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2015-2016学年高中数学 2.3第1课时 等差数列的前n项和课件 新人教A版必修5


成才之路 ·数学
人教A版 ·必修5

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

第二章 数列

第二章
2.3 等差数列的前n项和 等差数列的前n项和

第1课时

1

自主预习学案

2

课堂探究学案

3

课 时 作 业

自主预习学案

1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路. 2 .经历公式的推导过程,体会数形结合的数学思想,体

验从特殊到一般的研究方法,学会观察、归纳、反思.
3.熟练掌握等差数列的五个量a1,d,n,an,Sn的关系, 能够由其中三个求另外两个.

拥有 8 万个正式座位, 1.1 万个临时 座位的鸟巢堪称世界最大的体育场馆之 一,绕鸟巢一圈大约有 4 千米左右,普 通人快走一圈需要 40 分钟左右. 为了方 便初次走进鸟巢的观众找到自己的看台 座位,体育场里的入场标志设计得非常醒目清晰.鸟巢看台分 12 个区,分别以“A”到“M”进行标志区分.观众手中的门票还有 一个小平面图,来给观众指明安检口的大致位置和方向.通过 观察鸟巢的某个区的最前排的座位数为 12 个, 后面每排比前一 排多一个,总共 23 排,则这个区能容纳多少观众?

1.请你快速算出1+3+5+7+?+99=________. 2.在等差数列{an}中,a11+a13=a9+________. 3.设等差数列{an}的通项公式为an=13-2n,则{an}的正

数项有________项.
[答案] 1.2 500 2.a15 3.6

1.数列的前 n 项和 一般地, 我们称 a1+a2+a3+?+an 为数列{an}的前 n 项和, 用 Sn 表示.即:Sn=a1+a2+a3+?+an. 于是 n≥2 时,Sn-1=a1+a2+?+an-1,两式相减得 an=Sn -Sn-1. ∴an 与
? ?S1?n=1?, Sn 的关系为:an=? ? ?Sn-Sn-1?n≥2?.

设数列{an}的前n项和为Sn=n2,则a8的值为( A.15 B.16

)

C.49
[答案] A

D.64

[解析] 解法一:S8=82=64,S7=72=49, a8=S8-S7=64-49=15. 解法二:∵Sn=n2,∴a1=S1=1.

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1.
∵a1=1也适合an=2n-1,∴an=2n-1. ∴a8=2×8-1=15.

2.(1)如图,某仓库堆放的一堆钢管,最上面的一层有4根 钢管,下面的每一层比上一层多一根,最下面的一层有9根.

①共有几层?图形的横截面是什么形状?

②假设在这堆钢管旁边再倒放上同样一堆钢管,如图所 示,则这样共有多少钢管?原来有多少根钢管?

(2) 数列 {an} 为: 1,3,5,7,9,11 ,数列 {bn} 为: 11,9,7,5,3,1 ,

{an} 与 {bn} 的项有什么关系?计算 ak + bk(k = 1,2,3,4,5,6) ,你发
现了什么? 由上面两个例子你能得出什么结论?能否利用上面的方法 求等差数列的前n项和? 试一试,推导出求等差数列前n项和的公式. 对于首项为a1,公差为d的等差数列{an},我们用两种方法 表示Sn. Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+?+[a1+(n-1)d],

Sn=an+(an-d)+(an-2d)+?+[an-(n-1)d].

①+②,得 2Sn=(a1+an)+(a1+an)+(a1+an)+?+(a1+an共? n个 =n(a1+an), n?a1+an? ∴Sn= . 2 将 an=a1+(n-1)d 代入上式,可得 n[a1+a1+?n-1?d] 1 Sn = =na1+2n(n-1)d. 2 因此, 等差数列的前 n 项和公式有两种表达形式, 分别为: n?a1+an? 1 Sn = 或 Sn=na1+2n(n-1)d. 2

注意:(1)等差数列前 n 项和公式的推导方法“倒序相加 法”,是解决数列求和问题的一种重要方法.主要适用于 具有 a1+an=a2+an-1=a3+an-2=?特征的数列求和. (2)若已知数列的首项 a1、末项 an 及项数 n,则用公式 Sn n?a1+an? a1+an = 来求和.这里 2 是 a1 与 an 的等差中项,应用时 2 要注意结合等差数列的性质.

n?a1+an? (3)公式 Sn= 中涉及四个量:Sn、n、a1、an;公式 2 n?n-1? Sn=na1+ 2 d 中也涉及四个量:Sn、n、a1,d、结合等差 数列的通项公式 an=a1+(n-1)d,对于等差数列中的五个量: Sn、n、a1、an、d,已知其中的三个可以求另外的两个量.

