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示范教案一(离散型随机变量的分布列 第1课时)


示范教案一(离散型随机变量的分布列 第 1 课时)

第一章
●课时安排? 13 课时?

概率与统计?

第一课时? ●课 题? §1.1.1 离散型随机变量的分布列(一)? ●教学目标? (一)教学知识点? 1.随机试验的结果可以用一个变量来表示,这样就可以用变量来刻划随机试验的结果 (即样本点或基本事件)

以及随机事件(样本的集合),以便更好地借助于数学工具对随机现象 进行研究.? 2.在对“概率”初步学习的基础上,了解随机变量、离散型随机变量的意义,掌握离散 型随机变量在概率中的应用.? (二)能力训练要求? 1.掌握随机变量的真实含义,灵活运用随机变量的意义分析随机现象的规律.? 2.会运用函数的观点研究随机现象的问题,具有一定的函数思想.? 3.能对日常生活和生产实践中的随机现象进行总结和概括,训练学生的概括能力.? (三)德育渗透目标? 1.培养学生运用数学知识的数学观.? 2.培养学生学会观察身边的随机现象,分析归纳概括成数学的问题,体现了数学文化价 值观.? 3.培养学生要学生活的知识、学生存的技能、学生命的意义.? ●教学重点? 在掌握概率中的随机现象的基础上, 将随机试验的结果可以用一个变量来表示, 这样就 引入了随机变量,这是这一章的基础概念,研究随机变量是一个重要的任务,而且概率论所 研究的也大都是局限于能用随机变量来描述的随机现象.随机变量是可以取数值的,因此可 以对它们进行各种数学运算.? ●教学难点? 自然随机现象中的随机试验的结果是千姿百态, 这些结果如何去刻划他们, 于是建立随 机变量、离散型随机变量、连续型随机变量等概念的建立.随机变量是概率论的一个基本概 念,概率论是研究大量随机现象中的数量规律的数学分支.? ●教学方法? 建构主义观点的教学方式.? ●教具准备? 幻灯机、幻灯片、实物投影仪.? 第一张:(记作§1.1.1 A)?

在第二册下(A)和下(B)的“第十章 排列、组合和概率”中用了“试验”一词, 那里的“试验”是指什么?一个试验满足下列三个条件:? (1)试验可以在相同的情形下重复进行;? (2)试验的所有可能结果是明确可知道的,并且不止一个;? (3)每次试验总是恰好出现这些结果中的一个,但在一次试验之前却不能肯定 这次试验会出现哪一个结果. ●教学过程? Ⅰ.课题导入? 问题提出: 某商场要根据天气预报来决定今年国庆节是在商场内还是在商场外开展促销 活动.统计资料表明,每年国庆节商场内的促销活动可获得经济效益 2 万元,商场外的促销 活动如果不遇到有雨天气可获得经济效益 10 万元,如果促销活动中遇到有雨天气则带来经 济损失 4 万元.9 月 30 日气象台预报国庆节当地有雨的概率是 40%,商场应该选择哪种促销 方式?? 这是日常生活中的常见随机现象, 如何解决这个问题呢?这就需要学习新的数学知识来 解决实际问题.于是今天我们来学习第一章概率与统计,第一课时 离散型随机变量的分布 列(一)(板书课题).? Ⅱ.讲授新课? [师]什么叫随机变量?现在我们先来看下面的问题 1:某市射击运动队张昊同学在射 击训练中,其中某一次射击中,可能出现命中的环数情况有哪些?? [生]0 环,1 环,2 环,?,10 环,共有 11 种不同的结果.? [师]问题 2:经纬纺织公司的某次产品检验,在可能含有次品的 100 件产品中任意抽 取 4 件,那么其中含有的次品可能是哪几种结果?? [生]含有的次品可能是 0 件,1 件,2 件,3 件,4 件,即可能出现的结果可以由 0, 1,2,3,4 这 5 个数表示.? [师]从上面的两个问题我们可以看出,在这些随机试验中,可能出现的结果都可以分 别用一个数即“环数” “次品数”来表示,这个数在随机试验前是无法预先确定的,在不同 的随机试验中,结果可能有变化,就是说,这种随机试验的结果可以用一个变量来表示.你 们能给出随机变量的定义吗?? [生] 从上述的分析过程可以对随机变量给出这样的定义: 如果随机试验的结果可以用 一个“数”来表示,那么这样的数叫做随机变量(板书定义).? [师]你所说的“数”是指哪些数呢?? [生] “正整数” ,不对,是非负整数.? [师]负整数行吗?分数行吗???? [生]我认为他所说的“数”应改为“变量”更好.(这时教师把这个定义中的“数”擦 去,重新写成“变量” ,常用希腊字母ξ 、η 等表示).? [师]在上述的总结和随机变量的定义中,都提到了“随机试验”一词,我们在第二册 下(A)和(B)的“第十章”中也用了“试验”一词,但都没有给出定义,你们能给出定义吗? 满足什么条件呢?请讨论后回答.? 学生立即讨论,有的看教科书,有的看教辅用书,他们在一起争论,商量等等,课堂中 的民主气氛十分融洽,学生的表现意识十分强烈,都想展示自己的才华和能力.? [师生] 凡是对现象的观察或为此而进行的实验, 我们都称之为试验, 这是广泛的含义. 一个试验如果满足下述条件:?

