两次的概率.

例 3.盒中有 6 只灯泡,其中 2 只次品,4 只正品,有放回地从中任取两次,每次取一只, 试求下列事件的概率: (1)取到的 2 只都是次品; (2)取到的 2 只正品、次品各 1 个; (3) 取到的 2 只中至少有 1 只正品.

三、课堂测试
某人在打靶中,连续射击 2 次,事件“至少有一次中靶”的对立事件是 .

2.在一批羽毛球产品中任取一个质量小于 4.8g 的概率是 0.3,质量不小于 4.85g 的概率 是 0.32,那么质量在[4.8,4.85)g 范围内的概率是 . 3.甲袋中装有白球 3 个,黑球 5 个,乙袋内装有白球 4 个,黑球 6 个,现从甲袋内随机抽取 一个球放入乙袋,充分掺混后再从乙袋内随机抽取一球放入甲袋,求甲袋中的白球没有减少 的概率.

4.在房间里有 4 个人,求至少有两个人的生日在同一个月的概率

-147-

第 73 课
一、课前预习

抽样方法

1.知识点及考试要求 抽样方法(A) (简单随机抽样;系统抽样;分层抽样) . 2.基础题回顾 (1) 简单随机抽样有 和 .

(2)如果采用分层抽样从个体数为 N 的总体中抽取一个容量为 n 的样本,那么每个个体被抽 到的概率等于 . (3)某地区有 A, B, C 三家养鸡场, 鸡的数量分别为 12000,8000,4000 只, 为了预防 禽流感, 现用分层抽样的方法从中抽取一个容量为 120 只的样本检查疫情, 则从 A, B, C 三家鸡场分别抽取的个体数为 , , . (4)采用系统抽样从含有 2000 个个体的总体(编号为 0000,0001,~,1999)中抽取一个容 量为 100 的样本,则第一段的编号为 ,若在第一段当中用简单随 机 抽 样 得 到 起 始 个 体 编 号 为 0013, 则 前 6 个 入 样 编 号 是 . (5)某中学有高一学生 400 人,高二学生 300 人,高三学生 300 人,现通过分层抽样抽取 一样本容量为 n 的样本,已知每个学生被抽到的概率为 0.2,则 n ? ____________.

二、典型例题
例 1. (1)某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有 150 个、120 个、180 个、150 个销售 点,公司为了调查产品销售情况,需从这 600 个销售点中抽取一个容量为 100 的样本,记 这项调查为①;在丙地区中有 20 个特大型销售点,要从中抽取 7 个调查其销售收入和售 后服务等情况,记这项调查为② . 则完成①②这两项调查宜采用的抽样方法依次是 __________________、_________________. (2)某初级中学有学生 270 人,其中一年级 108 人,二、三年级各 81 人,现要利用抽样 方法抽取 10 人参加某项调查,将学生按一、二、三年级依次统一编号为 1,2,?,270. 如果抽得号码有下列四种情况: ①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250; ②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265; ③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254; ④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270; 述抽样一定不是分层抽样的是______________________.

-148-

例 2.一个总体有 80 个个体,编号为 0,1,2,?,79,并依次将其分成 8 个小组,组号 为 0,1,2,?7,要用(错位)系统抽样法抽取一个容量为 8 的样本,即规定现在第 0 组随机抽取一个号码,记为 l,依次错位地得到后面各组的号码,即第 k 组抽取的号码的 个位数为 l+k 或 l+k-10 (若 l+k≥10) . 在 l=6 时, 所抽到的 8 个号码分别是 .

例 3. (1)一所中学有高一、高二、高三学生共 1600 名,其中高三学生 400 名.如果通过 分层抽样的方法从全体高中学生中抽取一个 160 人的样本,那么应当从高三年级的学生中 抽取的人数是 . (2)某校高中学生共有 1800 人,其中高一年级 600 人,高二年级 400 人,高三年级 800 人,现采用分层抽样方法抽取容量为 90 人的样本,则高一、高二、高三年级的人的分别 为_____________. (3)某工厂生产 A、B、C 三种不同型号的产品,产品数量之比依次为 2:3:5.现用分层 抽样方法抽出一个容量为 n 的样本,样本中 A 种型号产品有 16 件.那么此样本的容量 n=____.

