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2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件:第10章 第5节 古典概型


第二节 第五节

古典概型(文) 古典概型(理)

[主干知识梳理] 一、基本事件的特点 1.任何两个基本事件是 互斥 的.

2.任何事件(除不可能事件)都可以表示成 基本事件的和 .

二、古典概型的两个特点 1 . 试验中所有可能出现的基本事件只有 有限 个,

即 有限性



2.每个基本事件出现的可能性 相等 ,即等可能性 . [提示] 确定一个试验为古典概型应抓住两个特征:有限性 和等可能性.

三、古典概型的概率公式 A包含的基本事件的个数 P(A)= 基本事件的总数 .

[基础自测自评] 1.(教材习题改编)从甲、乙、丙三人中任选两名代表,甲被选中的 概率为 ( 1 A. 2 2 C. 3 1 B. 3 D.1 )

C [基本事件总数为(甲、乙)、(甲、丙)、(乙、丙)共三种,甲被 2 选中共 2 种.则 P= .] 3

2.(教材习题改编)从 1,2,3,4,5,6 六个数中任取 2 个数,则 取出的两个数不是连续自然数的概率是 ( 3 A. 5 1 C. 3 2 B. 5 2 D. 3 )

D [从六个数中任取 2 个数有 15 种方法, 取出的两个数是连续 自然数有 5 种情况,则取出的两个数不是连续自然数的概率 P 5 2 =1- = .] 15 3

3.(理)甲、乙两同学每人有两本书,把四本书混放在一起,每人 随机拿回两本,则甲同学拿到一本自己书一本乙同学书的概 率是 ( 1 A. 3 1 C. 2 2 B. 3 1 D. 4 )

B [甲同学从四本书中随机拿回两本,一共有 C2 4种取法,恰好拿
1 到一本自己书一本乙同学书的取法有 C1 · C 2 2种,故所求概率为 P 1 C1 · C 2 2 2 = = .] C2 3 4

3.(文)(2013· 莆田模拟)一袋中装有大小相同,编号为 1,2,3,4, 5,6,7,8 的八个球,从中有放回地每次取一个球,共取 2 次,则取得两个球的编号之和不小于 15 的概率为( 1 A. 32 3 C. 32 1 B. 64 3 D. 64 )

D [基本事件为(1,1),(1,2),?,(1,8),(2,1),(2,2),?, (8,8),其 64 种.两球编号之和不小于 15 的情况有三种,分别为 3 (7,8),(8,7),(8,8),∴所求概率为 .] 64

4.(2014· 南通一调)将甲、乙两球随机放入编号为 1,2,3 的 3 个 盒子中,每个盒子的放球数量不限,则在 1,2 号盒子中各有 一个球的概率为________. 解析 依题意得,甲、乙两球各有 3 种不同的放法,共 9 种放 法,其中有 1,2 号盒子中各有一个球的放法有 2 种,故有 1, 2 2 号盒子中各有一个球的概率为 . 9 2 答案 9

5.(2014· 南京模拟)在集合 A={2,3}中随机取一个元素 m,在集 合 B={1,2,3}中随机取一个元素 n,得到点 P(m,n),则点 P 在圆 x2+y2=9 内部的概率为________. 解析 点 P(m,n)共有(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3, 2),(3,3),6 种情况,只有(2,1),(2,2)这 2 个点在圆 x2 2 1 1 +y =9 的内部,所求概率为 = ,故填 . 6 3 3
2

1 答案 3

[关键要点点拨]

1.古典概型的判断:
一个试验是否为古典概型,在于这个试验是否具有古典 概型的两个特征——有限性和等可能性,只有同时具备这 两个特点的概率模型才是古典概型. 2.对于复杂的古典概型问题要注意转化为几个互斥事件的

概率问题去求.

简单的古典概型 [典题导入] (2013· 陕西高考 ) 有 7 位歌手 (1 至 7 号 ) 参加一场歌唱比 赛,由 500 名大众评委现场投票决定歌手名次.根据年龄将 大众评委分为五组,各组的人数如下: 组别 A B C D E

人数

50

100

150

150

50

(1)为了调查评委对7位歌手的支持情况,现用分层抽样方法

从各组中抽取若干评委,其中从B组抽取了6人,请将其余各
组抽取的人数填入下表: 组别 A B C D E

人数
抽取人数

50

100
6

150

150

50

(2) 在(1) 中,若A ,B 两组被抽到的评委中各有 2人支持 1 号歌
手,现从这两组被抽到的评委中分别任选1人,求这2人都支 持1号歌手的概率. [听课记录] (1)由题设知,分层抽样的抽取比例为6%,所以