[打出幻灯片 A]? (1)试验可以在相同的情形下重复进行;? (2)试验的所有可能结果是明确可知道的,并且不止一个;? (3)每次试验总是恰好出现这些结果中的一个,但在一次试验之前不能肯定这 试验会出现哪一个结果.就称这样的试验是一个随机试验,简称为试验. .... [师] 随机变量常用ξ 或η 等表示, 请问, 的特点是什么?我相信你们能总结出来的? ξ [生](突然站起来),由刚才的随机试验所满足的条件知:ξ 的特点是:(1)可用数来表 示;(2)试验之前可以判断其可能出现的所有值;(3)在试验之前不能确定取何值(这时教师板 书学生的叙述内容).? [师]问题(1)、(2)中的随机变量是什么?取值情况如何.? [生]问题 1:射击的命中环数ξ 是一个随机变量.? ξ =0,表示命中 0 环;ξ =1,表示命中 1 环;?,ξ =10,表示命中 10 环.? [生]问题 2:产品检验所取 4 件产品中含有的次品数η 也是一个随机变量:η =0,表 示 0 个次品;η =1,表示含有 1 个次品;η =2,表示含有 2 个次品;η =3,表示含有 3 个次品; η =4,表示含有 4 个次品.? [师]两个学生回答很好.请同学们再思考一下,我们用字母ξ 、η 等表示数.这种思想 方法,与以前我们所学过的什么内容是相似的?请同学们展开你们的联想?? 这时,学生又进行了热烈的讨论,课堂气氛十分活跃.? [生]初中我们学代数式时,老师讲过,用字母代替数字,这就是代数思想方法的形成. [师] 随机变量ξ 的取值是否有限制, 是否一定是非负整数呢?你们可以举出有关例子 吗?? [生]随机变量ξ 可以是整数,也可以是其他的实数.可以取某一区间内的一切值.? [生]随机变量ξ 不是整数时,可以举这样的一个例子,问题 3:我家的都市花园小区 的红外线探头装置无故障运转的时间ξ 是一个随机变量, 它可以取区间(0, +∞)内的一切值. [生]前一个同学讲的随机变量ξ 取值情况是不间断的,但也可以是间断的.例如我们 高三(1)班的学生的身高最高达 188 cm, 最矮是 158 cm,那么我们班同学的高度η 是一个随机 变量,它可以取[158,188]内的值.可能是一切值,也可以间断地取值.? [师] 从前面的几个例子上看, 随机变量的取值可以是间断地取值, 也可以连续地取值, 那么随机变量的种类是否一样呢?能否给出区分的标准呢?? [生]可以区分,一个是离散型随机变量,另一个是连续型随机变量.对于随机变量可 能取的值,如果可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量;如果可以 取某一区间内的一切值时,这样的随机变量叫做连续型随机变量.? [师]这位同学总结概括地非常好,而且也给出了十分准确的定义.(学生热烈鼓掌,向 这位同学表示祝贺), 同学们, 请你们拿出一枚硬币任意地向上掷, 可能会出现哪几种结果? 能否用随机变量来刻划这种随机试验的结果呢?? 这时课堂上又涌现出一个小高潮,他们纷纷做试验,然后齐声回答:两种结果(正面向 上,反面向上),不能用数量来表示.教师未作评论,课堂气氛沉默一刻.(新的结论即将诞生) [生]我看是可以用数量来表示的.虽然这个随机试验的结果不具有数量性质,但我们 可以用变量ξ 来表示这个随机试验的结果.我们进行赋值法,规定ξ =1 时,表示正面向上, ξ =-1 时,表示反面向上.? [师](用赞叹的口气)太棒了,真是好极了.(这时课堂气氛热烈而不乱,全体同学都用 赞许的目光看着这位同学,并掌声雷鸣).? [生]请问老师,如果我令ξ =0 表示反面向上,ξ =1 表示正面向上;或者令ξ =2 表示