三、课堂测试
1.某班 50 名学生,现在采用逐一抽取的方法从中抽取 5 名学生参加夏令营,学生甲最后去 抽,则他被选中的概率为 . 2.某县有 30 个乡,其中山区有 6 个,丘陵地区有 12 个,平原地区有 12 个,要从中抽出 5 个 乡进行调查 , 则应在山区抽 __________ 个 , 在丘陵地区抽 ___________ 个 , 在平原地区抽 ________个. 3.从湖中打一网鱼,共 n 条,做上记号再放入湖中,数天后再打一网鱼共 m 条,其中有 k 条 有记号,试估计湖中有多少条鱼.

4.某个工厂中共有职工 3000 人,其中中、青、老职工的比例为 5:3:2,要用分层抽样 的方法从所有职工中抽出一个样本容量为 400 人的样本,则中、青、老年应分别抽取多少 人?

-149-

第 74 课
一、课前预习

总体分布的估计与总体特征数的估计

1.知识点及考试要求 总体分布的估计(A) (频率分布表;频率分布直方图;折线图;茎叶图) . 总体特征数的估计(B) (平均数及其估计;方差与标准差) 变量的相关性(A) (线性回归方程) 2.基础题回顾 (1)描述数据波动性的特征数是 . .

(2) 一个容量为 20 的样本,已知某组的频率为 0.25,则该组的频数为

(3) 已知某样本方差为 5,样本中各数据平方和是 280,样本平均数是 3,则样本容量为 (4)在一次歌手大奖赛上,七位评委为歌手打出的分数如下:9.4,8.4,9.4,9.9,9.6, 9.4,9.7 , 去 掉 一 个 最 高 分 和 一 个 最 低 分 后 , 所 剩 数 据 的 平 均 值 与 方 差 分 别 、 . (5) 一组观察值 4, 3, 5, 6 出现的次数分别为 3, 2, 4, 2, 则样本的平均数为 (精 确到 0.01) .

二、典型例题
例 1.下表是对某校高二年级女生随机抽取 48 名的身高实测记录(单位:cm) 163 169 162 167 165 165 158 173 175 160 166 162 167 161 153 164 163 157 169 164 168 165 166 160 167 169 170 157 153 165 169 162 164 160 160 169 161 163 169 158 168 169 166 161 168 173 156 166 根据上面的数据,解决下列问题: (Ⅰ)求出它们的数学期望(即平均数) ; (Ⅱ)求出它们的样本方差; (Ⅲ)画出频率分布图.

-150-

例 2.对甲乙两学生的成绩进行抽样分析,各抽取 5 门功课,得到的观测值如下: 甲:70 乙:80 80 60 60 70 70 84 90 76

试分析两人哪一个各门功课发展较平稳.

例 3.某人 5 次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为 x,y,10,11,9,已知这组 数据的平均数为 10,方差为 2,求|x-y|的值。

三、课堂测试
1.已知样本为 101,98,102,100,99,则样本的标准差是 .

2.样本数据均在 100 左右,若把各数与 100 作差得到数据 x1,x2,?,x100,此时 x1+x2 +?+x100=102,则此样本平均数是 . 3.某地 2005 年 4 月每日最高温度(?C)如下,作出频率分布直方图. 20.2,22.9,16.7,21.1,26.7,23.6,30.1,28.5,26.7,17.2,12.9,17.5,19.6, 23.7,21.3,23.4,24.1,28.2,22.7,27.0,23.2,21.7,19.6,20.9,26.4,28.4, 31.9,34.6,32.2,25.8,

4.从参加某次考试的学生中,随机抽取 25 名学生,成绩如下:46,49,52,57,61,67, 68,72,73,73,74,74,76,76,77,77,77,79,80,82,82,85,86,93 ,对此 数据按组距 10,分 5 组作出频率分布表,用频率分布表估计这次考试的及格率.

-151-

第 75 课
一、课前预习

统计案例

1.知识点及考试要求 统计案例(A) . 2.基础题回顾 (1)下列几组变量:①正方体的棱长与体积;②单位圆中的度数和所对扇形的面积;③ 单产为常数时,土地面积和总产量;④日照时间与水稻的亩产量; 其中两个变量之间是相关关系的是 . ^ (2)回归直线y=a+bx 必经过点 . ^ (3)设回归直线方程为y=a+bx,现将 y 的单位由 cm 变为 m,x 的单位由 ms 变为 s, ^ 则在新的线性回归直线方程y1=a1+b1x 中 b1= . ^ (4) 设 有 一 个 直 线 回 归 方 程 为 y = 3 - 2x ,则变量 x 增加一个单位时, y 平均 (填:增加或减少) 个单位. (5)回归直线方程的系数 a,b 的最小二乘法估计使函数 Q(a,b)最小,这里函数 Q(a, b)指 .