各组抽到的人数如下表: 组别 人数 抽取人数 A 50 3 B 100 6 C 150 9 D 150 9 E 50 3

(2)记从 A 组抽到的 3 个评委为 a1,a2,a3,其中 a1,a2 支持 1 号 歌手;从 B 组抽到的 6 个评委为 b1,b2,b3,b4,b5,b6,其中 b1, b2 支持 1 号歌手.从{a1,a2,a3}和{b1,b2,b3,b4,b5,b6}中各 抽取 1 人的所有结果为:

由以上树状图知所有结果共 18 种, 其中 2 人都支持 1 号歌手的有 a1b1,a1b2,a2b1,a2b2 共 4 种, 4 2 故所求概率 P= = . 18 9

[规律方法] 计算古典概型事件的概率可分三步:

(1) 算出基本事件的总个数 n ; (2) 求出事件 A 所包含的基本事
件个数m;(3)代入公式求出概率P.

[跟踪训练] 1.某小组共有A,B,C,D,E五位同学,他们的身高(单位:

米)及体重指标(单位:千克/米2)如下表所示:
A 身高 体重指标 1.69 19.2 B 1.73 25.1 C 1.75 18.5 D 1.79 23.3 E 1.82 20.9

(1)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人,求选到的2人身 高都在1.78以下的概率;

(2)从该小组同学中任选2人,求选到的2人的身高都在1.70以
上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率.

解析 (1)从身高低于 1.80 的同学中任选 2 人,其一切可能的结果

组成的基本事件有:(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D), (C,D),共 6 个.

由于每个人被选到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能 的.

选到的 2 人身高都在 1.78 以下的事件有:(A,B),(A,C),(B,C), 共 3 个. 3 1 因此选到的 2 人身高都在 1.78 以下的概率为 P= = . 6 2

(2)从该小组同学中任选 2 人,其一切可能的结果组成的基本事件 有:(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E), (C,D),(C,E),(D,E),共 10 个. 由于每个人被选到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可 能的. 选到的 2 人身高都在 1.70 以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的事 件有:(C,D),(C,E),(D,E),共 3 个.

因此选到的 2 人的身高都在 1.70 以上且体重指标都在[18.5,23.9) 3 中的概率为 P= . 10

复杂的古典概型
[典题导入] (2013· 江西高考)小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还 是去下棋.游戏规则为:以 O 为起点,再从 A1,A2,A3,A4,A5, A6(如图)这 6 个点中任取两点分别为终点得到两个向量, 记这两个 向量的数量积为 X,若 X>0 就去打球,若 X=0 就去唱歌,若 X <0 就去下棋. (1)写出数量积 X 的所有可能取值; (2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率.

[听课记录]

(1)X 的所有可能取值为-2,-1,0,1.

→ → (2)数量积为-2 的有OA2· OA5,共 1 种; → → → → → → → → → → 数量积为-1 的有OA1· OA5, OA1· OA6, OA2· OA4, OA2· OA6, OA3· OA4, → → OA3· OA5,共 6 种; → → → → → → → → 数量积为 0 的有OA1· OA3,OA1· OA4,OA3· OA6,OA4· OA6,共 4 种; → → → → → → → → 数量积为 1 的有OA1· OA2,OA2· OA3,OA4· OA5,OA5· OA6,共 4 种. 故所有可能的情况共有 15 种.

7 所以小波去下棋的概率为 P1= ; 15 4 因为去唱歌的概率为 P2= , 15 4 11 所以小波不去唱歌的概率 P=1-P2=1- = . 15 15

[规律方法] 计算古典概型事件的概率可分三步: (1)算出基本事件的总个数n; (2)求出事件A所包含的基本事件个数m;

(3)代入公式求出概率P.

[跟踪训练]
2 . (2014· 烟台诊测 ) 某学校组织 500 名 学生体检,按身高 ( 单位: cm) 分组: 第1组[155 ,160),第 2组[160,165), 第3组[165 ,170),第 4组[170,175), 第 5 组 [175 , 180] ,得到的频率分布 直方图如图所示.

(1) 下表是身高的频数分布表,求正
整数m,n的值;

区 间 人 数

[155, 160) 50

[160, 165) 50

[165, 170) m

[170, 175) 150

[175, 180] n

(2)现在要从第1,2 ,3组中用分层抽样的方法抽取 6人,第1,

2,3组应抽取的人数分别是多少?
(3)在(2)的前提下,从这6人中随机抽取2人,求至少有1人在 第3组的概率.

解析 =50.

(1)由题设可知,m=0.08×5×500=200,n=0.02×5×500

(2)第 1,2,3 组共有 50+50+200=300(人), 利用分层抽样在 300 名学生中抽取 6 名学生,每组抽取的人数分 别为: 50 50 第 1 组的人数为 6× =1,第 2 组的人数为 6× =1, 300 300 200 第 3 组的人数为 6× =4, 300 所以第 1,2,3 组分别抽取 1 人,1 人,4 人.