正面向上,ξ =1 表示反面向上或令ξ 为奇数时表示正面向上,ξ 为偶数时,表示反面向上. 这样设法,你看行吗?? [师]刚才这位同学提问的十分好,他敢于提出问题,把自己的想法提出来,让我来辨 析,现在我来征求大家的意见,你们看行不行?? [生](齐声回答)可以.? [师](追问)为什么?? [生]这个随机试验的结果不具有数量的性质,只要我们赋予不同的结果不同的数值, 能区分开就可以了.? [师]好.他点出了实质性内容:这个随机试验的结果是不具有数量的性质,而这个随 机变量的取值是我们规定的.这就告诉我们,1°任何一个随机试验的结果都可以进行量化; 2°同一个随机试验的结果的随机变量可能取不同的值(这两点板书).? [师]某人去商厦为所在公司购买玻璃水杯若干只,公司要求至少要买 50 只,但不得 超过 80 只.商厦有优惠规定: 一次购买这种水杯小于或等于 50 只的不优惠.大于 50 只的, 超 出的部分按原价格的 7 折优惠,已知原来的水杯的价格是每只 6 元.这个人一次购买水杯的 只数ξ 是一个随机变量, 那么他所付款是否也为一个随机变量呢?这两个随机变量有什么关 系呢?? 留给学生一定的思考时间,让他们讨论、争论.? [生] 付款的总额也是一个随机变量, 这两个随机变量不是相互独立, 而是相互制约的, 它们的关系式为η =50×6+(ξ –50)×6×0.7=300+6ξ –21=6ξ +279.其中 50≤ξ ≤80.? [师]刚才这位同学回答的是否正确?? [生](齐声回答)正确.但不严密,ξ 是一个离散型变量,应增加一个条件,ξ ∈N 更好. [师]请问ξ 与η 这种关系式,我们以前学过了吗?你们能推广吗?? [生]η 是ξ 的一次函数(线性函数),一般地,若ξ 是随机变量,η =aξ +b,其中 a、b 是常数,则η 也是随机变量.? [师]刚才推广的结论实质是一个随机变量函数 f(ξ )(线性的),你们能否再进一步推广 呢?? [生]若ξ 是随机变量,f(x)是函数,则 f(ξ )也是随机变量.? [师]f(x)是所有的函数都可以吗?是否有限制条件?什么样的条件?? 这时学生沉思,教师走到学生中间,与他们共同分析探讨,然后由学生总结概括出 f(x) 所需要的附加条件.? [生]f(x)的图象不能间断,或者 f(x)是一个单调函数.? [师]你们能列举出类似随机变量函数吗?? [生]我在无线电兴趣小组学习时,老师讲过:在无线电接收中,某时刻收到的信号是 一个随机变量ξ ,把这个信号通过平方检波器,输出的信号为η 也是一个随机变量,它们满 足η =ξ 2,即随机变量的函数式.? [生]我在物理奥林匹克班培训时,有过这样的问题:在统计物理中,已知分子运动速 度ξ 的分布值,求其动能η 的分布值.η 是ξ 的一个二次函数,η =

1 mξ 2, m 为分子的质量. 2

[师] 刚才两位同学举的例子都是很好的, 他们能灵活地把课外所学到的知识无私地奉 献给大家共享,同时,也说明了数学在其他学科中的应用,体现了数学的应用价值.? [师]现在,我们再看一道应用题:某城市出租汽车的起步价为 10 元,行驶路程不超 出 3 km 时,租车费为 10 元,若行驶路程超出 3 km,则按每超出 1 km 收费为 1.8 元计费(超 出不足 1 km 的部分按 1 km 计).若行驶路程超过 5 km,则按每超出 1 km 收费为 2.7 元计费.