二、典型例题
例 1. 某赛季甲、乙两名篮球运动员每场得分情况如下: 甲的得分:12 15 24 25 乙的得分:8 13 14 3l 31 36 36 37 39 44 49 50

16 23 26 28 33 38 39 51

请你茎叶图来表示此赛季甲、乙两名篮球运动员得分情况.

例 2.在一次恶劣气候的飞行航程中调查男女乘客在机上晕机的情况如下表所示,根据此 资料你是否认为在恶劣气候的飞行中男人比女人更容易晕机? 晕机 男人 女人 合计 24 8 32 不晕机 31 26 57 合计 55 34 89

-152-

例 3.为了了解某地母亲身高相关关系,随机测得 10 对母女的身高如下表所示: 母亲身高 x/cm 女儿身高 x/cm 159 158 160 159 160 160 163 161 159 161 154 155 159 162 158 157 159 162 157 156

试对 x 与 y 进行一元线性回归分析,并预测当母亲身高为 161cm 是女儿的身高为多少.

三、课堂测试
1.某保险公司收集了 10 周中工作的加班时间 y(小时)与签订新保单数目 x(张) ,用最 ^ 小二乘法求出线性回归方程为y=0.12+0.0036x,若公司预签订新保单 1000 张,估计需 加班 小时. 2.现有一个身高预测体重的回归方程;体重预测值=4(磅/英寸)×身高-130 磅,其 中体重和身高分别以磅和英寸为单位,如果将它们分别以 kg,cm 为单位(1 英寸?2.5cm, 1 磅?0.45kg)回归方程应该是 . 3.为了探究患病是否与吸烟有关,随机抽查 9965 人,调查结果如下表所示: 不患肺癌 不吸烟 吸烟 合计 7775 2099 9874 患肺癌 42 49 91 合计 7817 2148 9965

试问患肺癌是否与吸烟有关?

4.研究某灌溉渠道水的流速 y 与水深 x 之间的关系,测得数据如下: 水深 x(m) 流速 y(m/s) 1.4 1.7 1.5 1.79 1.6 1.88 1.7 1.95 1.8 2.03 1.9 2.1 2.0 2.16 2.1 2.21

试对 x 与 y 进行相关性检验,如 x 与 y 具有线性相关关系,求出 y 对 x 的回归直线方程.

-153-

第 76 课
一、课前预习:

排列与组合(一)

知识及考试要求: B 级要求。 基础题回顾: 1.有三个不同的信箱,今有四封不同的信欲投其中,则不同的投法有 种。 2.四名学生争夺三项冠军,获得冠军的可能的种数是 种。 3.有四位学生参加三项不同的竞赛, ①每位学生必须参加一项竞赛,则有不同的参赛方法有 ; ②每项竞赛只许有一位学生参加,则有不同的参赛方法有 ; ③每位学生最多参加一项竞赛,每项竞赛只许有一位学生参加,则不同的参赛方 法 。 * 4.若 n∈N ,则(55-n) (56-n) (57-n)?(69-n)=______________. n-2 3 2 5. C +C +C = n n n+1

二、典型例题
例 1.7 名学生站成一排,下列情况各有多少不同排法? (1)甲、乙必须站在一起; (2)甲不在排头、乙不在排尾; (3)甲乙互不相邻; (4)甲、乙之间须隔一人。

例 2.已知直线 ax+by+c=0 中的 a,b,c 是取自集合{-3,-2,-1,0,1,2,3}中的 3 个不同的元素,并且该直线的倾斜角为锐角,求符合这些条件的直线的条数。

-154-

例 3.求证:Cn Cm +Cn Cm

0

p

1

p-1

+?+Cn Cm =Cm+n 。

p

0

p

三、课堂测试
1.以平行六面体的顶点为顶点,组成三棱锥,不同三棱锥的数目是________________ 2.设椭圆 2+ 2=1 的焦点在 y 轴上,a∈{1,2,3,4,5},b∈{1,2,3,4,5,6,7}, 则这样的椭圆个数共有________________个 3.从 1 到 100 这一百个数中,每次取 2 个,使它们的和大于 100,共有多少种取法?

x2 y2 a b

4.从 1、3、5、7 四个数中取三个,从 0、2、4 三个数中取两个,一共可以组成多少个无 重复的五位数?