(1)若a1=25,a5=33,则S5=________;

(2)若a1=4,d=-1,则S8=________.
[答案] (1)145 (2)4

5?a1+a5? 5×?25+33? [解析] (1)S5= = =145. 2 2 8×7×d 8×7×?-1? (2)S8=8a1+ 2 =8×4+ =4. 2

3.等差数列的前 n 项和 Sn 的性质 (1)若 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,则 Sn,S2n-Sn,S3n -S2n,?仍是等差数列,且公差为 n2d. (2)数列{an}是等差数列?Sn=an2+bn(a,b 为常数)?数列 Sn { n }为等差数列. (3)若数列{an},{bn}均为等差数列,且前 n 项和分别是 Sn, an S2n-1 Tn,则b = . T n 2 n -1

(1)等差数列{an}的前 m 项的和为 30, 前 2m 项的和为 100, 则它的前 3m 项的和为( A.130 C.210 ) B.170 D.260

(2)已知{an},{bn}均为等差数列,其前 n 项和分别为 Sn、 a5 Sn 2n+2 Tn,且T = ,则b =________. n + 3 n 5

5 [答案] (1)C (2)3

[解析] (1) ∵Sm,S2m-Sm,S3m-S2m 成等差数列, ∴Sm+S3m-S2m=2(S2m-Sm), ∴30+S3m-100=2(100-30),∴S3m=210. a1+a9 9?a1+a9? 2 2 a5 S9 (2)∵b = = = b1+b9 9?b1+b9? T9 5 2 2 2×9+2 5 = =3. 9+3

课堂探究学案

等差数列的前n项和的应用 已知等差数列{an}中,

1 (1)a1=2,S4=20,求 S6; 3 1 (2)a1=2,d=-2,Sn=-15,求 n 及 an; (3)a1=1,an=-512,Sn=-1 022,求 d.

4?4-1? [解析] (1)S4=4a1+ 2 d=4a1+6d=2+6d=20, ∴d=3. 6?6-1? 故 S6=6a1+ 2 d=6a1+15d=3+15d=48. 3 n?n-1? 1 (2)∵Sn=n· 2+ 2 (-2)=-15, 整理得 n2-7n-60=0, 解得 n=12 或 n=-5(舍去), 3 1 ∴a12=2+(12-1)×(-2)=-4.

n?a1+an? n?-512+1? (3)由 Sn= = =-1022, 2 2 解得 n=4. 又由 an=a1+(n-1)d, 即-512=1+(4-1)d, 解得 d=-171.

[ 方法规律总结 ]

a1 , d , n 是等差数列的三个基本量, an

和Sn都可以用这三个基本量来表示,五个量a1,d,n,an,Sn中

可知三求二,通过通项公式和前 n 项和公式建立方程 ( 组 ) 来求
解.

设Sn是等差数列{an}的前n项和,已知a2=3,a6=11,则S7 =________. [答案] 49
7?a1+a7? 7?a2+a6? 7?3+11? [解析] 方法一:S7= = = =49. 2 2 2
? ?a2=a1+d=3, 方法二:? ? ?a6=a1+5d=11. ? ?a1=1, 解得? ? ?d=2,

则 a7=1+6×2

=13, 7?a1+a7? 7?1+13? ∴S7= = =49. 2 2

等差数列前n项和性质的应用

两个等差数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 Sn, 2n Sn an Tn,若T = ,求b . 3n+1 n n
[分析] 既可利用 Sn,Tn 列方程组,建立首项与公差的关 S2n-1 an 系进行求解,也可利用 = 来求解. T2n-1 bn

[解析] 解法一:设 an=a1+(n-1)d,bn=b1+(n-1)e. a1 S1 1 取 n=1,则b =T =2,∴b1=2a1. 1 1 n?n-1? n-1 n d na1+ 2 d a1+ 2 d a1+2d-2 2n Sn ∴T = = = = , n e n?n-1? n-1 3n+1 n 2 a + e - nb1+ 2 e b1+ 2 e 1 2 2 3 2 3 d d 2 故 en +(4a1-e)n=2dn +(3a1-2d+2)n+a1-2. ? 3 ?e=2d, ? 从而?4a1-e=3a1-d, ? d ?a1- =0. 2 ?
? ?d=2a1, 即? ? ?e=3a1.

an 2n-1 ∴b = . 3n-1 n

a1+a2n-1 n?a1+a2n-1? 2 2 an 解法二:b = = b1+b2n-1 n?b1+b2n-1? n 2 2 S2n-1 2?2n-1? 2n-1 = = = . T2n-1 3?2n-1?+1 3n-1

[方法规律总结]

求解与等差数列的前n项和有关问题时,

注意利用前n项和的性质以简化运算过程.