从这个城市的民航机场到某宾馆的路程 15 km,某司机常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客, 由于行车路线的不同以及中途停车时间要转换成行车路程(这个城市规定,每停车 5 分钟时 间按 1 km 路程计费),这个司机一次接送旅客的实际行车路程ξ 是一个随机变量.问他所收 租车费为η ,η 与ξ 的关系式是什么?? [生]η =10+1.8×2+(ξ –5)×2.7=13.6+2.7ξ –13.5=2.7ξ +0.1,显然,η 也是随机变量. Ⅲ.课堂练习? 1.写出下列各随机变量可能的值,并说明随机变量所取的值所表示的随机试验的结果: (1)从一个装有编号为 1 号到 10 号的 10 个球的盒子中任取 1 球,被取出的球的编号为ξ ; (2)一个罐中装有 10 个红球,5 个绿球,从中任取 4 个球,其中所含红球的个数为ξ ; (3)抛掷两个骰子,所得点数之和为ξ ;所得点数之和是偶数为η ;? (4)张华在射击训练中,接连不断地射击,首次命中目标需要的射击次数η ;? (5)某电动工具制造公司,加工某种轴承,其轴承最外边的外径与规定的外径尺寸之差 为η ;若误差规定不大于 5,则η 又为何值.? 答案:(1)ξ 可取 1,2,3,?,10.ξ =k 表示取出第 k 号球.? (2)ξ 可取 0,1,2,3,4.ξ =k 表示取出 k 个红球,4–k 个绿球,其中 k=0,1,2,3,4.? (3)ξ 可取 2,3,4,5,?,12.若以(i,j)表示抛掷甲、乙两个骰子后骰子甲得 i 点且骰子 乙得 j 点, 则ξ =2,表示(1, ξ =3,表示(1, (2, ξ =4,表示(1, (2, (3, ??; 1); 2), 1); 3), 2), 1); ξ =12,表示(6,6);η 可取 2,4,6,?,12.? (4)η 可取 1,2,3,4,?,ξ =i 表示前 i–1 次射击都未命中目标,第 i 次射击命中目标. (5)η 可取(–∞,+∞)中的数,第二个η 的取值是[–5,5]中的数.? 2.举出一些随机变量的例子,并指出是离散型随机变量,还是连续型随机变量.(将班级 分成五个小组,先讨论,然后每组推举一名代表汇报结果).? 第一组:我们班级在 2002 年的体检的视力检查中,左眼最好的视力为 5.00,最坏的视 力为 3.00,那么我们班 49 位同学的左眼视力为ξ ,它是一个连续型随机变量ξ ,它可以取 [3.00,5.00]中的数.? 第二组:从 26 张已编号的卡片(从 1 号到 26 号)中任取一张,被取出的卡片的号数ξ , 是离散型随机变量,ξ =1,2,3,?,26.? 第三组:甲、乙两个盒子各有黑白围棋子 6 个,分别编号为η 到 6 号,随机从甲、乙两 个盒中各取出一个棋子,其编号之和ξ ,是一个离散型随机变量ξ =2,3,4,?,12.? 第四组:我们在测量电阻值的实验中,测量的电阻值与实际的电阻值的之差为ξ ,这是 一个连续型随机变量,可取(–∞,+∞)中的值.? 第五组: 一辆大众 2000 型的小汽车的最高时速是每小时 220 km,由甲地到乙地的时速可 以在规定范围内选择, 那么它的速度η 是一个连续型随机变量, 它行驶的路程也是一个连续 型随机变量ξ ,其中η 可以取区间(0,220]内的值.? [师] 以上五组同学列举的例子都是很好的, 也都是我们身边的数学, 你们的想象能力、 语言组织能力都比我们老师要棒,希望你们继续努力,要注意列举实例的科学性和严密性. Ⅳ.课时小结(先请同学进行小结回顾,然后教师点评)? 本节课我们共同研究讨论了随机变量的定义及它们的分类, 即离散型随机变量和连续型 随机变量, 又讨论了随机试验所具备的三个条件, 产生了随机变量ξ 所满足的三个特征: (1) 可用数来表示;(2)试验之前可以判断其可能出现的所有值;(3)在试验之前不能确定取何值. 第三个层次, 我们讨论了随机变量函数及其满足的条件, f(x)具有连续性或单调性, 那么 f(ξ ) 是随机变量.? Ⅴ.课后作业? (一)课本 P8 习题 1.1 1.?

(二)举出两个随机变量的例子,要求离散型随机变量和连续型随机变量的例子各一个.

?●板书设计? §1.1.1 离散型随机变量的分布列(一)? 1.随机变量的定义.? 2.随机变量的分类:(1)离散型随机变量;(2)连续型随机变量.? 3.随机试验及随机变量所具备的特征.? 问题 1:张昊射击命中的环数为 0 环,1 环,2 环,?,10 环.? 问题 2:次品可能的件数为 0 件,1 件,?.? 问题 3:红外线探头工作情况.? 问题 4:高三(1)班学生身高情况.? (一)出租车收费例题:? η =2.7ξ +0.1 ? (二)随机变量函数所具备的条件:f(x)是连续函数或单调函数.? (一)学生列举的随机变量函数的例子? (1)η =ξ
2

(2)η =

1 mξ 2 ? 2

(二)五组讨论的五个实例.


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