-155-

第 77 课
一、课前预习:

排列与组合(二)

知识及考试要求: B 级要求。 基础题回顾: 1.由 1、2、3、4、5 组成比 40000 小的没有重复数字的五位数的个数为 . 2.甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学进行某种劳动技术比赛,决出了第一到第五名的名次, 甲、乙两名参赛者去询问成绩,回答者对甲说:“很遗憾,你和乙都未拿到冠军”.对乙 说:“你当然不会是最差的”.从这个回答分析,5 人的名次排列共可能有_________种不 同的情况. 3.0、1、2、3、4、5 这六个数字,可以组成____________个无重复数字的四位偶数. 4.六门不同的课排入一天中六节,要求体育不排第一节,数学不排第六节,有_________ 种不同的排法. 5.6 个节目组成一个节目单,要求甲、乙两节目必须排在一起,有__________种排法?

二、典型例题
例 1. (1)10 件产品中有 2 件是次品,其余都是正品,现在从中取出 3 件产品,至少含有 一件次品,有多少种取法? (2)从 1,2,3,4,7,9 这六个数中,任取两个分别作为一个对数的底数和真数,则可 以组成的不同的对数值的个数为多少? (3)求以一个长方体的顶点为顶点的四面体的个数.

例 2. (1)期中安排考试科目 5 门,语文要在数学之前考,有多少种不同的安排顺序?

-156-

例 3. (1)5 个品种,4 块不同土质的试验田,现选 3 个品种,在三块试验田内进行试验, 共有多少种种植方法? (2)有甲、乙、丙三项任务,甲需 2 人承担,乙、丙各需 1 人承担,从 10 人中选派 4 人 承担这三项任务,不同的选法有多少种? (3)每天上午有 4 节课,下午有 2 节课,安排 5 门不同的课程,其中安排一门课两节连 在一起上,则一天安排不同课程的种数为多少? (4)从 6 名师范大学毕业生中选取 4 人到编号为 1、2、3、4 的四所中学任教,每校 1 人, 若甲、 乙两人必须入选, 且甲、 乙所在学校编号必须相邻, 那么不同的选取方法有多少种?

三、课堂测试 1.8 人排成一排,甲、乙必须分别紧靠站在丙的两旁,有____________种排法. 2.某班上午要上语文、数学、体育和外语 4 门课,又体育老师因故不能上第一节和第四 节,则不同排课方案的种数是_________________ 3.从 12 个化学实验小组(每组 4 人)中选出 5 人,进行 5 个不同的化学实验,且每小组 至多选 1 人,则不同的安排方法有多少种? 4.5 项不同的工程由 3 个工程队全部承包下来,每队至少承包一项,则不同的承包方案共 多少种?

-157-

第 78 课
一、课前预习

二项式定理

1.知识点及考试要求:B 2.基础题回顾 88 (1)用 88 除 87 +7,所得余数是______________ 1 n-1 2 n-2 n-1 n (2)若 n 为奇数,7 +C 7 +C 7 +??+C 7 被 9 除所得的余数是_____

n

n

n

(3)101 -1 的末尾连续零的个数是__________________ n n (4) .5 +13 (n∈N)除以 3 的余数是_______________ (5)已知 2002 年 4 月 20 日是星期五,那么 10 天后的今天是星期
90

10



二、典型例题
例 1.证明:3
2n+2

-8n-9 能被 64 整除(n∈N+).

例 2.某地现有耕地 10000 公顷,规划 10 年后粮食单产比现在增加 22%,人均粮食占有 量比现在提高 10%.如果人口年增长率为 1%,那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷 总产量 总产量 (精确到 1 公顷)?粮食单产= ,人均粮食占有量= 耕地面积 总人口数

-158-

0 2 1 2 2 2 n 2 2 例 3.求证:(C ) +(C ) +(C ) +?+(C ) =C n n n n 2n

三、课堂测试 2 4n-1 1.当 n∈N+)且 n≥2 时,1+2+2 +?+2 =5p+q(其中 p,q,n∈N,且 0≤q<5) ,则 q 的值为_____________________ 2.实数 1.01 计算结果精确到 0.01 的近似值是___________。 3 今天是星期二,不算今天,2 天后的第一天是星期几?
51 6

4. 求 0.998 的近似值,使误差小于 0.001.

6

-159-


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