等差数列{an}与{bn}的前 n 项和之比为(5n+13)∶(4n+5), a10 求b 的值. 10

[解析] 设数列{an}的前n项和为Sn,

数列{bn}的前n项和为S′n.
由于等差数列的性质,得

19 ?a +a19? a10 a1+a19 2 1 S19 = . b10=b1+b19=19 S′19 ? b + b ? 19 2 1 S19 5×19+13 4 由题意得 = =3, S′19 4×19+5 a10 4 所以b =3. 10

实际应用问题 某单位用分期付款的方式为职工购买 40 套住 房,共需1 150万元,购买当天先付150万元,按约定以后每月

这一天都交付50万元,并加付所有欠款利息,月利率为1%,若
交付 150 万元后的一个月开始算分期付款的第一个月,问分期 付款的第10个月应付多少钱?全部付清后,买这40套住房实际 花了多少钱? [分析] 由已知可得数列的通项公式,由题意即求a10、S20.

[解析] 因购房时付 150 万元,则欠款 1 000 万元,依题意 分 20 次付款,则每次付款的数额顺次构成数列{an}. 则 a1=50+1 000×1%=60, a2=50+(1 000-50)×1%=59.5, a3=50+(1 000-50×2)×1%=59, a4=50+(1 000-50×3)×1%=58.5, ∴an=50+[1 000-50(n-1)]×1% 1 =60-2(n-1) (1≤n≤20,n∈N).

1 ∴{an}是以 60 为首项,-2为公差的等差数列, 1 ∴a10=60-9×2=55.5, 1 a20=60-19×2=50.5. 1 ∴S20=2×(a1+a20)×20 =10×(60+50.5)=1 105. ∴实际共付 1 105+150=1 255(万元).

[方法规律总结 ]

解答数列的实际应用问题时,要注意依

据题设条件建立数列模型,辨清“通项”,还是“前n项 和”,要特别注意项数和第几项.

“嫦娥”奔月,举国欢庆,据科学计算运载“嫦娥”飞船
的“长征3号甲”火箭,点火1min内通过的路程为2km,以后每 min通过的路程增加2km,在到达离地面240km的高度时,火箭 与飞船分离,则这一过程大约需要的时间是( A.10min C.15min [答案] C B.13min D.20min )

[解析]

由题设条件知,火箭每分钟通过的路程构成以 a1

=2 为首项,公差 d=2 的等差数列,∴nmin 内通过的路程为 n?n-1? Sn=2n+ 2 ×2=n2+n=n(n+1). 检验选项知,n=15 时,S15=240km.

an与Sn关系的应用 已知数列{an}满足a1+2a2+?+nan=n(n+1)(n

+2),求an.
[分析] 注意观察条件等式左边可以发现,各项具有相同 的构成规律,如果令 bn = nan ,则左端就是数列 {bn} 的前 n 项

和.

[ 解析 ]

令bn = nan ,则 {bn}的前n 项和 Sn = b1 + b2 + ?+ bn

=n(n+1)(n+2), ∴b1=S1=6,n≥2时,bn=Sn-Sn-1=n(n+1)(n+2)-(n- 1)·n·(n+1)=3n(n+1). 当n=1时也适合,∴bn=3n(n+1), ∴an=3(n+1). [方法规律总结] a1是否满足. 应用an=Sn-Sn-1解题时,不要忘记检验

已知数列{an}的前n项和Sn=n2-8,求通项公式an.
[解析] 当 n=1 时,a1=S1=-7; 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n2-8-(n-1)2+8=2n-1. 又 a1=-7 不满足上式,
? ?-7?n=1? ∴an=? ? ?2n-1?n≥2?

.

已知数列 {an} 的前 n 项和 Sn = n2 + 3n + 2 ,判断 {an}是否为等差数列. [错解] +2]=2n+2. an+1-an=[2(n+1)+2]-(2n+2)=2(常数), ∵an=Sn-Sn-1=(n2+3n+2)-[(n-1)2+3(n-1)

∴数列{an}是等差数列.
[辨析] an=Sn -Sn- 1是在 n≥2的条件下得到的, a1 是否满 足需另外计算验证.

[正解] a1=S1=6, n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(n2+3n+2)-[(n-1)2+3(n-1)+ 2]=2n+2,
? ?6 ∴an=? ? ?2n+2

n=1 , n≥2

显然 a2-a1=4-6=-2, a3-a2=2,∴{an}不是等差数列.

[ 警示 ]

数列 {an} 的前 n 项和 Sn = an2 + bn + c.c≠0 时,它从

第2项往后成等差数列,但它不是等差数列.因此用an=Sn-Sn
-1得到通项后必须检验an是否满足后才可下结论.

等差数列的? ?数列的前n项和 ? 前n项和 ? ?等差数列的前n项和公式、推导与应用 等差数列前n项 ? ?等差数列前n项和的性质 ? 和的性质及应用? ?等差数列前n项和比值问题


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