(3)设第 1 组的 1 名同学为 A, 第 2 组的 1 名同学为 B, 第 3 组的 4 名同学为 C1,C2,C3,C4,则从 6 人中抽取 2 人有: (A,B),(A,C1),(A,C2),(A,C3),(A,C4),(B,C1,),(B, C2),(B,C3),(B,C4),(C1,C2),(C1,C3),(C1,C4),(C2,C3), (C2,C4),(C3,C4),共 15 种可能. 其中 2 人都不在第 3 组的有:(A,B),共 1 种可能, 1 14 所以至少有 1 人在第 3 组的概率为 1- = . 15 15

【创新探究】 列举法求古典概型概率
(2012 山东高考 ) 袋中有五张卡片,其中红色卡 片三张,标号分别为1,2,3;蓝色卡片两张,标号分别 为1,2. (1)从以上五张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不同 且标号之和小于4的概率; (2) 向袋中再放入一张标号为 0 的绿色卡片,从这六张卡

片中任取两张,求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4
的概率.

【思路导析】 第一问
1.审条件,挖解题信息

2.审结论,明解题方向

3.建联系,找解题突破口

2.审结论,明解题方向

3.建联系,找解题突破口

【解析】 (1)标号为 1,2,3 的三张红色卡片分别记为 A,B,C, 标号为 1,2 的两张蓝色卡片分别记为 D,E,从五张卡片中任取 两张的所有可能的结果为(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B, C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E)共 10 种. 由于每一张卡片被取到的机会均等,因此这些基本事件的出现是 等可能的. 从五张卡片中任取两张,这两张卡片颜色不同且它们的标号之和 小于 4 的结果为(A,D),(A,E),(B,D)共 3 种. 3 所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于 4 的概率为 . 10

(2)记 F 是标号为 0 的绿色卡片,从六张卡片中任取两张的所有可 能的结果为(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C), (B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D, F),(E,F)共 15 种. 由于每一张卡片被取到的机会均等,因此这些基本事件的出现是 等可能的.

从六张卡片中任取两张,这两张卡片颜色不同且它们的标号之和 小于 4 的结果为(A,D),(A,E),(B,D),(A,F),(B,F), (C,F),(D,F),(E,F)共 8 种. 8 所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于 4 的概率为 . 15

【高手支招】

第一步 审清题意
理清题意,列出所有基本事件,计算基本事件总数 第二步 建立文字数量关系式 分析所求事件,找出所求事件的个数 第三步 转化为数学模型

根据古典概型概率公式求解得出结论
第四步 解后反思 规范解答步骤,检查计数过程是否有误

[体验高考] (2013· 天津高考 ) 某产品的三个质量指标分别为 x , y , z ,用

综合指标S=x+y+z评价该产品的等级.若S≤4,则该产品为
一等品.现从一批该产品中,随机抽取10件产品作为样本, 其质量指标列表如下:

产品编 号

A1

A2

A3

A4

A5

质量指 (1,1, (2,1, (2,2, (1,1, (1,2, 标(x,y, 2) 1) 2) 1) 1) z) 产品编 号 A6 A7 A8 A9 A10

质量指 (1,2, (2,1, (2,2, (1,1, (2,1, 标(x,y, 2) 1) 1) 1) 2) z)

(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率; (2)在该样本的一等品中,随机抽取2件产品, ①用产品编号列出所有可能的结果; ②设事件 B为“在取出的 2 件产品中,每件产品的综合指标 S

都等于4”,求事件B发生的概率.

解析 (1)计算10件产品的综合指标S,如下表:

产品编 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 号
S 4 4 6 3 4 5 4 5 3 5

其中 S≤4 的有 A1,A2,A4,A5,A7,A9,共 6 件,故该样本的 6 一等品率为 =0.6,从而可估计该批产品的一等品率为 0.6. 10

(2)①在该样本的一等品中,随机抽取 2 件产品的所有可能结果为 {A1,A2},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A7},{A1,A9},{A2,A4}, {A2,A5},{A2,A7},{A2,A9},{A4,A5},{A4,A7},{A4,A9}, {A5,A7},{A5,A9},{A7,A9},共 15 种. ②在该样本的一等品中, 综合指标 S 等于 4 的产品编号分别为 A1, A2,A5,A7,则事件 B 发生的所有可能结果为{A1,A2},{A1,A5}, {A1,A7},{A2,A5},{A2,A7},{A5,A7},共 6 种. 6 2 所以 P(B)= = . 15 5

课时作业


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